新人教B版高中数学《函数的表示方法》word学案
人教新课标版数学高一人教B版必修1学案 函数的表示方法
函数的表示方法学习目标：（1）函数的表示方法。
（2）了解列表法、图像法、解析法三种表示方法。
（3）会画简单函数的图象。
解析式的求法。
（4）理解递归运算的含义，熟练掌握换元法，待定函数法求解析式。
（5）了解简单的分段函数及其应用知识梳理：1、映射的概念:___________________________________2、映射与函数的关系：__________________________3、函数的概念:___________________________________4、一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数的一般形式是：__________________________①函数y=f(x)常用的表示方法有三种，分别是 ， ， 。
②通过 来表示函数关系的方法叫列表法。
用 表示函数的方法叫做图象法。
如果在函数y=f(x), )(A x ∈中， ，则这种表示方法叫做解析法。
阅读课本P39例1总结作函数图象的步骤：（1） （2） （3）体会数形结合的思想。
完成p41 A 1、2 B 1、2例1、设x 是任意的一个实数，y 是不超过x 的最大整数，试问x 和y 之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图象.理解取整函数的含义：[]y x = 表示____________________. 定义域_______________________.值域______________________.练习：P42 4例2、已知函数()y f n =，满足(0)1,f = 且()(1)f n nf n =-，.n N +∈ 求(1)f ，(2)f ，(3)f ，(4)f ，(5)f .练习：1、P41 3 P42 32、已知函数⎩⎨⎧∈=+==+N n n nf n f f y ),()1(2)1( 求f(2), f(3), f(4), f(5)的值。
例3、已知一个函数()y f x =的定义域为区间]0,2⎡⎣，当[]0,1x ∈时，对应法则为y x =，当](1,2x ∈时，对应法则为2y x =-，试用解析法与图象法分别表示这个函数.练习：P43 1 函数图象及其应用：(1) y x =; (2) 1y x =-; (3) 1y x =+例4、在某地投寄外埠平信，每封信不超过20g 付邮资80分，超过20g 不超过40g 付邮资160分，超过40g 不超过60g 付邮资240分，依此类推，每封x g (0100)x <≤的信应付多少分邮资（单位 ： 分）？写出函数的表达式，作出函数的图象，并求函数的值域。
人教B版数学高一版必修1学案函数的表示方法(1)
数学人教B 必修1第二章2.1.2 函数的表示方法1．会选择恰当的方法表示函数，并注意体会三种表示方法的区别与联系． 2．掌握求函数解析式的一般方法．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．y ＝5x ，x ∈{1,2,3,4,5}【做一做1－1】如图所示，可表示函数y ＝f (x )的图象的只可能是( )【做一做1－2】在这个函数中，定义域为__________，值域为__________． 2．用集合语言对函数的图象进行描述对于函数y ＝f (x )(x ∈A )定义域内的每一个x 值，都有____的y 值与它对应．把这两个对应的数构成的有序实数对______作为点P 的坐标，即____，则所有这些点的集合F 叫做函数y ＝f (x )的图象，即F ＝____________.这就是说，如果F 是函数y ＝f (x )的图象，则图象上的任一点的坐标(x ，y )都满足函数关系y ＝f (x )；反之，________________________________.【做一做2】作出函数y ＝1x(x ＞0)的图象．3．分段函数在函数的定义域内，对于自变量x 的不同______，有着不同的____，这样的函数通常叫做分段函数．【做一做3－1】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，0，x ＝0，x ＋1，x <0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12的值是( ) A ．12 B ．－12 C ．32 D ．－32【做一做3－2】已知f (x )＝[2 011－x ]，[x ]表示不超过x 的最大整数，则f (2 013.5)的值为( )A ．－2.5B ．2.5C ．－2D ．－3一、不是所有的图形都是函数的图象剖析：(1)函数的图象有的是连续的，有的是不连续的，还有的函数是画不出其图象的，一般来说，如果自变量的取值是一些孤立点，那么它的图象就是一些孤立点．例如：y ＝3x (x ∈{1,2,3,4,5})．有时函数的图象由几条线段组成．(2)判断一个图形是否为某个函数的图象，只要用一条垂直于x 轴的直线沿x 轴方向左右平移，观察图形与该直线交点的个数，当交点个数为两个或两个以上时，该图形一定不是函数图象．这是因为，直线x ＝a (a ∈R )与图形有两个或两个以上交点时，表示自变量x 取实数a 时对应两个或两个以上的y 值，这与只有唯一的y 值与x 对应矛盾，故不是函数图象．如下图所示，在图①中，当自变量x 在(－1,1)上取任一个值时，y 有两个值与之相对应，不符合函数的定义；而图②和图③中，当自变量x 分别在R 上和[－1,1]上取一个值，函数值y 有唯一的值与之对应，故图②和图③中y 与x 具备函数关系．函数的图象对于今后解题的用途是非常大的，应逐步学会利用函数的图象来解题．如果某些函数图象较容易画出来，就可以利用函数图象直接求出其值域．我们还可以利用函数的图象来比较某两个数值的大小等．二、对分段函数的理解剖析：(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数，其表示法是解析法的一种形式．例如，函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧22－6x ，0<x <11，－44，x ≥11不能写成y ＝22－6x ，0＜x ＜11或y ＝－44，x ≥11.(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的，例如，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－2≤x ≤0，x ，0<x ≤3，其“段”是不等长的． (3)画分段函数的图象时，一定要考虑区间端点是否包含在内，若端点包含在内，则用实心点表示，若端点不包含在内，则用空心圈表示．(4)写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏．(5)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．(6)分段函数的定义域是各段定义域的并集；分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集；分段函数的最大(小)值则是分别在每段上求出最大(小)值，然后取各段最大(小)值中的最大(小)值．(7)有些函数形式虽不是分段写的，但实质上是可以化归为分段函数来处理的，例如，y＝|x ＋1|可等价化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， x ≥－1，－x －1， x <－1.三、教材中的“思考与讨论”如何检验一个图形是否是一个函数的图象？写出你的检验法则．如下图所示的各图形都是函数的图象吗？哪些是，哪些不是，为什么？剖析：由函数的定义可知，对于定义域中的每一个x ，都有唯一的y 值与之相对应．因此，要检验一个图形是否是一个函数的图象，可以作x 轴的垂线，在定义域范围内，若垂线与图形有一个交点，则该图形就表示函数的图象，否则，该图形不是函数的图象．由以上知，所给图形中是函数的图象的有(1)(3)(4)，而(2)不符合函数的定义，所以(2)不是函数的图象．题型一 画函数图象【例1】作出下列各函数的图象： (1)y ＝－x ＋1，x ∈Z ；(2)y ＝2x 2－4x －3,0≤x ＜3； (3)y ＝|1－x |；(4)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，x ＋1，－1≤x <0.分析：作函数图象，首先明确函数的定义域，其次明确函数图象的形状，体会定义域对图象的控制作用．处理好端点，如第(4)小题x ＝0时的情况．作图时，如第(2)小题先不受定义域限制作出完整的抛物线，然后再截取．函数图象的形状可以是一条或几条无限长的平滑曲线，也可以是一些点、一些线段、一段曲线等．反思：图象的画法常见的有两种：描点法、变换作图法．(1)描点法的一般步骤是：求函数的定义域、化简解析式、列表、描点、连线等． (2)变换作图法常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换，如例1中的(3)可先画出y ＝1－x 的图象，再把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方即可．还有对称变换等，望同学们不断积累．题型二 求函数的解析式【例2】已知f (x )为一次函数，且f [f (x )]＝9x ＋4，求f (x )．分析：先设出f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，再根据条件列出方程组，进而求得a ，b 的值，最后写出解析式即可．反思：本题以f (x )为一次函数作为切入点，运用待定系数法，利用所设参数的方程组解决问题．已知函数的类型求函数解析式时，待定系数法是一种常用的解题方法．【例3】如果函数f (x )满足方程af (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝ax ，x ∈R ，且x ≠0，a 为常数，且a ≠±1，试求f (x )的解析式．分析：用“1x ”去替换f (x )中的“x ”，然后用解方程组的方法求出f (x )．反思：上述用解方程组的方法求函数解析式常用于给出函数的一个方程式这种类型，但要注意自变量x 需满足一定的对称性，常见的替换有：用“－x ”替换“x ”，用“1x”替换“x ”．题型三 分段函数的应用【例4】如图所示，在梯形ABCD 中，AB ＝10，CD ＝6，AD ＝BC ＝4，动点P 从点B 开始沿着折线BC ，CD ，DA 前进至A ，若点P 运动的路程为x ，△PAB 的面积为y .(1)写出y ＝f (x )的解析式，并指出函数的定义域； (2)画出函数的图象，并求出函数的值域．分析：本题考查的是分段函数及函数的定义域、解析式、值域等知识，以及实际应用能力．首先通过画草图可以发现点P 运动到不同的位置，y 的求法是不同的(如下图的阴影部分所示)．可以看出上述三个阴影三角形的底AB 是相同的，它们的面积由AB 边上的高来决定，所以只要由运动路程x 求出AB 边上的高即可．反思：(1)求实际问题中函数的解析式，其关键是充分利用条件建立关于变量x ，y 的等式，即目标函数．确定函数的定义域时，除了考虑函数解析式自身的限制条件外，还要考虑到它的实际意义．(2)在分段函数的转折点上易出现取舍不当的错误．比如本题如把区间分成0≤x ≤4,4≤x ≤10,10≤x ≤14，则是不妥的．避免出现此类错误的方法是对端点进行验证．题型四 易错辨析【例5】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤1，11＋x2，|x |>1，若f (a )＝15，求a 的值．错解：∵f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧|a －1|－2，|a |≤1，11＋a 2，|a |>1，∴令|a －1|－2＝15，得a ＝165或a ＝－65.再令11＋a 2＝15，得a ＝±2.综上可知满足f (a )＝15的a 的值为－65，165，±2.反思：对于分段函数，无论是求函数值，还是求自变量，都要看清每一段解析式所对应的自变量的取值范围，不能张冠李戴，也不能忘记检验．1已知f (x )＝[x －1]，则12 011f (－2 009.5)等于( )A ．－1B ．1C ．－2 0102 011D ．－2 0092 0112函数y ＝x ＋|x |x的图象是下图中的( )3下表列出了一项实验的统计数据，表示将皮球从高h 处落下时，弹跳高度d 与下落高度hA ．d ＝hB ．d ＝2hC ．d ＝h －25D ．d ＝h24已知函数f (x )在[－1,2]上的图象如图所示，则f (x )的解析式为__________．5某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是每千米0.5元，如果超过100 km ，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y (元)与行程数x (km)之间的函数关系式是__________．答案： 基础知识·梳理1．自变量 对应函数值 图形 代数式 解析式【做一做1－1】D 借助函数的定义可知，函数的图象应保证任意一个x 有唯一的y 与之对应，故选D.【做一做1－2】{1,2,3,4,5} {1,2,3,4,5}2．