高观点的数学思想对中学数学教学的启示
数学思想在高中数学教学中的有效渗透
数学思想在高中数学教学中的有效渗透一、数学思想的内涵数学思想是指数学概念、原理和方法的内在联系和规律性。
它反映了人们在实践中认识客观世界和解决实际问题的方式和方法。
数学思想的内涵主要包括抽象思维、逻辑思维和创造性思维。
抽象思维是数学思想的重要组成部分。
在数学中，通过把握、概括和运用事物的共性特征，抽象出一般规律和普遍原理，形成数学概念和定理。
抽象思维是数学思想的高度集中体现，是数学思想的基础和前提。
逻辑思维是数学思想的核心内容。
逻辑思维是指根据规则和规律，推理、演绎出正确的结论。
数学思维中的逻辑思维贯穿于整个数学过程，贯穿于数学研究的每一个环节，是数学思想的重要特征。
创造性思维是数学思想的重要表现形式。
数学是一门富有创造性的学科，数学思想的形成离不开对问题的创造性思考和新颖见解。
在数学研究和解决问题的过程中，创造性思维起到了不可替代的作用。
二、高中数学教学的特点高中数学教学是数学教育的重要阶段，其特点主要包括学科性、系统性和理论性。
高中数学教学具有系统性的特点。
高中数学知识包括数学分析、几何、代数、概率等多个部分，这些不同的内容之间有着内在的联系和逻辑的衔接，要求教师在教学过程中注重系统性和整体性，帮助学生建立完整的知识体系。
高中数学教学具有理论性的特点。
高中数学教学不仅仅是简单的知识传授和技能训练，更重要的是要培养学生的数学思维和解决问题的能力。
高中数学教学要求教师注重培养学生的数学思维，引导学生理解数学知识的内在规律和本质特点。
三、数学思想在高中数学教学中的应用数学思想在高中数学教学中发挥着重要的作用，通过有效渗透数学思想，可以提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
应用数学抽象思维。
在教学中，教师可以通过引导学生理解数学概念和定理的内涵和普遍意义，帮助学生建立抽象思维，培养学生对数学概念和定理的抽象思考能力。
这样可以使学生更好地理解数学知识，培养学生的抽象思维和概括能力。
通过以上分析可以看出，数学思想在高中数学教学中具有重要的应用价值，通过有效渗透数学思想，可以提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
“高观点”下的中学数学的实践与认识
“高观点”下的中学数学的实践与认识一、本文概述《“高观点”下的中学数学的实践与认识》是一篇旨在探讨如何在中学数学教育中融入高观点教学理念的文章。
文章首先介绍了“高观点”教学理念的定义和内涵，指出这种教学理念对于提升学生数学素养、培养学生的创新能力和解决问题的能力具有重要意义。
接着，文章分析了当前中学数学教育面临的挑战，如教学内容单教学方法陈旧、学生缺乏实践机会等问题，并提出了在“高观点”下解决这些问题的策略和方法。
文章强调，中学数学教育的目标不仅仅是传授知识，更重要的是培养学生的数学思维和解决问题的能力。
因此，文章提倡将高观点教学理念引入到中学数学教学中，通过引导学生从更高的层次和更广阔的视角去理解和应用数学知识，提升学生的数学素养和创新能力。
文章还指出，实现这一目标需要教师不断更新教育观念，改进教学方法，为学生提供更多的实践机会和探究空间。
在文章的结构上，本文先对“高观点”教学理念进行阐述，然后分析当前中学数学教育的问题和挑战，接着提出在“高观点”下解决这些问题的策略和方法，最后对实施这些策略和方法可能遇到的困难和挑战进行讨论和展望。
通过这篇文章，我们希望能够引起广大中学数学教师和教育管理者的关注，共同推动中学数学教育的发展和进步。
二、“高观点”下的中学数学教学实践“高观点”下的中学数学教学，不仅要求教师对数学知识有深入的理解和掌握，还需要他们具备从更高层次、更宽广的视角去看待和教授数学知识的能力。
这种教学方法的实践，能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
将高等数学的知识和思维方法引入中学数学教学。
高等数学的知识和思维方法往往具有更高的抽象性和普适性，能够帮助学生更好地理解和掌握中学数学知识。
例如，在中学数学中引入微积分、线性代数等高等数学的知识，可以帮助学生更好地理解函数的性质、变量的变化等概念。
注重数学知识的应用和问题解决。
数学是一门应用广泛的学科，将数学知识应用到实际问题中，能够帮助学生更好地理解数学的应用价值，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
高观点下的的中学数学
高观点下的中学数学高观点下的的初等数学，这一重要思想发端于19世纪末，20世纪初的一场教育教学改革运动—克莱因·贝利运动．其中菲利克斯·克莱因不仅是一位伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人．他主张在现代数学观点指导下研究“高数”与“中数”之间的联系，高等数学中有许多方法，可以和中学数学相通，有些也可以迁移到中学数学中，高等数学的方法不仅可以使我们居高临下地观察初等数学问题，帮助我们确定解题思路，有时还能帮助我们发现某些初等问题的实质，寻求更一般、更简捷的解决问题的方法．（一）高观点下研究中学数学的必要性新一轮课程改革无论是从形式上还是从内容上，都对中学数学提出了许多新的课题，从内容上高等数学内容不断地下放到中学，从形式上，更强调教学活动的设计、开放性的教学和研究性的学习，更关注培养学生解决问题、分析问题的能力，以及所教知识的来龙去脉，这就使得高观点下研究中学数学，不仅是教学改革的迫切任务，也是新课改形势下中学数学教学改革的一个主流方向．具体表现为（１） 教学过程中，创设问题情境的需要． ◆例１：等差数列求和10012310010150S =++++=⨯L(1)(1)2123112(1)22n n n n n n S n n n n n ⎧+⎪+⎪=++++==⎨-+⎪++⎪⎩L 为奇数为奇数2(1)n S n n =+从高斯求和开始，再到一般等差数列的求和，从问题所呈现形式出发，引导学生积极思考倒写相加法是如何想到的，还原问题发生发展的过程。
把知识变得有血有肉，从而激发学生积极探索的兴趣． 例２ 数列的递推公式 ◆河内塔问题相传在越南的某寺庙中有一个用n 个带孔的大小不等的圆盘磊成的塔，僧侣们每天挪动一次圆盘，一次只能挪动一个，任何时候大盘不得在小盘之上，将全部ｎ个圆盘从Ａ处挪到Ｃ处，最少需要多少天？（可放回Ｂ处）AB C1231,3,7,.a a a ===L 121,21n n n n a a a +=+=-教师要有渊博的数学知识，这样才能让你的课堂变得更加充实．本例想说明两点，一是已知递推公式，可以求出数列的任何一项，二是在有些计数问题中，我们也可利用数列的递推公式求解，这实际上也是递推公式的应用，通过这样的教学手段，将是课本知识变得更加丰富，更有活力． ◆例 平面上ｎ条两两相交且无三条共点的直线可把平面分成几部分？11(1)2,1,12n n n n n a a a n a ++==++=+◆例 （Ｆ数列）有一儿童要上ｎ阶楼梯，他一步可上一阶也可上两阶，问有多少不同上法？12(3)n n n a a a n --=+≥( 2 ) 高考题和竞赛题经常会有高等数学的背景 ◆例１ 用四种不同颜色给图中区域染色，要求相邻区域不同色，，有多少不同染色方法？ 这是著名的四色问题解法Ⅰ加法原理和乘法原理4312124321214321111120⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=分１、4同色与1、4不同色（2、4同色与2、4不同色）解法Ⅱ 本例也可以利用递推方法， 当4n ≥时，113432,4n n n a a a --+=⨯⨯=！教师站的越高，才能更容易指导学生掌握知识，抓住问题的实质，学生才能用更少的时间掌握通性同法．( 3 ) 学生的求知欲对教师提出了更高的要求 当今学生接受知识的渠道越来越多，知识面越来越广，老师必须有一桶水，才能教给学生一碗水． ◆例 四人各写一张明信片，然后交换，每人都收到不是自己写的明信片，有多少种不同方法？（高考题）分析：这是组合数学中错排问题，因为数比较小，可简单的分类，利用两个原理来解决，但若学生提出１００人的错排，应如何解决呢？一般地，１，２，３，…，ｎ的全排列，其中ｉ（１≤ｉ≤ｎ）不在第ｉ位，这样的错排共有多少个？解 1 （容斥原理） 用i A 表示i 在第i 位的全排列（n i ,,2,1Λ=），则nn A A A D I ΛI I 21==∑∑∑-+++-n n j i i A A A A A A S I ΛI I ΛI 21)1(=!0)1()!2()!1(!21nn n n nC n C n C n -++-+--Λ=)!1)1(!31!2111(!n n n -++-+-Λ解2 （递推公式）设n a a a Λ,,21为n Λ,2,1的一个错排，显然i a a i≠≠,11，分两类（1） 第1a 位是1，共2-n D 种方法；（2）第1a 位不是1，有1-n D 种方法.