2017二项式定理习题.ppt
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二项式定理ppt课件
1
答案:10
课堂小结
1.二项式定理的概念、特点,用二项式定理解决整除问题.
2.通项的应用.利用通项求二项展开式的某一项,特定项和特定项的系数.
3.简单了解二项式系数.
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课时作业
(2)解:0.998 =(1-0.002) =1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002) +…+ ×(-0.002) .
2
2
由题意知 T3= ×(-0.002) =15×0.002 =0.000 06<0.001,
且第 3 项以后(包括第 3 项)的项的绝对值都远小于 0.001,
探究点一
角度1
通项公式及其应用
求二项展开式中的特定项
[例 1] ( -
10
) 的展开式中,所有的有理项为
.
解析:二项展开式的通项为
-
Tk+1= (- ) .
-
由题意知
令
∈Z,且 0≤k≤10,k∈N.
-
=r(r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r.
n
答案:(-1)n
.
4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=
.
解析:x 是(1+kx ) 的展开式的第 5 项,x 的系数为 k =15k .由已知得
4
4
15k <120,即 k <8.又 k 是正整数,故 k=1.
8
答案:1
2 6
8
4
4
课堂探究·素养培育
6
6
答案:10
课堂小结
1.二项式定理的概念、特点,用二项式定理解决整除问题.
2.通项的应用.利用通项求二项展开式的某一项,特定项和特定项的系数.
3.简单了解二项式系数.
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课时作业
(2)解:0.998 =(1-0.002) =1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002) +…+ ×(-0.002) .
2
2
由题意知 T3= ×(-0.002) =15×0.002 =0.000 06<0.001,
且第 3 项以后(包括第 3 项)的项的绝对值都远小于 0.001,
探究点一
角度1
通项公式及其应用
求二项展开式中的特定项
[例 1] ( -
10
) 的展开式中,所有的有理项为
.
解析:二项展开式的通项为
-
Tk+1= (- ) .
-
由题意知
令
∈Z,且 0≤k≤10,k∈N.
-
=r(r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r.
n
答案:(-1)n
.
4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=
.
解析:x 是(1+kx ) 的展开式的第 5 项,x 的系数为 k =15k .由已知得
4
4
15k <120,即 k <8.又 k 是正整数,故 k=1.
8
答案:1
2 6
8
4
4
课堂探究·素养培育
6
6
二项式定理 课件
系数； (2)求x－1x9 的展开式中 x3 的系数． 解 (1)(1＋2x)7 的展开式的第 4 项是 T3＋1＝C37×17－3×(2x)3 ＝C73×23×x3＝35×8x3＝280x3. 所以展开式的第 4 项的二项式系数是 35，系数是 280.
(2)x－1x9 的展开式的通项是 Cr9x9－r－1xr＝(－1)rCr9x9－2r. 根据题意，得 9－2r＝3，r＝3. 因此，x3 的系数是(－1)3C93＝－84.
1＋1x4＝1＋C141x＋C241x2＋C341x3＋1x4＝1＋4x＋
方法二 1＋1x4＝1x4(x＋1)4＝1x4[x4＋C14x3＋C24x2＋C34x＋1] ＝1＋4x＋x62＋x43＋x14.
探究点二 二项展开式的通项 例 2 (1)求(1＋2x)7 的展开式的第 4 项的二项式系数、项的
问题 3 二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？ 答 (1)它有 n＋1 项，各项的系数 Ckn(k＝0,1，…，n)叫二项 式系数； (2)各项的次数都等于二项式的次数 n.
问题 4 二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有 代表性？ 答 (1)字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0，字母 b 按升 幂排列，次数由 0 递增到 n； (2)Cknan－kbk 叫二项展开式的通项，用 Tk＋1 表示，即通项 Tk＋1＝Cknan－kbk.
＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
小结 在展开二项式之前根据二项式的结构特征进行必要变 形可使展开多项式的过程得到简化，例如求(1－x)5(1＋x＋x2)5 的展开式，可将原式变形为(1－x3)5，再展开较为方便．
跟踪训练 1 求1＋1x4 的展开式．
解 方法一 x62＋x43＋x14.
(2)x－1x9 的展开式的通项是 Cr9x9－r－1xr＝(－1)rCr9x9－2r. 根据题意，得 9－2r＝3，r＝3. 因此，x3 的系数是(－1)3C93＝－84.
