2017二项式定理习题.ppt

6 ( x 1) (2 x 1) 例题9:求 的展开式中 x 项
6
5
的系数.
解 ( x 1)6 的通项是 C ( x )
r 6 6r
C x
r 6
6 r 2
(2 x 1) 的通项是
5
C (2 x) (1) C (1) 2 x
s 5 s s 5
5 s
s 5 s 5 s
( x 1) (2 x Biblioteka Baidu 1) 的通项是
6 5
C C (1) 2 x
s 5 r 6
s 5 s
16 r 2 s 2
由题意知
16 r 2 s 2
6
r 2 s 4 (r 0 6, s 05)
r 0 解得 s 2 r 2 s 1 r 4 s 0
r 3或r 9
27 r 3 3 4 4 r 3 4 T4 (1) C9 x 84 x 6 27 r 9 9 3 3 r 9 3 T10 (1) C9 x x 6 3 4 原式的有理项为:T4 84 x T10 x
1 8 ) 的展开式中 例4(04全国卷) ( x x 系数为__________
例题点评
求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设 二项式中的字母为1或-1，得到一个或几个等 式，再根据结果求值
题型9 求展开式中系数最大(小)的项
20
例15 在(2 x 3) 的展开式中， 求其项的最大系数 与最大二项式系数的比
解: 设 r 1项是系数最大的项,则
3 C 2 3 C 2 r 20 r r r 1 20 r 1 r 1 3 C20 2 3 C20 2
分析：第 k+1 项的二项式系数 ---c 第 k+1 项的系数-具体数值的积。
k n
2 3 解： 因为T4 T31 (1) c ( x ) ( ) , x 3 所以第四项的二项式系 数是c10 120.
3 3 10 7
第四项的系数是- c 8 960.
3 10
例题点评
求二项展开式的某一项,或者求满足某种条 件的项,或者求某种性质的项,如含有x 3 项 的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项 式的通项求解. 注意(1)二项式系数与系数的区别. r n r r (2) Tr 1 Cn a b 表示第 r 项.
7
f (1) a0 a1 a2 a7 f (1) a0 a1a2 a3 a7
6 13
(1) a1 a3 a5 a7 2 2 8128 (2) a0 a2 a4 a6 f (1) (a1 a7 ) 8256
x 的系数为: 0 4 0 5 1 2 4 2 0 2 3 C5 C6 (1) 2 C5C6 (1)2 C5 C6 (1) 2
所以 例题点评 对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两 个通项之积比较方便运算
6
640
题型8 三项式转化为二项式
1 8 例13 求( x 1 ) 展开式中的常数项 x
0 8 4 8 2 8 3 6 4 8 2 4 6 8 1 2
8 8
=1107
240 例14 ( x 3x 2) 的展开式中x 的系数是 ___________
2 5
解：原式化为[(x2 2) 3x]5
其通项公式为 Tr 1 C ( x 2) (3x)
r 5 2
5r
r
要使x的指数为 1, 只需r 1
5
的展开式中, x 的系数等于___________ 2 解:仔细观察所给已知条件可直接求得 x 的系 3 3 0 1 2 2 数是 C2 (1)C3 ( 1) C4 (1) C5 20 解法2 运用等比数列求和公式得 5 6 ( x 1)[1 ( x 1) ] ( x 1) ( x 1) 原式 x 1 ( x 1) 3 6 在( x 1) 的展开式中,含有 x 项的系数为 2 3 C6 20 所以 x 的系数为-20
r 20 20 r r r 1 20 20 r 1 r 1
11.6 r 12.6
12 20 8 12
系数最大的项是第 13项 即C 2 3
10 二项式系数最大的项为第11项,即 C20
所以它们的比是
12 8 12 C20 23 5 7 13 2 3 10 C20 11
题型7：求奇数(次)项偶数(次)项系数的和
例12 已知(3 x 1) a0 x a1 x a6 x a7 求(1)a1 a3 a5 a7 (2)a0 a2 a4 a6 (3) a0 a1 a2 a7
7 7 6
解 : 设f ( x) (3x 1)


