高等数学导数与微分ppt资料

,且
f(t)0,
求
d d
2y x2
.
解: d y dy / dt
d x dx/dt
t f(t)
t,
f (t)
d2 y 1
d x2 f (t)
再例，
求
d d
2y x2
.
解: d y 1 ; dx t
d2 y d x2
1
t2
t
1 t3
例8. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小.
第二章 导数与微分
第四节
隐函数和参数方程求导 相关变化率
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 (即写成 y = f (x)的形式).
列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
课堂练习
1. 设
y(sixn )taxnxx lnx3
2x (2x)2
,求
y.
y1
y2
提示： 分别用对数求导法求 y1 , y2 .
答案:
隐函数求导方法:
两边对 x 求导
(含导数 y 的方程)
例1.
求由方程
ey xye0确定的隐函数的导数
dy dx
.
解: 我们把方程两边分别对 x 求导数, 注意
y = y(x) , 即遇到 y 时要将它看作 x 的函数，得
所以
从而
dy y dx xey
(xey0)
上式右端分式中的 y = y(x) 是由方程 ey xye0 所确定的隐函数.
例10. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
当气球高度为 500 m 时, 其速率为 140mmin, 求此时
观察员视线的仰角增加率是多少?
解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,
则 tan h
500
h
两边对 t 求导
500
se c2 d 1 d h
d t 500 d t
源自文库
(此时看成 x 是 y 的函数 )
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
利用新的参数方程
x(t)
dy (t ) :G(t)
,
可得
dx (t)
d2 y d x2
d (G (t )) dx
d (G(t)) dt
dx dt
(t)(t) (t)(t)
2 (t )
(t )
例2. 求由方程 在 x = 0 处的导数
解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得 5 y 4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx dy 121x6
dx 5y4 2
因x=0时y=0, 故
例3. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 8
2 y y 0 9
上式右端分式中的 y = y(x) 是由方程 所确定的隐函数.
例5. 求
的导数 .
对
解: 两边取对数 , 化为隐式
数 求
导
法
两边对 x 求导
1 y coxsln x sin x
y
x
yxsixn (co xs ln xsix n ) x
注意:
1) 对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
y
9 x
x2
16 y
y
3 2
3
x2 3
y
3 2
3
4
故切线方程为 y 3 3 3 (x2)
2
4
即
另解：从椭圆方程解出 y = f (x)，求在已知点的导数。
例4. 求由方程 xy1siny0所确定的隐函数的二阶
导数
d 2y dx 2
.
2
解: 应用隐函数的求导方法, 得
于是
再对 x 求导, 得
(t)(t)(t)(t)
3(t)
x a cos t
例7. 已知椭圆的参数方程为
y
b sin
t
求椭圆在 t π 相应的点处的切线方程. 4
解: 当
时, 椭圆上的相应点 的坐标是:
曲线在 点的切线斜率为:
由直线的点斜式公式， 得椭圆在点 处的切线方程
化简后得
注意 : 已知
x f(t)
例如，yt f(t) f(t)
y
bx x
例6. 求 y
(x1)(x2)
(x3)(x4) 的导数.
可以验证
先两边取对数
ln|u(x)|
u(x)
u(x)
ln y 1 ln x (1)ln x (2) ln x 3 ) ( l( n x 4 )
2
对 x 求导
y 1 1 1 1 1
y 2 x1 x 2 x3 x4
lnyvlnu
1 y
y
vlnu
u v u
yuv(vlnuuv) u
yuvlnuv vuv1 u
或者将 y uv 化为指数函数 y evlnu再求导.
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
ln
y
x
ln
a b
a[l n bl nx]b[lnxlna]
两边对 x 求导
y ln a a b
速度的水平分量为
垂直分量为
故抛射体速度大小
v12(v2g)t2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向): y
设 为切线倾角, 则
dy d y dx dx d t d t
o
x
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量
垂直分量
速度的方向
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
arctanv2
o
x
v1
达到最高点的时刻 t
v2
,
高度
g
t
v2 g
落地时刻
抛射最远距离
t
2v2
g
例9. 计算由摆线的参数方程
所确定的函数 y = y(x)的二阶导数. 解:
三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
相关变化率问题解法:
称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式
求出未知的相关变化率
s e2 c1ta2n
已知 dh dt
140, 且h = 500 时, tan1,
h500
故se2c2,
d dt
1 1 140 2 500
(radm / in)
小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘、连 除表示的函数
3. 参数方程求导法
求高阶导数时, 从低到高每次都用参数方程求导公式 4. 相关变化率问题
1111
x1 x2 x3 x4
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
(t)0时, 有
d y d y d t dy dx d t dx dt
dx
(t )
d t (t )
(t)0 时, 有
dx dy
dx dt
dt dy
dx dt
dy (t ) d t (t)