又1a 有（1-n ）种取法，故))(1(21--+-=n n nD D n D 其中1,021==D D)!2(1)!1(1!21-+--=--n D n n D n n n D n n n 令!n D E nn=，则2111--+-=n n nE nE n n E !1)1()(1211n E E n E E n n n n n -==--=----Λ,又01=E!1)1(!31!21n E n n -++-=Λ，因此)!1)1(!31!21!111(!n n D n n -++-+-=Λ．◆例 2 过:,0:22221111=++=++c y b x a l c y b x a l 交点),(00y x P 的直线系0)()(22221111=+++++c y b x a c y b x a λλ),(),,(222111b a n b a n ==，1n 与2n 线性无关，可作为二维空间的一组基底，由平面向量基本定理可知该直线包含过),(00y x P 的任何直线．而0)()(222111=+++++c y b x a c y b x a λ表示的直线系不含2l ，原因是21n n λ+与2n 不共线． （二）排列组合的有关问题（1）多重复的排列和组合◆例1，一排七盏路灯，关掉其中互不相邻的三盏，且不关两端的路灯，有多少种方法？分析：4个a ，3个b 的全排列，要求b 互不相邻且不在两端的方法有34C◆例2：100=++z y x 的正整数解的个数？方法Ⅰ：98+97+…+1=299C方法Ⅱ：对应于97///=++z y x 非负整数解个数，又可转化为97个球与两个竖线的全排列方法数299C(也可理解为{a,b,c}的一个97可重组合，97个相同的球放入三个不同的盒子中的方法数).古典组合数学的主要原理有： ①两个基本原理 ②容斥原理③一一对应，和中学要求一致.（2）分配问题（k n ≥）◆例：4人分配到3个工厂，每个工厂至少1人的方法数为 3324A C .一般地，n 个人分配到k 个工厂，（n ≥k ）,每个工厂至少1人的方法数？解：用i A 表示第i 个工厂空的方法数，（i =1,2…k ）kk n A A A S k ⋅⋅⋅=⋅I I 21!=n k k k n k n k n k k C k C k C k )()1()2()1(21--+⋅⋅⋅--+--现代组合数学工具还有母函数和Fevver 图，在数学竞赛中经常看到，例如解决整数的分拆. （三）有关根据递推公式，求通项公式 （1）)(1n f a a n n =-+型与)(1n f a a n n •=+型.利用累加法与累乘法. （2）q pa a n n +=+1型.◆例：,1,1211=+=+a a a n n 求?=na解：)1(211+=++n n a a ，令}{,1n n n b a b +=是等比数列，n n b 2= 12-=n n a（3）)(1n f pa a n n +=+◆例：,1,3211=+=+a a a n n n 求n a解：)3(2311n n n n a a -=-++ 令}{,3n n n n b a b -=是等比数列，n n b 2-= 所以n n n a 23-=.也可化为(1)型(2)型 ◆例: ,1,211=+=+a n a a n n 求n a 解: ),1(21)1(1++=++++n a n a n n 1231--⨯=-n a n n(4) 11-++=n n n qa pa a 型解:特征方程:02=--q px x ,若有两个不相等实根βα,,则n n n a βλαλ21+=, 若有两个相等实根βα=,则n n n a αλλ)(21+=,若无实根,周期数列. ◆例: F 数列,)3(,1,12121≥+===--n a a a a a n n n ,求 n a解:特征方程: 251,012±==--x x x , nn n a )251()251(21-++=λλ 21,λλ 由21,a a 确定. (注:也可以化为一阶递推公式,再求通项公式) (5)分数型递推公式)(,)(1n n a f a dcx bax x f =++=+构造数列}{n a 当x x f =)(有两个不等实根βα,时,(即)(x f 有两个不动点),则k a a k a a n n n n (11βαβα--⋅=--++为常数). 当x x f =)(有两个相等实根0x 时,(即)(x f 有唯一不动点),则存在常数k 使得k x a x a n n +-=-+00111.当x x f =)(无不动点时,往往是周期数列. 此种形式的数列,有时也可采用倒数法或三角换元. ◆例: 2,1111=-+=+a a a a nnn 求 n a解: x xx f -+=11)(, 方程x xx =-+11无实根,则数列{n a }是一周期数列,(周期是4).+===θθtan(,tan 221a a л/4)…,)1(tan[-+=n a n θ л/4](6)生成函数,例F 函数由递推公式求通项公式,往往是通过构造新数列,把递推公式变形成等差或等比数列,通过求新数列通项公式,再求原数列通项,差分方程中有太多这样的例子.以上只是我对这两部分的一些简单认识,其余章节也有一些类似的问题.。
数学思想对教学的启示
数学思想对教学的启示数学教学的目的既要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能,还要求发展学生的能力,培养他们良好的个性品质和学习习惯。
在实现教学目的的过程中,数学思想方法对于打好“双基”和加深对知识的理解、培养学生的思维能力有着独到的优势,它是学生形成良好认知结构的纽带,是由知识转化为能力的桥梁。
因此,在数学教学中,教师除了基础知识和基本技能的教学外,还应重视数学思想方法的渗透,注重对学生进行数学思想方法的培养,这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。
从初中阶段就重视数学思想方法的渗透,将为学生后续学习打下坚实的基础,会使学生终生受益。
1 中学数学教学中应运用的思想方法(1)方程思想:众所周知,方程思想是初等代数思想方法的主体,应用十分广泛,可谓数学大厦基石之一,在众多的数学思想中显得十分重要。
所谓方程思想,主要是指建立方程(组)解决实际问题的思想方法。
教材中大量出现这种思想方法,如列方程解应用题,求函数解析式,利用根的判别式、根于系数关系求字母系数的值等。
教学时,可有意识的引导学生发现等量关系从而建立方程。
如讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时,可启发学生去发现确定解析式的关键是求出各项系数,可把他们看成三个“未知量”,告诉学生利用方程思想来解决,那学生就会自觉的去找三个等量关系建立方程组。
在这里如果单讲解题步骤,就会显得呆板、僵硬,学生只知其然,不知其所以然。
与此同时,还要注意渗透其他与方程思想有密切关系的数学思想,诸如换元,消元,降次,函数,化归,整体,分类等思想,这样可起到拨亮一盏灯,照亮一大片的作用。
(2)分类讨论思想:分类讨论即根据教学对象的共同性与差异性,把具有相同属性的归入一类,把具有不同属性的归入另一类。
分类是数学发现的重要手段。
在教学中,如果对学过的知识恰当地进行分类,就可以使大量纷繁的知识具有条理性。
例如,对三角形全等识别方法的探索,教材中的思考题:如果两个三角形有三个部分(边或角)分别对应相等,那么有哪几种可能的情况?同时,教材中对处理几种识别方法时也采用分类讨论,由简到繁,一步步得出,教学时要让学生体验这种思想方法。
高观点的数学思想对中学数学教学的启示
１ 高观点的数学思想