1＋1x4＝1＋C141x＋C241x2＋C341x3＋1x4＝1＋4x＋
方法二 1＋1x4＝1x4(x＋1)4＝1x4[x4＋C14x3＋C24x2＋C34x＋1] ＝1＋4x＋x62＋x43＋x14.
探究点二 二项展开式的通项 例 2 (1)求(1＋2x)7 的展开式的第 4 项的二项式系数、项的
问题 3 二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？ 答 (1)它有 n＋1 项，各项的系数 Ckn(k＝0,1，…，n)叫二项 式系数； (2)各项的次数都等于二项式的次数 n.
问题 4 二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有 代表性？ 答 (1)字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0，字母 b 按升 幂排列，次数由 0 递增到 n； (2)Cknan－kbk 叫二项展开式的通项，用 Tk＋1 表示，即通项 Tk＋1＝Cknan－kbk.
＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
小结 在展开二项式之前根据二项式的结构特征进行必要变 形可使展开多项式的过程得到简化，例如求(1－x)5(1＋x＋x2)5 的展开式，可将原式变形为(1－x3)5，再展开较为方便．
跟踪训练 1 求1＋1x4 的展开式．
解 方法一 x62＋x43＋x14.
6.3.1二项式定理PPT课件(人教版)
①
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
反思 感悟
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底 数化成两数的和与差的情势，且这种转化情势与除数有密切 的关系.
跟踪训练4 (1)已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.
证明 1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝11－－225n＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1 ＝31n＋C1n×31n－1＋…＋Cnn－1×31＋1－1＝31×(31n－1＋C1n×31n－2＋… ＋Cnn－1)， 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.
反思 感悟
求多项式积的特定项的方法——“双通法”
所 谓 的 “ 双 通 法 ” 是 根 据 多 项 式 与 多 项 式 的 乘 法 法 则 得 到 (a ＋ bx)n(s＋tx)m 的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝Cknan－k(bx)k·Crmsm－r(tx)r，再 依据题目中对指数的特殊要求，确定 r 与 k 所满足的条件，进而求 出 r，k 的取值情况.
跟踪训练 2
在2
x－
1
6
x
的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
解 第 3 项的二项式系数为 C26＝15，
又 T3＝C26(2
x)4－
1x2＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)含x2的项.
解
Tk＋1＝Ck6(2
x)6－k－
1xk＝(－1)k26－kCk6x3－k，
令3－k＝2，解得k＝1，
(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为
A.10
B.－10
√C.2
D.－2
二项式定理ppt课件
$(a+b)^4$ 的中间项是 什么？
$(a-b)^5$ 的展开式中 ，$a^4$ 的系数是多少
？
深化习题
01
02
03
04
深化习题1
利用二项式定理展开 $(a+b)^5$，并找出所有项
的系数。
深化习题2
求 $(a+b+c)^3$ 的展开式中 $a^2b$ 的系数。
深化习题3
利用二项式定理证明 $(a+b)^n$ 的展开式中，中
组合数学是研究组合问题的一 门数学分支，与二项式定理密 切相关。
在二项式定理的推导过程中， 组合数学原理提供了组合数的 计算方法和组合公式的应用。
通过组合数的计算，我们可以 得到二项式展开的各项系数， 进一步验证二项式定理的正确 性。
幂级数的展开与收敛
幂级数是数学分析中的重要概念 ，与二项式定理的推导密切相关
微积分中的应用
二项式定理在微积分中有着广泛的应用，如在求极限、求导和积分等运算中。
概率论中的应用
在概率论中，二项式定理可以用于计算组合数学中的一些概率分布，如二项分 布和超几何分布等。
05
习题与思考题
基础习题
基础习题1
基础习题2
基础习题3
基础习题4
$(a+b)^2$ 的展开式是 什么？
$(a-b)^3$ 的展开式是 什么？
概率分布
利用二项式定理，可以推 导二项分布的概率分布函 数和概率密度函数。
概率推断
在贝叶斯推断中，二项式 定理可以用于计算后验概 率和预测概率。Leabharlann 二项式定理在组合数学中的应用
01
组合数的计算
利用二项式定理，可以计算组合数$C(n, k)$，即从n个不同元素中取出
二项式定理 课件
100 的余数.
