第一章 解三角形复习指南
第一章解三角形复习 (1)
复习
正弦定理：
a b c 2R sinA sin B sinC
复习
正弦定理：
a b c 2R sinA sin B sinC
ห้องสมุดไป่ตู้变式：
(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC；
(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c；
2. 知三求一 .
3. 当夹角为90°时，即三角形为直 角三角形时即为勾股定理 (特例) .
复习 归纳：
4.变形公式：
b2 c2 a2 cosA
2bc a2 c2 b2 cos B
2ac a2 b2 c2 cos C
2ab
复习 余弦定理能解决的问题：
复习 余弦定理能解决的问题：
1. 已知三边求角；
复习 余弦定理能解决的问题：
1. 已知三边求角； 2. 已知两边和它们的夹角求第三边 .
(3) S ABC
1 absinC 2
1 bc sin A 2
1 ac sin B 2
复习 正弦定理能够解决的两类问题：
复习 正弦定理能够解决的两类问题：
1. 两角和任意一边，求其它两边和一角；
2. 两边和其中一边对角，求另一边的对 角，进而可求其它的边和角 .
复习 余弦定理：
复习 余弦定理：
三角形任何一边的平方等于 其它两边平方的和减去这两边与 它们夹角的余弦的积的两倍 .
复习 归纳：
复习 归纳：
1. 熟悉定理的结构，注意“平方” “夹角”“余弦”等 .
复习 归纳：
1. 熟悉定理的结构，注意“平方” “夹角”“余弦”等 .
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习高中数学必修5第一章解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1．正弦定理:ainAbinBcinC2RR为三角形外接圆的半径2正弦定理的一些变式：iabcinAinBinC；iiinAa2R,inBb2R,inCc2R；2Riiia2RinA,b2RinB,b2RinC；（4）3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角abcinAinBinC（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角（可能有一解，两解，无解）中，已知a,b及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：图形一解两解一解一解无解A 为锐角A为钝角或直角关系式解的个数【余弦定理】a2b2c22bccoA2221．余弦定理：bac2accoB2推论：设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90；②若abc，则C90；③若abc，则C90．3两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角12222222【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.S1aha1abinC1rabc（其中r为三角形内切圆半径）12abc,S/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？扩展阅读：高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结abc2R或变形：a:b:cinA:inB:inC1．正弦定理:inAinBinC推论：①定理：若α、β＞0，且αβ＜，则α≤βinin，等号当且当α=β时成立。
②判断三角解时，可以利用如下原理：inA＞inBA＞Ba＞bcoAcoBAB（co在0,上单调递减）b2c2a2coA2bca2b2c22bccoA2a2c2b2222．余弦定理：bac2accoB或coB2acc2b2a22bacoCb2a2c2coC2ab3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式5．三角形中的基本关系：inABinC,coABcoC,tanABtanC,in已知条件一边和两角（如a、B、C）ABCABCABCco,coin,tancot222222一般解法由ABC=180，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。
第一章 解三角形 单元复习