“ 高观点 ” 是指 用 高 等 数 学 （ 包括经典高等数 学和现代数学 ） 的知识 、 思想和方法来分析和解决 它包含三个方面的内容 ： 现代数 初等数学的问题 ． 高等数学 学的思想和方法 在 中 学 数 学 中 的 渗 透 ； 对中学数学的具 体 指 导 ； 中学数学某些难以处理 高等数学和 ． 初等数学的划分 一 方 面 是 由 于 数 学 的 发 展 ， 另一 但这两个领域联系 方面是由于学校 教 育 的 需 要 ， 紧密而且有交叉和 融 合 ， 这就意味着用“ 高 观 点” 的数学思想指导 初 等 数 学 的 教 学 具 有 可 实 施 性 ． 同时初等数学的很多知识实际上是高等数学知识 按 照 归 纳 的 思 想， 将这些特殊上升到一 的特 例． 再从一般的角度来看待这些问题 ， 常常是行之 般， 有效的 ， “ 高观点下 的 初 等 数 学 ” 正是这种层次拔 高思想的体现 ． 克莱因认为 “ 高观点下的初等数学 ” 是以函数 为 “ 核心 ” ，函数应该成 为 中 学 数 学 的 “ 基石” 他 ． 强调要用近代数学的观点来改造传统中学数学的 内容 ， 主张加强函数和微积分的教学 ， 改革和充实 代数的内容 ， 倡导 “ 高观点下的初等数学 ” 理念 ． 它 跳出用初 启示人们突破初 等 数 学 知 识 的 局 限 性 ， 等数学研究初等 数 学 的 狭 窄 的 圈 子 ， 而着眼于寻 找新的研究方法 ． 今天我们重新探讨克莱因的 “ 高 观点下的初等数学 ” 思想 ， 以期能对我们当前的数 学教学有所启示 ． 在克莱因看来 ， 一个数学教师的职责是 “ 应使 学生了解数学并 不 是 孤 立 的 各 门 学 问 ， 而是一个 ； 基础数学的教师应该站在更高的视 有机的整体 ” 角（ 高等数学 ） 来审视 ． 理解初等数学问题 ， 只有观 的问题在高等 数 学 里 的 背 景 分 析
高观点下的中学数学课程的主要任务和指导意义
高观点下的中学数学课程的主要任务和指导意义篇一：高观点下的中学数学课程是指在现代数学的高度基础上，重新审视中学数学的教学内容，旨在帮助学生更好地理解数学的本质和意义，提高学生的数学素养。
在中学数学课程中，主要任务包括以下几个方面:1. 培养学生的数学思维能力。
中学数学是数学的基础，对学生的数学思维能力有重要的培养作用。
通过高观点下的中学数学课程，可以帮助学生更好地理解数学的概念、方法和技巧，提高学生的数学思维能力。
2. 提高学生的数学素养。
数学素养是数学教育的核心，通过高观点下的中学数学课程，可以帮助学生更好地理解数学的意义和价值，提高学生的数学素养。
这不仅有利于学生在未来的学习和工作中更好地运用数学，也有利于培养学生的逻辑思维能力和科学素养。
3. 帮助学生更好地理解数学。
高观点下的中学数学课程旨在在现代数学的高度上重新审视中学数学的教学内容，帮助学生更好地理解数学的本质和意义。
通过课程的深入学习，学生可以更好地理解数学的概念、方法和技巧，提高学生对数学的认识和理解。
高观点下的中学数学课程具有重要的指导和借鉴意义。
通过课程的深入学习，学生可以更好地理解数学的本质和意义，提高学生的数学素养和思维能力，为学生在未来的学习和工作中更好地运用数学打下坚实的基础。
同时，高观点下的中学数学课程也具有重要的启示作用，为数学教育的改革和发展提供了重要的参考和借鉴。
篇二：高观点下的中学数学课程是指采用数学史和数学哲学的高度来重新审视中学数学课程，旨在帮助学生建立全面的数学素养，为其未来数学和科学领域的学习打下坚实的基础。
在这篇文章中，我们将探讨中学数学课程的主要任务和指导意义。
中学数学课程的主要任务是培养学生的数学思维能力和创新意识。
数学是一门抽象的学科，需要学生具备一定的思维能力才能更好地理解和掌握。
高观点下的中学数学课程通过引入数学史和数学哲学的概念，帮助学生理解数学的本质和内在联系，从而培养学生的数学思维能力和创新意识。
不畏浮云遮望眼只缘身在最高层_刍议高观点下的高中数学教学
2011/3数学大世界shu xue da shi jie 数学大世界（下转81页）75☆百家讲坛☆一、为什么要讨论“高观点”近几年来，新课程改革如火如荼地进行着，新课程改革对教师的要求提到了更高的层次，如何全方位地把握高中数学教学，能不能高观点下驾驭中学数学内容也成了衡量一位高中数学教师够不够胜任的重要标准之一。
教师应首先转变观念，充分认识数学课程改革的理念和目标，以及自己在课程改革中的角色和作用。
教师不仅是课程改革的实施者，而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量。
教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。
为了更好地实施新课程，教师应积极地探索和研究，提高自身的数学专业素质和教育科学素质。
”可见，数学课程改革对教师提出了更高的要求，教师不能再是以前照本宣科式的只能给学生灌输知识的教书匠了，教师要从学生需要的角度出发，从学生终身发展的角度出发来实施教学。
2006年11月3日－5日，“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计”第二次课题会议在浙江省温州市举行，会议的主题是：中学数学核心概念、思想方法及其教学设计典型案例研究。
省高中数学新课程专业指导小组成员金克勤指出：核心概念的教育价值，实际上是从高层次理解核心概念；成员薛红霞指出高观点下看中学内容是非常重要的，如何在高观点下驾驭中学数学内容是当前新课程改革不可回避的问题。
2009年9月28日－29日，浙江省高中数学新课程“疑难问题解决”暨高观点下的数学教学研讨会在宁波市惠贞书院举行，浙江省海宁电大张小明副教授，浙江省教育学会数学教学分会会长金蒙伟教授为全体与会代表分别作了《例举初等数学与高等数学的一些联系》及《从高等数学看中学数学—高观点下中学数学教学》的精彩报告，两位教授站在高等数学角度看中学数学问题的报告让全体老师清楚认识到高中数学教师必须得站得高，才能看得远，才能真正把准高中数学教学脉搏。
德国著名的数学家、数学教育家F ·Klein 在其名著《高观点下的初等数学》中曾指出：“新的大学生一入学就发现，他面对的问题好象同中学里学过的东西一点也没有联系似的，当然他们很快就完全忘了中学所学的东西，但是毕业以后，他们当了教师，他们又突然发现，要他们按老师的教法教传统的初等数学，由于缺乏指导，他们很难辨明当前所教内容与所受大学数学训练之间的联系，于是很快就坠入相沿成习的教学方法，而他们所受到的大学训练至多就成为一种愉快的回忆，对他们的教学毫无影响。
北京四中周长生：用高观点教数学
用高观点教数学作者：周长生（北京四中）选自《为不教而教》一书概述这里所说的高观点，是高层次的观点、理论、思想、方法的总称。
中国有一句古老的教育名言：师傅领进门，修行在个人。
这句话虽然家喻户晓。
但是，怎样领法呢？根据我的经验，教师主要用高观点武装学生头脑，使他们居高临下，自主修行。
任何事情，只有用较高的观点去审视，才能看清它的本质。
严格来说，同数学课本中的知识一样，高观点也属于知识的范围。
因此，从数学教学的角度来看，我们面对的是一座知识的高楼大厦，不同层次的知识居住在不同的楼层。
课本住在哪？主要在底下，D1，D2，D3等。
高观点住在哪？主要在地上，F1，F2，F3等。
可见，这里所说的高观点主要是高于课本的观点，它是获取课本上基本知识的有效手段。
没有高观点，即使有苦读深思的习惯，即使把书读破读烂，也是事倍功半。
可以这样讲：精读深思+高观点=如虎添翼。
就中学数学教学而言，高观点有哪些呢？我不可能说出全部的高观点，根据几十年的经验，我大致谈五个层面。
第一、共性个性原理；第二、简易逻辑知识；第三、学习数学的主要原则；第四、数学的主要特点；第五、一些数学学习方法口诀。
以下，将分别加以叙述。
一、共性个性原理（一）回顾和问题本来，从数学教学的角度看问题应该把方法和知识区分开来，把方法看做获取知识的手段。
方法和知识的关系，应看成渔和鱼的关系。
渔和鱼，无论如何不能混为一谈。
试想，有哪个人，吃鱼时却吃起鱼杆来？但是，严格说来，方法和知识又很难区分。
比如，有个计算题“已知三角形的两个角分别是50°和60°，求第三个角”，若问，解这个题应该用什么方法，人们都会说三角形的内角和定理，可见，三角形内角和定理这个基本知识，此时很自然地被人们看成了方法。
又比如，解一元二次方程的公式法，是一个方法，但根的公式却又是很重要的基本知识。
在中学数学里，想以上那样，方法和知识难以区分的事实还可以举出很多很多。
事实上，教科书里，每一个定理，法则，公式等基本知识都可以看成方法，而每一个带“法”字的所谓方法又都是基本知识。
高观点下的中学数学
高观点下的中学数学
数学是今日中学课程中必不可少的学科，被公认为是所有学科中最抽象最深奥的一科。
它不仅能够帮助学生掌握世界的各种信息，还能锻炼学生的推理能力、思考能力和创新能力，从而形成良好的思维模式，为他们的未来学习和生活打下了坚实的基础。
然而，从高观点来看，中学数学不仅仅是一门学科，它具有超越学科范畴的深远意义。
首先，它可以激发学生的探索精神和实践能力。
当数学学习到一定阶段时，学生们就能体会到抽象思维方法的魅力，学会思考复杂问题，并能根据自己的分析结果进行有效的推理和解决。
同时，学习数学还可以构建健全的数学思维网络，增强学生的数学计算能力和解决实际问题的能力，为他们今后的学习和生活打下坚实的基础。
此外，学习数学也可以帮助学生理解复杂的知识，提高他们的观察能力、分析能力和推理能力。
从抽象现象中抽取它的特征、模式和机理，可以让学生们懂得对复杂的社会现象进行思考和分析，更好地适应社会生活，为他们未来的社会发展打下坚实的基础。