0
90
91
1
又 992=(10-1)92=C92
·1092-C92
·1091+…+C92
·102-C92
·10+1,
前 91 项均能被 100 整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前
面的数中分离出 1 000,结果为 1 000-919=81,故 9192 被 100 除所得
余数为 81.
用1110=(10+1)10的展开式进行证明,第(2)小题则可利用9192=(1009)92的展开式,或利用(90+1)92的展开式进行求解.
9
1
(1)证明 ∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+C10
·109+…+C10
·10+1)-1
1
2
=1010+C10
·109+C10
·108+…+102
答案:-56
1.如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数
剖析两者是不同的概念. C (r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,而某
一项的系数是指此项中除字母外的部分.如(1+2x)7 的二项展开式的
第 4 项的二项式系数为C73 =35,而其第 4 项的系数为C73 ·23=280.
2.如何用组合的知识理解二项式定理
二项式定理
1.二项式定理
二项展开式:(a+b)n=C0 + C1 − 1 + ⋯ + C − +
⋯ + C (n∈N*)叫做二项式定理,其中各项的系数C (k∈
{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.
0
90
91
1
又 992=(10-1)92=C92
·1092-C92
·1091+…+C92
·102-C92
·10+1,
前 91 项均能被 100 整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前
面的数中分离出 1 000,结果为 1 000-919=81,故 9192 被 100 除所得
余数为 81.
用1110=(10+1)10的展开式进行证明,第(2)小题则可利用9192=(1009)92的展开式,或利用(90+1)92的展开式进行求解.
9
1
(1)证明 ∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+C10
·109+…+C10
·10+1)-1
1
2
=1010+C10
·109+C10
·108+…+102
答案:-56
1.如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数
剖析两者是不同的概念. C (r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,而某
一项的系数是指此项中除字母外的部分.如(1+2x)7 的二项展开式的
第 4 项的二项式系数为C73 =35,而其第 4 项的系数为C73 ·23=280.
2.如何用组合的知识理解二项式定理
二项式定理
1.二项式定理
二项展开式:(a+b)n=C0 + C1 − 1 + ⋯ + C − +
⋯ + C (n∈N*)叫做二项式定理,其中各项的系数C (k∈
{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.
二项式定理 课件
数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．
二项展开式通项的应用
已知二项式 2
x－1 6 x
(1)求展开式第 4 项的二项式系数，
(2)求展开式第 4 项的系数，
(3)求第 4 项.
[思路探究] 利用二项式定理的展开式中某一项
[解]
由已知得2
x－1x6的展开式的通项是
Tk＋1＝Ck6(2 x)6－k－1xk＝Ck626－k(－1)k·x6－23k(k＝0,1,2，…，6)
二项式定理
1．二项式定理 (a＋b)n＝_C__0na_n_＋__C_1n_a_n_－_1b_＋___C_2n_a_n－_2_b_2_＋__…__＋__C_kn_a_n－_k_b_k_＋__…__＋__C_nn_bn(n∈N*)． (1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式，展开式中一共 有__n_＋__1_项． (3)二项式系数：各项的系数_C__nk _ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项公式 (a＋b)n 展开式的第__k_＋__1_项叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1＝C__nka_n_－_k_b.k
已知在
3
3 x－3
x
n 的展开式中，第
6
项为常数项．
(1)求 n；
(2)求含 x2 项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项.