第一章 解三角形 单元复习教学目标：1.进一步理解、掌握正弦定理和余弦定理及其基本变形，加强正、余弦定理与三角变换的综合应用，以及解三角形在实际问题中的应用. 2.深化对解三角形的理论认识，掌握三角形中三角变换的基本策略、方法和技巧，提高三角运算和恒等变形能力.教学重点：正、余弦定理的综合应用 教学难点：三角形中的三角变换 教学课时：三课时第一课时 教学内容：三角形中的基本计算 教学过程：A.B .1.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 2.余弦定理2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+-.3.射影定理a ＝bcosC ＋ccosB ，b ＝ccosA ＋acosC ，c ＝acosB ＋bcosA . 4.面积公式21sin sin sin sin sin 242sin abc a B C S ab C aR B C R A=====L5.解三角形已知一边两角或两边与对角：正弦定理； 已知两边与夹角或三边：余弦定理. 6.距离测量一个不可到达点：测基线长和两个张角；两个不可到达点：测基线长和四个张角. 7.高度测量在地面测仰角；在空中测俯角；在行进中测方位角. 8.角度测量测量行进方向；测量相对位置.C . 巩固练习例1 在△ABC 中，已知AB=3，AC=4，. A =60°，S =例2 在△ABC中，已知AB =AC =D 为BC 的中点，且∠BAD=30°，求BC 边的长.∠CAD=90°，BC =.例3在△ABC 中，已知A=2C ，BC=AC ＋1，AB=AC －1，求三角形的三边长. AB=4，AC=5，BC=6.例4 在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2C ＝sin 2B ＋sinAsinC，且2(1a c =+，求角A 、B 、C 的值.B=60°，C=45°，A=75°.例5 （2006年湖南卷）如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB=AD ，记∠CAD=α，∠ABC =β.（Ⅰ）证明 sin cos 20αβ+=； （Ⅱ）若，求β的值. β=60°.作业：P 19习题1.2A 组：3，4，5.BDCαβ A教学内容：三角形中的三角变换 教学过程：例1 在△ABC 中，已知A=60°，且4sinBsinC=1，求角B 、C 的值. B=105°，C=15°.例2 在△ABC 中，已知b －c=2acos (60°＋C )，求角A 的值. A=120°.例3 在△ABC 中，已知ac=b 2，求cos(A －C)＋cosB ＋cos2B 的值. 原式=1.例4 在△ABC 中，已知a ＋c=2b ，求1cosA 1cosCsinA sinC++⋅的值.原式=3.例5 在△ABC 中，已知a=3，A=60°，求△ABC 的周长的最大值. 26sin()3,(0,)63l B B p p=++ ，max 9l =.例6 在△ABC 中，已知△ABC 的面积S=BC - uuur uu u r ，且存在实数λ使得a ＋c=λb ，求λ的取值范围.22s i n(),(0,)63A A ppl =+ ，(1,2]l Î.作业：P 20习题1.2A 组：12，13，14.教学内容：解三角形的实际应用 教学过程：例1 如图，在高出地面30m 的小山顶上建有一座电视塔AB ，在地面上取一点C ，测得点A的仰角的正切值为0.5，且∠ACB ＝45°，求该电视塔的高度.30tan(45)60A B q +=+o ，其中1t an 2q =.可得AB=150（m ）.例2 如图，有大小两座塔AB 和CD ，小塔的高为h ，在小塔的底部A 和顶部B 测得另一塔顶D 的仰角分别为α、β，求塔CD 的高度. cos sin sin sin()h CD A D b aa ab ==-.例3 （2007年山东卷）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B 2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？12221A A A B ==，12260A A B ?o ，所以12A B =1120A B =，11245B A B ?o，得12B B =13v =?.A CBACBD 120 105乙甲A 1A 2B 1B 2东北例4某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号.某海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为45°，距离为10海里的B 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里/小时的速度前行. 该海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救，求舰艇靠近渔船所需的最短时间. ∠ABC=120°，AB=10，AC=21t ，BC=9t ，得23t h =，即40分钟.例5（2008年湖南卷）在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.在点E 正北55海里处有一个雷达观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船，位于点A 北偏东45°方向，且与点A相距B .经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ（其中sin 090q q =<<oo ）方向，且与点A 相距C . （1）求该船的行驶速度；（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.（1）cos q =，BC =v = 海里/小时）.（2）cos 10B =，sin 40sin(45)A B BA DB ==-oEF=DEsin (45°－B )=7<. 船会进入警戒水域.作业：P24复习参考题A 组：2，3，5.东东。
