华理概率论答案第三册

P(ξ = 2) = P( A1A2 A3) + P( A1A2 A3 ) + P( A1A2 A3 ) = 0.092,
从而
P(ξ = 3) = P( A1A2 A3) = 0.006. Eξ = 0× 0.504 +1× 0.389 + 2× 0.093 + 3× 0.006 = 0.6 。
4. 设球的直径均匀分布在区间[a , b]内，求球的体积的平均值。
至少有一个元件正常工作，不需要更换，若两个元件都不工作，则要更换，每台仪器 最多更换一次，记 X 为 3 台仪器需要更换元件的总次数，求 EX
解 随机变量 X 的取值：k=0,1,2,3 ，每台仪器需要更换元件的概率:
p = 0.5× 0.5 − 0.25 ，则
P( X = k) = Cnk pk (1− p)3−k , k = 0,1, 2, 3
∫ 解 Eξ = +∞ xe−xdx = 1； 0 E(2ξ + 3) = 2Eξ + 3 = 5 ；
∫ E(ξ + e−2ξ ) = Eξ + E(e−2ξ ) = 1+ +∞ e−2x ⋅ e−xdx = 4 ；
0
3
∫ ∫ E(max{ξ , 2}) =
+∞
max{x, 2}p(x)dx =
+∞ max{x, 2}e−xdx
解 设 Ai =｛第 i 个部件需要调整｝（i=1,2,3），则 P(A1)=0.1，P(A2)= 0.2，P(A3)=0.3 。 所以
P(ξ = 0) = P( A1A2 A3) = 0.9× 0.8× 0.7 = 0.504 ，
P(ξ = 1) = P( A1A2 A3) + P( A1A2 A3 ) + P( A1A2 A3 ) = 0.389,
3
（1）η 的概率分布（分布律），
（2） Eη和Dη 。
解 η ∼ B (4, p) 。
∫ （1）设 A=“观察值大于 π ”，则 3
p = P( A) = P(ξ ≥ π ) = 3
π π 3
1 2
cos
x 2
dx
=
1 2
,
所以η
的概率分布为：
P(η
=
k)
=
⎛ ⎜ ⎝
4 k
⎞ ⎟ ⎠
1k 2
(1 −
解 （1） P(| ξ |> 0.6) =0.4
（2） 因为 Eξ = 0, Dξ = 1 ，所以 3
P(| ξ
|≥ 0.6)
=
P(| ξ
− Eξ
|≥ 0.6)
≤
1 3× 0.62
= 100 。 108
8. 证明：事件在一次试验中发生次数ξ 的方差一定不超过 1 。 4
证 设事件 A 在一次试验中发生的概率为 p ，又设随机变量
，
令
0.01 a2
≤
0.1
，
得 a ≥ 0.32 。
6. 设随机变量ξ 的概率分布为
P(ξ
=
x)
=
⎛ ⎜⎝
a 2
⎞x ⎟⎠
(1− a)1− x
,
x = −1, 0,1
其中 0<a<1。试求： Dξ ， D | ξ |。
解 Eξ = (−1) ⋅ a + 0 ⋅ (1− a) +1⋅ a = 0,
2
2
4. 运载火箭运行中进入其仪器仓的粒子数服从参数为 4 的泊松分布，用 Excel 的 POISSON 函数求进入仪器舱的粒子数大于 10 的概率。
POISSON（10 , 4 ，TRUE）=0.9972, 所求概率 p=_0.0028_。
5. ξ ~ P(4) ，由切比雪夫不等式有 P(| ξ − 4 |< 6) ≥ __8/9___。
概率论与数理统计
作业簿（第三册）
学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________

一．填空题： 1. ξ 的分布列为:
第七次作业
ξ
1
2
1
2
P
10
∑ ∑ ∑ 解
Eξ
=
∞
k
k =0
⋅
1 2k +1
=
∞
k⋅
k =1
1 2k +1
=
1 4
∞ k =1
k
⋅
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞k ⎟⎠
−1
，
令 x=1， 则 2
∑ ∑( ) ∑ ∞
∞
k ⋅ xk−1 =
k =1
k =1
xk
′
=
⎛ ⎝⎜
∞ k =1
xk
⎞′ ⎟⎠
=
⎛1 ⎝⎜ 1− x
−1⎞⎟⎠′
=
1 (1− x)2
−
⎛ ⎜⎝
1 3
⎞2 ⎟⎠
=
97 72
，
D(1− 3ξ )
=
9Dξ
=
97 8
。
2. 对第七次作业第三大题第 3 小题中的ξ ，求 Dξ 。 解 Dξ = E(ξ 2 ) − (Eξ )2 = 0× 0.504 +1× 0.389 + 4× 0.093 + 9× 0.006 − 0.62 = 0.46.
