例说转化思想的应用

例说转化思想的应用

作者：顾二燕

来源：《新一代·上半月》2010年第09期

摘要:数学知识千差万别,但又是一个有机整体,各个组成部分之间存在着密切的联系,其相互独立、相互依存、相互制约的形式结构在一定的条件下是可以转换的。转化正是利用这种可变的规律性,揭示各种形式间或明或暗、固有的内在联系,选择有创造性的恰当的手段以实现有效的转化。

关键词:转化;特殊与一般;多与少;异与同

中图分类号:G631文献标识码:A文章编号:1003-2851(2010)09-0123-01

转化思想是解决实际问题的重要思想。通过对未解决的问题或待解决的问题通过某种途径进行转化,使之逐步成为已解决的或易解决的问题,最终使原问题得到解决的一种思想方法。而如何将问题化“繁”为“简”、化“难”为“易”,由“未知”转化为“已知”,即控制好“转化方向”是运用转化思想的关键。本文略举数例就转化的方法作一简述。

一、特殊与一般的转化

(1)“一般”到“特殊”。由“一般”到“特殊”的思维形式在解决问题时有着广泛的应用,对于“一般”问题来说,“特殊”问题的解决往往是比较简单容易的,因此可通过特殊值、特例或极端情况来探求问题解法的一般规律。

例1 已知f (θ)=sin2θ+sin2(θ+α)+sin2(θ+β)其中α 、β是参数,且0 ≤α

【分析】为了探求f (θ)是与θ无关的定值,分别取θ的一些特殊值:0、?仔/2、-α、-β,则有:f (0)=sin2α+sin2β

f (-α)= sin2α+sin2(β-α)

f (-β)= sin2β+ sin2(α-β)

因为f (θ)与θ无关,必须有f (0)= f (α/2)= f (-α)= f (-β)得sin2α=sin2β=sin2(β-α)=,由0 ≤α

(2)“特殊”到“一般”

当某一问题一时无法找到突破口时,可将问题特殊化,再回到一般情形研究,从而得出共有的规律。

例2 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cosα= _____。

【解析】不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,则与相交于同一个顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体侧面所成角,故cosα=

二、“多”与“少”的转化

(1)“多”到“少”

多与少是一对矛盾,在一定条件下可以互相转化,如解方程组中消元、三角函数中的降幂、立体几何中三维空间问题降为二维空间问题就是“多”转化为“少”的问题

例3 若实数x、y满足x2+=1,求u=2x+3y的最值

【解析】令x=cosθ,y=2sinθ,则u= 2cosθ+6sinθ=2 sin(θ+φ)

其中sinφ=,cosφ=,故umin=-2,umax=2。

(2)“少”到“多”

反之,将复杂问题,通过划分,转化为各个简单问题各个击破,则是“少”转化为“多”。

例4m为何实数时,关于x的一元二次方程2(m+1)x2-4mx+3(m-1)=0至少有一个正根。

分析:分两步来考虑这个问题,首先,要求所给方程是二次方程且有实根,所以m+1≠0即m≠-1且Δ=(-4m2)-4×2×3(m2-1)≥0,即-≤m≤。其次把“至少有一个正根”分成相互排斥的3 种情况:有两个正根,有一个正根、一个负根,有一个正根和一个根为零,分别求m的值,最后综合起来,就得到问题的解决。

【解析】设两根为x1和x2,则有x1+x2=,x1x2=

(1)有两个正根的情形>0>0

解得m1

(2)有一个正根和一根负根的情形

(3)有一个正根和一根为零的情形

由一根为零得=0解得m=1。当m=1时,另一根为1。

把以上3种情形合起来得到m∈R,m≠-1,结合-≤m≤,m≠-1可知当-≤m≤且m≠-1时,方程至少有一个正根。

这个问题也可用排除法,先求出两根均负时m的取值范围,再从有实根时m的取值范围中去掉两根均负时m的取值范围,就可以得到至少有一个正根时的取值解答。