唯一 (x ，y ) P (x ，y ) {P (x ，y )|y ＝f (x )，x ∈A } 满足函数关系y ＝f (x )的点(x ，y )都在图象F 上【做一做2】解：此图象是反比例函数y ＝1x在第一象限的部分，可按列表、描点、连线的步骤完成．图象如图所示．3．取值区间 对应法则 【做一做3－1】A【做一做3－2】D 根据题意，可知f (2 013.5)＝[2 011－2 013.5]＝[－2.5]＝－3. 典型例题·领悟【例1】解：(1)定义域为Z ，所以图象为离散的点．(2)y ＝2x 2－4x －3＝2(x －1)2－5,0≤x ＜3，定义域不是R ，因此图象不是完整的抛物线，而是抛物线的一部分．(3)先根据绝对值的定义去掉绝对值号，再写成分断函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1.(4)这个函数的图象由两部分组成．当0≤x ≤1时，为抛物线y ＝x 2的一段；当－1≤x ＜0时，为直线y ＝x ＋1的一段．各函数的图象如下图所示．【例2】解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝9，ab ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－2.∴f (x )＝3x ＋1或f (x )＝－3x －2.【例3】解：由af (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝ax ，①将x 换成1x ，则1x 换成x ，得 af ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝a x.② 由①②消去f ⎝⎛⎭⎫1x ，得(a 2－1)f (x )＝a 2x －a x. ∵a ≠±1，∴f (x )＝a 2x －a x a 2－1，即f (x )＝a (ax 2－1)(a 2－1)x(x ∈R ，且x ≠0)．【例4】解：(1)由题意，可知∠A ＝∠B ＝60°.分类讨论如下：①当点P 在BC 上运动时，则y ＝12×10×(x sin 60°)＝532x,0≤x ≤4.②当点P 在CD 上运动时， y ＝12×10×4×sin 60°＝103，4＜x ≤10. ③当点P 在DA 上运动时，y ＝12×10×(14－x )sin 60°＝－532x ＋353，10＜x ≤14.综上，函数的解析式为y ＝f (x )＝⎩⎨⎧532x ，0≤x ≤4，103，4<x ≤10，－532x ＋353，10<x ≤14.(2)f (x )的图象如下图所示．由图象可知y 的取值范围是0≤y ≤103， 即函数f (x )的值域为[0,103]．【例5】错因分析：没有对求得的a 的值进行验证． 正解：∵f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧|a －1|－2， |a |≤1，11＋a 2，|a |>1，∴当|a |≤1时，令|a －1|－2＝15，解得a ＝165或a ＝－65.又∵|a |≤1，∴a ＝165和a ＝－65均不符合题意，舍去；当|a |＞1时，令11＋a 2＝15，解得a ＝±2，均符合|a |＞1.综上可知，符合题意的a 的值为±2. 随堂练习·巩固1．A ∵f (－2 009.5)＝[－2 009.5－1]＝[－2 010.5]＝－2 011，∴12 011f (－2 009.5)＝－1. 2．C ∵y ＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0，∴选项C 中的图象适合．3．D4．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，－12x ，0<x ≤2观察图象，知此函数是分段函数，并且在每段上均是一次函数，利用待定系数法求出解析式．当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1；当0＜x ≤2时，f (x )＝－12x .5．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0≤x ≤100，10＋0.4x ，x >100 根据行程是否大于100 km 来求解析式．由题意，得当0≤x ≤100时，y ＝0.5x ；当x ＞100时，y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x .。
高中数学第三章函数函数及其表示方法第1课时函数的概念学案新人教B版必修第一册
3.1 函数的概念与性质 3．1.1 函数及其表示方法第1课时 函数的概念课程标准在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一 函数的概念1．函数的概念一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域和值域函数y＝f(x)中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．状元随笔 对函数概念的3点说明(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：A→B ”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．知识点二 同一函数一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．知识点三 常见函数的定义域和值域函数一次函数反比例函数二次函数a<0基础自测1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )A.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D.A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积2．函数f(x)＝√x−1x−2的定义域为( )A.(1，＋∞) B．[1，＋∞)C.[1，2) D．[1，2)∪(2，+∞) 3．下列各组函数表示同一函数的是( )A.y＝x2−9x−3与y＝x＋3B.y＝√x2－1与y＝x－1C.y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D.y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z4．若函数f(x)＝√x+6x−1，求f(4)＝________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 函数的定义[经典例题]例1 根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；状元随笔 从本题可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．(2)A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如图所示；状元随笔 判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．(3)A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|；(4)A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.方法归纳(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．跟踪训练1 (1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个(1)①x∈[0，1]取不到[1，2].③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围．④可取一个x值，y有2个对应，不符合题意．(2)关键是否符合函数定义．①x→3x，x≠0，x∈R；②x→y，其中y2＝x，x∈R，y∈R.(2)下列对应是否是函数？题型2 求函数的定义域[教材P87例题1]例2 求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1√(2)g(x)＝1x+1x+2.方法归纳求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．跟踪训练2 求下列函数的定义域：(1)f(x)＝6x2−3x+2；(2)f(x)＝0√||(3)f(x)＝√2x+3－√1 x .(1)分母不为0(2){偶次根式被开方数≥0(x+1)0底数不为0分母不为0 (3){偶次根式被开方数≥0分母不为0题型3 同一函数例3 下面各组函数中为相同函数的是( )A ．f (x )＝√(x −1)2，g (x )＝x －1B ．f (x )＝√x 2−1，g (x )＝√x +1·√x−1C ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 0与g (x )＝1x 0方法归纳判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．跟踪训练3 试判断下列函数是否为同一函数．(1)f (x )＝x 2−xx ，g (x )＝x －1；(2)f(x)＝√xx，g(x)√(3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；(4)f(x)＝|x|，g(x)＝√x2.状元随笔 判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．题型4 求函数的值域[经典例题]状元随笔 求函数值域的注意事项①数形结合求值域一定要注意函数的定义域；②值域一定要用集合或区间来表示．例4 求下列函数的值域．(1)y＝3－4x，x∈(－1，3]；(2)f(x)＝1x，x∈[3，5]；(3)y＝2xx+1；(4)y＝x2－4x＋5，x∈{1，2，3}；(5)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；(6)y＝2x－√x−1；(7)f(x)＝1x2+2.状元随笔 (1)用不等式的性质先由x∈(－1，3]求－4x的取值范围，再求3－4x的取值范围即为所求．(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域．(3)将自变量x＝1，2，3代入解析式求值，即可得值域．(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域．方法归纳求函数值域的方法(1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域．如函数y＝11+x2的值域为{y|0<y≤1}．(2)配方法：求形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c的函数的值域可用配方法，但要注意f(x)的取值范围．如求函数y＝x－2√x＋3的值域，因为y＝(√x－1)2＋2≥2，故所求值域为{y|y≥2}．对于形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数，尤其要注意在给定区间上二次函数最值的求法．(3)分离常数法：此方法主要是针对分子分母同次的分式，即将分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．(4)换元法：形如y＝ax＋b＋√cx+d的函数常用换元法求值域，即先令t＝√cx+d，求出x，并注明t的取值范围，再代入上式表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域．注意：分离常数法的目的是将分式函数变为反比例函数类，换元法的目的是将函数变为二次函数类．即将函数解析式变为已经熟悉的简单函数类型求值域．(5)反表示法：根据函数解析式反解出x，根据x的取值范围转化为关于y的不等式求解．(6)中间变量法：根据函数解析式确定一个已知范围的中间变量(如x2)，用y表示出该中间变量，根据中间变量的取值范围转化为关于y的不等式求解．跟踪训练4 求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；(2)y＝√x＋1；(3)y＝1−x21+x2；先分离再求值域(4)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；配方法求值域(5)f(x)＝5x+4 x−1.第三章 函数3．1 函数的概念与性质3．1.1 函数及其表示方法第1课时 函数的概念新知初探·自主学习[教材要点]知识点三{x|x≠0} R {y|y≤4ac−b24a}[基础自测]1．解析：对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.答案：A2．解析：使函数f(x)＝√x−1x−2有意义，则{x−1≥0，x−2≠0，即x≥1，且x≠2.所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选D.答案：D3．解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．