第一章-解三角形复习
必修5第一章 解三角形复习课【知识要点】 一、正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin === 1、正弦定理适用的最基本题型：“知三求一”（1）已知三角形两角及任一边，求另外两边（2）已知三角形两边及其中一边的对角，求另一边的对角（解的个数不确定）【注意】这里有5种情况：以“已知A b a ,,，求B ”为例字母取值范围的情况，而在解三角形时多用三角形内角和定理及公理“大边对大角”来确定解的情况。
2、正弦定理的推论：（1）边化角：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=（2）角化边：R a A 2sin =，R b B 2sin =，Rc C 2sin = （3）A b B a sin sin =，C b B c sin sin =，A c C a sin sin =（4）C B A c b a B A b a B A b a C c B b A a sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ++++=--=++===二、余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=1、余弦定理适用的最基本题型：“知三求一”（1）已知三角形两边及这两边的夹角，求第三边（2）已知三角形三边（或者三边之比）求任一角（3）已知三角形两边及其中一边的对角，求第三边（解的个数不确定）2、余弦定理推论：（角化边）bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+= 三、正余弦定理在三角形的边角混合式中的应用1、边化角：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=2、角化边：R a A 2sin =，R b B 2sin =，Rc C 2sin =； bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+= 3、一般原则：（1）遇到复杂的纯三角函数式，通常将“切化弦，和差倍半化单角”，但有时也会将单角化为和角，如)sin(sin C B A +=（2）遇到一次式利用正弦定理，遇到二次式利用余弦定理（3）注意“齐次式”在化简过程中可以不出现R 2，还要注意对“齐次式”的理解四、三角形中的常用结论（1）B A B A >⇔>sin sin （B A b a B R A R B A >⇔>⇔>⇔>sin 2sin 2sin sin ）（2）B A B A <⇔>cos cos （余弦函数x y cos =在),0(π上是减函数）（3）B A B A =⇔=sin sin ，2B A 2sin 2sin π=+=⇔=或B A B A（4）222,ππ=++=++C B A C B A ，)sin(sin C B A +=，)cos(cos C B A +-=， )tan(tan C B A +-=，2cos 2sin C B A =+，2sin 2cos C B A =+，2cot 2tan C B A =+ （5）ABC ∆是锐角三角形⇔20π<<A ，20π<<B ，2π>+B A ，从而B A ->2π，A B ->2π，所以B A cos sin >，A B cos sin >（6）面积公式：c b a ABC ch bh ah S 212121===∆ B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ )2())()((c b a p c p b p a p p S ABC ++=---=∆ r c b a S ABC )(21++=∆（其中r 为ABC ∆的内切圆半径） （7）若r 为ABC Rt ∆的内切圆半径，c 为ABC ∆的斜边，则2c b a r -+=【典型例题】 【例1】在ABC ∆中，B b a C A sin )()sin (sin 2222-=-,外接圆半径为2.（1）求角C ；（2）求ABC ∆面积的最大值.【例2】在ABC ∆中，c b a 、、分别为内角A ，B ，C 的对边，且272cos 2sin 42=-+A C B . （1）求A ；（2）若7=a ，△ABC 的面积为310，求c b +的值.【例3】已知ABC ∆是锐角三角形，且B A 2=,则下列叙述中，你认为正确的命题序号是__________________.（1）C B sin 3sin = （2）12tan 23tan =C B （2）（3）46ππ<<B （4）[]3,2的取值范围是ba【例4】已知锐角ABC ∆中，在ABC ∆中，c b a 、、分别为内角A ，B ，C 的对边， 2223tan a c b bcA -+=.(Ⅰ) 求角A 的大小；（Ⅱ）求C B cos cos +的取值范围.。
高中数学第一章解三角形章末复习课课件新人教版A
＝473×12－17× 23＝3143.
(2)求BD，AC的长. 解答
在△ABD中，由正弦定理，得 BD＝AsBisni∠n∠ADBABD＝8×4 31343＝3.
7 在△ABC中，由余弦定理，得 AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49， 所以AC＝7.