[思路探究] 写出通项Tr＋1 → 令r＝5，x的指数为零 → 1求出n值 → 修正通项公式 → 2求x2项的系数 → 考察x指数为整数 → 分析求出k值 → 3写出有理项
[规律方法]
二项式定理的双向功能
(1)正用：将二项式(a＋b)n 展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到
高考理科数学《二项式定理》课件
二项式定理
1．二项式定理
(a＋b)n＝_______________________(n∈N*)，这个公式所表示
的规律叫做二项式定理．(a＋b)n 的二项展开式共有____________
项，其中各项的系数____________(k∈{0，1，2，…，n})叫做二 项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用 Tk＋1
A．1 024 B．243 C．32 D．24
解：令 x＝－1 得 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝|a0|＋|a1|
＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024．故选
A．
(3)设 22＋x2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则(a0
＋ a2 ＋ a4 ＋ … ＋ a2n)2 － (a1 ＋ a3 ＋ a5 ＋ … ＋ a2n － 1)2 ＝
所以 2n＝32(负值舍去)，解得 n＝5．
(1)由二项式系数的性质知，2x＋1x10的展开式中第 6 项的二
项式系数最大，即 C510＝252．
所以 T6＝C510(2x)5 x15＝C51025＝8 064．
(2)设第 r＋1 项的系数最大， 因为 Tr＋1＝Cr10(2x)10－r x1r＝Cr10210－rx10－2r，
为 a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－2f（－1）．
(1)(
2018·岳阳模拟
)
若
二
项
式
(3x2
－
1 x
)n
的展开式中各项系数的和是 512，则展开式中的常数项 为( )
A．－27C39 B．27C93 C．－9C49 D．9C49
解：令 x＝1 得 2n＝512，所以 n＝9，故(3x2－1x)9
1．二项式定理
(a＋b)n＝_______________________(n∈N*)，这个公式所表示
的规律叫做二项式定理．(a＋b)n 的二项展开式共有____________
项，其中各项的系数____________(k∈{0，1，2，…，n})叫做二 项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用 Tk＋1
A．1 024 B．243 C．32 D．24
解：令 x＝－1 得 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝|a0|＋|a1|
＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024．故选
A．
(3)设 22＋x2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则(a0
＋ a2 ＋ a4 ＋ … ＋ a2n)2 － (a1 ＋ a3 ＋ a5 ＋ … ＋ a2n － 1)2 ＝
所以 2n＝32(负值舍去)，解得 n＝5．
(1)由二项式系数的性质知，2x＋1x10的展开式中第 6 项的二
项式系数最大，即 C510＝252．
所以 T6＝C510(2x)5 x15＝C51025＝8 064．
(2)设第 r＋1 项的系数最大， 因为 Tr＋1＝Cr10(2x)10－r x1r＝Cr10210－rx10－2r，
为 a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－2f（－1）．
(1)(
2018·岳阳模拟
)
若
二
项
式
(3x2
－
1 x
)n
的展开式中各项系数的和是 512，则展开式中的常数项 为( )
A．－27C39 B．27C93 C．－9C49 D．9C49
解：令 x＝1 得 2n＝512，所以 n＝9，故(3x2－1x)9
二项式定理(一)课件
03 二项式定理的扩展与推广
二项式定理的扩展形式
01
02
03
04
二项式定理的扩展形式包括二 项式定理的逆用、二项式定理 的变形以及二项式定理的推广
。
二项式定理的逆用是指将二项 式定理中的幂次和系数互换，
从而得到新的等式。
二项式定理的变形是指通过改 变二项式定理中的幂次或系数
，从而得到新的等式。
二项式定理的推广是指将二项 式定理应用到更广泛的情况， 例如应用到多项式、分式等。
解析
根据二项式定理，$(a + b)^{2}$ 可以展开为 $a^{2} + 2ab + b^{2}$，与给定的等式一致。
习题二：证明题
题目
证明 $(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}$。
解析
首先展开 $(a - b)(a + b)$，得到 $a^{2} - b^{2}$，与给定的等式一致。
习题三：综合应用题
题目
计算 $(a + b + c)^{3}$ 的展开式。
解析
根据二项式定理，$(a + b + c)^{3}$ 可以展开为 $a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} + c^{3} + 3ac^{2} + 3bc^{2} + 3ab^{2}c + 3ac^{2}b$。
利用组合数的性质和二项式展开式的 性质来推导公式。
公式证明的过程
基础步骤
当$n=0$和$n=1$时，公式成立。
归纳步骤
假设当$n=k$时公式成立，证明当$n=k+1$时公式也成立。
二项式定理 课件
命题方向3 ⇨二项式系数与项的系数问题
典例 3 (1)求二项式(2 x－1x)6 的展开式中第 6 项的二项式系数和第 6 项 的系数；
(2)求(x－1x)9 的展开式中 x3 的系数．
• [思路分析] 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以 通过二项展开式的通项公式进行求解．
[解析] 由已知得二项展开式的通项为 Tr＋1＝C6r(2 x)6－r·(－1x)r ＝(－1)rCr626－r·x3－32r ∴T6＝－12·x－92． ∴第 6 项的二项式系数为 C56＝6， 第 6 项的系数为 C56·(－1)·2＝－12． (2)Tr＋1＝Cr9x9－r·(－1x)r＝3，