n

1 例1 求 3 x 的展开式 x
4
1 3x 1 1 0 4 3 x 2 [C4 (3 x) 解法2 2 x x x
4
4
化 简 后 再 展 开
C (3x) C (3x) C (3x) C ]
1 4 3
2
1 n 1 n
2 n2 n
n n n
(1 2) 3
n
n
解:(2)原式 C
[( x 1) 1] 1
5
( x 1) C ( x 1) C ( x 1) 4 5 5 3 2 C5 ( x 1) C5 ( x 1)C5 C5
0 5 5
1 5 4 2 5
解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式
1 8 1 ( x 1 ) [( x ) 1]8 x x
1 8 1 1 7 1 7 C ( x ) C8 ( x ) C8 ( x ) C88 x x x 再利用二项式定理逐项分析常数项得
0 8
C C C C C C C C C
n
A 一定为奇数 解:
C 一定为偶数 1 2 2 0 n 2an bn (1 2) C n Cn 2 Cn ( 2) 3 3 n n Cn ( 2) Cn ( 2)
B 与n的奇偶性相反 D 与n的奇偶性相同
bn C C ( 2) C ( 2)
0 n 奇
2 n
2
例8．求 x (1 x) x (1 2x) x (1 3x) 展开式中 4 x 的系数。 4 x 解:可逐项求得 的系数 r r 4 (1 x) 的展开式通项为 C4 ( x) 当r 3 时 系数为-4 8 (1 2 x) 的展开式通项为C8s (2x)s 当s 2 时 2 系数为 4C8 112 12 t t (1 3x) 的展开式通项为 C12 (3x) 当 t 1时 1 系数为 3C12 36
2 4
2
3 4
4 4
1 4 3 2 2 (81x 108 x 54 x 12 x 1) x
12 1 81x 108 x 54 2 x x
2
例题2 若
n N ,( 2 1) 2an bn , (an , bn Z ) ,则 bn 的值(A )
3
x 1
5
例题点评 逆向应用公式和变形应用公式是高中数学 的难点,也是重点,只有熟练掌握公式的正 用,才能掌握逆向应用和变式应用
题型4 求多项式的展开式中特定的项(系数)
例7 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)
2 3 4
x
5
的
解: 设第 r 1项为所求
Tr 1 C x ( x ) r r 8 r 2 (1) C8 x x 3 r r 8 2 r (1) C8 x
r 8 r 8 r
1 2 r
x
3r 由8 5可得r 2 2
5
的系数为 ( 1) C 28
2 2 8
2 10 例5.求( x ) 的展开式中第四项的二 项式系数 x 和第四项的系数 .
4 2 8 3 12
所以 x(1 x) x (1 2x) x (1 3x) 系数为 4 112 36 144
4 2 8 3
12
展开式中的
例题点评 求复杂的代数式的展开式中某项 (某项的系数),可以逐项分析求解, 常常对所给代数式进行化简,可以 减小计算量
题型5 求乘积二项式展开式中特定的项(特 定项的系数)
2(a1 a3 a5 a7 ) f (1) f (1) 2 4
7
7
（ 3） 因为a1, a3 , a5 , a7是负数
所以 a0 a1 a2 a7 a0 a1 a2 a7 (a0 a1 a2 a7 ) f (1) (4)7 47
T2 C ( x 2) 3x
1 5 2 4
15x( x 4 2x 6 4x 4 8x 2 )
8 6 4 2 4
所以x的系数为 15 2 240
4
例题点评 括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合 并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二 项式.
题型3 二项式定理的逆用 例6 计算并求值
1 n 2 n n n n
5 4 3 2
(1) 1 2C 4C 2 C
5( x 1)
0 n n
(2) ( x 1) 5( x 1) 10( x 1) 10( x 1)
解(1):将原式变形
原式 C 1 C 1 2 C 1 2 C 2
复习旧知
二项式定理
a b
n
C a C a b C a b
0 n n 1 n -1 n 2 n- 2 2 n
C ab C b
n -1 n n -1
n n n
二项式展开的通项
Tr 1 C a b
r n-r r 第 n
r 1 项
利用 a b 的二项展开式解题 4 1 的展开式 例1 求 3 x x 4 3 1 4 1 1 0 C 3 x C 3 x 4 解法1 3 x 4 x x 1 2 1 3 2 2 3 C4 (3 x ) ( ) C4 (3 x )( ) 式直 x x 定接 1 4 4 C4 ( ) 理用 x 展二 12 1 开项 2 81x 108 x 54 2 x x 题型1
2
偶
4 n
4
偶
所以
bn
为奇数
故选(A)
思考
能用特殊值法吗?
题型2 利用通项求符合要求的项或项的系数
例3 求
解:
Tr 1 C ( x ) ( x ) (1) C x
r 9 r
r r 9

x x 展开式中的有理项
3

9
1 2
9 r
1 3
27 r 6
27 r 3 r 令 Z即4 Z (r 0,19) 6 6
题型6 求展开式中各项系数和 2 n 1 例10.(2x 1) 的展开式的各项系数和为____ 解：设 (2x2 1)n a0 x2n a1x2( n1) an 展开式各项系数和为 a0 a1 a2 an ∵上式是恒等式，所以当且仅当x=1时， (2-1)n= a0 a1 a2 an ∴ a0 a1 a2 an =（2-1）n=1 例题点评 求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项 式中的字母为1
20 ( 3 x 2 y ) 例16 在 的展开式中，系数绝对值最大的项
解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则
C 3 2 C 3 2 r 20r r r 1 21 r r 1 C 20 3 2 C 20 3 2 37 42 r 8 r