高中数学专题练习：概率的两类模型

高中数学专题练习：概率的两类模型

[题型分析·高考展望]概率是高中数学的重要内容，也是高考的必考知识点.在高考中，概率部分的命题主要有三个方面的特点：一是以古典概型的概率公式为考查对象，二是以几何概型的概率公式为考查对象，三是古典概型与其他知识相交汇，题目多以选择题或填空题的形式出现.

常考题型精析

题型一古典概型问题

例1(1)(·课标全国Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()

A.3

10 B.

1

5

C.1

10 D.

1

20

(2)某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率：

①选取的2位学生都是男生；

②选取的2位学生一位是男生，另一位是女生.

点评 求解古典概型问题的三个步骤

(1)判断本次试验的结果是不是等可能的，设出所求事件A .

(2)分别计算基本事件的总数n 和所求事件A 所包含的基本事件的个数m . (3)利用古典概型的概率公式P (A )＝m

n 求出事件A 的概率.若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.

变式训练1 (·课标全国Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18 B.38 C.58

D.78

题型二 几何概型问题

例2 (1)设不等式组⎩⎨⎧

0≤x ≤2，

0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个

点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4 B.π－2

2 C.π6

D.4－π4 (2)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34

D.78

点评 (1)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.

(2)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题.在转

化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域.几何概型的试验中事件A 的概率P (A )只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关.

变式训练2 (1)(·辽宁)正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1

,

1

)

分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD 中

，

则

质

点

落

在

图

中

阴

影

区

域

的

概

率

是

________________________________________________.

(2)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.

高考题型精练

1.(·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤12

log ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x ＋12≤1”发生的

概率 为( ) A.3

4 B.23 C.13

D.14

2.(·广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A.521

B.1021

213.(·福建)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋1，x ≥0，－1

2

x ＋1，x ＜0的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此

点取自阴影部分的概率等于( )

A.1

6 B.14 C.38

D.12

4.(·辽宁)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )

A.π2

B.π4

C.π6

D.π8

5.从标有1,2,3，…，7的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是( ) A.1649 B.1549 C.27

D.1349

6.已知实数a ，b 满足⎩⎨⎧

0≤a ≤4，

0≤b ≤4，x 1，x 2是关于x 的方程x 2－2x ＋b －a ＋3＝0的

两个实根，则不等式0

B.316

3216

7.(·江西)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于()

A.1

18 B.

1

9

C.1

6 D.

1

12

8.有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()

A.1

3 B.

2

3

C.3

4 D.

1

4

9.(·重庆)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________.(用数字作答)

10.在日前举行的全国大学生智能总决赛中，某高校学生开发的智能机器人在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿x

轴正方向移动的概率是2

3，沿y轴正方向移动的概率为

1

3，则该机器人移动6次恰

好移动到点(3,3)的概率为________.

11.(·四川)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.

(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；

(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.