因为 cos B＝2cos2 B2－1＝35， 故 B 为锐角，所以 sin B＝45， 所以 sin A＝sin(π－B－C)＝sin34π－B
＝sin
3π 4 cos
B－cos
3π 4 sin
B＝7102.
由正弦定理，得 c＝assiinnAC＝170，所以 S△ABC＝12acsin B＝12×2×170×45＝87.
类型三 正弦、余弦定理在实际中的应用
例4 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器
的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器 的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹 射声音的时间比在B地晚127秒. 在A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为 30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒) 解答
知识点三 三角形面积公式 1.S＝12aha＝12bhb＝12chc； 2.S＝12absin C ＝12bcsin A＝12casin B.
题型探究
类型一 利用正弦、余弦定理解三角形 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝ 2 3， 点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度. 解答
反思与感悟
应用解三角形知识解决实际问题的步骤： (1)分析题意，准确理解题意； (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出； (3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定 理等有关知识正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.
高中数学必修五第一章：解三角形复习课教案.docx
课题： 解三角形复习课第课时总序第个教案课型： 复习课教学目标：编写时时间：年 月日执行时间：年 月日 批（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、注余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（ 2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生 活实际问题。
教学重点：运用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题。
教学难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
教学用具：三角板，直尺，投影 教学方法：引导 ——讨论 ——归纳 教学过程：一 . 本章知识结构正弦定理解三角形应用举例余弦定理二 . 回顾与思考1. 正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a bcsin Asin Bsin C正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
2. 余弦定理 ：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即a 2b 2c 2 2bc cos Ab 2 a 2c 2 2ac cos B c 22b 22cosCaab余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
三 . 综合应用例 1、在 ABC 中 ,求分别满足下列条件的三角形形状：① B=60° ,b 2=ac ；② b 2tanA=a 2tanB ； ③ sinC=sin Asin B④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A － B).cos A cos B分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状 . ①由余弦定理cos60a 2c 2 b 2 a 2 c 2 b 21 a2 c 2ac ac(ac) 2 0 ，2ac 2ac 2a c .由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形.②由b 2 tan A a 2 tan B b2 sin Acos Aa 2 sin B sin B cos A b2sin 2Bsin A cos A sin B cosB,sin 2A sin 2B, cos B sin Acos B a 2sin 2A∴ A=B 或 A+B=90°，∴△ ABC 为等腰△或 Rt△ .③sin C sin Asin B ，由正弦定理：cos A cos Bc(cos A cos B)a b, 再由余弦定理：c a 2b2 c 2c a 2c2 b 2a b2bc2ac(a b)(c2 a 2 b 2 )0, c2 a 2 b 2 ,ABC 为Rt.④ 由条件变形为sin( A B)a2b2sin(A B)a2b2sin( A B)sin( A B) a 2,sin A cos B sin 2Asin 2 A sin 2 B, A或A B90.sin( A B)sin( A B)b2cos Asin B sin2B B∴△ ABC 是等腰△或Rt△ .点评：这类判定三角形形状的问题的一般解法是：由正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简考察边或角的关系，从而确定三角形的形状. 有时一个条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以混用 . 如本例的②④也可用余弦定理，请同学们试试看.