此外，数学还能激发学生的创新思维。
当孩子们在学习数学的过程中发现一些问题时，他们需要发挥自己的创新思维，去开发新的做法去解决这些问题。
通过对复杂数学公式的推导，可以锻炼学生的综合能力，培养他们的创新意识，从而为未来的社会发展奠定基础。
总之，从高观点看，中学数学不仅仅是一门学科，它还具有超越学科范畴的深远意义。
它有助于学生培养探索精神、加强实践能力、
提升观察能力、提升分析能力以及培养创新思维，为他们的未来学习和生活打下坚实的基础，也是社会发展的重要助推力。
“高观点”下的中学数学的实践与认识
“高观点”下的中学数学的实践与认识一、概述“高观点”下的中学数学，是指站在更高层次的理论和知识视角，重新审视和教授中学数学内容的一种教学理念。
它不仅仅关注中学阶段的具体数学知识和技能，而是将中学数学置于更广阔的数学科学体系中，引导学生更早地接触和了解高层次的数学概念和思想。
这种教学方式有助于培养学生的数学素养，加深他们对数学本质的理解，激发他们的创新思维和解决问题的能力。
在实践中，“高观点”下的中学数学需要教师具备深厚的数学基础和广博的知识视野，能够灵活地将高层次数学知识和思想融入中学数学教学中。
同时，也需要教师不断更新教学理念，积极探索适合学生认知发展的教学方法和手段。
通过“高观点”下的中学数学的教学实践，学生可以更早地接触到一些高层次的数学概念和思想，从而更深入地理解数学的本质和精髓。
这种教学方式不仅可以提高学生的数学素养和思维能力，还可以为他们未来的学习和研究打下坚实的基础。
“高观点”下的中学数学也面临一些挑战和困难。
如何根据学生的认知特点和实际情况，合理地选择和运用高层次数学知识和思想，使其与中学数学教学有机结合，是教师需要思考和解决的问题。
同时，如何激发学生的学习兴趣和积极性，使他们在学习过程中保持持久的动力和热情，也是教师需要关注的重要方面。
1. 阐述“高观点”在中学数学教学中的重要性。
“高观点”在中学数学教学中具有至关重要的地位。
所谓“高观点”，是指在教学过程中，教师不仅关注具体的数学知识点和解题技巧，更重视从更高层次、更广阔的视角来引导学生理解数学的本质和内在逻辑。
这种教学方法能够帮助学生跳出繁琐的公式和计算，深入理解数学的内在美感和应用价值，从而培养他们的数学素养和创新能力。
“高观点”有助于提升学生的数学思维能力。
通过从高层次审视数学问题，学生能够更好地理解数学概念和原理之间的内在联系，形成系统的数学知识体系。
这种思维方式不仅有助于学生在解题时灵活运用所学知识，还能够培养他们的逻辑思维能力和抽象思维能力，为未来的学习和工作打下坚实基础。
高观点指导下的中学数学教学
2021年第5期中学数学月刊•1•!观#指导下的中学*学+学郑毓信（南京大学哲学系210093）1“小数”的启示何谓“高观点指导下的数学教学”（包括小学与中学阶段）？由于相对于中学而言，这一论题应当说在小学获得了更多关注，因此，我们就可通过对于后一方面工作的综合考察引出关于如何做好“高观点指导下的中学数学教学”的直接启示.主要包括这样几点：第一,“高观点指导下的数学教学”不应仅仅被理解成将更高层面的一些内容“下放”到较低层次,如将方程、负数等原先属于中学的内容提前到小学进行教学.当然，我们不应完全排斥后一方面的工作,而应进行积极、慎重的探索与试点，但这又不应被看成“高观点指导下的数学教学”的主要涵义，因为,后者应当集中于观念的问题，也即相应的指导思想,包括后者对于具体内容教学的指导与渗透$第二，这是小学层面在论及数学教育改革时经常提到的一个话题，即是“代数思维的渗透”,后者并被看成为小学教师更好从事算术内容的教学指明了努力方向,特别是，我们应当切实做好由“程序性（操作性）观念”向“结构性（关系性）观念”的转变，这也就是指，教学中我们不应唯一关注如何能够通过正确的计算去求得所需的结果，而应更加注重数量关系、特别是等量关系的分析.以下就是这方面的一段相关论述:小学低年级的教学中需要特别强调对等式的理解……在小学一年级时经常会让学生口算，比如3十4,这里值得注意的是我们要强调3+4“等于"7,而不要说“得到"7.因为这里的等号有两个层面的意义：一是计算结果,就是我们经常说的“得到“；二是表示“相等关系".我们在学生刚接触等号时就要帮助他们建立起对等号的这种相等关系的理解.因O,有时候让一年级的学生接触7=3+4这样的算式是有必要的，因为在这样的算式中，你就没法将等号说成“得到'"当然，这里也要尝试让学生理解7同样也等于4+33+4=4+3……在这之后，可以让学生尝试看两边都不止一个数的等式，如17+29& 16+30O外，还可以给学生利用相等关系判断正误的式子，比如，199+59=200+58,148+68=149+70—2,149+68=150+70—3.1*第三，尽管强调“代数思维的渗透”有一定道理，但这又应被看成“高观点指导下的数学教学”的一个实例:尽管由此我们也可获得关于后一方面工作的重要启示，但仍然不应以特殊代替一般,这也就指）就学数学教学而言）我们“数思维的渗透”看成“高观点指导下的数学教学”的）而更高面做出的析对中学数学教学当的）包括我们当对中学教学的内容做出相关究,如初中数学教学是否应当特别强调“变量思想的”第四,与各种具体数学思想的分析相对照，所谓“高观点指导下的数学教学”应当更加重视围绕数学教的行析思考）当这面的指导的教学工下就是这方面工作特别重要的两个环节：（1）关于数学教育基本目标的认识应当切实可行，而不应停留于“大而空”的论述.例如，关于“深度学习”的以下论述就可被看成后一方面的一个典型例子:“深度学习'深'在哪里？首先'深'在人的心灵里，'深'在人的精神境界上，还'深'在系统结构中，'深'在教学规律中2更一般地说，我们既应明确肯定一般性教育理论的指导作用，但又应当从专业的角度做出进一步的分析思考.例如，这显然也是我们面对“努力提升学生的核心素养”这一总体性教育思想应当采取的立场,特别是,我们不应满足于能够正确地去复述“核心素养”的“3个方面、6大要素、18个基本要点”，并能通过逐条对照去发现每一堂课的不足之处与努力方向;恰恰相反,作为数学教育工作者，我们应当进一步去思考数学作为一门基础学科对于提升个人与社会的整体性素养究竟有哪些特别重要、甚至是不可取代的作用,并能通过“理论的实践性解读”很好落实于自己的每一天工作、每一堂课！以下就是笔者在这一方面的具体思考:数学教育的主要目标应是促进学生思维的发展,特别是，能帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，并能由理性思维逐步走向理性精神.3进而，这又应被看成“高观点指导下的数学教学”的主要涵义，即我们应当通过自己的教学很好落实上述的主张，而不应满足于数学基础知识与基本技能•2•中学数学月刊2021年第5期的教学.简言之,数学教学应当努力实现的这样一个境界，即是“用深刻的思想启迪学生”.在此我们并应对“帮助学生学会思维”与“帮助学生学会数学地思维”做出明确的区分.相信读者由以下分析即可清楚地认识到这样一点,包括我们为什么不应将所谓的“三会”（会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界,用数学的语言表达世界看成数学教育的主要目标：大多数学生将来未必会从事数学或其他与数学直接相关的工作,“数学思维”也不是唯一合理的思维形式（对于“数学语言”和“数学眼光”我们显然也可引出同样的结论）,从而,与后一主张相对照,我们就应更加注重著名数学家波利亚的以下论述:“一个教师,他若要同样地去教他所有的学生一一未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识.对学生灌注有益的思维习惯和常识也许不是一件太容易的事，一个数学教师假如他在这方面取得了成绩,那么他就真正为他的学生们（无论他们以后是做什么工作的）做了好事.能为那些70%的在以后生活中不用科技数学的学生做好事当然是一件最有意义的事情.”5进而,依据上面分析相信读者也可更好理解笔者为什么又要提出努力做好“数学深度教学”这样一个主张,后者即是指,数学教学必须超越具体知识和技能深入到思维的层面，由具体的数学思维方法和策略过渡到一般性的思维策略与思维品质的提升，并应帮助学生由在教师（或书本）指导下进行学习逐步转变为学会学习，包括善于通过同学之间的合作与互动进行学习，从而真正成为学习的主人.简言之，这就是对于这里所说的“高观点”的进一步解读.（2）尽管相关论述提到了三个“深化”或“提升”，但我们并不应将其中的对立双方,如“具体知识和技能的学习”与“思维的学习”等,看成绝对地相互排斥、互不兼容的，我们更不应脱离数学知识、技与数学思的学习性思的教学和努力提升学生的思维品质，而应更加注重后者的渗透与指导,从而使我们的教学达到更大的深度.