= 1− e−2 − 2e−2 = 1− 3e−2 .
2. 设随机变量ξ ~ B(n, p) ，已知 Eξ = 2.4, Dξ = 1.44 ，则参数 n= 6
，
p = 0.4
。
解
⎧Eξ ⎨⎩Dξ
= =
np = 2.4, npq = 1.44,
⇒
⎧n
⎨ ⎩
p
= 6, = 0.4.
3. 某保险公司的某人寿保险险种有 1000 人投保，每个人在一年内死亡的概率 为 0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，欲求在未来一年内这 1000 个投保人死亡人数不超过 10 人的概率。用 Excel 的 BINOMDIST 函 数计算。BINOMDIST（10 , 1000, 0.005, TRUE）= 0.986531_。
a
⎞2 ⎟⎠
。
5. 已知某种股票的价格是随机变量ξ ，其平均值是 1 元，标准差是 0.1 元。求
常数 a，使得股价超过 1+a 元或低于 1-a 元的概率小于 10%。(提示: 应用 切比雪夫不等式)。
解 已知 Eξ = 1, Dξ = 0.1，
由契比雪夫不等式
P{|
ξ
− 1 |≥
a}
≤
0.01 a2
则
Dξ
=
p(1 −
p)
=
pq
≤
⎛ ⎜⎝
p+ 2
q
⎞2 ⎟⎠
=
1 4
。
第九次作业
一． 填空题
1. 设 X 服从泊松分布，若 EX 2 = 6 ，则 P( X > 1) = 1− 3e−2 。
解 X ~ P(λ), 6 = EX 2 = DX + (EX )2 = λ + λ 2 故 λ = 2 .
P( X > 1) = 1− P( X ≤ 1) = 1− P( X = 0) − P( X = 1)
，
所以 Eξ = 1。
第八次作业
一. 填空题
1. 设随机变量ξ 的分布律为
ξ
-1
0
1
P
a
1
b
2
已知 Dξ = 0.5 ，则 a= 1/4 ，b 1/4
。
二. 选择题
1. 设 X 是一随机变量，E( X ) = μ,
C，必有 A E(X-C)2 = E(X2) - C2 C. E(X-C)2< E(X- μ )2
∫ ∫ ∫ ∫ P(ξ
+∞
≥α) =
+∞
p(x)dx ≤
x
p( x)dx
=
1
+∞
xp( x)dx
≤
1
+∞
xp(x)dx =
Eξ
，
α
αα
αα
α0
α
所以 P(ξ < α ) ≥ 1− Eξ 。 α
7. * 某种产品上的缺陷数ξ 服从分布律
P(ξ
=
k)
Baidu Nhomakorabea
=
1 2k +1
,
k = 0,1, 2,L
求此种产品上的平均缺陷数。（* 高等数学 8 学分的学生可以不做）
1 )4−k 2
,
或
η
0
1
2
(k = 0,1, 2,3, 4) 。
3
4
P
1
4
6
4
1
16
16
16
16
16
（2） Eη = 4× 1 = 2, Dη = 4× 1 × 1 = 1
2
22
2. 随机变量ξ 服从参数为 p 的几何分布，即 P(ξ = k) = p(1− p)k−1, k = 1, 2,L
（1） 求 P(ξ > s) ，其中 s 是一个非负整数； （2） 试证 P(ξ > s + t | ξ > s) = P(ξ > t) ，其中 s，t 是非负整数。（几何分布具有
X
0
1
2
3
P
27/64
27/64
9/64
1/64
故 EX = 0× 27 +1× 27 + 2× 9 + 3× 1 = 3 。（或 EX = np = 0.75 ） 64 64 64 64 4
6. 设ξ 是非负连续随机变量且 Eξ 存在，对任意α > 0 试证
P(ξ
<
α
)
≥
1−
Eξ α
证 设ξ 的密度函数是 p(x) ，由α > 0 得
解
设球的直径长为 ξ
,且 ξ
∼ U[a,b] ,球的体积为η
,与直径 ξ
的关系为η
=
4π 3
⎛ξ ⎜⎝ 2
⎞3 ⎟⎠
,那
∫ 么,
Eη
=
4π 3
⋅E
⎛ξ ⎜⎝ 2
⎞3 ⎟⎠
=
π 6
⋅
Eξ 3
=
π 6
b x3 dx = π (a + b)(a2 + b2 ) 。
a b−a
24
5. 6 个元件装在 3 台仪器上，每台仪器装两个，元件的可靠性为 0.5。如果一台仪器中
所以 Dξ = Eξ 2 − (Eξ )2 = a 。
Eξ 2 = (−1)2 ⋅ a + 02 ⋅ (1− a) +12 ⋅ a = a,
2
2
又 E ξ = a, E ξ 2 = Eξ 2 = a ， 故 D ξ = E ξ 2 − (E ξ )2 = a(1− a) 。
7. 设随机变量ξ U (−1,1) . (1) 试求 P(| ξ |> 0.6) ; (2) 试用切比雪夫不等式给出 P(| ξ |≥ 0.6) 的上界.
