2021届江苏省南通市高三上学期期中模拟考试数学试卷 PDF版

A. d 0
B. a7 0
C. S9 S5
D.
S6与S7均为S
的பைடு நூலகம்大值
n
10．关于函数
f
x
4 sin
2
x
3
x
R 有下列命题，其中正确的是
A． y f x 是以 2 为最小正周期的周期函数
B． y
f
x 的表达式可改写为
f
x
4
cos
2x
6
C． y f x 的图象关于直线 x 对称
(n 1) log2 2
an
(n 1)n 2
．
所以 b1 S1 1 ， b1 b2 S2 3 ，从而 b2 2 ．
所以{bn} 的公差 d b2 b1 2 1 1．
所以 bn b1 (n 1)d 1 (n 1)g1 n ．
（2）令 cn anbn ，则 cn ng2n ．
18. 解：（1）由已知 b a sin A c sin C 可得 bsin B bsinC asin A csinC ， sin B sin C
结合正弦定理可得 b2 c2 a2 bc ，
cos A b2 c2 a2 1 ，
2bc
2
又 A(0, ) ， A 1 ． 3
)
A． 4 5
B． 3 5
C． 2 5
D． 3 10
8．已知 ln x1 x1 y1 2 0, x2 2 y2 6 2ln 2 0，记M = x1 x2 2 y1 y2 2 ，则
A．M 的最小值为 2 5
C．M 的最小值为 8 5
B．M 的最小值为 4 5
D．M 的最小值为 16 5
（2）由 a 3 ， A 1 ．及正弦定理得 b c 3 2 ，
3
sin B sin C 3
2
b 2sin ， c 2sin C 2sin( 2 ) ， 3
故 y a b c 3 2sin 2sin( 2 ) ， 3 3sin 3 cos 3
2 3 sin( ) 3 6
位．置．上．。
13．已知 a x 2 x5 的展开式中 x3 的系数为 40，则实数 a 的值为________.
14．二项式 (2x2 1 )6 的展开式中的常数项是 x
．（用数字作答）
15．若一个圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为 ．
16．函数 y＝f(x)图象上不同两点 A(x1,y1),B(x2,y2)处的切线的斜率分别是 kA,kB,规定φ (A,B)＝ |k|AA－B|k2B|叫做曲线 y＝f(x)在点 A、B 之间的“平方弯曲度”.设曲线 y＝ex＋x 上不同两点
6
D． y
f
x
的图象关于点
6
,0
对称
11．设 A ， B 是抛物线 y x2 上的两点， O 是坐标原点，下列结论成立的是 (
) A．若 OA OB ，则 | OA|| OB | …2
2
B．若 OA OB ，直线 AB 过定点 (1,0) C．若 OA OB ， O 到直线 AB 的距离不大于 1 D．若直线 AB 过抛物线的焦点 F ，且 | AF | 1 ，则| BF |1
测得浓度为 32 ppm .由检验知该地下车库一氧化碳浓度 y ppm 与排气时间 t(分钟)之间存
在函数关系
y
c
1 2
mt
( c, m 为常数)．
(1)求 c，m 的值；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于 0.5 ppm 为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中
的一氧化碳含量才能达到正常状态?
21．(本小题满分 12 分)
已知
F1
，
F2
分别为椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左、右焦点，P
为 C 上的动点，其中 P
到
F1 的最短距离为 1，且当△ PF1F2 的面积最大时，△ PF1F2 恰好为等边三角形．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆 C 的外切圆为 E ． (i) 求圆 E 的方程；
Sn
(n 1) log2 an 2
．求：
（1） an ， bn ；
（2）数列{anbn}的前项和 Tn ．
3
18．(本小题满分 12 分) 已知在 ABC 中， a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 的对边，且 b a sin A c sin C ．
sin B sin C （1）求角 A 的值；
17. 解：（1）设{an} 的公比为 q ．
因为 a1 ， a2 ， a3 a1 成等差数列，
所以 2a2 a1 (a3 a1) ，即 2a2 a3 ．
因为 a2
0 ，所以 q
a2 a2
2．
因为 a1a3
a4 ，所以 a1
a4 a3
q2．
因此 an a1qn1 2n ．
6
由题意， Sn
江苏省南通市 2021 届期中模拟考试 数学试题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1．若集合
A． 0
B． 0,1
C．0,1, 2 D．2,3, 4
2．在复平面内,复数 6－5i,－2＋3i 对应的点分别为 A、B,若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对
因此 Tn c1 c2 cn 1 21 2 22 3 23 (n 1)g2n1 ng2n
．
又 2Tn 1 22 2 23 3 24 (n 1)g2n ng2n1
两
式
相
减
得
Tn
2
22
23
2n
ng2n1
2 2n g2 1 2
ng2n1
2n1
2
ng2n1
(1
n)g2n1
2．
所以 Tn (n 1)g2n1 2 ．
8
，即
1 4
t
8 ，解得 t
32 .
