背包问题和棋盘覆盖课程设计报告

课程设计报告课程设计名称：算法设计与分析系别：三系学生姓名：**班级：09软件（1）班学号：***********成绩：指导教师：秦川开课时间：2011-2012 学年第一学期目录一、问题描述 (3)1.普通背包问题 (3)2.棋盘覆盖问题 (3)二、问题分析 (3)1.普通背包 (3)2.棋盘覆盖 (4)三、建立数学模型 (4)1.普通背包 (4)2.棋盘覆盖 (5)四、算法设计 (5)1.普通背包 (5)2.棋盘覆盖 (6)五、算法实现（源程序） (7)1.普通背包 (7)2.棋盘覆盖 (9)六、测试分析 (11)1.普通背包 (11)2.棋盘覆盖 (14)七、结论 (16)八、参考文献 (17)一、问题描述1.普通背包问题:给定n种物品和一个背包。

物品i的重量是wi，其价值是vi，背包的容量是C。

应如何选择装入背包的物品，是得装入背包中的物品的总价值最大？在选择装入背包的物品是，对每种物品i的选择可以是物品的的一部分（即可以不是整数），而不一定要全部装入背包，1<=i<=n.2.棋盘覆盖问题：在一个(2^k) × (2^k) 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为特殊方格。

显然，特殊方格在棋盘中出现的位置有4^k情形，因而有4^k种不同的棋盘。

图a所示是k=2时16种棋盘中的一个。

棋盘覆盖问题要求用图b所示的4种不同形状的L型骨牌覆盖给定棋盘上除特殊棋盘方格以外的所有方格，且任何两个L型骨牌不得重叠覆盖。

二、问题分析1.普通背包：贪心算法的基本思路：从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标，每一步都作一个不可回溯的决策，尽可能地求得最好的解。

当达到某算法中的某一步不需要再继续前进时，算法停止。

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。

则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。

如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

2.棋盘覆盖：分析方法：分治的技巧在于如何划分棋盘，使划分后的子棋盘的大小相同，并且每个子棋盘均包含一个特殊方格(这句话很重要)，从而将原问题分解为规模较小的棋盘覆盖问题。

先把原始棋盘划分成4个相等的棋盘，由于棋盘只有一个特殊棋盘，所以这4个子棋盘中只有一个子棋盘包含该特殊棋盘，以便采用递归的方法求解，可以用1一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的汇合处（要理解这句话），如图(c)所示。

从而将原问题转换为4个较小规模的棋盘覆盖问题。

递归使用这种划分策略，直至将棋盘分割为1*1的子棋盘。

三、建立数学模型1.普通背包：//=========确定背包新的剩余容量============left=left-goods[i].w;//=========该物品所要放的量=========goods[i].X=left/goods[i].w;2.棋盘覆盖：数据结构设计：（1）棋盘：可以一个二维数组board[size][size]表示一个棋盘，其中，size = 2^k。

为了在递归处理的过程中使用同一个棋盘，将数组board设置为全局变量（2）子棋盘：子棋盘由原始棋盘数组board的行下标tr，列下标tc表示。

（3）特殊方格：用board[dr][dc]表示特殊方格，dr和dc表示该特殊方格的在二维数组board中的下标（4）L型骨牌：一个（2^k）*（2^k）的棋盘中有一个特殊方格，所以用到L型骨牌的个数为（4^k - 1）/3，将所有L型骨牌从1开始连续编号，同一个骨牌有3个方格组成，这3个方格用同一个编号。

四、算法设计1.普通背包：// 先按物品效益，重量比值做升序排列================================void Insertionsort(Good goods[],int n){int i,j;for(j=2;j<=n;j++){goods[0]=goods[j];i=j-1;while (goods[0].p>goods[i].p){goods[i+1]=goods[i];i--;}goods[i+1]=goods[0];}}// 然后再将物品放入背包=======================void bag(Good goods[],float M,int n){ 。

left=M; //========背包剩余容量{ 。

//========当该物品重量大与剩余容量跳出。

//=========确定背包新的剩余容量}if(i<=n)goods[i].X=left/goods[i].w;//=========该物品所要放的量for(j=2;j<=n;j++) //==========按物品编号做降序排列{ 。