答案：C4．解析：f(4)＝√4+64−1＝2＋2＝4.答案：4课堂探究·素养提升例1 【解析】 (1)(4)对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．跟踪训练1 解析：(1)图号正误原因①×x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性②√同时满足任意性与唯一性③×x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性④×x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性解析：(2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的3x与之对应，符合函数定义．②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念．答案：(1)B (2)①是函数②不是函数例2 【解析】 (1)因为函数有意义当且仅当{x+1≥0，√x+1≠0，解得x＞－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)．(2)因为函数有意义当且仅当{x≠0，x+2≠0，解得x≠0且x≠－2，因此函数的定义域为(－∞，－2)∪(−2，0)∪(0，+∞)．跟踪训练2 解析：(1)要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，即x≠1且x≠2，故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．(2)要使函数有意义，则{x+1≠0，|x|−x>0，解得x<0且x≠－1.所以定义域为(－∞，－1)∪(−1，0)．(3)要使函数有意义，则{2x +3≥0，2−x >0，x≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0.故定义域为[−32，0)∪(0，2)．例3 【解析】 函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A ，f (x )＝|x －1|与g (x )对应关系不同，故排除选项A ，选项B 、C 中两函数的定义域不同，排除选项B 、C ，故选D.【答案】 D跟踪训练3 解析：所以函数y ＝3－4x ，x ∈(－1，3]的值域是[－9，7)．(2)因为f (x )＝1x 在[3，5]上单调递减，所以其值域为[15，13].(3)因为y ＝2x x +1＝2(x +1)−2x +1＝2－2x +1≠2，所以函数y ＝2x x +1的值域为{y |y ∈R 且y ≠2}． (4)函数的定义域为{1，2，3}，当x ＝1时，y ＝12－4×1＋5＝2，当x ＝2时，y ＝22－4×2＋5＝1，当x ＝3时，y ＝32－4×3＋5＝2，所以这个函数的值域为{1，2}，(5)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6)．(6)设t ＝√x −1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2(t －14)2＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[158，＋∞)．【解析】(7)方法一 因为x 2＋2≥2，所以0＜1x 2+2≤12，所以f (x )的值域为(0，12].方法二 设t 是所求值域中的元素，则关于x 的方程1x 2+2＝t 应该有解，即x 2＝1t －2应该有解，所以1t －2≥0，即1−2t t ≥0，解得0＜t ≤12，所以所求值域为(0，12].跟踪训练4 解析：(1)将x ＝1，2，3，4，5分别代入y ＝2x ＋1，计算得函数的值域为{3，5，7，9，11}．(2)因为√x ≥0，所以√x ＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．(3)因为y ＝1−x 21+x 2＝－1＋21+x 2，所以函数的定义域为R ，因为x 2＋1≥1，所以0<21+x2≤2.所以y ∈(－1，1].所以所求函数的值域为(－1，1].(4)y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.因为－5≤x≤－2，所以－4≤x＋1≤－1.所以1≤(x＋1)2≤16.所以－12≤4－(x＋1)2≤3.所以所求函数的值域为[－12，3].解析：(5)函数f(x)＝5x+4x−1＝5(x−1)+9x−1＝5＋9x−1，因为x≠1，所以9x−1≠0，所以f(x)≠5，所以函数f(x)＝5x+4x−1的值域为(－∞，5)∪(5，+∞)．。
高一数学人教B版必修1：2.1.2 函数的表示方法(二) 学案
2.1.2 函数的表示方法(二)自主学习学习目标了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题．自学导引 分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的______________的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的________；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应________________________．对点讲练知识点一 分段函数的求值问题例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 (x ≤－1)，x 2(－1<x <2)，2x (x ≥2).(1)求f [f (3)]的值；(2)若f (a )＝3，求a 的值．规律方法 对于f (a )，究竟用分段函数中的哪一个对应关系，与a 所在范围有关，因此要对a 进行讨论．由此我们可以看到：(1)分段函数的函数值要分段去求；(2)分类讨论不是随意的，它是根据解题过程中的需要而产生的．变式迁移1 设f (x )＝⎩⎨⎧12x －1 (x ≥0)，1x(x <0)，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围是________．知识点二 分段函数的图象及应用例2 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象；(3)写出该函数的值域．规律方法 对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．变式迁移2 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2(x －12)2＋1，x ∈[0，12)－2x ＋2，x ∈[12，1]，在平面直角坐标系中作出y ＝f (x )的图象，并写出值域．知识点三 分段函数的简单应用例3 某市的空调公共汽车的票价制定的规则是： (1)乘坐5 km 以内，票价2元；(2)5 km 以上(含5 km)，每增加5 km ，票价增加1元(不足5 km 的按5 km 计算)．已知两个相邻的公共汽车站之间相距约 1 km ，如果在某条路线上沿途(包括起点站和终点站)设21个汽车站，请根据题意写出这条路线的票价与里程之间的函数解析式，并作出函数的图象．规律方法 该类问题属于函数建模问题，解答此类问题的关键在于先将实际问题数学模型化，然后结合题设选择合适的函数类型去拟合，解答过程中要密切关注实际问题中的隐含条件，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，画图象时，注意每段定义域端点的虚实．变式迁移3 电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元．超过3分钟，以后每增加1分钟收费0.2元，不足1分钟以1分钟计费，求通话收费x 元与通话时间t (分钟)的函数解析式，并画出t ∈(0,7]的图象．1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．含有绝对值的函数解析式要化为分段函数处理．3．画分段函数的图象要逐段画出，求分段函数的值要按各段的区间范围代入自变量求值.课时作业一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2， x ≤1，x 2＋x －2， x >1，则f [1f (2)]的值为( )A.1516 B ．－2716 C.89D ．18 2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)(x ∈N )，那么f (3)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．53．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2(x ≥0)x (x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)－x 2 (x <0)，则当x <0时，f [g (x )]为( ) A ．－x B ．－x 2 C ．x D ．x 24．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2(0≤x ≤1)2 (1<x <2)x ＋1 (x ≥2)的值域是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,2)∪(2，＋∞)D ．[0,2]∪[3，＋∞)二、填空题5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x <0)π (x ＝0)x ＋1 (x >0)，则f (f (f (－1)))的值是__________．6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是__________．三、解答题7．若[x ]表示不超过x 的最大整数，画出y ＝[x ] (－3≤x ≤3)的图象．8. 已知函数y ＝f (x )的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ∈[0，1]，x －3， x ∉[0，1]，求使等式f [f (x )]＝1成立的实数x 构成的集合．2．1.2 函数的表示方法(二) 答案自学导引(1)对应法则 (2)并集 (3)分别作出每一段的图象 对点讲练例1 解 (1)∵－1<3<2，∴f (3)＝(3)2＝3. 而3≥2，∴f [f (3)]＝f (3)＝2×3＝6.(2)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，又f (a )＝3， ∴a ＝1(舍去)；当－1<a <2时，f (a )＝a 2，又f (a )＝3， ∴a ＝±3，其中负值舍去，∴a ＝3； 当a ≥2时，f (a )＝2a ，又f (a )＝3，∴a ＝32(舍去)．综上所述，a ＝ 3.变式迁移1 a <－1解析 当a ≥0时，f (a )＝12a －1，解12a －1>a ，得a <－2与a ≥0矛盾，当a <0时，f (a )＝1a ，解1a>a ，得a <－1.∴a <－1. 例2 解 (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (0≤x ≤2)1－x (－2<x <0).(2)函数f (x )的图象如图所示，(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)． 变式迁移2 解 如图所示，函数y ＝f (x )的图象是由f 1(x )＝－2(x －12)2＋1，x ∈[0，12)的图象(抛物线的一段)及f 2(x )＝－2x ＋2，x ∈[12，1]的图象(一条线段)组成的，其值域为[0,1]．例3 解 设票价为y 元，里程为x km ， 由题意可知0<x ≤20.所以y 关于x 的函数为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (0<x <5)3 (5≤x <10)4 (10≤x <15)5 (15≤x ≤20)其图象如图所示．变式迁移3 解 由题意可知，变量t ∈(0，＋∞)，故x 与t 的函数关系的表达式为 x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.2 t ∈(0，3]0.2(n －1) t ∈(n ，n ＋1](n ∈N ，n ≥3)， 其图象如图所示．课时作业1．A [f (2)＝22＋2－2＝4，1f (2)＝14， f (14)＝1－(14)2＝1516.故选A.] 2．A [由题意知f (3)＝f (3＋2) ＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.]3．B [当x <0时，g (x )＝－x 2<0，∴f [g (x )]＝－x 2.] 4．D [画图象可得．] 5．π＋1解析 f (－1)＝0，f (0)＝π，f (π)＝π＋1 ∴f (f (f (－1)))＝f (f (0))＝f (π)＝π＋1. 6．