• [点评] 要注意区分某项的系数与二项式系数．
• 『规律总结』 1.展开二项式可按照二项式定理进行．展 开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点 是展开二项式的前提条件．
• 2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．
• 3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆 用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各 项幂指数的规律以及各项的系数．
[解析] (1－2x)6 的展开式的通项 Tr＋1＝Cr6(－2)rxr，当 r＝2 时，T3＝C26(－2)2x2 ＝60x2，所以 x2 的系数为 60．
命题方向1 ⇨求二项展开式中特定的项
典例 1 已知( x－2)n 展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162，求： x
(1)n 的值； (2)展开式中含 x3 的项．
∴r＝3，即展开式中第四项含 x3，其系数为(－1)3·C39＝－84．
『规律总结』 1.二项式系数都是组合数 Cnr(r∈{0,1,2，…，n})，它与二项 展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式 中“项的系数”这两个概念．
6.3.1二项式定理课件共15张PPT
和 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3的概括和推广，
它是以多项式的乘法公式为基础，以组合知识为工具，
用不完全归纳法得到的，其证明可用数学归纳法．
（2）对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指
数、通项等方面的特征去熟悉他的展开式．通项公式
Tr 1 C a
r
率9％，按复利计算，10年后收回本金和利息。
试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资10年后大约
可多得利息多少元？
分析：本金10万元，年利率11％，按单利计算，10年后的本利和是
10×(1＋11％×10)＝21(万元);
本金10万元，年利率9％，按复利计算，10年后的本利和是10×(1＋
9％)10;
x
60 12 1
64 x 192x 240x 160
2 3
x x
x
3
2
0 n
1 n 1
a
b
C
a
C
n
例题讲评
例2： 求 (2 x
解:
1 6
) 的展开式中
x
的展开式的通项：
根据题意，得
因此， 2 的系数是
x
x 的系数。
艾萨克·牛顿 Isaac
Newton (1643—1727) 英国
科学家．他被誉为人类历史上
最伟大的科学家之一．他不仅
是一位物理学家、天文学家，
还是一位伟大的数学家．
牛顿二项式定理
新课引入
某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年
利率11％，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种是年利
2016_2017学年高中数学第1章计数原理5二项式定理第2课时二项式系数的性质课件
数最大，则与之相邻两项(第r项，第r＋2项)的系数均不大于第 r＋1项的系数，由此列不等式组可确定r的范围，再依据r∈N＋ 来确定r的值，即可求出最大项．
3．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开 式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
解析：
5 6 6 T6＝C5 (2 x ) ， T ＝ C (2 x ) ， n 7 n 5 6 6 依题意有 C5 2 ＝ C n n2 ⇒n＝8. 4 ∴(1＋2x)8 的展开式中， 二项式系数最大的项为 T5＝C4 (2 x ) 8
100－r r r (5)方法一：∵Tr＋1＝(－1)rCr 2 ( 3) x， 100
∴a2k－1<0(k∈N＋)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2 ＋ 3)100. 方法二：把已知等式的左边的“一”号改为“＋”号，再 令 x＝1，则：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝(2＋ 3)100.
[边听边记] 第 19 项是 C2 11.
1 由图知，数列中的首项是 C2 2，第 2 项是 C2，
1 2 1 第 3 项是 C2 ， 第 4 项是 C ， … ， 第 17 项是 C ， 第 18 项是 C 3 3 10 10，
2 1 2 1 2 1 2 ∴S19＝(C1 ＋ C ) ＋ (C ＋ C ) ＋ (C ＋ C ) ＋ … ＋ (C ＋ C 2 2 3 3 4 4 10 10 ) ＋
[规范解答]
(1)二项式系数最大的项是第 11 项． 2分
10 10 10 10 10 10 10 10 T11＝C10 · 3 · ( － 2) x y ＝ C 6 x y . 20 20·
(2)设系数绝对值最大的项是第 r＋1 项，于是
3．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开 式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
解析：
5 6 6 T6＝C5 (2 x ) ， T ＝ C (2 x ) ， n 7 n 5 6 6 依题意有 C5 2 ＝ C n n2 ⇒n＝8. 4 ∴(1＋2x)8 的展开式中， 二项式系数最大的项为 T5＝C4 (2 x ) 8
100－r r r (5)方法一：∵Tr＋1＝(－1)rCr 2 ( 3) x， 100
∴a2k－1<0(k∈N＋)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2 ＋ 3)100. 方法二：把已知等式的左边的“一”号改为“＋”号，再 令 x＝1，则：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝(2＋ 3)100.