例 2、已知ABC 三个内角A、B、 C 满足 A+C=2B,11=－2, 求+cosCcos A cos Bcos A2C的值.A 或 C.分析：A C2B,B60 ,A C120再代入三角式解得解：A C2B,180B2B,B60 .A C120.∴由已知条件化为：11 2 2.cos(120A)cos A22cos(120A)cos Acos Acos(120A C,则 A60, C60.代入上式得：cos(60) A), 设2cos(60)2 2 cos(60) cos(60) .化简整理得4 2 cos2 2 cos320( 2cos2)( 22 cos3)0,cos2,即 cos AC2.222注：本题有多种解法 . 即可以从上式中消去B、C 求出 cosA，也可以象本例的解法.还可以用和、差化积的公式，同学们可以试一试.例 3、海岛O 上有一座海拨轮船在岛北60°东 C 处 ,俯角俯角 60° .1000 米的山 ,山顶上设有一个观察站A,上午30° ,11 时 10 分 , 又测得该船在岛的北11 时 ,测得一60°西 B 处,①这船的速度每小时多少千米？②如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向？此时所在点 E 离岛多少千米？分析：这是一个立体的图形，要注意画图和空间的简单感觉解：①如图：所示. OB=OA.tan 303(千米 )， OC 3 （千米）3则BC OB 2OC 22OB OC cos12013（千米）3船速 v 1310239 （千米/小时）360②由余弦定理得：cos OBC OB 2BC 2OC 25 13, sin EBO sin OBC2OB BC261(5 13)2339, cos EBO5 13, sin OEB sin[180 ( EBO30 )]262626sin(EBO30 )sin EBO cos30cos EBO sin 3013 .13再由正弦定理，得OE=1.5（千米），BE 39(千米 ),BE5 （分钟）. 6v答：船的速度为239 千米/小时；如果船的航速不变，它 5 分钟到达岛的正西方向，此时所在点 E 离岛 1.5 千米 .四 . 课堂练习教材 24 页复习参考题五 . 布置课后作业教学后记：。
完整版)解三角形知识点归纳总结
完整版)解三角形知识点归纳总结第一章解三角形一、正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 sinA/a = sinB/b = sinC/c = 2R （其中R是三角形外接圆的半径）。
变形：1) sinA/sinB/sinC = (a/b/c)/(2R)，化边为角；2) a:b:c = = sinA/sinB，化角为边；3) a = 2RsinA，b = 2RsinB，c = 2RsinC，化边为角；4) sinA = a/2R，sinB = b/2R，sinC = c/2R，化角为边。
利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a，求解：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c。
②已知两边和其中一个角的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A，求解：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再使用正弦定理求出c边。
4.在△ABC中，已知锐角A，边b，则①a<bsinA时，B无解；②a=bsinA或a≥b时，B有一个解；③bsinA<a<b时，B有两个解。
二、三角形面积1.SΔABC = absinC = bcsinA = acsinB；2.SΔABC = (a+b+c)r，其中r是三角形内切圆半径；3.SΔABC = p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=(a+b+c)/2；4.SΔABC = abc/4R，R为外接圆半径；5.SΔABC = 2R²sinAsinBsinC，R为外接圆半径。
三、余弦定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即 a² = b² + c² -2bccosA，b² = a² + c² - 2accosB。
必修5第一章解三角形总复习.doc
COSX =五、第一章解三角形复习提纲及专题练习一、诱导公式（1）。
+ 2幻r （AcZ ）、—a 、几 + Q 、兀一a 、In-a 的三角函数值，等于a 的同名函数值,前面加上一个把。
看成锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名不变，符号看象限）• •若尤 + y = 180° ,贝ijsinx =, cosx =, tanx =。
TT Tt \rr ⑵一+ Q 、——a. — + a 、 ----------- Q 的三角函数值，等于a 的异名函数值，前而加上一2 2 2 2个把a 看成锐角时原函数值的符号。
(口诀：函数名改变，符号看象限)• •若工+ y = 90° , 则 sinx =, cos% =, tanx=。
和角公式和差角公式sin(a + ") = sin Q ・ cos /3 + coscr • sin p sin (6Z - J3) = sin a - cos (3 - cos« - sin (3 cos(a + 0) = COSQ • cos 一 sin o • sin &COS (Q -") = cosa ・cos" + sinQ ・sin (3/ c 、 tan cr + tan Z?tan(a +。
)= ------------------ —1-tana-tanpz °、 tan 。
一 ta" tan (Q 一。
)= --------------- ^―1 + tan 必 tan p二倍角角公式sin 26^ = 2sinocosQcos la = cos 2cif-sin 2^ = 2cos 2(7-1 = 1 -2sin 26Z 八2 tan 。