{x |x ≤1}解析 当x ≥0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤1，∴0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤2，∴x <0.综上可知x ≤1.7．解 作出y ＝[x ]的图象如下图所示．8．解 根据图象，设左侧射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (x <1)． ∵点(1,1)、(0,2)在射线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝1，b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2. ∴左侧射线对应的函数解析式为 y ＝－x ＋2 (x <1)．同理，x >3时，函数的解析式为y ＝x －2 (x >3)． 又抛物线对应的二次函数的解析式为 y ＝a (x －2)2＋2 (1≤x ≤3，a <0)，∵点(1,1)在抛物线上，∴a ＋2＝1，a ＝－1， ∴当1≤x ≤3时，函数的解析式为 y ＝－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)． 综上所述，函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 (x <1)，－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)，x －2 (x >3).9．解 当x ∈[0,1]时，恒有f [f (x )]＝f (1)＝1 当x ∉[0,1]时，f [f (x )]＝f (x －3)若0≤x －3≤1，即3≤x ≤4时，f (x －3)＝1 若x －3∉[0,1]，f (x －3)＝(x －3)－3 令其值为1，即(x －3)－3＝1，∴x ＝7. 综合知：x 的值构成的集合为 {x |0≤x ≤1或3≤x ≤4或x ＝7}．。
新人教B版高中数学必修1函数的表示方法word学案
2014年高中数学 函数的表示方法学案 新人教B 版必修1一、三维目标：知识与技能：进一步理解函数的概念；使学生掌握函数的三种表示方法;使学生掌握分段函数及其简单应用。
过程与方法：通过实例，使学生会根据具体问题选择合适的方法来表示两个变量之间的函数关系，并初步感知处理函数问题的方法。
情感态度与价值观：通过学习，让学生体会到生活离不开数学，激发学习兴趣，培养学生学数学用数学的意识。
二、学习重、难点：重点：函数的表示方法，根据具体问题选择合适的方法来表示两个变量之间的函数关系。
难点：函数三种表示方法的选择及分段函数的表达和性质。
学法指导：在回顾初中所学函数的有关知识的基础上，认真阅读教材P38--P43，通过对教材中的例题的研究，完成学习目标 。
学习过程：1、函数的三种表示方法（1）列表法：__________________________________________________。
举例： 如：人口普查表（见课本P38）优点：___________________________________________________________________. （2）解析法：___________________________________________________________。
举例：___________________________________________________________。
优点： ⎩⎨⎧函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变（3）图象法：__________________________________________________________。
优点：___________________________________________________________。
说出函数y=f(x)与其图像间的关系：__________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________. 这是“数形结合”思想和方法的依据。
人教B版高中数学必修一学案：2.1.2 函数的表示方法
2.1.2.函数的表示方法[学习目标].1.掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法，体会三种表示方法的特点.2.掌握函数图象的画法及分段函数的应用.[知识链接]1.在平面上，两个点可以确定一条直线，因此作一次函数的图象时，只需找到两个点即可.2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为(－b 2a ，4ac －b24a).3.函数y ＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)，所以函数与x 轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0). [预习导引] 1.函数的图象(1)函数y ＝f (x )与其图象F 的关系：①图象F 上任一点的坐标(x ，y )都满足y ＝f (x )； ②满足y ＝f (x )关系式的点(x ，y )都在F 上. (2)函数y ＝f (x )图象的作法：列表、描点、连线. 2.函数的常用表示方法(1)定义在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数. (2)三要素①定义域：由每一段上x 的取值范围的并集. ②值域：所有函数值组成的集合. ③对应法则：在每一段上的对应法则不同.要点一.作函数图象例1. 作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3)).解.(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示.(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示.规律方法.1.作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.2.函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，特别要分清区间端点是实心点还是空心点. 跟踪演练1.画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x＞1或x＜－1).解.(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1).(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，(x＞1或x＜－1)是抛物线y＝x2－x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).要点二.求函数的解析式例2.(1)已知f(x)是二次函数，其图象的顶点是(1,3)，且过原点，求f(x).(2)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x).解.(1)由于图象的顶点是(1,3)，故设f(x)＝a(x－1)2＋3(a≠0)，因为图象过原点，所以a ＋3＝0，解得a ＝－3， 所以f (x )＝－3(x －1)2＋3.(2)方法一.x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1 ＝(x ＋1)2－1，∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1). 即f (x )＝x 2－1(x ≥1).方法二.令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1.代入原式，有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1).规律方法.求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式. (2)换元法：已知函数f [g (x )]的解析式求f (x )的解析式可用换元法，即令g (x )＝t ，反解出x ，然后代入f [g (x )]中求出f (t )，从而求出f (x ). 跟踪演练2.(1)已知g (x －1)＝2x ＋6，求g (3). (2)一次函数的图象过点(0，－1)，(1,1)，求其解析式. 解.(1)方法一.令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴g (t )＝g (x －1)＝2(t ＋1)＋6＝2t ＋8， ∴g (x )＝2x ＋8，∴g (3)＝2×3＋8＝14. 方法二.令x －1＝3，则x ＝4， ∴g (3)＝2×4＋6＝14.(2)设一次函数的解析式f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝0·k ＋b ，1＝1·k ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－1，∴解析式为f (x )＝2x －1. 要点三.分段函数及应用例3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2＜x ＜2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f (f (－52))的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值.解.(1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)， －52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3. ∵f (－52)＝－52＋1＝－32，－2＜－32＜2，∴f [f (－52)]＝f (－32)＝(－32)2＋2×(－32)＝94－3＝－34. (2)①当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＝3， ∴a ＝2＞－2不合题意，舍去. ②当－2＜a ＜2时，a 2＋2a ＝3， 即a 2＋2a －3＝0.∴(a －1)(a ＋3)＝0，∴a ＝1或a ＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意. ③当a ≥2时，2a －1＝3，∴a ＝2符合题意. 综合①②③，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.规律方法.1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解. 2.若所给变量的范围不明确，计算时应分类讨论.跟踪演练3.(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，|x |≤1，1＋x 2，|x |＞1，则f [f (12)]＝________； (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，1|x |，x ＜0，若f (x )＝2，则x ＝________.答案.(1)134.(2)1或－12解析.(1)由于|12|≤1，所以f (12)＝12－2＝－32，而|－32|＞1，所以f (－32)＝1＋(－32)2＝134.所以f [f (12)]＝134.(2)若x ≥0，由x ＋1＝2，得x ＝1； 若x ＜0，由1|x |＝2，得x ＝±12，由于12＞0，舍去x ＝12，所以x ＝－12.故x ＝1或－12.1.已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于(..)A.1B.2C.3D.答案.C解析.由表可知f (3)＝3.2.若f (x ＋2)＝2x ＋3，f (3)的值是(..) A.9 B.7 C.5 D.3 答案.C解析.令x ＋2＝3，则x ＝1， ∴f (3)＝2×1＋3＝5.3.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x ＞1，则f [f (3)]等于(..)A.15 B.3 C.23 D.139答案.D解析.∵f (3)＝23，∴f [f (3)]＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139. 4.如果二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是(..) A.f (x )＝x 2－1 B.f (x )＝－(x －1)2＋1 C.f (x )＝(x －1)2＋1 D.f (x )＝(x －1)2－1 答案.D解析.由二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，可排除A 、B ；又图象过点(0,0)，可排除C ；D 项符合题意.5.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f ⎣⎡⎦⎤1f (3)的值等于________.答案.2解析.由函数f (x )图象，知f (1)＝2，f (3)＝1， ∴f ⎣⎡⎦⎤1f (3)＝f (1)＝2.1.函数三种表示法的优缺点2.描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线.3.求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法.4.理解分段函数应注意的问题：(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏.(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象.。
