计数原理综合习题

选修2-3第一章计数原理单元质量检测

时间：120分钟总分：150分

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题(每小题5分，共60分)

1．小王打算用70元购买面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法一共有( )

A．7种 B．8种 C．6种 D．9种

2．设某班有男生30人，女生24人，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，则不同的选法种数是( )

A．360 B．480 C．720 D．240

3.设P＝1＋5(x＋1)＋10(x＋1)2＋10(x＋1)3＋5(x＋1)4＋(x＋1)5，则P等于( )

A．x5 B．(x＋2)5 C．(x－1)5 D．(x＋1)5

5的展开式中x2y3的系数是( )

A．－20 B．－5 C．5 D．20

5．20个不同的小球平均分装在10个格子中，现从中拿出5个球，要求没有两个球取自同一个格子中，则不同的拿法一共有( )

A．C510种 B．C520种 C．C510C12种 D．C510·25种

6．在(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n中，若2a2＋a n－5＝0，则n的值是( )

A．7 B．8 C．9 D．10

7．7人站成一排照相，甲站在正中间，乙、丙与甲相邻且站在甲的两边的排法共有( )

A．120种 B．240种 C．48种 D．24种

8．(2＋3

3)100的展开式中，无理项的个数是( )

A．83 B．84 C．85 D．86

9．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )

A．72 B．120 C．144 D．168

10．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )

A．144 B．120 C．72 D．24

11．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( )

A．45 B．60 C．120 D．210

12．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x ＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( ) A．5 B．6 C．7 D．8

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题(每小题5分，共20分)

13．某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种(用数字作答)．

14．(x＋a)6的展开式中含x2项的系数为60，则实数a＝________.

15．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．

16.设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝

⎛⎭⎪⎫1＋x a n

的展开式为

a 0＋a 1x ＋

a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝

________.

三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)

17．(10分)4位学生与2位教师坐在一起合影留念，根据下列条件，求各有多少种不同的坐法：

(1)教师必须坐在中间；

(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起； (3)教师不能坐在两端，且不能相邻．

18．(12分)从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它的和大于100，则不同的取法有多少种

19.(12分)已知⎝

⎛

⎭

⎪⎫2

x i ＋1x 2n

，i 是虚数单位，x >0，n ∈N ＋.

(1)如果展开式的倒数第三项的系数是－180，求n 的值； (2)对(1)中的n ，求展开式中的系数为正实数的项．

20.(12分)若⎝

⎛⎭⎪⎫x 2－1x n

的展开式中含

x 的项为第6项，设(1－3x )n

＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，求a 1＋a 2＋…＋a n 的值．

21.(12分)已知(a 2＋1)n 的展开式中的各项系数之和等于

⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫165x 2＋1x 5

的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．

22.(12分)用0,1,2,3,4,5这六个数字：

(1)可组成多少个无重复数字的自然数 (2)可组成多少个无重复数字的四位偶数

(3)组成无重复数字的四位数中比4 023大的数有多少

答案

1．C 要完成“至少买一张IC 电话卡”这件事，可分三类：第一类是买1张IC 卡；第二类是买2张IC 卡；第三类是买3张IC 卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC 电话卡”这件事．买1张IC 卡有2种方法，买2张IC 卡有3种方法，买3张IC 卡有1种方法．不同的买法共有2＋3＋1＝6(种)．

2．C 由分步乘法计数原理，得N ＝30×24＝720(种)． 3．B P ＝[1＋(x ＋1)]5＝(x ＋2)5，故选B.

4．A 由已知，得T r ＋1＝C r

5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r (－2y )r ＝C r 5⎝ ⎛⎭

⎪⎫125－r

·(－2)r x 5－

r y r

(0≤r ≤5，r ∈Z)，令r ＝3，得T 4＝C 35

⎝ ⎛⎭

⎪⎫122

(－2)3x 2y 3＝－20x 2y 3.故选

A.

5．D 分两步：第一步先从10个格子中选中5个格子，有C 510种方法；第二步从每个格子中选一个球，不同的拿法有2×2×2×2×2

＝25(种)．由分步乘法计数原理共有C 510·25

种不同的拿法．

6．B T r ＋1＝C r n (－1)r x r ，则a 2＝C 2n ，a n －5＝(－1)

n －5C n －5

n ，因为2a 2＋a n －5＝0，a 2>0，所以a n －5＝－C 5n ，所以2C 2

n ＝C 5n 且n 为偶数，

将各选项代入验证知n ＝8，故选B.

7．C 由题意知，甲的位置确定，而乙、丙的位置有2种排法，

再排其他4人，有A 44种不同的排法，故不同的排法总数为A 44·2＝