tan 2a = ---------- --1一 tans二倍角的余弦公式有以下常用变形：(规律：降慕扩角，升慕缩角)1 + cos 2a = 2COS 2^Z 1 - cos 2a = 2sin 2^z 1 + sin 2a = (sina + cosa)21 - sin 2a = (sina-cosa)?9 1 + cos 2a . 9 1 - cos 2a 1 - cos 2a sin 2a cos~a = -------------- , sirra= ------------------- ，tana = --------------- = -------------2 2 sin 2a 1 +cos 2a四、正弦定理（重点）」^ 二 一土 = ^—二 2R （ R 为MBC 外接圆半径） sin A sin B sin C余弦定理（重点）f . 2 °9 f 9 9 . U + C — Cl cr = + u — 2bc • cos A n cos A = ---------------------------2hc<=> a2 > b2 +c2 <^a2<b2+c2a1 =b2 +c21.已知△ABC 中，o=4, b=4^i ,A. 30°C. 60°2.己知△ABC 中，A8=6, ZA = 30A. 9C. 9^3B.等腰攻等边二角D.等腰直角三角形5：7,则其最大角是（）23兀B. 一勿C,―4 D.5〃"6~,292O D a2 +c2-b2b~ = + c」一 2ac• cos B => cos B = ---------------------2ac2 > 2 22 o . 2 i八八 /+歹_（7c - - 2ab - cos C => cosC = --------------------------lab六、三角形的面积公式Swc =—cibsinC = —bcsin A = —cas\nB（两边一夹角）七、边与三角形形形状的关系设a是最长的边，则AABC是钝角三角形AABC是锐角三角形AABC是直角角三角形八、解三角形专题练习ZA = 30°,则等于（）B.30。
必修5第一章解三角形总复习
第一章解三角形复习提纲及专题练习一、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名不变，符号看象限） 若︒=+180y x ，则=x sin ，=x cos ，=x tan 。
⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名改变，符号看象限） 若︒=+90y x ，则=x sin ，=x cos ，=x tan 。
二、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-三、二倍角角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+2)cos (sin 2sin 1ααα-=-四、正弦定理（重点）R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆外接圆半径） 五、余弦定理（重点） A bc c b a cos 2222⋅-+=⇒ bca cb A 2cos 222-+=ABCabcB ac c a b cos 2222⋅-+= ⇒ acb c a B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222⋅-+=⇒ abc b a C 2cos 222-+=六、三角形的面积公式B ca A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边一夹角） 七、边与三角形形形状的关系 设a 是最长的边，则 △ABC 是钝角三角形 △ABC 是锐角三角形 △ABC 是直角角三角形 八、解三角形专题练习1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24．在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于( )A.75°B.120°C.135°D.150° 5.在△ABC 中，若acosA=bcosB,则△ABC 是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角 6. 在△ABC 中，已知C B B a b cos cos ,sin 323==且，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰或等边三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 7．三角形三边长之比为3：5：7，则其最大角是（ ）A ．2π B ．π32 C ．43π D ．65π8．A 、b 、c 是△ABC 的三边，B ＝60°，那么222b c ac a -+-的值是（ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不确定9.△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( )222c b a +>⇔222c b a +<⇔222c b a +=⇔A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形10．在△ABC 中，已知()b c +：)(a c +：)(b a +＝4：5：6，则A s i n ：B sin ：C sin 等于（ ）A ．6：5：4B ． 7：5：3C ．3：5：7D ．4：5：6 11.在不等边三角形中，a 是最大的边，若222c b a +<，则∠A 的取值范围（ ）A ．),2(ππB ．（4π，2π） C ．（3π，2π） D ．（0，2π）12．已知三角形的三边长分别为,a b ，则三角形的最大内角是（ ） 13．在△ABC 中，已知34,31cos ,23===∆ABC S C a ，则b ＝__________． 14．三角形的一边长为14，这条边所对的角为600，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为__________．15．三角形ABC 中，a=1，b=2，则最大边C 的取值范围是_____ 。