人教B版数学高一版必修1学案2.1.2函数的表示方法第1课时函数的表示方法
课堂导学三点剖析一、准确理解函数的意义,画函数的图象【例1】作下列各函数的图象.(1)y=2x-1,x∈Z;(2)y=|x-1|.思路分析：作函数的图象关键在于明确函数图象的形状,所以可先将函数化简整理,这里即讨论x-1的符号,从而去掉绝对值,达到化简的目的.解：(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y=2x-1上.(∵x∈Z,∴y∈Z)这些点称为整点,如图①.(2)所给函数可写成y=⎩⎨⎧<≥1,xx,-11,x1,-x其图象是端点为(1,0)的两条射线,如图②.温馨提示(1)求作函数图象时,一般应用描点法,根据特点,找出几个关键点即可.(2)作出函数图象,我们还可以利用它求函数的值域以及研究函数的性质.二、求函数解析式【例2】已知f(xx1+)=xxx1122++,求f(x).思路分析：要求f(x),应把xx1+看作一个整体,采用配凑法或者换元法求出f(x).解法一:∵f(xx1+)=xxx1122++=(xx1+)222xx-+x1=(xx1+)2x1-=(xx1+)2-(xx1+)+1,∴f(x)=x2-x+1(x≠1).解法二:设xx+1=u,则x=11-u,u≠1,则f(u)=22)11(1)11(-+-uu+u-1=u2-u+1,∴f(x)=x2-x+1(x≠1).温馨提示已知复合函数f［g(x)］的表达式时,可以用换元法求解,但要注意换元时引起的定义域的变化,最后结果注明所求函数的定义域.三、对y=f(x)对应法则的理解【例3】已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧∈-+==*,),1(211)(,1)1(Nnnfnff求f(2)、f(3)、f(4).思路分析：所给函数用两个等式定义,第一个等式首先给出自变量的初始值对应的函数值,然后由这个函数值用第二个等式依次递推地计算下一个函数值.解：f(2)=1+21f(2-1)=1+21f(1)=23,f(3)=1+21f(3-1)=1+21f(2)=47,f(4)=1+21f(4-1)=1+21f(3)=815.温馨提示上述运算方法叫递归运算,运用递归运算时,要弄清各部分的关系,依次代入即可.解题时要对f(n)理解到位.各个击破类题演练1作出函数y=|x-1|+2|x-2|的图象.解析：y=|x-1|+2|x-2|=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-≤-.2,53,21,3,1,35xxxxxx∴图象如下图.变式提升2画出下列函数的图象:(1)y=x2-2|x|-1;(2)y=⎪⎩⎪⎨⎧<≥0.x2x,-x-0,x2x,-x22解析：(1)y=x2-2|x|-1=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥0.x1,-2xx0,x1,-2x-x22图象如图(1)所示.(1) (2)(2)y=⎪⎩⎪⎨⎧<≥0.x 2x,-x -0,x 2x,-x 22的图象如图(2)所示. 类题演练2若f{f ［f(x)］}=27x+26,求一次函数f(x)的解析式.解析：设f(x)=ax+b(a≠0),f ［f(x)］=a(ax+b)+b=a 2x+ab+b,∴f{f ［f(x)］}=a(a 2x+ab+b)+b=a 3x+a 2b+ab+b.∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=26.b ab b a 27,a 23 ∴⎩⎨⎧==2.b 3,a ∴f(x)=3x+2,经检验成立.变式提升2已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x)的表达式.解析：设f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x. ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+==0,2c 2a -4,2b 2,2a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===-1.c -2,b 1,a∴f(x)=x 2-2x-1.类题演练3已知函数f(x)=221x x +,那么f(1)+f(2)+f(21)+f(3)+f(31)=. 解析：∵f(x 1)=22111x x +=112+x ,∴f(x 1)+f(x)=1.∴原式=21+1+1=25. 答案：25 变式提升3已知f(0)=1,f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x).解析：令a=0,则f(-b)=f(0)-b(-b+1)=1+b(b-1)=b2-b+1,再令-b=x,得f(x)=x2+x+1.。
人教B版高中数学必修一函数的表示方法学案
2.1.2函数的表示方法 学案【预习要点及要求】1．分段函数的概念。
2。
了解分段函数的函数，会画比较简单的分段函数的图象。
【知识再现】1、函数的概念:___________________________________2、函数的三种表示方法：______________________________________3、函数解析式的求法：______________________________________【概念探究】完成课本P 42 例4，完成填空分段函数是指：课本P 43例5思考：①分段函数的表示形式；②分段函数图象的画法。
完成课本P 43，练习A1—3 P 43练习B1—2【例题讲解】例1．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<=>=)0(0)0(1)0()(2x x x x x f （1）画出函数的图象；（2）根据已知条件分别求f(1)、f(-3)、)]3([-f f 、)]}3([{-f f f 的值。
例2．某汽车以52千米/小时的速度从A 地驶向260千米远处的B 地。
在B 地停留211小时后，再以65千米/小时的速度返回A 地，试将汽车离开A 地后行走的路程S 表示为时间t 的函数。
例3．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∞+∈-∞∈=),0[,)0,(,1)(2x x x x x f ，求f(x+1)【当堂练习】1、函数||11)(x x f +=的图象是（ ）2、在函数⎪⎩⎪⎨⎧≥=<<--≤+=)2(23)()21()1(22x x ，x f ，x xx x y 则若中x 的值是（ ） A 、1 B 、1或23 C 、3± D 、33、水池有2个进水口，1个出水口，每个水口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）。
给出以下三个论断：①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进入不出水；其中一定正确的论断是（ ）A 、①B 、①②C 、①③D 、①②③4、设函数2)2(),0()4(,0,0,2)(2-=-=-⎩⎨⎧≤++>=f f f x c bx x x x f 若，则f(x)的解析式f(x)= 。
【B版】人教课标版高中数学必修一《函数的表示方法》教学教案-新版
2.1.2 函数的表示法三维目标一、知识与技能1.能熟练掌握函数的三种不同表示.2.了解函数不同表示法的优缺点.3.了解分段函数及其表示.4.会求某些函数的解析式.二、过程与方法1.自主学习，了解函数表示形式的多样性和转化方法.2.探究与活动，明白何时的函数用何种方法表示适宜.3.增强动态意识、通过观察、对比、分析，发展辩证思维能力.三、情感态度与价值观培养学生重要数学思想方法——数形结合与分类讨论思想方法，激发学生学习的热情.教学重点函数的三种不同表示的相互间转化.教学难点函数的解析式的表示，理解和表示分段函数.教学过程一、创设情景，引入新课师：在前面的课中，我们已经初步研究函数的概念和表示方法.今天我们再专门研究函数的表示方法.（板书：函数的表示方法）师：请考察下面三个函数：投影胶片1（或多媒体制作镜头1）：估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至1999年人口数据资料如表所示，你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗？1949～1999年我国人口数据表师：该题是用的什么方法来表示函数的？生：这是一份表格.师：这位同学说得很好.这种用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法.投影胶片2（或多媒体制作镜头2）：一物体从静止开始下落，下落的距离y （m）与下落时间x（s）之间近似地满足关系式y=4.9x2.若一物体下落2 s，你能求出它下落的距离吗？师：这种用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析式法.这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式.投影胶片3（或多媒体制作镜头3）：上图为某市一天24小时内的气温变化图.请问：（1）上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？（2）在什么时刻，气温为0 ℃？师：这个问题我们用图象表示了时刻与气温的关系，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法.二、讲解新课I.函数的表示法（1）解析法解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这个数学表达式叫做函数的解析式，简称为解析式，如S=60t2，S=2πrl，y=ax+b，y=ax2+bx+c（a≠0）等等，都是用解析式法表示的函数关系.解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段所研究的主要是能够用解析式表示的函数.（2）图象法图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.图象法的优点是直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质.图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股市走势图等.（3）列表法列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，表格法在实际生产和生活中也有广泛应用.如银行利率表、列车时刻表等.例题讲解【例1】教科书P39例1.本例主要复习了初中时已接触函数的图象的做法：列表—描点—连线。
人教新课标高中数学B版必修一《2.1.2函数的表示方法》教学设计(表格式)
③掌握函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)；
④会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，；
⑤树立应用数形结合的思想，了解简单的分段函数，并能简单应用，培养学生应用函数的图象解决问题的能力；
2．过程与方法目标：
①通过学习例一，学生从具体实例中总结三种表示法的优缺点，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。
本节内容蕴含了数形结合的方法，教学时应让学生体会函数三种表示法的优点。
根据本节内容的特点，教学过程中要注重培养观察、分析能力，让学生感受数学在日常生活中作用，养成学以致用的习惯.
二、教学目标
按照教学大纲的要求，根据教材分析和学情分析，确定如下教学目标：
1．知识与技能目标：
①通过对问题情境的引入，引发学生学习和探索新知识的欲望，感受数学在实际生活中的运用；
6.布置作业
课本：P23练习1、2、3
设计意图：
1巩固所学的内容；
2对所学内容的检测，反馈及补充.
五、教学策略选择与信息技术设置问题情境一：问候语“你好”表达方式有哪些；
2.设置问题情境二：展示2018高考录取控制分数线、战狼收视率；
3.设置问题情境三：学习例1；
学生活动：学生回答问题，思考，总结旧知识
设计意图：为以后牛刀小试中练习题及接受新知识做好准备.
问题引入
师生活动：1.2018年河北省普通高校招生文史理工类录取控制分数线采用列表法给出
2.战狼收视率采用图象法
设计意图：函数表示法和我们息息相关，在日常生活中经常用到；通过战狼适时进行爱国教育.