再者，由于中小学教学内容不同，从而在这方面也应有不同的要求,特别是,我们应根据学生的认知水平很好地去把握相应的“度”，而不应好高x远，脱离实际;但就总体而言,我们又应始终坚持促进学生的思维发展这样一个总方向,特别是，努力做好以下一些方面的工作:联系的观点与思维的深刻性，变化的思想与思的活性）结、思和再与思的性$第五,我们应清楚地看到切实做好“高观点指导下的数学教学”的现实意义：当前的中学数学教学在很大程度上被看成完全集中于“习题教学”，现实中更可看到“题海战术”泛滥这样一个现象;但是，即使我们暂时不去论及如何才能很好地落实“立德”这）依相关做真提升学生解决问题的能力，而只是使我们的学生和教师始终处于巨大的压力之下.因为，正如人们普遍地认识到，学生解题过程中思维策略的产生往往具有以下几个特征［7］：1）非逻辑性,2）快速性,3）个体性，,）或性，而就与教学工的论特与规范性质构成了直接冲突.但在笔者看来，后者恰又更清楚表明了这点，相对个的解题策略或数学思维方法的学习而言，我们应当更加重视一般性思维策略与学生思维品质的提升.另外,尽管解题策略的发现、包括结果的猜想等常常表现为顿悟，也就是“快思”的结果，但这恰又是数学教当发的个要，帮助学学“间的思考”，因为，有过后的间思考相关发现才得的展和清楚的表，包括必要的检验、理解与改进;更一般地说，我们又应特别重视“结、思与再”的工，当此成“长时间思考”的主要内容.但是，上述目标是否真的可行？以下就以初一数学教学为对此做出析$读联系自己的教学做出进一步的分析，这并可被看成先前所提到的“理论的实践性解读”这一思想的具体运用.2用案例说话:聚焦初一数学教学除去具体内容的教学以外,“习题教学”显然也数学教学要的个面，更与“的思想与思维的灵活性”密切相关.由于笔者对此已专门撰文进行了分析-w,在此就不再赘述.⑴如众所知，研究对象由“数”扩展到了由数和的“式”中学数学的个明区，当，对此我们简解“”的，因为,这也意味着达到了更高的抽象层次，并为学生逐步学会用“联系的观点”进行分析思考、从而达到更大的了很好的入点，当，后为指导教学有益学更好握相关的识和技能.具体地说，尽管我们在此关注的主要是“式”的运算，但又应当将此与学生已学过的数的运算联系起来，更好地发挥“类比”这一方法在认识活动中的2021年第5期中学数学月刊•3•重要作用,特别是，我们应以学生已学过的数的知识为背景帮助他们很好地建立关于新的学习内容的整体性认识，从而就可在学习中获得更大的自觉性.例如，“式的运算”的学习也是按照由“加减”到“乘除”这样一个顺序逐步展开的；我们还可通过“乘法公式”“因式分解”与小学所学的“速算法”和“数的分解”的直接类比帮助学生更好掌握相关的内容.当然，除去所说的“共同点”以外，我们也应十分重视它们的不同点，即如“同类项”概念的引入等.另外，在直接的比关，由“式”与“因式分解”的学习更加集中，从而我们在教学中也就不应唯一关注计算技能的掌握，而应更加突出这样一个思想，即我们应当善于根据需要与情境对“式”做出适当变形，这可以看成“变化的思想与思维的灵活性”的具体应甩当然，从更高的层面看，这一内容的学习也有助于学生很好认识成功应用“类比联想”的这样一个关键:“求同存异”.再者，由于学生在小学阶段往往未能很好建立起关于“数学结构”的整体性认识，特别是清楚地认识它的丰富性和层次性，因此，我们在教学中就学对相关内容做出和“再认识”,从而很好地实现这样一个目标：“以发展代替重复，以深刻达成简约”.①当然,“式”的引入也更清楚地表明了数学结构的层次性质——从认识的角度看，这意味着达到了更高的抽象层次，包括这样一个更深层次的认识:我们应将“优化”看成数学学习的本质.（2）如果说“由少到多，由简单到复杂”即可被看成数学发展的基本形式，那么，数学认识的发展就可被归结为“化多为少，化复杂而简单”，从而也就更清楚地表明了这样一点:数学学习主要是一个不断优化的过程，而不仅仅是指知识和技能以及“数学经验”的简单积累，尽管后者确又可以被看成为认识的发展和深化提供了现实的可能性和必要的途径.特殊地，我们显然也可从上述角度更好认识学习方程的意义，包括通过这一内容的学习帮助学生很好认识“优化”对于数学学习的特殊重要性，从而逐步地学会学习，并能真正成为学习的主人.进而，从上述角度我们显然也可更好理解笔者的这样一个看法:如果说小学阶段教师不允许学生用由各种非正规渠道提前学到的方程方法去求解算术应用题尚有一定道理，因为，这时学生对于方程的掌握往往只是一种机械的运用，而未能达到真正的理解，而且，算术应用题的学习对于学生学会思维也有重要作用;那么，在初中学习方程时再做出类似的规定,也即只允许学生用方程方法、而不准用算术方法去求解问题，就可说完全没有道理.因为,解题教学最重要的目标就是努力提升学生解决问题的能力，而后者主要地又是指我们能否综合地、灵活地应用各种方法去解决问题，而不是指所使用的方法是否符合某种外部的硬性规定一一也正因此,上述规定事实上就只能被看成解题活动“程式化和机械化”的一种表现.™与此相对照，我们应当更加重视如何能够帮助学生很好认识方程方法相对于算术方法的优点,又由于优化的实现主要取决于我们能否使之真正成为学生的自觉选择，而非基于外部压力的被动服从.因此，我们在教学中也就应当特别重视比较与反思的工作,这也就是指,教学中我们不仅不应禁止学生用算术方法求解问题，还应积极鼓励他们用多种不同的解决）特）更有意让学生有更多时间进行比较和体会，包括认真的反思，从而就不仅可以顺利地实现相关的过渡或优化，也可通过这一过程很好地体会到养成长时间思考的习惯和能力、特别是“总结、反思与再认识”的重要性$最后）我们可通过程的教学帮助学数学发展的形式和径）后指）相关内容的学习有定的间）在学握了程的相关后）我们可引导他们对将来的学习做出“预测”，也即研究对象“由多”“由高”“由程式”等发展的合理性,包括这样一个重要的认识:数学认的发展主要表现为“多为）复为简”）我们并应善于通过类比联想、通过化归去实现上述的目标.（3）尽管上述分析集中于“式的运算”与“方程”的教学，我们显然也可从同一角度对初一数学的其他内容做出分析,包括它们各自又有什么特殊之处.例如，除去“数学结构”的丰富性和层次性以外，负数的引入显然也有助于我们更好地认识数学系统的开放性和发展性,特别是,现实需要并非促进数学发展的唯一因素,在很大程度上也是由数学的①也正因此,对于相关内容的教学我们就不应认为只是涉及到了一些具体技能、特别是有很多学生早已通过各种渠道进行了学习就掉以轻心，即如教学中只是一带而过，而没有注意分析学生是否已经达到了真正的理解，更未能认真地思考如何能够通过自己的教学使学生有新的提高.例如，通过“乘法公式”的学习我们即可对学生是否已经达到了更高的抽象层次做出必要的检验;另外，教学中我们显然也应注意避免这样一种倾向，即仅仅从纯形式的角度去理解相应的“变化”，如“计算”与“因式分解”,但却未能很好地指明我们究竟为什么要做出这样的变化，包括我们又如何能够通过相关内容的教学提升学生的思维品质.内在因素决定的,或者说，就是表现出了很强的相对独立性.因为，这正是这方面的一个基本事实:“负数不是测量出来的.凡是能够量出来的都是正数.”进而,由以下论述我们即可更好地认识教学中突出这样一点的重要性:“负数是由具体数学向形式数学的第一次转折.要完全掌握这种转折中出现的问题，需要有高度的抽象能力.”（克莱因语）“我认为超越直观而运用推理方法的首先是负数.”（弗赖登塔尔语）另外，“幕的运算”的学习显然也为我们更好理解“化多为少，化复杂为简单”这样一个思想提供了重要的契机，因为，由高级运算（乘方、乘除）向较低层次运算（乘、加减）的转变正是“幕的运算”的明显特点，从而，我们也就可以以此为背景做出进一步的思考，即我们能否借助“幕的运算”实现运算的简化——如众所知，从历史的角度看，正是后一方面思考直接导致了“对数计算法”的创建，尽管后者的重要性由于计算机的发明已不复存在，但仍可被看成通过适当变化解决问题的又一范例.再则，就几何内容的教学而言，我们则应突出这样一个思想:“数学家有这样的倾向，一旦依赖逻辑的联系能取得更快的进展，他就置实际于不顾.”丄我们更应通过自己的教学帮助学生很好理解采取这一做法的优越性，也即我们应当按照“由简单到复杂”“由一维到高维”这样一个顺序、而不是日常的认识顺序去从事相关的研究，包括逐步形成这样一个更加重要的认识:数学学习的主要功能就是有助于人们思维方式与行为方式的改进.还应强调的是，正如波利亚的上述引言所已表明的，我们不应将“逻辑思维”“数学思维”与“常识（和有益的思维习惯）”绝对地对立起来，而应清楚地看到它们之间的同一性；当然，我们在此所应追求的不是“常识”的简单回归，而是其在更高层面的重构.①（4）通过上述途径我们显然也可帮助学生很好由“数学思”“高数学思”的过渡，而不至于因为中小学数学教学在这方面有不同要求而出现一时无法适应中学数学学习的情况.