重积分习题与答案

I = f (x2 + y 2 + z 2 )dxdydz在球面坐标系下的三次积分表达式为
2、 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值
1
2a
1） dx
2ax−x2 (x 2 + y 2 )dy
0
0
a
x
2） dx
x2 + y2 dy
0
0
3、利用极坐标计算下列各题
1） e x2 + y2 d ，其中 D 是由圆周 x 2 + y 2 = 1 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.
4） x2 + y 2 d ，其中 D 是圆环形闭区域 (x, y) a 2 x2 + y 2 b2 . D
5、设平面薄片所占的闭区域 D 由螺线 = 2 上一段弧 0 与直线 = 所围成，
2
2
它的面密度为 (x, y) = x2 + y 2 ，求这薄片的质量（图 9-5）.
8、计算由四个平面 x = 0 ， y = 0 ， x = 1， y = 1所围成的柱体被平面 z = 0 及 2x + 3y + z = 6 截得的立体的体积.
9、求由平面 x = 0 ，y = 0 ，x + y = 1所围成的柱体被平面 z = 0 及抛物面 x2 + y 2 = 6 − z
截得的立体的体积.
6)已知 是由 x = 0, y = 0, z = 0, x + 2y + z = 1 所围，按先 z 后 y 再 x 的积分次序将
I = xdxdydz化为累次积分，则 I = __________________________
7）设 是由球面 z = 2 − x2 − y 2 与锥面 z = x2 + y 2 的围面，则三重积分
6、求平面 y = 0 ， y = kx(k 0)， z = 0 ，以及球心在原点、半径为 R 的上半球面所围成
的在第一卦限内的立体的体积（图 9-6）.
3
7、设平面薄片所占的闭区域 D 由直线 x + y = 2 ， y = x 和 x 轴所围成，它的面密度
(x, y) = x2 + y 2 ，求该薄片的质量.
0
− 4− y
2）积分
2
dx
2 e−y2 dy 的值等于__________________________________
0
x
3)设 D = (x, y)0 x 1,0 y 1 ，试利用二重积分的性质估计 I = xy(x + y)d 的 D
值则
。
4)设区域 D 是有 x 轴、 y 轴与直线 x + y = 1所围成，根据二重积分的性质，试比较积分
10、计算以 xoy 面上的圆周 x2 + y 2 = ax 围成的闭区域为底，而以曲面 z = x 2 + y 2 为顶的
曲顶柱体的体积.
4
11、化三重积分 I = f (x, y, z)dxdydz为三次积分，其中积分区域 分别是 1）由双曲抛物面 xy = z 及平面 x + y −1 = 0, z = 0 所围成的闭区域.
I = (x + y)2d 与 I = (x + y)3d 的大小________________________________
D
D
5）设 D
=
(x,
y)0
x
2
,0
y
2
，则积分
I
=
D
1− sin2 (x + y)dxdy
___________________________________________
D
2） ln(1 + x2 + y 2 )d ，其中 D 是由圆周 x 2 + y 2 = 1 及坐标轴所围成的在第一象限的 D 闭区域.
3） arctan y d ，其中 D 是由圆周 x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 1及直线 y = 0, y = x 所围成
D
x
的在第一象限的闭区域.
4、选用适当的坐标计算下列各题
1)
D
x2 y2
d
,其中 D 是直线 x = 2, y = x 及曲线 xy = 1所围成的闭区域.
2
2） (1ຫໍສະໝຸດ Baidu+ x) sin yd ，其中 D 是顶点分别为 (0,0), (1,0), (1,2) 和 (0,1) 的梯形闭区域. D
3） R2 − x2 − y 2 d ，其中 D 是圆周 x2 + y2 = Rx 所围成的闭区域. D
0
y2
（3）
1
dy
y
f (x, y)dx = _______________________________________________
00
( ) 1
1− y2
（4） dy
f x, y dx = ___________________________________________
0
− 1− y2
14、计算 xyzdxdydz，其中 为球面 x2 + y2 + z 2 = 1及三个坐标面所围成的在第一卦 限内的闭区域.
15、算 zdxdydz ，其中 是由锥面 z = h x2 + y 2 与平面 z = h(R 0, h 0)所围成
2）由曲面 z = x 2 + 2 y 2 及 z = 2 − x2 所围成的闭区域.
12、设有一物体，占有空间闭区域 = (x, y, z)0 x 1,0 y 1,0 z 1 ，在点 (x, y, z)
处的密度为 (x, y, z) = x + y + z ，计算该物体的质量.
13、计算 xy 2z3dxdydz，其中 是由曲面 z = xy ，与平面 y = x, x = 1 和 z = 0 所围成 的闭区域.
第九章 重积分
A 1、 填空题
1）交换下列二次积分的积分次序
1
（1） dy
2−y f (x, y)dx = ______________________________________________
0
y
（2）
2
dy
2y f (x, y)dx = ______________________________________________
（5）
e
dx
ln x f (x, y)dy = ______________________________________________
1
0
( ) 4
1 ( y−4)
（6） dy 2 f x, y dx = ________________________________________