2.新课讲解
③通过三种函数表示法优缺点的分析，培养学生认真分析、探索的学习态度；
高中数学 第二章 函数 2.1.2 函数的表示方法学案 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学学
2.1.2 函数的表示方法1．会用列表法、图象法、解析法来表示一个函数．2．会求一些简单函数的解析式．(重点)3．理解分段函数的含义，能分析其性质．(重点)4．会作一些简单函数的图象．(难点)[基础·初探]教材整理1 函数的表示方法阅读教材P38～P39“例1”以上部分，完成下列问题．1．列表法通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．2．图象法用“图形”表示函数的方法叫做图象法．3．解析法(公式法)如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( )【答案】(1)×(2)×(3)×2．下列图形可表示函数y＝f(x)图象的只可能是( )A B C D【解析】 借助函数的定义可知，函数的图象应保证对定义域内的任意一个x 有唯一的y 与之对应，故选D.【答案】 D教材整理2 分段函数阅读教材P 42“分段函数”～P 43“例5”以上的内容，完成下列问题．在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，0，x ＝0，x ＋1，x <0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值是( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32【解析】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋1＝12. 【答案】 A[小组合作型]函数的表示法(1)函数f (x )＝x ＋|x |x 的图象是( )(2)某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．【精彩点拨】 (1)对x 进行讨论将函数f (x )＝x ＋|x |x转化为所熟知的基本初等函数即可作图．(2)函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3 000，6 000，9 000，…，30 000}，可直接列表、画图表示，分析题意得到表示y 与x 关系的解析式，注意定义域．【自主解答】 (1)当x ＞0时，f (x )＝x ＋1，故图象为直线f (x )＝x ＋1(x ＞0的部分)； 当x ＜0时，f (x )＝x －1，故图象为直线f (x )＝x －1(x ＜0的部分)； 当x ＝0时，f (x )无意义即无图象． 综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0的图象为直线y ＝x ＋1(x ＞0的部分)和y ＝x －1(x ＜0的部分)，即两条射线，故选C.【答案】 C (2)①列表法如下：x (台) 1 2 3 4 5 y (元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x (台) 6 7 8 9 10 y (元)18 00021 00024 00027 00030 000③解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示.在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线.[再练一题]1．购买某种饮料x听，所需钱数y元．若每听2元，试分别用列表法、解析法、图象法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数，并指出函数的值域.【导学号：60210035】【解】解析法：y＝2x，x∈{1,2,3,4}，则y∈{2,4,6,8}．列表法：x/听123 4y/元2468图象法：求函数的解析式(1)已知f(x＋1)＝x－2x，则f(x)＝________；(2)已知函数y＝f(x)是一次函数，且[f(x)]2－3f(x)＝4x2－10x＋4，则f(x)＝________；(3)已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，则f (x )＝________. 【精彩点拨】 (1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)用方程组法求解．【自主解答】 (1)法一 换元法：令t ＝x ＋1，则t ≥1，x ＝(t －1)2，代入原式有f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)．法二 配凑法：f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1－4x －4＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3，因为x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)． (2)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则[f (x )]2－3f (x )＝(kx ＋b )2－3(kx ＋b ) ＝k 2x 2＋(2kb －3k )x ＋b 2－3b ＝4x 2－10x ＋4，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，2kb －3k ＝－10，b 2－3b ＝4，解得k ＝－2，b ＝4，或k ＝2，b ＝－1， 故f (x )＝－2x ＋4，或f (x )＝2x －1.(3)由题意，在f (x )－2f (－x )＝1＋2x 中，以－x 代x 可得f (－x )－2f (x )＝1－2x ，联立可得⎩⎪⎨⎪⎧fx －2f －x ＝1＋2x ，f －x －2f x ＝1－2x ，消去f (－x )可得f (x )＝23x －1.【答案】 (1)x 2－4x ＋3(x ≥1) (2)－2x ＋4或2x －1 (3)23x －1求函数解析式的四种常用方法1．待定系数法：若已知f (x )的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．2．换元法：设t ＝g (x )，解出x ，代入f (g (x ))，求f (t )的解析式即可．3．配凑法：对f (g (x ))的解析式进行配凑变形，使它能用g (x )表示出来，再用x 代替两边所有的“g (x )”即可．4．方程组法：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．[再练一题]2．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.【解析】 在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1中，用1x代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f x ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f x ·1x－1，得f (x )＝23x ＋13.【答案】23x ＋13分段函数已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.若f (x )>2，求x 的取值范围．【精彩点拨】 分段求解，再求并集．【解】 当x ≥－2时，f (x )＝x ＋2，由f (x )>2，得x ＋2>2，解得x >0，故x >0； 当x <－2时，f (x )＝－x －2，由f (x )>2，得－x －2>2，解得x <－4，故x <－4. ∴x 的取值范围是{x |x >0或x <－4}．求解分段函数问题的注意点(1)求f [f (a )]的值时，应从内到外依次取值，直到求出值为止．(2)已知函数值，求自变量的值时，切记要进行检验．解题时一定要注意自变量的范围，只有在自变量确定的范围内才可以进行运算．(3)已知f (x )，解关于f (x )的不等式时，要先在每一段内求交集，最后求并集．[再练一题]3．本题中解析式不变求f (－3)，f (f (－3))，f (f (f (－3)))的值．【解】f(－3)＝－(－3)－2＝1，f(f(－3))＝f(1)＝1＋2＝3，f(f(f(－3)))＝f(3)＝3＋2＝5.[探究共研型]作函数的图象探究1 作函数的图象通常分为哪几步？【提示】列表，描点，连线．探究2 作一次函数与二次函数的图象时，要注意哪些事项？【提示】作一次函数与二次函数的图象时，应标出某些关键点．如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点．作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))．【精彩点拨】解答本题可根据函数的定义域及图象中的关键点，通过描点、连线画出图象．【自主解答】(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示．(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x<3之间的一部分，如图(2)所示．1．画函数图象时首先要考虑函数的定义域．2．要标出关键点，如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点．3．要掌握常见函数的特征．4．函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等．[再练一题]4．画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．【解】(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)．(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图(2)．1．下列表示函数y＝f(x)，则f(11)＝( )x 0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y 234 5A．C．4 D．5【解析】由表可知f(11)＝4.【答案】 C2．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是( )A．f(x)＝x2＋6xB．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3D．f(x)＝x2＋6x－10【解析】法一设t＝x－1，则x＝t＋1，∵f(x－1)＝x2＋4x－5，∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，即f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.法二 ∵f (x －1)＝x 2＋4x －5＝(x －1)2＋6(x －1)，∴f (x )＝x 2＋6x . ∴f (x )的表达式是f (x )＝x 2＋6x ，故选A. 【答案】 A3．f (x )＝|x －1|的图象是( )【导学号：60210036】【解析】 ∵f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，当x ＝1时，f (1)＝0，可排除A 、C.又x ＝－1时，f (－1)＝2，排除D.【答案】 B4．如图214，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (f (2)))＝________.图214【解析】 由题意f (2)＝0，f (0)＝4，f (4)＝2， 所以f (f (f (2)))＝f (f (0))＝f (4)＝2. 【答案】 25．已知函数f (x )＝x 2－2x (－1≤x ≤2)． (1)画出f (x )图象的简图； (2)根据图象写出f (x )的值域． 【解】 (1)f (x )图象的简图如图所示．(2)观察f (x )的图象可知，f (x )图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1,3]，即f(x)的值域是[－1,3]．。
新教材高中数学第三单元函数3 1 1 3函数的表示方法学案新人教B版必修第一册
第3课时函数的表示方法导思1.函数的表示方法有哪些？2.任何一个函数都可以用解析法、列表法、图像法三种形式表示吗？函数的表示方法解析法用代数式(或解析式)表示两个变量之间的对应关系图像法用函数的图像表示两个变量之间的对应关系列表法用列表的形式来表示两个变量之间的对应关系本质：①解析法就是用等式来表示两个变量之间关系的方法，这个等式常叫做函数的解析表达式，简称解析式．②列表法所列表反映了两个变量具有的函数关系，其判断依据仍是函数的定义．③函数的图像不但可以是一条直线或一条曲线，也可以是一些点、一些线段、一些射线等．要作出更精确的图像，常常需要描出更多的点．函数的三种表示方法各有什么优、缺点？提示：优点缺点解析法①简明、全面地概括了变量间的关系；②可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观列表法不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值一般只能表示部分自变量的函数值图像法直观、形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图形研究函数的某些性质只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)任何一个函数都可以用图像法表示．(×)提示：有的函数是不能画出图像的，如f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x∈Q－1，x∈R Q.(2)任何一个函数都可以用解析法表示．(×)提示：并不是所有的函数都可以用解析式表示． (3)函数的图像一定是一条连续不断的曲线．( × )提示：有些函数的图像不是一条连续不断的曲线，如f (x )＝1x 的图像就不是连续的曲线． 2．(2021·天津高一检测)某同学骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因红灯停留了一段时间，然后加快速度赶到了学校，下列各图中，符合这一过程的是( )〖解 析〗选D.中间停留了一段时间，中间有一段图像与时间轴平行，排除AC ，后来是加速行驶，因此图像越陡峭，排除B ，只有D 符合．3．(教材例题改编)如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )＝( ) A ．1x B ．1x －1 C ．11－x D ．1x －1〖解 析〗选B.设t ＝1x ，所以x ＝1t ， 所以f ()t ＝1t1－1t ＝1t －1 ，所以f ()x ＝1x －1.类型一 列表法表示函数(逻辑推理、数学运算)1．