在此还可特别提及笔者针对小学数学教学提出的这样两个“大道理”（）小学关于“数的认识与运算”的教学不仅应当突出“比较”这一核心概念，从而帮助学生很好掌握“大小”“倍数”“分数”“比”等概念，也应帮助学生逐步建立关于“数学结构”的整体性认识，特别是清楚地认识它的丰富性与层次性、开放性与统一性等,并能真正做好“化多为少”“化复杂为简单”，包括更好认识数学与现实世界之间的关系.2）小学几何教学不仅应当突出“度量”这一核心概念，很好发挥直观认知的作用，也应努力实现对于“度量几何”与“直观几何”的必要超越，即应对图形的特征性质及其相互关系的逻辑分析予以足够的重视.显然，如果小学数学能够按照这样的思想去进行教学，传统上中小学数学教学之间的巨大间距就将不复存在.显然，基于同样的理由，中学（特殊地，初中）数学教师也应认真地去思考什么是中学（初中）数学教学的“大”，而为学来的数学学习做好必要的准备.（5）我们还可从同一角度对其他一些密切相关的问题做出自己的分析，如教学中为什么应给学生更多的表述机会,包括积极提倡“合作学习”这样一种学习方式.因为，这些都十分有益于学生的深入思考,如表述前主体显然必须对自己的想法做出梳理、评价与改进，仔细倾听别人的想法也十分有助于学生通过比较、反思与再认识对自己的已有想法做出改进，等等.当然，教师也应在这些方面给学生必要的指导，而不只是停留于“大声地说、仔细地听”这的性要再者，就当前而言,这应当说又是特别重要的一个认识:数学教育的主要任务应是帮助学生学会思维、乐于思维，而不是学会解题,我们更不应唯一集中于如何能够通过大量练习、机械记忆和简单模仿使学生在各类考试中取得较好成绩.毋宁说，即使在这面我们通过更高面的析做“而精”，包括通过“习题教学”的改进更有效地促进学生思维的发展，从而自然也就能够取得更好的成绩.最后，尽管我们在此是以初一数学教学作为直接对象行析的）相关结论有超出这范围的普遍意义，后者即是指，无论就小学、初中或高中的数学教学,或是课堂教学和习题教学而言，我们都应以“促进学生思维的发展”作为主要的指导思想）“教学”为数学教学的主要笔在这面有这个:有在做出持续努力，也即很好地落实不同阶段数学教学的同一性与连续性,我们才能对于“努力提升学生的核心”这教的性做出己的有贡献,并切实防止与纠正因深深陷入“应试教育”而无法自拔这样一个巨大的危险.愿我们大家都能在上述方向做出切实的努力！（下转第14页）①在笔者看来，我们也可从后一角度去理解弗赖登塔尔的这样一个论述:“数学的本质是人们的常识4''R.绍其引入的必要性来帮助学生自然地内化相关知识.3.2引导学生积极表达数学能力的培养离不开数学思想的交流，观点与观点的碰撞交流往往能够迸发出对数学内容更深层次的理解,而学生是否愿意交流则显得很关键.课堂的数学交流一般是由教师发起并进行引导，教师在数学交流过程中的作用至关重要，在引导的过程中，能否激发学生的表达兴趣与欲望对交流的质量有重要的影响.在交流过程中，教师可以通过将最终的问题分拆为几个难度逐级递增的小问题来培养学生的成就感、激发学生的表达欲望.当学生遇到表达困难时，可以及时对所提问题进行解释或者补充描述，鼓励学生说出哪怕部分观点和想法，也可以在提出问题以后给予学生足够的交流和思考的时间.在交流表达的过程中，鼓励学生及时地对同伴的交流内容进行补充与反馈，培养学生的自我效能和思辨意识. 3.3丰富交流表达方式数学交流与表达的形式比较多样，既可以是生生之间的对话，也可以是师生之间的讨论，甚至可以是与数学书面形式语言的交流.信息传递的方向可以是阐述自我观点的输出，也可以是对对方观点聆听的输入.表达的方式既可以是口头表达，也可以是书面表达，以上种种丰富的表达形式为教师的教学提供了不同的选择.教师可以让学生用自己喜欢的方式进行数学交流.比如将思维过程用语言、算式、图表等记录下来进行展示，或者在教学过程中通过小组合作的形式，选派小组代表进行数学观点的表述和交流，然后同(上接第4页)参考文献-1.章勤琼.小学阶段“早期代数思维”的内涵及教学——默尔本大学教授麦克斯•斯蒂芬斯访谈录［J..小学教学,2016(11).-2.刘月霞，郭华.深度学习：走向核心素养(理论普及读本)［M..北京:教育科学出版社,2018(6-37.-3.郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”［J..数学教育学报,2016(3).-4.史宁中.人是如何认识和表达空间的［J..小学教学，2019(3).-5.波利亚.数学的发现(第二卷)［M..内蒙古：内蒙古人民出版社,1981(82.-6.郑毓信.“数学深度教学”的理论与实践［J..数学教学2019(5)伴进行补充，还可以通过数学写作的方式与别人交流自己在学习中的收获，或者通过为学生提供表达的逻辑框架,让学生的表达形式更加规范，并在此过程中提高表达的能力.数学交流的目的是为了更好地理解数学，而理解数学的目的又是为了更好地交流，数学理解和数学交流之间是互为因果的关系.教师在教学过程中了可通过高学的表达)可以通过为学生提供规范的表达示范一一教师本身就是数学表达很好的榜样，引导学生关注数学的多重表征以增加表达方式的选择、加强数学阅读指导以丰富和完善数学语言系统、关注学生语言表达过程中的缺陷以及时完善语言表达等方式，对初中生的与表达行参考文献-1.和学新.论数学教学的表达策略［J..数学教育学报，2006(4)(94-96-2.王薇.数学交流表达能力目标：中美两国的比较及启示［J..外国中小学教育,2016(11):59-64.-3.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)-M..北京:北京师范大学出版社2012-4.邓清,夏小刚.数学思维视域下“教表达”的再认识与思考数学教育学报,2019,28(5)：47-50.-5.夏鹏翔，部舒竹.日本小学数学教育改革新动向——培养“表达能力比较教育研究，2011,33(9)：86-90-6.史宁中，林玉慈,陶剑等.关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七课程•教材•教法,2017,37(4):8-14.［7.戴再平.数学习题理论［M..上海:上海教育出版社，1991:96-97.-.郑毓信.中学数学解题教学之我见-..中学数学月刊202010-11"4-9.郑毓信.“数学深度教学”十讲-..小学数学教师, 2019(7-8)〜2020(5).-0.郑毓信.高观点指导下的小学数学教学(14)［M..福建教育,2020(11)〜2021(1-3).-11.郑毓信.初中数学教学之忧思与建言［M..数学教学,2020(12).-12.弗赖登塔尔.作为教育任务的数学［M..上海:上海教育出版社,1995：45.-13.唐瑞芬.弗赖登塔尔在中国-..数学教学,2003(5),。
数学思想对教学的启示
数学思想对教学的启示认为数学思想对中学数学的教学意义重大,在教学中渗透方程思想,分类讨论思想,数形结合思想,整体思想,化归思想,变换思想,辩证思想等多种数学思想方法。
这样可以培养学生的思维能力,从而提高学生的学习效果。
中学数学教学过程,实质上是运用各种教学理论进行数学知识教学的过程。
在这个过程中,必然要涉及数学思想的问题。
数学思想是人类思想文化宝库中的瑰宝,是数学的精髓,它对数学教学具有决定性的指导意义。
标签：数学教学;数学思想;思想方法的渗透0 前言数学教学的目的既要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能,还要求发展学生的能力,培养他们良好的个性品质和学习习惯。
在实现教学目的的过程中,数学思想方法对于打好“双基”和加深对知识的理解、培养学生的思维能力有着独到的优势,它是学生形成良好认知结构的纽带,是由知识转化为能力的桥梁。
因此,在数学教学中,教师除了基础知识和基本技能的教学外,还应重视数学思想方法的渗透,注重对学生进行数学思想方法的培养,这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。
从初中阶段就重视数学思想方法的渗透,将为学生后续学习打下坚实的基础,会使学生终生受益。
1 中学数学教学中应运用的思想方法(1)方程思想:众所周知,方程思想是初等代数思想方法的主体,应用十分广泛,可谓数学大厦基石之一,在众多的数学思想中显得十分重要。
所谓方程思想,主要是指建立方程(组)解决实际问题的思想方法。
教材中大量出现这种思想方法,如列方程解应用题,求函数解析式,利用根的判别式、根于系数关系求字母系数的值等。
教学时,可有意识的引导学生发现等量关系从而建立方程。
如讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时,可启发学生去发现确定解析式的关键是求出各项系数,可把他们看成三个“未知量”,告诉学生利用方程思想来解决,那学生就会自觉的去找三个等量关系建立方程组。