}。

}}2.棋盘覆盖：void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size){。

if(dr<tr+s && dc<tc+s) //残缺方格位于左上棋盘chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);else {board[tr+s-1][tc+s-1]=t;/ /覆盖1号三格板chessBoard(tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s); //覆盖其余部分}if(dr<tr+s && dc>=tc+s) //残缺棋盘位于右上棋盘chessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s);else{board[tr+s-1][tc+s]=t; //覆盖2号三格板chessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s); //覆盖其余部分}if(dr>=tr+s && dc<tc+s) //残缺方格位于左下棋盘chessBoard(tr+s, tc, dr, dc, s);else{board[tr+s][tc+s-1]=t; //覆盖3号三格板chessBoard(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s); //覆盖其余部分}if(dr>=tr+s && dc>=tc+s) //残缺方格位于右下棋盘chessBoard(tr+s, tc+s, dr, dc, s);else{board[tr+s][tc+s]=t; //覆盖4号三格板chessBoard(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s);//覆盖其余棋盘}五、算法实现（源程序）1.普通背包：#include <iostream.h>#include <string>using namespace std;struct Good{float p; //物品的效益float w; //物品的重量float X; //物品该放的数量int flag; //物品的编号}; //物品信息结构体//======== 按物品效益，重量比值做升序排列=============//void Insertionsort(Good goods[],int n){int i,j;for(j=2;j<=n;j++){goods[0]=goods[j];i=j-1;while (goods[0].p>goods[i].p){goods[i+1]=goods[i];i--;}goods[i+1]=goods[0];}}//========== 将物品放入背包================void bag(Good goods[],float M,int n){float left;int i,j;for(i=1;i<=n;i++)goods[i].X=0;left=M; //========背包剩余容量for(i=1;i<n;i++){ if(goods[i].w>left) //========当该物品重量大与剩余容量跳出break;goods[i].X=1;left=left-goods[i].w; //=========确定背包新的剩余容量}if(i<=n)goods[i].X=left/goods[i].w;//=========该物品所要放的量for(j=2;j<=n;j++) //==========按物品编号做降序排列{ goods[0]=goods[j];i=j-1;while (goods[0].flag<goods[i].flag){goods[i+1]=goods[i];i--;}goods[i+1]=goods[0];}cout<<"最优解为:"<<endl;for(i=1;i<=n;i++){cout<<"第"<<i<<"件物品要放:";cout<<goods[i].X<<endl;}}//============== 主函数=================//void main(){int j,n;float M;Good *goods; //=======/定义一个指针while(j){cout<<"=================================================="<<endl;cout<<"<09软件工程（1）班>----孙磊20090307139"<<endl;cout<<"=================================================="<<endl;cout<<endl;cout<<"\t"<<"请输入物品的总种类数：";cin>>n;goods=new struct Good [n+1];cout<<"\t"<<"请输入背包的最大容量：";cin>>M;cout<<endl;int i;for(i=1;i<=n;i++){ goods[i].flag=i;cout<<"\t"<<"请输入第"<<i<<"件物品的重量:";cin>>goods[i].w;cout<<"\t"<<"请输入第"<<i<<"件物品的效益:";cin>>goods[i].p;goods[i].p=goods[i].p/goods[i].w; //==========得出物品的效益，重量比cout<<endl;}Insertionsort(goods,n);bag(goods,M,n);cout<<"press [1] to run agian"<<endl;cout<<"press [0] to exit"<<endl;cin>>j;}}2.棋盘覆盖：#include<iostream>#include<stdlib.h>using namespace std;int tile=1;int board[100][100];void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size){if(size==1) return;int t=tile++;int s=size/2; //t为L型骨牌号,S分割棋盘if(dr<tr+s && dc<tc+s) //残缺方格位于左上棋盘chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);else {board[tr+s-1][tc+s-1]=t; //覆盖1号三格板chessBoard(tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s); //覆盖其余部分}if(dr<tr+s && dc>=tc+s) //残缺棋盘位于右上棋盘chessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s);else{board[tr+s-1][tc+s]=t; //覆盖2号三格板chessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s); //覆盖其余部分}if(dr>=tr+s && dc<tc+s) //残缺方格位于左下棋盘chessBoard(tr+s, tc, dr, dc, s);else{board[tr+s][tc+s-1]=t; //覆盖3号三格板chessBoard(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s); //覆盖其余部分}if(dr>=tr+s && dc>=tc+s) //残缺方格位于右下棋盘chessBoard(tr+s, tc+s, dr, dc, s);else{board[tr+s][tc+s]=t; //覆盖4号三格板chessBoard(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s);//覆盖其余棋盘}}//===========主函数main()入口：==============void main(){ cout<<"=================================================="<<endl;cout<<"<09软件工程（1）班>----孙磊20090307139"<<endl;cout<<"=================================================="<<endl;cout<<endl;int size;cout<<"输入棋盘的size(大小必须是2的n次幂): "<<endl;cin>>size;int index_x,index_y;cout<<"输入特殊方格位置的坐标: "<<endl;cin>>index_x>>index_y;chessBoard(0,0,index_x,index_y,size);for(int i=0;i<size;i++){for(int j=0;j<size;j++)cout<<board[i][j]<<"\t";cout<<endl;}}六、测试分析1.普通背包给定数据如下：背包容量为M=150物品 A B C D E F G重量35 30 60 50 40 10 20效益10 40 30 50 35 40 30 1.1程序运行结果如下：1.2程序运行，输入物品总种类数：“7”,容量为：“150”；1.3依次输入物品的重量和物品的效益;1.4输完后，键入回车键，得出最佳解；2.棋盘覆盖：2.1程序运行结果如下：2.2按要求键入相应的值：2.3得出相应的解：2.3下图为键入其他值的解：算法分析：因为要覆盖(size^2-1)/3个三格板，所以算法的时间复杂度为O(size^2).七、结论普通背包问题采用贪心算法实现的，编程用C++语言。