机理模型

关于平衡关系 1.平衡关系是数学模型的核心，建 模的关键。 2.有些平衡关系是明显的。 有些平衡关系隐藏在问题的背后 需要在化简之后逐渐明确出来。 3.有些平衡关系本身就直接构成了 模型。 有些平衡关系还需要经过数学上 的加工整理才能得到理想的模型。
三. 模型举例
买房贷款： 例1 买房贷款：银行可以向购房人提供个人住 房贷款的业务。 房贷款的业务。 偿还贷款时要求借款人在借款期间内每月以相 偿还贷款时要求借款人在借款期间内每月以相 等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。 等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。 试组建计算月均还款额的数学模型。 试组建计算月均还款额的数学模型。 假设: 假设: 每月月底还款； 1. 每月月底还款； 每月还款金额相等； 2. 每月还款金额相等； 按月计算利息； 3. 按月计算利息； 到期欠款全部还清。 4. 到期欠款全部还清。
变量、 变量、参量 月份： ，幼兔： 月份：n，幼兔：a0(n)，成兔 a1(n) ，成兔: 相邻两月兔群数量的变化 平衡关系： 平衡关系：
本月初(一月龄 的幼兔是上月成兔繁殖的后代 本月初 一月龄)的幼兔是上月成兔繁殖的后代。 一月龄 的幼兔是上月成兔繁殖的后代。 本月的成兔是上月的成兔和上个月(一月龄 一月龄)的 本月的成兔是上月的成兔和上个月 一月龄 的 幼兔发育结果的总和。 幼兔发育结果的总和。 模型 I a0(n) = a1(n-1) a1(n) = a0(n-1) + a1(n-1) a0(1)=1 a1(n) = 0 目标：求到第12个月底兔子总数 目标：求到第 个月底兔子总数 a(12)= a0(12) + a1(12)
a(12)=144 斐波那契数列(黄金数 黄金数) 斐波那契数列 黄金数 a(n+1) = a(n) + a(n-1)
a ( n) lim = 0.618 n →∞ a ( n + 1)
2. 证明斐波那契数列 黄金数 的性质 证明斐波那契数列(黄金数 黄金数) a ( n) a(n+1) = a(n) + a(n-1) lim = 0.618 n →∞ a ( n + 1) 因为 a0(n+1)=a1(n) a1(n+1)=a0 (n)+a1 (n)=a(n) 所以 a (n+1) = a (n)+a1 (n) = a(n) +a(n-1) 于是 a(n) /a(n+1)= 1/[a(n-1)/a(n)+1] 记 xn= a(n) /a(n+1), 则 xn=1/[1+xn-1] 可以证明{x 收敛，记其极限为x ， 可以证明 n} 收敛，记其极限为 0， x0=0.618 则由 x0=1/[1+x0] 得到
4. 群体的渐近性质 A 有主特征值 λ=1.618 相应的右特征向量 L=(0.382 0.618)’， ， 于是， 于是，当n → ∞时, a(n)/a(n)→ L → 群体的渐进增长速率为1.618 群体的渐进增长速率为 幼兔将占群体总数的 0.382 成兔将占群体总数的 0.618 称向量 L为种群的稳定分布。 为种群的稳定分布。 为种群的稳定分布 问题：如果每对兔子每月可生两对兔子， 问题：如果每对兔子每月可生两对兔子，求这个种 群的稳定分布。 群的稳定分布。
兔子的繁殖II 兔子的繁殖 一对兔子每月可生一对幼兔， 一对兔子每月可生一对幼兔， 幼兔出生二个月后就具有繁殖能力， 幼兔出生二个月后就具有繁殖能力， 三个月后就离开群体。 三个月后就离开群体。 就离开群体 问一对幼兔一年后繁殖的群体多大？ 问一对幼兔一年后繁殖的群体多大？ 求这个种群的稳定分布。 求这个种群的稳定分布。
11 7 5 4 16
12 9 7 5 21
矩阵A的特征方程为 矩阵 的特征方程为 λ3–λ–1=0 有特征值（渐进增长率） 有特征值（渐进增长率）λ=1.3247 特征向量（稳定的年龄结构） 特征向量（稳定的年龄结构） （0.4302，0.3247，0.2451） ， ， ）
离散模型（差分方程） 离散模型（差分方程）的组建 利用平衡原理， 利用平衡原理， 找出每一步对前一步或前几步的依赖关系， 找出每一步对前一步或前几步的依赖关系， 得到以差分方程的形式描述的数学模型。 得到以差分方程的形式描述的数学模型。
= 1 .003675
20
= 18.3723
1 .003675 20 − 1 × 20 − × 0 .15208 0 .003675
练习：一项买房贷款期限 年 练习：一项买房贷款期限15年，每月支付 0.51%利息的 万元商品房贷款，每月应 利息的20万元商品房贷款 利息的 万元商品房贷款， 还款额是多少？ 还款额是多少？ 1 试组建计算等额本息（等额月均）还款的 试组建计算等额本息（等额月均） 数学模型。 数学模型。 2 如果每月偿还当月利息后，再以每月相等 如果每月偿还当月利息后， 的额度偿还本金（等额本金还款）。 的额度偿还本金（等额本金还款）。 试组建等额本金还款的数学模型。 试组建等额本金还款的数学模型。 种还款方式的优劣。 比较 2种还款方式的优劣。 种还款方式的优劣