在这里如果单讲解题步骤,就会显得呆板、僵硬,学生只知其然,不知其所以然。
高观点下代数知识对教学的启示及解题
高观点下代数知识对中学教学的启示及解题事物之间是有联系的，中学数学和高等数学也不例外 。
看似复杂的中学题目背后往往用高等数学的一个定理就能很简单的解决，用高观点来看低问题往往就比较容易。
就在近几年的中学数学改革中就出现了一些有着一定高等数学背景的知识的渗透, 这类知识形式新颖,既能开阔学生的数学思维,有利于学生以后学习高等数学与初等数学的衔接。
因此,在中学数学教学中应注意高等数学思想和知识的渗透, 同时注意对学生这方面的能力培养, 适当地对初等数学与高等数学的衔接处进行探究, 这样有利于提高学生分析、解决问题的能力。
下面我们就来看一个中学数学问题背后连接的高等数学定理。
1、以高等数学的介值性定理（闭区间上连续函数）解中学数学一道题介值性定理：设函数f （x ）在闭区间[ a , b] 上连续,且f (a) ≠f ( b) ,若μ为介于f (a) 与f ( b) 之间的任何实数(f (a) < μ < f ( b) 或f ( b) < μ <f(b) ),则至少存在一个点ξ∈( a , b) 使f(ξ) = μ。
． 例：设函数f (x) = x -ln ( x + m) ,其中常数m 为整数。
(1) 当m 为何值时, f (x) ≥0 ;(2) 定理: 若函数g (x) 在[ a , b] 上连续, 且g (a) 与g (b) 异号,则至少存在一点ξ ∈ ( a , b) ,使g (ξ) = 0。
试用上述定理证明:当整数m > 1 时, 方程f( x) = 0 在2[,]m m e m e m ---内有两个实根。
解析: (1) 函数f ( x) = x - ln ( x + m) , x ∈( - m , + ∞)，则f （x ） 定义域在x ∈( - m , + ∞)上连续, 且f ′( x) =11x m-+, 令f ′( x) = 0 ,得x = 1m -.当x ∈( - m , 1m -) 时, f ′( x) < 0 , 则f ( x) 为减函数, f ( x) > f (1m -) ,当x ∈(1m -, + ∞) 时, f ′( x) > 0 , f ( x) 为增函数, f ( x) > f (1 - m) ,根据函数极值判别方法, f (1m -) = 1 - m 为极小值,而且对x ∈( - m , + ∞) 都有f ( x) ≥f (1m -) =1 - m.故当整数m ≤1 时, f ( x) ≥1m -≥0。
“高观点下的中学数学”课程学习体会
“高观点下的中学数学”课程学习体会摘要：学习了高观点下的中学数学后，不仅学习到了如何方能在高观点的指导下，加强了高等数学与中学数学的联系，更重要的是一方面是对于了“居高”而“临下”的内涵及高观点下的中学数学的定位有了更深的理解；另一方面从高观点的角度重新审视《普通高中数学课程标准（实验）》有了新的认识．关键词：高等数学中学数学新课标体会1．“高观点下的中学数学”的内涵“高观点下的中学数学（以下简称“高观点”）”是指用高等数学（包括经典高等数学和现代数学）的知识、思想和方法来分析和解决初等数学的问题．这里的知识应该是策略性知识，即能够借助实例和直观的为中学生所接收的突出思想和方法，强调理解和应用，不追求严格的证明和逻辑推理；这里中学数学包括传统初等数学的大部分有用内容，而精简一些繁琐的计算和证明，也应包括经典高等数学的一些初步知识，同时渗透现代数学的思想，如集合、对应等．因此，它包含3个方面的内容：现代数学的思想和方法在中学数学中的渗透；高等数学对中等数学的具体指导；中学数学某些难以处理的问题在高等数学里的背景分析．它包含了三个特性:①连接性．高等数学和初等数学的划分一方面是由于数学的发展，另一方面是由于学校教育的需要，但这两个领域联系紧密而且有交叉和融合．这就意味着高观点实施的可能性．②高层次．初等数学的很多知识实际上是高等数学知识的特例．按照归纳科学的思想，将这些特殊问题上升到一般，，再从一般的角度来看待这些问题，常常是行之有效的．高观点正是这种层次拔高思想的体现．③特殊性．这是指高观点的局限性，也就是说，并不是所有的高等数学知识都可以解决初等数学问题．另外，有些初等数学问题不能也没必要用高等数学知识来解决，这关系到高观点研究的工具和对象的选择．2 .“高观点下的中学”的定位2.1初等数学的一种研究方法“高观点”启示人们突破初等数学知识的局限性，跳出用初等数学研究初等数学的狭窄的圈子，跳出用初等数学研究初等数学狭窄的圈子，而是着眼于寻找新的研究方法．“它山之石，可以攻玉”．高等数学相对初等数学而言，无论是理论上、观点上和方法上都高一级的境界，初等数学中有些问题一经利用高等数学知识，可豁然贯通、迎刃而解．初等数学研究是科学研究中的一个大课题，它有两个主要方面，其中之一就是阐述现代数学与初等数学的联系及初等数学的广泛应用，为现代数学的发展提供深刻的背景．高观点下的中学数学探究是这一大课题中的一个小课题．由此可见“高观点”在初等数学研究中的地位和作用．2.2教学改革的一种手段“高观点”主要针对高师数学教育的师生而言．高师院校数学教育专业课程所讲的高等数学与中学的研究对象、研究方法都有本质的不同．中学数学到大学数学史直线上升，大部分高等数学与所教中学数学联系不上，“居高”而不能“临下”，以致数学专业毕业生到中学，往往需要重新学习相当长一段时间，才能熟悉和掌握中学教材，胜任教学工作，就是要解决如何现代数学观点指导下，加强高等数学与中学数学的联系．这同时也是其改革的一个重要手段。
谈谈数学思想在高中数学教学的运用
谈谈数学思想在高中数学教学的运用数学思想是掌握数学灵活思维及构造原理的灵魂,是数学理念的集中体现,是教好数学、学好数学的捷径。
因此,从思想上强化教育,能有效的培养学生学习数学的积极性和主动性,使学生在數学的知识海洋中选择正确的前进方向,达到成功的彼岸。
高中数学教学的目的除了要巩固学生数学基础知识的牢固外,更重要的就是培养学生数学思维的树立及有效锻炼,注重学生数学能力的培养,将自身所掌握的重要数学原理、知识转化为有效的解题思维模式,通过不断的总结和积累达到数学解题思想上的升华。
因此,高中数学教师应充分的认识到高中数学对于学生兴趣、思维培养的重要性,按照科学的教学大纲、教改要求将数学思想与数学教学充分的结合,逐步的渗透思维启发和兴趣教育,使高中生掌握扎实的基础知识、灵活的数学思维、科学的数学思想继续的探索和征服更多的数学高峰。
1 转化思想转化思想即是用等价转化的方式将未知问题转化为用已知的知识来解决的思想方法,通过一步步的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单的问题加以解决。
等价转化思想是一种最为常见的数学思想,在数学的解题过程中被广泛应用,存在着普遍适用、解决问题成功率高、灵活性、多样性的特点。
当然转化思想的应用要有针对性,不能漫无目的的使用,也不能以固有的思维定势应用到丰富多样的题型中,而应充分的根据数与数、形与形、数与形之间的相关性进行科学的转换。
从宏观的转化理念出发将问题置于实际的情境,通过计算公式、灵活计算方式、计算技巧的转化;普通语言向数学语言的转化;拆分、合并、换元、消去、数形结合等有效方法的运用,利用逆向思维、转化方式有效的将复杂问题简单化、合理化从而达到解决疑难问题的目的。
该数学思想的运用有利于开发学生的思维能力,使之用变换的技巧、开阔的思路解决各种数学问题。
等价转换应用实例：映射f:A->B,如果满足集合B中的任何一个元素在集合A中都有原象,则称为满射。
已知集合A中有4个元素,集合B中有3个元素,那么从A到B的不同满射有多少个？分析:集合A中的4个元素到集合B中的3个元素的不同满射个数,等价于将4个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子都不空的不同放法,因此不同满射的个数共有C24A33=36个。
数学思想在高中数学教学中的有效渗透
数学思想在高中数学教学中的有效渗透1. 引言1.1 数学思想在高中数学教学中的重要性数学思想在高中数学教学中具有极其重要的作用。
首先，数学思想是数学知识的精髓，是数学思维方式和解决问题的方法论。
通过深入理解和灵活运用数学思想，学生可以更好地理解数学概念，提高解决实际问题的能力。
其次，数学思想培养了学生的逻辑思维和数学思维能力，促进了学生的创新思维和解决问题的能力。
第三，数学思想还有助于培养学生的数学兴趣和学习动力，激发学生对数学的热爱和探索欲望。
最后，数学思想还可以帮助学生建立严密的思维结构，提高学生的综合素质和终身学习能力。
综上所述，数学思想在高中数学教学中的重要性不言而喻，对于学生的数学学习和综合素质的培养具有不可替代的作用。
因此，在高中数学教学中，有效渗透数学思想更为重要。