高中数学必修五第一章解三角形知识点总结计划及复习练习题
第一章解三角形1、正弦定理：在 C 中， a 、b、 c 分别为角、、 C 的对边， R 为C 的外接圆的半径，那么有：a b c2R ．sin sin sin C2、正弦定理的变形公式：①a 2Rsin ， b 2Rsin ， c 2Rsin C ；② sina b c， sin ， sin C ；2R 2R 2R③a : b : c sin :sin :sin C ；④a b c a b csin sin sin C sin sin ．sin C注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、两边和其中一边所对的角，求其余的量。
2、两角和一边，求其余的量。
⑤对于两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。
〔一解、两解、无解三中情况〕如：在三角形ABC中， a、b、 A〔 A为锐角〕求 B。
具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把 a 扰着 C 点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：C当无交点那么 B 无解、当有一个交点那么 B 有一解、 ba当有两个交点那么 B 有两个解。
bsinAAD法二：是算出CD=bsinA, 看 a 的情况：当a<bsinA ，那么 B 无解当bsinA<a ≤ b, 那么 B有两解当a=bsinA 或 a>b 时， B 有一解注：当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式：S C 1 1 1bc sin ab sin C ac sin ．2 2 24、余弦定理：在 C 中，有a2 b2 c2 2bc cos ，b2 a2 c2 2ac cos ，c2a2b22ab cosC ．5、余弦定理的推论：cos b2 c2 a22bc，cos a2 c2 b22ac，cosC a2 b2 c22ab．( 余弦定理主要解决的问题：1、两边和夹角，求其余的量。
2、三边求角 )6、如何判断三角形的形状：设 a 、b、 c 是 C 的角、、 C 的对边，那么：①假设a2 b2 c2，那么 C 90o；②假设a2 b2 c2，那么 C 90o；③假设a2 b2 c2，那么 C 90o． BA7、正余弦定理的综合应用：如下图：隔河看两目标A、B,但不能到达，在岸边选取相距 3 千米的C、D两点，O O O C D并测得∠ ACB=75, ∠ BCD=45, ∠ADC=30,O∠ADB=45(A 、B、 C、 D在同一平面内)，求两目标A、 B 之间的距离。
第一章解三角形复习课教案新人教A版
解三角形复习课（一）●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题。
建知识框架，并通过练习、训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。
教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯，让学生在具体的实践中结合图形灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，有利地进一步突破难点。
情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验●教学重点1. 三角形的形状的确定（大边对大角，“两边和其中一边的对角”的讨论）；2. 应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化问题（内角和的灵活运用）。
●教学难点让学生转变观念，由记忆到理解，由解题公式的使用到结合图形去解题和校验。
●教学过程【复习导入】近年广东高考中，解三角形的题目已填空、选择为主，难度要求每年有所不同，结合大题16题出题也不鲜见；关键是借三角形对于我们结合图形分析做题，以及锻炼严谨慎密的逻辑思维大有裨益。
1． 正弦定理:R CcB b A a 2sin sin sin === （2R 可留待学生练习中补充） B ac A bcC ab S sin 21sin 21sin 21===∆. 余弦定理 ：A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=求角公式：bc a c b A 2cos 222-+= acb c a B 2cos 222-+= ab c b a C 2cos 222-+=点评：文字语言有助于记忆， 符号语言方便应用。
2．思考：各公式所能求解的三角形题型？正弦定理: 已知两角和一边或两边和其中一边的对角球其他边角，或两边夹角求面积。
余弦定理 ：已知两边和夹角求第三边，或已知三边求角。
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必修五第一章解三角形
一．基础知识
1. 正弦定理：ABC ∆中，2sin sin sin a b c R A B C
===（R 是ABC ∆外接圆半径） 正弦定理变式：（1）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===
（2）::sin :sin :sin a b c A B C =
（3）111sin sin sin 222
ABC S ab C ac B bc A ∆===
（4）正弦定理可以解决：①已知两角与任一边：
或；②已知两边
（5）中线长：AM =. 2. 余弦定理：ABC ∆中，2222cos a b c bc A =+-；或222
cos 2b c a A bc
+-=.