观察下表：x －3 －2 －1 1 2 3 f (x ) 4 1 －1 －3 3 5 g (x )1423－2－4则f (g (2))－f (－1)＝( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5〖解 析〗选A.g (2)＝－2，f (－2)＝1，f (－1)＝－1， 所以f (g (2))－f (－1)＝f (－2)－f (－1)＝1－(－1)＝2. 2．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出x 1 2 3 f (x )231x 1 2 3 g (x )321则f (g (1))的值为________；当g (f (x ))＝2时，x ＝________． 〖解 析〗f (g (1))＝f (3)＝1，因为g (f (x ))＝2，所以f (x )＝2，所以x ＝1. 〖答 案〗1 1列表法表示的函数的求值问题的解法解决此类问题关键在于弄清表格中每一个自变量x 与y 的对应关系，对于f (g (x ))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求自变量x 时，则由外向内逐层求解．类型二 图像的画法及应用(直观想象)〖典例〗作出下列函数的图像并求出其值域． (1)y ＝－x ，x ∈{0，1，－2，3}． (2)y ＝2x ，x ∈〖2，＋∞). (3)y ＝x 2＋2x ，x ∈〖－2，2).〖思路导引〗描点法作函数图像⇒数形结合求出函数值域． 〖解 析〗(1)列表x 0 1 －2 3 y－12－3函数图像只是四个点(0，0){0，－1，2，－3}．(2)列表x 2 3 4 5 …y 1 231225…当x∈〖2，＋∞)时，图像是反比例函数y＝2x的一部分，观察图像可知其值域为(0，1〗.(3)列表x －2 －1 0 1 2y 0 －1 0 3 8画图像，图像是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x<2之间的部分．由图可得函数的值域为〖－1，8).描点法作函数图像的三个关注点(1)画函数图像时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．(2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像．(3)要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．画出下列函数的图像：(1)y＝x＋1(x≤0).(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1).〖解析〗(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图像如图(1).(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余的曲线．如图(2).〖拓展延伸〗常见函数图像变换1．平移变换(1)形如y＝f(x＋a)，把函数y＝f(x)的图像沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移||a个单位，就得到y＝f(x＋a)的图像．(2)形如y＝f(x)＋a，把函数y＝f(x)的图像沿y轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移||a个单位，就得到y＝f(x)＋a的图像．2．对称翻转变换(1)形如y＝f(－x)，其函数图像与函数y＝f(x)的图像关于y轴对称．(2)形如y＝－f(x)，其函数图像与函数y＝f(x)的图像关于x轴对称．(3)形如y＝－f(－x)，其函数图像与函数y＝f(x)的图像关于原点对称．(4)形如y＝f(||x)，其图像是关于y轴对称的，在y轴的右侧，它的图像与函数y＝f(x)位于y 轴右侧的图像重合，然后将y轴右侧的图像沿y轴翻折到左侧，就得到y＝f(||x)的图像．f（x），将函数y＝f(x)的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，x轴上(5)形如y＝||f（x）的图像．方的部分不变，就得到函数y＝||〖拓展训练〗画出下列函数的图像．(1)y＝|x2－2x－3|.(2) y＝x2－2|x|－3.〖解析〗先作出y＝x2－2x－3的图像，由图像变换的性质画出两个函数的图像如图所示．类型三求函数的解析式(数学运算、逻辑推理)待定系数法求函数解析式〖典例〗(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式．〖思路导引〗设f(x)＝ax＋b(a≠0)，根据题意列方程组求a，b.〖解析〗设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则2f(x＋3)－f(x－2)＝2〖a(x＋3)＋b〗－〖a(x－2)＋b〗＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21，所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5.(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式．〖思路导引〗设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，根据题意列方程组求a，b，c.〖解析〗因为f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由f(0)＝1，得c＝1.又因为f(x－1)－f(x)＝4x，所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2，所以f(x)＝－2x2－2x＋1.本例(2)条件“f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x”改为“f(1－x)＝f(1＋x)，f(2)＝1，f(1)＝3，”如何求f(x). 〖解析〗由f(1－x)＝f(1＋x)且f(1)＝3，可设f(x)＝a(x－1)2＋3(a≠0)，又f(2)＝a(2－1)2＋3＝1，故a＝－2，所以f(x)＝－2x2＋4x＋1.换元法(或配凑法)求函数解析式〖典例〗(2021·菏泽高一检测)(1)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝2且f(x＋1)＝f(x)＋2x＋2，求f(x)的表达式；〖思路导引〗运用代入法，结合等式恒成立进行求解即可；〖解 析〗由f(0)＝2，可得c ＝2， 所以f(x)＝ax 2＋bx ＋2， 因为f(x ＋1)＝f(x)＋2x ＋2，所以有a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋2＝ax 2＋bx ＋2＋2x ＋2，化简得2ax ＋a ＋b ＝2x ＋2⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝2 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1.所以f(x)＝x 2＋x ＋2；(2)已知f(x )＝x ＋2x ，求f(x)的表达式． 〖思路导引〗运用换元法进行求解即可． 〖解 析〗令x ＝t(t≥0)， 所以x ＝t 2，于是有f(t)＝t 2＋2t ， 因此f(x)＝x 2＋2x(x≥0).方程组法求函数解析式〖典例〗已知函数y ＝f(x)满足f(x)＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋3x ，则f(x)的解析式为________．〖思路导引〗分析已知等式的特点，用1x 代换式中的x ，构建关于f(x)和f ⎝⎛⎭⎫1x 的方程组，解方程组求出f(x).〖解 析〗由题意知函数y ＝f(x)满足f(x)＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋3x ， 即f(x)－2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，用1x 代换上式中的x ，可得f ⎝⎛⎭⎫1x －2f(x)＝3x ，联立得，⎩⎨⎧f （x ）－2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，f ⎝⎛⎭⎫1x －2f （x ）＝3x，解得f(x)＝－x －2x (x≠0). 〖答 案〗f(x)＝－x －2x (x≠0)函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)，可用待定系数法．(2)换元法：已知函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(3)解方程组法：已知f(x)与f ⎝⎛⎭⎫1x 、f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).(1)已知函数f(x)对于任意的x 都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x ，则f(x)＝________.〖解 析〗由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x 中，以－x 代替x ，可得f(－x)－2f(x)＝1－2x ，联立可得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）－2f （－x ）＝1＋2x ，f （－x ）－2f （x ）＝1－2x ， 消去f(－x)，可得f(x)＝23 x －1. 〖答 案〗23 x －1(2)已知函数f(x) 满足f(x)＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x(x≠0)，则f(x)＝________． 〖解 析〗f(x)＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x(x≠0)，令x ＝1x ， 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f(x)＝1x .于是得关于f(x)与f ⎝⎛⎭⎫1x 的方程组 ⎩⎨⎧f （x ）＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f （x ）＝1x ．解得f(x)＝23x －x3 (x≠0). 〖答 案〗23x －x3 (x≠0)1．图中的图像所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32 |x －1|(0≤x≤2) B ．y ＝32 －32 |x －1|(0≤x≤2) C ．y ＝32 －|x －1|(0≤x≤2) D ．y ＝1－|x －1|(0≤x≤2)〖解 析〗选B .可将原点代入，排除选项A ，C ；再将点⎝⎛⎭⎫1，32 代入，排除D 项． 2．(2021·南阳高一检测)已知函数f(x ＋2)＝x ＋4x ＋5，则f(x)的解析式为( ) A ．f(x)＝x 2＋1 B ．f(x)＝x 2＋1(x≥2) C ．f(x)＝x 2 D ．f(x)＝x 2(x≥2) 〖解 析〗选B .令x ＋2＝t ，则t≥2， x ＝(t －2)2，x ＝t －2，所以f(t)＝(t －2)2＋4(t －2)＋5＝t 2＋1(t≥2)， 即f(x)＝x 2＋1(x≥2).3．已知二次函数f(x)的图像经过点(－3，2)，顶点是(－2，3)，则函数f(x)的解析式为__________. 〖解 析〗设所求解析式为f(x)＝a(x ＋2)2＋3(a≠0)， 因为抛物线过点(－3，2)，所以2＝a ＋3. 所以a ＝－1，所以f(x)＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1. 〖答 案〗f(x)＝－x 2－4x －14．若3f(x －1)＋2f(1－x)＝2x ，则f(x)的解析式为________． 〖解 析〗令t ＝x －1，则x ＝t ＋1，t ∈R ， 原式变为3f (t )＋2f (－t )＝2(t ＋1) ①.以－t 代替t ，①式变为3f (－t )＋2f (t )＝2(1－t ) ②. 由①②消去f (－t )得f (t )＝2t ＋25 ， 所以f (x )＝2x ＋25 . 〖答 案〗f (x )＝2x ＋251．如果一次函数f (x )的图像过点(1，0)及点(0，1)，则f (3)＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3〖解 析〗选B.设一次函数的解析式为f (x )＝kx ＋b ，其图像过点(1，0)、(0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝1，解得k ＝－1，b ＝1；所以f (x )＝－x ＋1，所以f (3)＝－3＋1＝－2.2．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图像．由图像可知，下列说法中错误的是( )A.这天15时的温度最高 B ．这天3时的温度最低C ．这天的最高温度与最低温度相差13℃D ．这天21时的温度是30℃〖解 析〗选C.这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14(℃)，故C 错． 3．(教材练习改编)由表给出函数y ＝f (x )，则f (f (1))等于( )x 1 2 3 4 5 f (x )45321A.1 B ．2 C ．4 〖解 析〗选B.由题意得f (1)＝4，所以f (f (1))＝f (4)＝2.4．(2021·天津高一检测)设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式是________． 〖解 析〗由题意，g (x ＋2)＝2x ＋3， 设t ＝x ＋2，则x ＝t －2， 所以g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1， 所以g (x )＝2x －1.高中数学教学、学习精品资料- 11 - 〖答 案〗g (x )＝2x －15．若一次函数f (x )是减函数，且满足f (f (x ))＝16x －3，则f (x )＝________． 〖解 析〗由一次函数f (x )是减函数，可设f (x )＝kx ＋b (k <0).则f (f (x ))＝kf (x )＋b ＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ，因为f (f (x ))＝16x －3，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝16，kb ＋b ＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4，b ＝1，所以f (x )＝－4x ＋1.〖答 案〗－4x ＋1。
高中数学人教B版必修一2.1.2《函数的表示方法》word教案
教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象．
教学方法：教师指导与学生合作、交流相结合的教学方法.