2. 正文2.1 数学思想在高中数学教学中的引入方式引入方式是数学思想在高中数学教学中的第一步，它直接影响学生对数学思想的理解和接受程度。
在引入方式上，教师可以通过多种途径来引入数学思想，如引用历史背景、通过生活实例和问题引导学生思考等。
教师可以通过历史背景引入数学思想。
数学思想的产生往往伴随着历史时期的变迁和发展，通过了解数学思想的历史渊源，学生可以更好地理解数学思想的内涵和重要性。
在教学中可以介绍欧几里得的几何学思想对现代数学的影响，让学生了解几何学的本质和历史。
教师还可以通过生活实例和问题引导学生思考，引入数学思想。
生活中充满了各种数学思想的应用和体现，教师可以通过生活中的实际问题引发学生对数学思想的思考，让学生从生活中感受数学的魅力。
在教学中可以通过日常生活中的测量问题引入几何学中的尺规作图思想，让学生感受到几何学在实际生活中的应用价值。
引入方式是数学思想在高中数学教学中至关重要的一环，教师需要灵活运用各种途径和方法来引入数学思想，激发学生的学习兴趣和思维能力，帮助他们更好地理解和掌握数学思想。
只有通过有效的引入方式，学生才能真正领会数学思想的精髓，更好地应用于实际生活和未来学习中。
高观点下的中学数学
高观点下的中学数学
数学是一门有趣而遗忘的学科，它以其古老性、灵活性和普遍性给人们留下了深刻的印象。
尽管大多数中学数学课程都在讨论一些基本的概念，但是以一种更高层次的观点来看，我们会发现数学在我们身边充满了有趣的东西。
首先，从更细微的角度来看，中学数学其实是一门充满了思考的学科，它可以帮助学生培养独立思考和分析问题的能力。
由于它允许学生对涉及到的概念进行更深入的思考，因此能够帮助学生认识到解决问题的不同方法，能够加深他们对解决问题的技巧和方法。
同时，在学习过程中运用数学概念，会培养学生的逻辑思维能力，这对他们的学习也是有利的。
此外，当学生以更高层次认识到数学的特性时，他们就会发现，数学是现实生活中有用的技能。
例如，在解决实际问题的过程中，数学可以帮助学生更有效地进行计算，可以帮助学生更好地分析市场趋势，可以帮助学生更好地预测趋势以及更全面地看到社会，经济和政治等方面的问题。
因此，学习数学可以帮助学生从理论中探寻实践，从而做出更明智的决策，充分发挥其价值。
最后，数学可以帮助学生更好地理解世界，从而提高他们的整体思维能力。
研究表明，学习数学可以帮助学生更好地理解抽象概念，更好地提升其分析能力和决策能力，同时也能加强他们的英语写作能力等语言技能。
总而言之，在高观点下看，中学数学有着不容忽视的价值，它不
仅可以帮助学生培养思维能力和技能，而且还能帮助他们更好地理解世界，提高整体思维能力。
因此，我们有必要给学生提供更多的数学课程，以激发他们学习数学的兴趣，让他们更好地掌握数学知识，释放数学的真正价值。
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尝试 过用 现代 数 学 的 观点 来 看 待 中学数 学 ； 只有 ５ 左 右 的人认 为 “ 高观点” 下 的初 等 数 学 是 一种
新 的数 学思 想 方法 ， 是一 种创新 教 育 的模 式 ， 能够
为 数学 新课 程 改革提 供指 导．
学 生 了解 数学 并 不 是 孤 立 的各 门学 问 ， 而是 一 个 有 机 的整体 ” ； 基 础数 学 的教 师应 该站 在更 高 的视 角（ 高 等数 学 ） 来 审视 ． 理 解初 等数 学 问题 ， 只有 观
择 的空 间也将拓 广 ， 更有 利 于个 性 发展 ］ ．
对 中学 数学 的具 体 指 导 ； 中学 数 学 某 些 难 以处 理 的 问题在 高 等 数 学里 的背 景 分 析Ｌ ２ ］ ． 高等 数 学 和
初等 数学 的划 分 一 方 面 是 由 于数 学 的发 展 ， 另 一 方面 是 由于学 校 教 育 的需 要 ， 但 这 两个 领 域 联 系 紧密 而且 有交 叉 和融 合 ， 这 就 意 味着 用 “ 高 观点 ” 的数 学 思想指 导 初 等 数 学 的 教 学具 有 可 实 施 性．
等数学 ” 里 的每 件事 情 都 不 过 是 “ 高等数学” 里 的
某一 数 学系 统理 论 中的某一 事实 在该 系统 中 的具 体 表现 ， “ 初 等数 学 ” 对 这 些 作 为具 体 表 现 的初 等
事 实 的处理 当然 只能是 就 事论事 ．
在 我们前 期 对九 江市 区相关 中小 学数 学教 师 进行 的调 查 问卷 中 ， 有数 据显 示 ， 对现代 数 学 了解
有效的 ， “ 高观 点 下 的初 等 数 学 ” 正是 这 种 层 次 拔
高 思想 的体 现 ． 克莱 因认 为“ 高 观点 下 的初 等数学 ” 是 以 函数 为 “ 核心 ” ，函数 应该 成 为 中学 数 学 的 “ 基石” ． 他 强 调要 用 近代数 学 的观 点来 改造 传统 中学 数学 的 内容 ， 主张加 强 函数 和微 积分 的教 学 ， 改革 和充实 代 数 的 内容 ， 倡 导“ 高 观 点下 的初 等数学 ” 理 念． 它
２ ０ １ ４年第 ３期
中学 数学 月 刊
・ ７ ・
高观 点的数学思想对中学数学教学的启示①
周 玛 莉 张 劲松 （ 江 西九 江学 院 “ 科学 的教 学方 法 只是诱 导去 作科 学 的思考 ， 并 不 是一 开头 就 教人 去 碰 冷 漠 的 、 经 过 科 学 洗 练 的系 统 ……” ＿ ｌ １ 这段 基于 教学 原理 、 有着 清 晰 的教 学 思 想 的话 语 出 自 １ ９ 世 纪末 ２ ０世纪 初德 国著 名 的数学 家 、 数 学 教育 家 Ｆ・ 克莱 因 ， 他是 以高 观点 的思想 指导 初 等数学 教学 的主创者 与实 践者 ． ３ ３ ２ ０ ０ ５ ）
一
点和 不 了解 的老 师共 占 ９ ３ ． Ｏ ６ ； ８ ０ ． ５ ６ ％ 的老
启 示人 们 突破初 等数 学 知 识 的局 限性 ， 跳 出 用初 等 数学 研究 初 等数 学 的狭 窄 的圈 子 ， 而 着 眼 于 寻
找 新 的研究 方法 ． 今 天我 们重新 探 讨克 莱 因的“ 高 观 点下 的初 等数 学” 思想 ， 以期 能对 我们 当前 的数 学教 学有 所启 示 ． 在克 莱 因看来 ， 一 个数 学教 师 的职责 是“ 应 使
点高了， 事 物才 能显得 明 了而简 单 ； 一个称 职 的教 师 应 当掌握 或 了解 数 学 的各 种 概 念 、 方 法 及 其 发 展 与完 善 的过程 以及 数 学 教育 演 化 的经 过． 他 认
为“ 有关 的每一个 分支 ， 原 则上应 看做 是数 学整 体
的代 表 ” ， “ 有许 多 初 等 数 学 的 现象 只有 在 非 初 等
师很 少 或者 没有 看过“ 高观 点” 下 的初 等数 学这 方
面 的书 籍 ； 有 超 过半 数 的老 师 认 为数 学 新 课 程 背 景 下的 中学教 学 方 法 有欠 缺 ． 而 在怎 样 处 理 这个 问题 上 ， 问卷 中 的相关 题 目联 系 了“ 高观点” 下 的
初等 数学 的定 位 思 考 ， 有 超 过 三分 之 一 的 老 师 没
华． 关 于这 一关 系 ， 中学数 学教 师在 长期 的教 学实 践 中形 成 了一个 似乎 更具 “ 可触 摸性 ” 的认 识 ： “ 初
同时 初等 数学 的很 多知 识实 际上 是 高等数 学 知识
的特 例． 按照归纳 的思想 ， 将 这 些 特 殊 上 升 到 一 般， 再 从一 般 的角 度来 看待 这些 问题 ， 常 常是行 之
也适 用 于其他 所有 学生 ， 使他 们扩 展视 野 ， 增 强学
学 和现 代数 学 ） 的知识 、 思 想 和方法 来分 析 和解决
初 等数 学 的问题 ． 它包 含 三个方 面 的 内容 ： 现代数 学 的思 想和 方法 在 中学 数 学 中的 渗透 ； 高 等数 学
习数 学 的兴趣 和乐 趣． 若 有这 样一 种课 程 的加入 ， 高 中数学 课程 体 系将 显 得 更 加 丰 富 ， 可 供 学 生选
的理 论结 构 内才 能深刻 地理 解” ．
１ 高观 点 的数 学 思 想
“ 高观 点” 是指 用 高 等 数 学 （ 包 括 经 典 高 等 数
“ 高 观点 ” 的实 体 形 态 可 以说 是 一 种课 程 ， 不
仅适 用 于学 有余 力 的学生 提前接 触 高等数 学知 识
和 现代 数 学 思想 、 方法 ， 为今 后 的发 展 打 下基 础 ，
２ 中 学数 学教 学现 状
中学数 学 的 内容 主要 是初 等数 学． 关 于“ 初等 数 学” 与“ 高等数学” 的关 系 ， 有人认 为， “ 初 等 数 学” 是 关 于常量 的数 学 ， “ 高等数 学 ” 是关 于变 量 的 数学 ； 也有 人 说 ， “ 高 等数 学 ” 是“ 初等 数学” 的升