（1） 余弦定理可以解决：①已知三边（2） cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+.
二．必做题
1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ；
【解析】已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：在△ABC 中．已知a 、b 和A ，求B .若A 为锐角，①当a ≥b 时，有一解；②当a ＝b sin A 时，有一解；③当b sin A <a <b 时，有两解；④当a <b sin A 时，无解．若A 为直角或钝角，①当a >b 时，有一解；②当a ≤b 时，无解．
【解答】(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin A ＝32
. ∵a >b ，∴A >B ，∴A ＝60°或A ＝120°.
当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝6＋22
； 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝6－22
. 综上，A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22，或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22
. 【注意】注意答案的写法。
不要错误的写成A ＝60°或A ＝120°，C ＝75°或C ＝15°，c ＝6＋22或c ＝6－22
.
2．在△ABC 中，已知C =15°，b =2,a =求A 的值．
【解答】
由余弦定理，得222
2cos 8c a b ab C =+-=-． ∴
sin A =
sin 1.2
a C c = 又∵
b ＞a ,∴B ＞A ,∴A =30°. 3.（综合应用）在ABC ∆中，a b
c 、、分别为角A B C 、、
的对边，且满足222b c a bc +-=. （Ⅰ）求角A 的值；
（Ⅱ）若a =B 的大小为,x ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值.
【解答】（Ⅰ）在ABC ∆中，由222b c a bc +-=， 及余弦定理得2221cos 22
b c a A bc +-==， 而0A π<<，则3A π
=；
（Ⅱ）由3a A π
==
，及正弦定理得2sin sin sin b c a B C A ====， 而2,3B x C x π==
-，则222sin ,2sin()(0)33
b x
c x x ππ==-<<，
于是22sin 2sin())36
y a b c x x x ππ=++=+-=++ 由203x π<<得5666x πππ<+<， 当62x π
π
+=即3x π
=
时，max y =
４．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
且满足cos 2A =，3AB AC ⋅= ． (1)求△ABC 的面积；
(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．
【解答】(1)因为cos A 2＝255，所以cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45． 又由3AB AC ⋅= 得bc cos A ＝3，所以bc ＝5，
因此S △ABC ＝12
bc sin A ＝2． (2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，
由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－165
bc ＝20，所以a ＝25． ４．一船在海面A 处看见两灯塔P 、Q 在北偏西15°的同一条直线上.该船
沿东北方向航行4海里到达B 处，看见灯塔P 在正西方向，灯塔Q 在西北
方向.求两灯塔之间的距离.
【
解答】由题意可知：∠A ＝45°＋15°＝60°，∠ABP ＝45°，
∠PBQ ＝45°，所以∠ABQ ＝90°，所以∠AQB ＝30°，∠APB ＝75°．
又由sin75°＝sin （45°＋30° 所以在△ABP 中，AB ＝4，由正弦定理知4sin 75sin 45AP =︒︒
，
所以AP ＝4－1）.在△ABQ 中，∠ABQ ＝90°，AB ＝4，
所以AQ ＝8. 所以PQ ＝AQ －AP ＝8－4－1）＝12－
答：故两灯塔间的距离为（12－
５．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？
【解答】由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，
∠DAB ＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB
， ∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5(3＋3)·sin45°sin105° ＝5(3＋3)·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°
＝103(海里)． 又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，
在△DBC 中，由余弦定理，得
CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1200－2×103×203×12
＝900，∴CD ＝30(海里)，
∴需要的时间t ＝3030
＝1(小时)． 答：故救援船到达D 点需要1小时．。