[边听边记] 第 19 项是 C2 11.
1 由图知，数列中的首项是 C2 2，第 2 项是 C2，
1 2 1 第 3 项是 C2 ， 第 4 项是 C ， … ， 第 17 项是 C ， 第 18 项是 C 3 3 10 10，
2 1 2 1 2 1 2 ∴S19＝(C1 ＋ C ) ＋ (C ＋ C ) ＋ (C ＋ C ) ＋ … ＋ (C ＋ C 2 2 3 3 4 4 10 10 ) ＋
[规范解答]
(1)二项式系数最大的项是第 11 项． 2分
10 10 10 10 10 10 10 10 T11＝C10 · 3 · ( － 2) x y ＝ C 6 x y . 20 20·
(2)设系数绝对值最大的项是第 r＋1 项，于是
二项式定理-PPT课件
1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文
展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗？
解：④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数： 展开式共有n＋1项.
②次数： 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列，由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式； x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数： Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项：Tk1 Cnk ankbk
思想方法：
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业： 课本36页习题1.3A组第2，4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x
第三节 二项式定理 课件(共36张PPT)
其展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ck4(x2＋x)4－kyk，
因为要求x3y2的系数，所以k＝2， 所以T3＝C24(x2＋x)4－2y2＝6(x2＋x)2y2. 因为(x2＋x)2的展开式中x3的系数为2， 所以x3y2的系数是6×2＝12.
法二 (x2＋x＋y)4表示4个因式x2＋x＋y的乘积，在 这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个 选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项，故x3y2的系 数是C24·C12·C11＝12.
对于几个多项式和的展开中的特定项(系数)问题， 只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定 的项，再求和即可．
角度 几个多项式积的展开式中特定项(系数)问题 [例4] (1)(2x－3) 1＋1x 6 的展开式中剔除常数项后的 各项系数和为( ) A．－73 B．－61 C．－55 D．－63 (2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0， 则正实数a＝________． 解析：(1)(2x－3)1＋1x6的展开式中所有项的系数和为 (2－3)(1＋1)6＝－64，(2x－3)1＋1x6＝
为( )
A．－1
B．1
C．32
解析：由题意可得CC6162aa54bb＝2＝－13158，，
D．64
解得ab＝＝1－，3，或ab＝＝－3. 1，则(ax＋b)6＝(x－3)6， 令x＝1得展开式中所有项的系数和为(－2)6＝64，故选D. 答案：D
2．(2020·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋
[例2] (1)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋ a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝( )
2016_2017学年高中数学第1章计数原理5二项式定理第1课时二项式定理课件
2．(1－x)10展开式中x3项的系数为( A．－720 B．720
)
C．120
3 3 可得 T3＋1＝C3 ( － x ) ＝－ 120 x . 10
D．－120
r r 解析： 由通项公式 Tr＋1＝C10 (－x)r＝(－1)rCr · x 令 r＝3， 10 ，
答案： D
3.x－
3 5 T3＋1＝Cn(
项．
解析： 项． n－3 ∴ 5 －3＝0，n＝18，它的中间项为第 10 项， 即
9 5 T9＋1＝C18(
x)
n －3
1 3 n－3 － 3＝C3 －3 n(－1) x x 5
为常数
x)
18－9
1 36 － 9＝－C9 18x－ 5. x
－
Cna b ，它表示展开式的第 项，用 Tr＋1 表示，记 Tr＋ 1＝ __________
r n－r r
r＋1 __________ 项．
正确理解二项式定理 1．系数
k 注意二项式系数 Cn 与展开式中对应项的系数不一定相等，
二项式系数一定为正，而项的系数有时可能为负． 2．通项
n k k 通项 Tk＋1＝Ck b ，它是(a＋b)n 的展开式的第 k＋1 项， na
n
－
－
这个公式叫做二项式定理，它是一个恒等式，右边的多项 r 二项展开式 ， 式叫(a＋b)n 的_____________ 其中各项的系数 Cn (r＝0,1,2， „，
r n r r C a b 叫做二项展开式的通 二项式系数 n n) 叫做 _____________ ．式中 __________
24 的展开式中的常数项为_________.(用数字作答) x