3. 模型的作用机理 令 a(n) = (a0(n), a1(n))’, 则模型为 a(n) = A a(n-1)
0 1 a11 A= 1 1 = a 21
a12 a 22
a11幼兔的繁殖能力， 幼兔的繁殖能力， a12成兔的繁殖能力， 成兔的繁殖能力， a21幼兔的发育为成兔的比例， 幼兔的发育为成兔的比例， a22成兔存活的比例。 成兔存活的比例。
平衡关系：人口数在区间[t，t+Δ 平衡关系：人口数在区间[t，t+Δt] [t 内的改变量等于这段时间内出生的个 体数与死亡的个体数之差。 体数与死亡的个体数之差 假设3 群体封闭， 假设3. 群体封闭，只考虑生育和死亡 对人口的影响。 对人口的影响。 令B(t, ∆t, N), D(t, ∆t, N) 分别表示生育 数和死亡数, 数和死亡数 则有
模型 a0(n+1)=a1(n)+a2(n) a1(n+1)=a0(n) a2(n+1)=a1(n) 令 a(n) = (a0(n), a1(n), a2(n))’, 则 a(n) = A a(n-1) 其中
0 A = 1 0 1 0 1 1 0 0
分析 1. 模拟 a0(1)=1, a1(1)=0, a2(1)=0 模拟. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a0(n) 1 0 1 1 1 2 2 3 4 5 a1(n) 0 1 0 1 1 1 2 2 3 4 a2(n) 0 0 1 0 1 1 1 2 2 3 a(n)1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 2. 证明 a(n+1) = a(n-1) + a(n-2) a(n+1) = a(n) + a(n-4) Padovan 数列 塑料数 数列(塑料数 塑料数)
假设 1. 2. 3 同上 假设4. 兔子在三个月 假设 兔子在三个月 后生完一对幼兔就离开 群体。 群体。 参量、 参量、变量 成兔: 老兔: 月份: 幼兔: 月份 n, 幼兔 a0(n), 成兔 a1(n), 老兔 a2(n) 平衡关系 本月初的幼兔是上月成兔老兔繁殖的后代。 本月初的幼兔是上月成兔老兔繁殖的后代。 本月初的成兔是上月幼兔发育的结果。 本月初的成兔是上月幼兔发育的结果。 本月初的老兔是上月成兔发育的结果。 本月初的老兔是上月成兔发育的结果。
§3.3 平衡原理 与机理模型
§3.3 平衡原理与机理模型
一. 平衡原理 自然界任何物质在其运动变化过程中 一定受到某种平衡关系的支配。 二. 机理模型 在一定的假设下， 根据主要因素相互作用的机理， 对它们之间的平衡关系的数学描述
关于假设 是对实际问题的抽象、化简和规范 是组建数学模型的基础和前提。 假设较强，模型简单易分析和操作 但与实际差距大。 假设较弱，模型比较接近实际。 但模型复杂不易操作。
r (1 + r ) x = A n (1 + r ) − 1
n
一位教师筹措月利息为0.3675%的15年公积 例 : 一位教师筹措月利息为 的 年公积 金贷款20万元买房 万元买房。 金贷款 万元买房。 1. 每月等额偿还贷款。计算它的月均还款额。 每月等额偿还贷款。计算它的月均还款额。 2. 他已经还款 个月，想知道他还欠多少贷款？ 他已经还款20个月 想知道他还欠多少贷款？ 个月，
月均还款额
r (1 + r ) n x= A n (1 + r ) − 1
0.003675 × 1.003675108 = × 20 108 1.003675 − 1
= 0 .15208
k月后的欠款余额 月后的欠款余额
Ck = (1 + r )k (C0 − C* ) + C* x x k = (1 + r ) ( A − ) + r k r (1 + r ) − 1 k x = (1 + r ) A − r
N (t + ∆t ) − N (t ) = B(t , ∆t , N ) − D (t , ∆t , N )
假设4. 假设4. 从大群体的平均效应考虑生育和 死亡对人口的影响（生育率和死亡率） 生育率 b(t,∆t, N)= B(t,∆t, N)/ N 死亡率 d(t,∆t, N)= D(t,∆t, N)/N 则有 N (t + ∆t ) − N (t ) = R(t , ∆t , N ) N 由于R(t, Δt,N)|Δt=0=0， 将R(t,Δt,N) 关于Δt展开
令 C*= (1+r)C* - x, 则有 C*= x/r. • 可得 • Ck-C* = (1+r) (Ck-1-C*) • = (1+r)k(C0-C*) • 利用 C0=A, Cn=0 和 C*=x/r 可得 • (1+r)n(A-x/r)-x/r=0 • (1+r)nA-{[(1+r)n-1]/r}x = 0