故至少排气 32 分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态
20. 解：（1）由题意知100 (0.0015 a 0.0025 0.0015 0.001) 1，解得 a 0.0035 ， 样本平均数为 x 500 0.15 600 0.35 700 0.25 800 0.15 900 0.10 670 元． （2）由题意，从[550 ， 650) 中抽取 7 人，从[750 ， 850) 中抽取 3 人， 随机变量 X 的所有可能取值有 0，1，2，3．
的图象大致是
1
6.设x 0, ，则函数f (x) 1 cos x 1 cos x 的取值范围是
A.0, 2
B. 0 , 2
C. 0 , 2
D.0, 2
7．考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字 142857，因为 142857 2 285714 ， 1428573 428571 ， 所 以 这 组 数 字 又 叫 走 马 灯 数 ． 该 组 数 字 还 有 如 下 规 律 ： 142 857 999 ，571 428 999 ， 若从 1，4，2，8，5，7 这 6 个数字中任意取出 3 个数 字构成一个三位数 x ，则 999 x 的结果恰好是剩下 3 个数字构成的一个三位数的概率为 (
3 12．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) ex (x 1) ，则下列命题正确
的是 ( )
A．当 x 0 时， f (x) ex (x 1)
B．函数 f (x) 有 3 个零点
C． f (x) 0 的解集为 ( ， 1) (0 ，1)
D． x1 ， x2 R ，都有 | f (x1) f (x2 ) | 2 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答．题．卡．相．应．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
9．设 an(n N*) 是等差数列，d 是其公差，Sn 是其前 n 项和.若 S5 S6 , S6 S7 S8, 则
下列结论正确的是( )
4
值作代表）； （2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在 [550 ， 650) ， [750 ， 850) 内的两组学生中 抽取 10 人，再从这 10 人中随机抽取 3 人，记被抽取的 3 名学生中属于“高消费群”的学生 人数为随机变量 X ，求 X 的分布列及数学期望； （3）若样本中属于“高消费群”的女生有 10 人，完成下列 2 2 列联表，并判断是否有 97.5% 的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？
A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1－x2＝1,则 φ(A,B)的取值范围是__
__.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分 10 分)
已知等比数列{an} 满足 a1 ， a2 ， a3 a1 成等差数列，且 a1a3 a4 ；等差数列{bn} 的前 n 项和
属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计
男
女
合计
（参考公式： K 2
n(ad bc)2
，其中 n a b c d)
(a b)(c d)(a c)(b d)
P(K 2…k )
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
0.001
k
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．(本小题满分 12 分) 某学校共有 1000 名学生，其中男生 400 人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分 层抽样随机抽取了 100 名学生进行调查，月消费金额分布在 450 ~ 950 之间．根据调查的结 果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：
将月消费金额不低于 750 元的学生称为“高消费群”． （1）求 a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点
由 0 2 ，得 5 ，
3
66
6
当
6
2
，即
1 3
时，
ymax
3
3．
7
19.解（1）由题意可列方程组
64 32
c c
1 2
1 2
4m 8m
两式相除，解昨
c 128,
m
1 4
.
（2）由题意可列不等式128
1 2
1t
4
0.5 ，
所以
1 2
1t 4
1 2
(ii) 在平面内是否存在定点 Q ，使得以 PQ 为直径的圆与 E 相切，若存在求出定点 Q 的坐标；
若不存在，请说明理由
22．(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) ex ax ．
5
（1）当 a 0 时，设函数 f (x) 的最小值为 g （a），证明： g （a）„ 1；
（2）若函数 h(x)
应的复数是( )
A.4＋8i B.8＋2i
C.2－i
D.4＋i
3．已知函数 f x ex ex (P 为自然对数的底数)，若 a 0.70.5, b log 0.5 0.7,
c log0.7 5 ，则
A． f b f a f c
B． f a f b f c
C． f c f a f b
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答．题．卡．相．应． 位．置．上．。
13. 3 14. 60 15. 8
16. (0, 2 1] 2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。
（2）若 a 3 ，设角 B ， ABC 周长为 y ，求 y f ( ) 的最大值．
19．(本小题满分 12 分) 某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排
气扇恢复正常．排气 4 分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为 64 ppm ，继续排气 4 分钟后又
D． f c f b f a
4．在
△ABC
uuur 中， AB
uuur AC
uuur 2AD
uuur ， AE
uuur 2DE
0
，若
uuur EB
uuur xAB
uuur yAC
，则（
）
A． y 2x
B． y 2x
C． x 2 y
D． x 2y
5．函数
f
x
x3 sin x ex ex
f
(x)
1 2
x2 有两个极值点
x1 ，
x2 (x1
x2 )
，证明： h(x1) h(x2 )
2
．
江苏省南通市 2021 届期中模拟考试 数学参考答案
一、 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。 1. B 2. C 3．B 4．D 5. A 6.D 8. D 7.C 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9. ABD 10.BD 11. ACD 12. BCD