二项式定理课件ppt
二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式 ，例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理，我们可以求解一些函数的泰勒级数展 开，从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数，我们可以利用二项式定理找到 其求和的方法。
其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广 ，它具有与组合数相同的性 质，例如
1. 对称性：对于任何自然数n ，C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性：C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式：C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发 现，用于解决一些特殊的数学问题。
之后，许多数学家都对二项式定理进 行了研究和推广，使其成为现代数学 中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础，可以帮助我们理解和分 析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中，二项式定理可以用于计算样本数量较少时 的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上，通过解决 一些相对复杂的进阶题目，帮助学生深入理 解二项式定理的概念和变形方式，进一步提 高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣
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2(a1 a3 a5 a7 ) f (1) f (1) 2 4
7
7
（ 3） 因为a1, a3 , a5 , a7是负数
所以 a0 a1 a2 a7 a0 a1 a2 a7 (a0 a1 a2 a7 ) f (1) (4)7 47
2 4
2
3 4
4 4
1 4 3 2 2 (81x 108 x 54 x 12 x 1) x
12 1 81x 108 x 54 2 x x
2
例题2 若
n N ,( 2 1) 2an bn , (an , bn Z ) ,则 bn 的值(A )
2
偶
4 n
4
偶
所以
bn
为奇数
故选(A)
思考
能用特殊值法吗?
题型2 利用通项求符合要求的项或项的系数
例3 求
解:
Tr 1 C ( x ) ( x ) (1) C x
r 9 r
r r 9
x x 展开式中的有理项
3
9
1 2
9 r
1 3
27 r 6
27 r 3 r 令 Z即4 Z (r 0,19) 6 6
x 的系数为: 0 4 0 5 1 2 4 2 0 2 3 C5 C6 (1) 2 C5C6 (1)2 C5 C6 (1) 2
所以 例题点评 对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两 个通项之积比较方便运算
6
640
题型8 三项式转化为二项式
1 8 例13 求( x 1 ) 展开式中的常数项 x
20 ( 3 x 2 y ) 例16 在 的展开式中，系数绝对值最大的项
解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则
C 3 2 C 3 2 r 20r r r 1 21 r r 1 C 20 3 2 C 20 3 2 37 42 r 8 r
2
1 n 1 n
2 n2 n
n n n
(1 2) 3
n
n
解:(2)原式 C
[( x 1) 1] 1
5
( x 1) C ( x 1) C ( x 1) 4 5 5 3 2 C5 ( x 1) C5 ( x 1)C5 C5
0 5 5
1 5 4 2 5
( x 1) (2 x 1) 的通项是
6 5
C C (1) 2 x
s 5 r 6
s 5 s
16 r 2 s 2
由题意知
16 r 2 s 2
6
r 2 s 4 (r 0 6, s 05)
r 0 解得 s 2 r 2 s 1 r 4 s 0
题型6 求展开式中各项系数和 2 n 1 例10.(2x 1) 的展开式的各项系数和为____ 解：设 (2x2 1)n a0 x2n a1x2( n1) an 展开式各项系数和为 a0 a1 a2 an ∵上式是恒等式，所以当且仅当x=1时， (2-1)n= a0 a1 a2 an ∴ a0 a1 a2 an =（2-1）n=1 例题点评 求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项 式中的字母为1
6 ( x 1) (2 x 1) 例题9:求 的展开式中 x 项
6
5
的系数.
解 ( x 1)6 的通项是 C ( x )
r 6 6r
C x
r 6
6 r 2
(2 x 1) 的通项是
5
C (2 x) (1) C (1) 2 x
s 5 s s 5
5 s
s 5 s 5 s
2
例8．求 x (1 x) x (1 2x) x (1 3x) 展开式中 4 x 的系数。 4 x 解:可逐项求得 的系数 r r 4 (1 x) 的展开式通项为 C4 ( x) 当r 3 时 系数为-4 8 (1 2 x) 的展开式通项为C8s (2x)s 当s 2 时 2 系数为 4C8 112 12 t t (1 3x) 的展开式通项为 C12 (3x) 当 t 1时 1 系数为 3C12 36
分析：第 k+1 项的二项式系数 ---c 第 k+1 项的系数-具体数值的积。
k n
2 3 解： 因为T4 T31 (1) c ( x ) ( ) , x 3 所以第四项的二项式系 数是c10 120.
