第一章 解三角形复习指南

必修五第一章解三角形

一．基础知识

1. 正弦定理：ABC ∆中，2sin sin sin a b c R A B C

===（R 是ABC ∆外接圆半径） 正弦定理变式：（1）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===

（2）::sin :sin :sin a b c A B C =

（3）111sin sin sin 222

ABC S ab C ac B bc A ∆===

（4）正弦定理可以解决：①已知两角与任一边：

或；②已知两边

（5）中线长：AM =. 2. 余弦定理：ABC ∆中，2222cos a b c bc A =+-；或222

cos 2b c a A bc

+-=.

（1） 余弦定理可以解决：①已知三边（2） cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+.

二．必做题

1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ；

【解析】已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：在△ABC 中．已知a 、b 和A ，求B .若A 为锐角，①当a ≥b 时，有一解；②当a ＝b sin A 时，有一解；③当b sin A b 时，有一解；②当a ≤b 时，无解．

【解答】(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin A ＝32

. ∵a >b ，∴A >B ，∴A ＝60°或A ＝120°.

当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝6＋22

； 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝6－22

. 综上，A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22，或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22

. 【注意】注意答案的写法。不要错误的写成A ＝60°或A ＝120°，C ＝75°或C ＝15°，c ＝6＋22或c ＝6－22

.

2．在△ABC 中，已知C =15°，b =2,a =求A 的值．

【解答】

由余弦定理，得222

2cos 8c a b ab C =+-=-． ∴

sin A =

sin 1.2

a C c = 又∵

b ＞a ,∴B ＞A ,∴A =30°. 3.（综合应用）在ABC ∆中，a b

c 、、分别为角A B C 、、

的对边，且满足222b c a bc +-=. （Ⅰ）求角A 的值；

（Ⅱ）若a =B 的大小为,x ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值.

【解答】（Ⅰ）在ABC ∆中，由222b c a bc +-=， 及余弦定理得2221cos 22

b c a A bc +-==， 而0A π<<，则3A π

=；

（Ⅱ）由3a A π

==

，及正弦定理得2sin sin sin b c a B C A ====， 而2,3B x C x π==

-，则222sin ,2sin()(0)33

b x

c x x ππ==-<<，

于是22sin 2sin())36

y a b c x x x ππ=++=+-=++ 由203x π<<得5666x πππ<+<， 当62x π

π

+=即3x π

=

时，max y =

４．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，

且满足cos 2A =，3AB AC ⋅= ． (1)求△ABC 的面积；

(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．

【解答】(1)因为cos A 2＝255，所以cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45． 又由3AB AC ⋅= 得bc cos A ＝3，所以bc ＝5，

因此S △ABC ＝12

bc sin A ＝2． (2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，

由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－165

bc ＝20，所以a ＝25． ４．一船在海面A 处看见两灯塔P 、Q 在北偏西15°的同一条直线上.该船

沿东北方向航行4海里到达B 处，看见灯塔P 在正西方向，灯塔Q 在西北

方向.求两灯塔之间的距离.

【

解答】由题意可知：∠A ＝45°＋15°＝60°，∠ABP ＝45°，

∠PBQ ＝45°，所以∠ABQ ＝90°，所以∠AQB ＝30°，∠APB ＝75°．

又由sin75°＝sin （45°＋30° 所以在△ABP 中，AB ＝4，由正弦定理知4sin 75sin 45AP =︒︒

，

所以AP ＝4－1）.在△ABQ 中，∠ABQ ＝90°，AB ＝4，

所以AQ ＝8. 所以PQ ＝AQ －AP ＝8－4－1）＝12－

答：故两灯塔间的距离为（12－

５．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？

【解答】由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，

∠DAB ＝90°－45°＝45°，

∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.

在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB

， ∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5(3＋3)·sin45°sin105° ＝5(3＋3)·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°

＝103(海里)． 又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，

在△DBC 中，由余弦定理，得

CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1200－2×103×203×12

＝900，∴CD ＝30(海里)，

∴需要的时间t ＝3030

＝1(小时)． 答：故救援船到达D 点需要1小时．