运筹学课后习题答案--林齐宁版本--北邮出版社

运筹学课后习题答案--林齐宁版本--北邮出版社

·No.1 线性规划

1、某织带厂生产A、B两种纱线和C、D 两种纱带，纱带由专门纱线加工而成。这四种产品的产值、成本、加工工时等资料列表如下：

工厂有供纺纱的总工时7200h，织带的总工时1200h。

(1) 列出线性规划模型，以便确定产品的数量使总利润最大；

(2) 如果组织这次生产具有一次性的投入20万元，模型有什么变化？对模型的解是否有影响？

解：(1)设A的产量为x1，B的产量为x2，

C 的产量为x 3，

D 的产量为x 4，则有线性规划模型如下：

max f (x )=(168-42)x 1 +(140-28)x 2 +(1050-350)x 3 +(406-140)x 4

=126 x 1 +112 x 2 +700 x 3 +266 x 4

s.t.

⎪⎩

⎪

⎨⎧=≥≤+≤+++4,3,2,1 ,012005.02 720041023434321i x x x x x x x i

(2)如果组织这次生产有一次性的投入20

万元，由于与产品的生产量无关，故上述模型只需要在目标函数中减去一个常数20万，因此可知对模型的解没有影响。

2、将下列线性规划化为极大化的标准形式

解：将约束条件中的第一行

的右端项变为正值，并添加松弛变量x 4，在第二行添

加人工变量x 5，将第三行约束的绝对值号打开，变为两个不等式，分别添加松弛变量x 6, x 7，并令x x x 3

3

3

='-''，则有

max[-f (x )]= {-2 x 1 -3 x 2 -5('-''x x 3

3

)+0 x 4 -M x 5+0 x 6 +0 x 7}

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧±≥≤+-=-+--≥-+++=不限

321321321321321 ,0,13|5719|169765

..532)(min x x x x x x x x x x x x t s x x x x f

s.t. 0,,,,,,,13

55719 13 55719

16 9976 5 765433217

3321633

215332143321≥'''=+''+'-+-=+''-'+-=+''+'-+-=+''-'+--⎪⎪

⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

3、用单纯形法解下面的线性规划

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧≥≤++-≤++-≤-+++= ,0,,4205.021********* ..352)(max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x x f

解：在约束行1,2,3分别添加x 4, x 5, x 6松弛

变量，有初始基础可行解和单纯形法迭代步骤如下：

答：最优解为x1 =244.375, x2 =0, x3

=123.125, 剩余变量x6 =847.1875；最优解的目标函数值为858.125。

No .2 两阶段法和大M 法

解：将原问题变为第一阶段的标准型

⎪⎩⎪

⎨⎧≥=+-+=+-+--⋅+⋅=0,,,,,75

3802 ..00)(max 6

54321642153216

521x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x f

第一阶段单纯形表

1、用两阶段法解下面问题： ⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥+≥++=0,75

380

2 ..64)(min 2

1212121x x x x x x t s x x x f

第二阶段

c j - z j 0 0 -14/5 -2/5

答：最优解为x 1 =14，x 2 =33，目标函数值为254。

2、用大M 法解下面问题，并讨论问题的解

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧≥≥++≤++-≤++++= ,0,,52151565935 ..121510)(max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x x f

解：第1、2行约束条件添加x 4, x 5松弛变量，第3行添加x 6剩余变量和x 7人工变量，有如下初始单纯形表和迭代步骤：

答：最后单纯形表中检验数都小于等于0，已满足最优解判定条件，但人工变量x7仍未迭代出去，可知原问题无可行解(无解)。

No .3 线性规划的对偶问题 解：对偶问题为

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧±≥≤=+-≥++-≥+≤+++=不限

321313213121321,0,00 53 2 2..645)(min y y y y y y y y y y y y t s y y y y g ⎪⎪

⎪

⎪⎩⎪

⎪⎪⎪⎨⎧≤≥±-≥-≤≥≤-≥≤0

,0,12 8 4 14 2

6321

332211x x x x x x x x x 不限

令改写后约束条件每行对应的对偶变

量为y 1,...,y 6，则有对偶规划如下：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≤≥+-≤+=+--++-=0

,, ,0,,8 3 4 ..12841426)(max 642531654321654321y y y y y y y y y y y y t s y y y y y y y g

1、写出下列线性规划问题的对偶问题：

(1)

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧±≥≤=++≤+≥+-+-+=不限

43214323143213

21 ,0,,06 4 2 5

..532)(max x x x x x x x x x x x x x t s x x x x f

(2)

⎪⎩

⎪

⎨⎧-≤≤-≤≤≤≤-+-=8

1214

46

2 ..834)(min 3213

21x x x t s x x x x f

解：原问题的约束条

件可改写为右式