3 3 10 7
第四项的系数是- c 8 960.
3 10
例题点评
求二项展开式的某一项,或者求满足某种条 件的项,或者求某种性质的项,如含有x 3 项 的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项 式的通项求解. 注意(1)二项式系数与系数的区别. r n r r (2) Tr 1 Cn a b 表示第 r 项.
解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式
1 8 1 ( x 1 ) [( x ) 1]8 x x
1 8 1 1 7 1 7 C ( x ) C8 ( x ) C8 ( x ) C88 x x x 再利用二项式定理逐项分析常数项得
0 8
C C C C C C C C C
0 8 4 8 2 8 3 6 4 8 2 4 6 8 1 2
8 8
=1107
240 例14 ( x 3x 2) 的展开式中x 的系数是 ___________
2 5
解：原式化为[(x2 2) 3x]5
其通项公式为 Tr 1 C ( x 2) (3x)
r 5 2
5r
r
要使x的指数为 1, 只需r 1
r 3或r 9
27 r 3 3 4 4 r 3 4 T4 (1) C9 x 84 x 6 27 r 9 9 3 3 r 9 3 T10 (1) C9 x x 6 3 4 原式的有理项为:T4 84 x T10 x
1 8 ) 的展开式中 例4(04全国卷) ( x x 系数为__________
7
f (1) a0 a1 a2 a7 f (1) a0 a1a2 a3 a7
6 13
(1) a1 a3 a5 a7 2 2 8128 (2) a0 a2 a4 a6 f (1) (a1 a7 ) 8256
n
1 例1 求 3 x 的展开式 x
4
1 3x 1 1 0 4 3 x 2 [C4 (3 x) 解法2 2 x x x
4
4
化 简 后 再 展 开
C (3x) C (3x) C (3x) C ]
1 4 3
3
x 1
5
例题点评 逆向应用公式和变形应用公式是高中数学 的难点,也是重点,只有熟练掌握公式的正 用,才能掌握逆向应用和变式应用
题型4 求多项式的展开式中特定的项(系数)
例7 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)
2 3 4
n
A 一定为奇数 解:
C 一定为偶数 1 2 2 0 n 2an bn (1 2) C n Cn 2 Cn ( 2) 3 3 n n Cn ( 2) Cn ( 2)
B 与n的奇偶性相反 D 与n的奇偶性相同
bn C C ( 2) C ( 2)
0 n 奇
2 n
题型3 二项式定理的逆用 例6 计算并求值
1 n 2 n n n n
5 4 3 2
(1) 1 2C 4C 2 C
5( x 1)
0 n n
(2) ( x 1) 5( x 1) 10( x 1) 10( x 1)
解(1):将原式变形
原式 C 1 C 1 2 C 1 2 C 2
4 2 8 3 12
所以 x(1 x) x (1 2x) x (1 3x) 系数为 4 112 36 144
4 2 8 3
12
展开式中的
例题点评 求复杂的代数式的展开式中某项 (某项的系数),可以逐项分析求解, 常常对所给代数式进行化简,可以 减小计算量
题型5 求乘积二项式展开式中特定的项(特 定项的系数)
题型7：求奇数(次)项偶数(次)项系数的和
例12 已知(3 x 1) a0 x a1 x a6 x a7 求(1)a1 a3 a5 a7 (2)a0 a2 a4 a6 (3) a0 a1 a2 a7
7 7 6
解 : 设f ( x) (3x 1)
T2 C ( x 2) 3x
1 5 2 4
15x( x 4 2x 6 4x 4 8x 2 )
8 6 4 2 4
所以x的系数为 15 2 240
4
例题点评 括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合 并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二 项式.
复习旧知
二项式定理
a b
n
C a C a b C a b
0 n n 1 n -1 n 2 n- 2 2 n
C ab C b
n -1 n n -1
n n n
二项式展开的通项
Tr 1 C a b
r n-r r 第 n
r 1 项
利用 a b 的二项展开式解题 4 1 的展开式 例1 求 3 x x 4 3 1 4 1 1 0 C 3 x C 3 x 4 解法1 3 x 4 x x 1 2 1 3 2 2 3 C4 (3 x ) ( ) C4 (3 x )( ) 式直 x x 定接 1 4 4 C4 ( ) 理用 x 展二 12 1 开项 2 81x 108 x 54 2 x x 题型1