二． 选择题
1. 在相同条件下独立的进行 3 次射击，每次射击击中目标的概率为 2 ，则至 3
少击中一次的概率为
（D）
A. 4 27
B. 12 27
C. 19 27
D. 26 27
三．计算题
1. 设随机变量ξ 的密度函数是
p(
x)
=
⎪⎧ ⎨
1 2
cos
x 2
,
0≤ x≤π
⎪⎩0,
其它
对ξ 独立的随机观察 4 次，η 表示观察值大于 π 的次数，求
(C)． Eξ
(D)． (Eξ )2
2. 现有 10 张奖券，其中 8 张为 2 元，2 张为 5 元，某人从中随机地无放回地
抽取 3 张，则此人所得奖金的数学期望为
（C）
(A) 6.5
（B）12
（C）7.8
（D）9
三．计算题
1.
设随机变量 X
的概率密度为
p(
x)
=
⎧ ⎪ ⎨
θ
1 −
1
x
2−θ θ −1
⎧ x 0≤ x≤1
3. 设随机变量ξ 具有概率密度 p(x) = ⎪⎨2 − x 1 < x ≤ 2 , 计算 Dξ 。
⎪⎩ 0
其它
∫ ∫ ∫ 解
E(ξ ) =
+∞
xp(x)dx =
1
x ⋅ xdx +
2 x ⋅ (2 − x)dx = x3 1 + (x2 − x3 ) 2 = 1，
−∞
0
1
3
3
0
1
∫ ∫ ∫ E(ξ 2 ) = +∞ x2 p(x)dx = 1 x2 ⋅ xdx + 2 x2 ⋅ (2 − x)dx = x4 1 + ( 2x3 − x4 ) 2 = 7 ，
−∞
0
1
4
34 6
0
1
D(ξ ) = E(ξ 2 ) −[E(ξ )]2 = 1 。 6
4. 设随机变量ξ 仅在[a , b]取值，试证
，
0< x <1
⎪⎩0
， 其他
其中θ >1，求 EX 。
∫ ∫ 解
1
EX = x
1
2−θ
1
x θ −1 dx =
1
1
xθ −1dx
=
1
θ
xθ −1
1
=
1
。
0 θ −1
0θ −1
θ 0θ
2. 设随机变量ξ 的概率密度函数
p
(
x）=
⎧e− ⎨
x
,
⎩ 0,
x>0 x≤0
求 Eξ , E(2ξ + 3), E(ξ + e−2ξ ) 和 E(max{ξ , 2}) 。
−∞
0
∫ ∫ = 2 2e−xdx + +∞ xe−xdx = 2(1− e−2 ) + 2e−2 + e−2 = 2 + e−2 。
0
2
3. 一台机器由三大部件组成，在运转中各部件需要调整的概率分别为 0.1，0.2 和 0.3。假设各部件的状态相互独立，用ξ 表示同时需要调整的部件数，试
求ξ 的数学期望。
5
则 Eξ = 2.7 。
3
4
1
3
5
10
2. ξ 的分布列为:
ξ
-1
0
1
1
2
2
1
1
1
1
1
P
3
6
6
12
4
则 Eξ = 1 ， E(−ξ +1) = 2 ， Eξ 2 = 35 。
3
3
24
二．填空题：
1. 若对任意的随机变量ξ ， Eξ 存在，则 E(E(Eξ )) 等于 （ C ）。
(A)．0
(B)． ξ
a ≤ Eξ ≤ b,
Dξ
≤
⎛ ⎜⎝
b
− 2
a
⎞2 ⎟⎠
。
证 因为 a ≤ ξ ≤ b , 所以 a ≤ Eξ ≤ b .
又因为
a−b =a− a+b ≤ξ − a+b ≤b− a+b = b−a
2
2
2
22
⇒
ξ
− a+b 2
≤
b−a 2
， ⇒ Dξ
≤
E
⎛ ⎜⎝
ξ
−
a
+ 2
b
⎞ ⎟⎠
≤
⎛ ⎜⎝
b
− 2
D( X ) = σ 2 , (μ, σ >0 为常数)，则对任意常数
（D ） B. E(X-C)2 = E(X-μ )2 D. E(X-C)2≥E(X- μ )2
三. 计算题
1. 对第七次作业第一大题第 2 小题的ξ ，求 Dξ 和 D(1− 3ξ ) 。
解
Dξ
=
E(ξ 2 )
− (Eξ )2
=
35 24