求函数最值的常用方法

求函数最值的常用以下方法：

1．函数单调性法

先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现．

例1 设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12

，则a ＝________.

【思路】 先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a 的值．

【解析】 ∵a >1，∴函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上是增函数，∴函数

在区间[a,2a ]上的最大值与最小值分别为log a 2a ，log a a ＝1.∴log a 2＝12

，a ＝4.故填4.

【讲评】 解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性．这一点处理好了，以下的问题就容易了．一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间[m ，n ]上的最值：若函数f (x )在[m ，n ]上单调递增，则f (x )min ＝f (m )，f (x )max ＝f (n )；若函数f (x )在[m ，n ]上单调递减，则f (x )min ＝f (n )，f (x )max ＝f (m )；若函数f (x )在[m ，n ]上不单调，但在其分成的几个子区

间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理．

2．换元法

换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a 2＋b 2＝1及部分根式函数形式的最值问题． 例2 (1)函数f (x )＝x ＋21－x 的最大值为________．

【解析】 方法一：设1－x ＝t (t ≥0)，

∴x ＝1－t 2，

∴y ＝x ＋21－x ＝1－t 2＋2t

＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2，

∴当t＝1即x＝0时，y max＝2.

方法二：f(x)的定义域为{x|x≤1}，

f′(x)＝1－

1

1－x

，

由f′(x)＝0得x＝0.

0＜x≤1时，f′(x)＜0，f(x)为减函数．

x＜0时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．

∴当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝2.

(2)求函数y＝x＋4－x2的值域．

【解析】换元法：由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴设x＝2cosθ(θ∈[0，π])，

则y＝2cosθ＋4－4cos2θ＝2cosθ＋2sinθ＝22sin(θ＋π

4

)，∵θ＋

π

4

∈

[π

4

，

5π

4

]

∴sin(θ＋

π

4

)∈[－

2

2

，1]，∴y∈[－2,22]．

3.配方法

配方法是求二次函数最值的基本方法，如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数

的最值问题，可以考虑用配方法．

例3 已知函数y＝(e x－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．【思路】将函数表达式按e x＋e－x配方，转化为关于变量e x＋e－x的二次函数．

【解析】y＝(e x－a)2＋(e－x－a)2

＝(e x＋e－x)2－2a(e x＋e－x)＋2a2－2.

令t＝e x＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2.

∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)．∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，

∴当a≤2且a≠0时，y min＝f(2)＝2(a－1)2；

当a<0时，y min＝f(a)＝a2－2.

【讲评】利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同

时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．4．不等式法

利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：

a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；a＋b

2

≥ab(a≥0，b≥0)；

ab≤(a＋b

2

)2≤

a2＋b2

2

(a，b为实数)．

例4 设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则y2

xz

的最小值为________．

【思路】先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基本不等式求得最值．

【解析】因为x－2y＋3z＝0，

所以y＝x＋3z

2

，所以

y2

xz

＝

x2＋9z2＋6xz

4xz

.

又x，z为正实数，所以由基本不等式，

得y2

xz

≥

6xz＋6xz

4xz

＝3，

当且仅当x＝3z时取“＝”．

故y2

xz

的最小值为3.故填3.

【讲评】本题是三元分式函数的最值问题，一般地，可将这类函数问题转化为二元函数问题加以解决．在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误．5．平方法

对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．

例5 已知函数y＝1－x＋x＋3的最大值为M，最小值为m，则m

M

的值为

( )