教学环节
任务与目的
时间
教师活动
学生活动
环节1
点击双基
环节二
典型例题分析
设疑激趣，导入课题
对函数表达式的ห้องสมุดไป่ตู้解应用
3.解析法：在函数y=f（x）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的（或公式法）。
二、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数
例⒈作函数 的图像
例⒉作函数 （不超过x的最大整数）的图像
例3已知函数y=f（x）的定义域为[-1,2]，当 时，对应法则为y=x-1，当
15
分钟
15分钟
函数的表示方法
1.列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法
新中国成立后共进行了五次人口普查，各次普查得到的人口数据如表所示，
年份
1953
1964
1982
1990
2000
总人口数（亿）
5.9
6.9
10.1
11.3
12.7
根据上表，写出函数的定义域和值域.
2.图像法：用图形表示函数的方法
时，对应法则为y=x2，试用解析法和图像法分别表示该函数
例4把函数用分段函数 表示 ，并求 ，并写出其定义域和值域.
学生思考、交流
学生讨论交流
环节三
闯关训练
巩固概念
13分钟
ｏ
1.如图所示，可表示函数ｙ＝ｆ(ｘ)的图像的只可能是（ ）
人教B版高中数学必修一学案：2.1.2函数的表示方法(第一课时)
2.1.2函数的表示方法（第一课时）一.教学目标：1. 掌握函数的表示方法。
2. 会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，体会不同方法在具体问题中的运用。
3. 体验图形语言，数学语言的转换，使学生掌握学习数学的思考方法，培养思维能力。
重点：是对函数图象的分析。
难点：是通过函数的解析式分析函数的图象。
二．自学导引：1. 函数的表示方法有：_________,__________,___________.2. (1).通过列出自变量与对应函数值的_____来表示函数关系的方法叫做________。
(2).用“图形”表示函数的方法叫做_________。
(3).如果在函数)(x f y =()A x ∈中，)(x f 是用___________( )来表达的，则这种表示函数的方法叫做_____________3.描点法作图的步骤：_______,________,________.4.分段函数:在函数的定义域内，对于自变量x 的______________，有着______________，这样的函数通常叫做________________。
5.预习教材38-43页，自学完成例1-例5三.典例分析例1. 下列各图，哪些是以x 为自变量的函数的图象：例 2.已知函数)(x f y =，满足f(0)=1,且f(n)=nf(n-1)，+∈N n ,求f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)例3.某种笔记本的单价是5元，买x(x ∈{1,2,3,4})个笔记本需y 元。
试用函数的三种表示方法表示函数)(x f y =。
例4.已知自变量x 与因变量y 之间有下列关系，写出函数表达式，并作出各函数的图象。
（1）3x+5y=15; (2) x=52-+y y四.课堂练习1.已知函数y=f(n),满足f(1)=8,且f(n+1)=f(n)+7,n ∈N+,求f(2),f(3),f(4)2.某种芝麻每斤5元，买x(x ∈[1,4) ) 斤芝麻记为y 元。
人教新课标版数学高一数学人教B版必修一 函数的表示方法(一) 学案
2.1.2 函数的表示方法(一)自主学习学习目标1．掌握函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法，体会三种表示方法的特点．2．掌握函数图象的画法及解析式的求法.自学导引表示函数的方法常用的有：(1)解析法——用________表示两个变量之间的对应关系；(2)图象法——用________表示两个变量之间的对应关系；(3)列表法——列出________来表示两个变量之间的对应关系．对点讲练知识点一认识函数的三种表示法例1 已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝ax＋bx，当x＝2时，t＝100；当x＝14时，t＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人．(1)写出函数t的解析式；(2)用列表法表示此函数；(3)画出函数t的图象；(4)根据(2)(3)分析：随着工作人数的增加，工作效率的变化情况．规律方法在实际研究一个函数时，通常是将上述三种表示法结合起来使用，即解析式→列表→描点，画出图象，然后再总结出函数的性质．三种方法相互兼容和补充，各有优缺点，在实际操作中，仍以解析法为主．变式迁移1 客车从甲地以60 km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是()知识点二函数解析式的求法例2 求下列函数的解析式．(1)已知f(x＋4)＝x＋8x，求f(x2)；(2)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x－1，求f(x)．规律方法对于已知f[g(x)]的表达式，求f(x)的表达式的问题，解决这类问题的一般方法是换元法，即设g(x)＝t，解出用t表示x的表达式，代入求得f(x)的表达式．在用换元法解这类题时，特别要注意正确确定中间变量t的取值范围．题目中已知函数f(x)的函数类型，一般采用待定系数法，如第(2)小题，由于已知函数f(x)是一次函数，故可设f(x)＝ax＋b(a≠0)．变式迁移2 (1)已知f(2x＋1)＝x2＋1，求f(x)的解析式．(2)已知2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，求f(x)的解析式．1．函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法． 2．画函数图象的方法：(1)列表、描点、连线；(2)图象变换． 3．求函数解析式的方法有：换元法、配凑法、待定系数法等.课时作业一、选择题1．下图中，可表示函数y ＝f (x )的图象的只可能是( )2．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( ) A.x 非负数 非正数 y1－1B.x 奇数 0 偶数 y1－1C.x 有理数 无理数 y1－1D.x 自然数 整数 有理数 y1－13．若f (1－2x )＝1－x 2x 2 (x ≠0)，那么f ⎝⎛⎭⎫12等于( ) A ．1 B ．3 C ．15 D ．304．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则( ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝3x －2 C ．f (x )＝2x ＋3 D ．f (x )＝2x －35．为悼念四川汶川地震中遇难同胞，在全国哀悼日第一天，某校升旗仪式中，先把国旗匀速升至旗杆顶部，停顿3秒钟后再把国旗匀速下落至旗杆中部．能正确反映这一过程中，国旗上升的高度h(米)与升旗时间t(秒)的函数关系的大致图象是(设国旗的起始位置为h＝0(米))()二、填空题6．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确论断的序号是________．7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．x 12 3f(x)21 1x 12 3g(x)32 1则f[g(1)]的值为____________；当g[f(x)]＝2时，x＝__________.三、解答题8．(1)已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，求a的值．(2)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．2．1.2 函数的表示方法(一) 答案自学导引(1)数学表达式 (2)图象 (3)表格 对点讲练例1 解 (1)由题设条件知： 当x ＝2时，t ＝100，当x ＝14时，t ＝28得方程组⎩⎨⎧2a ＋b2＝100，14a ＋b14＝28.解此方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝196.所以t ＝x ＋196x，又因为x ≤20，x 为正整数，所以函数的定义域是{x |0<x ≤20，x ∈N *}．(2)x ＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共取20个值，列表如下：(3)函数t 的图象是由20个点组成的一个点列． 如图所示．(4)自变量x 共取1～20之间的20个正整数，从表中的函数值可以看出完成任务的时间与参加任务的人数之间的关系，一开始，完成任务的时间随着人数的增加而减少，而当人数增加到一定的数量，完成工作的时间减少得很慢，人数在达到7人以后，至14人之间，完成工作的时间基本上变化不大；再增加人数，完成工作的时间反而有所增加．由函数的图象的变化也可以看出上面分析的结果．可以再设想，假设工作的人数没有限制，x 再增大时，比如，x ＝50,100,196,392等数值，则完成工作的时间t ＝53.92,101.96,197,392.5，由此可见，工作效率随着人数的增加反而降低．变式迁移1 B [由题意知，在前1小时内客车以60 km/h 的速度匀速行驶，则ΔyΔx ＝60，在1小时～1.5小时内客车未行驶，其路程仍为60 km ，在1.5小时后到2.5小时，又以80 km/h 的速度匀速行驶到达丙地，因此答案为B.]例2 解 (1)方法一 (配方法) ∵f (x ＋4)＝x ＋8x ＝(x ＋4)2－16， ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)．∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2，或x ≥2)． 方法二 (换元法)设x ＋4＝t ≥4，则x ＝t －4，x ＝(t －4)2， ∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16. ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)．∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2或x ≥2)． (2)(待定系数法)因为f (x )是一次函数， 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4ab ＋b ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1. ∴f (x )＝2x －13，或f (x )＝－2x ＋1.变式迁移2 解 (1)设t ＝2x ＋1，则x ＝t －12，∴f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋1.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1.(2)将x 换成－x ，则原式2f (x )＋f (－x )＝3x ＋2变为：2f (－x )＋f (x )＝－3x ＋2由两式解得f (x )＝3x ＋23.课时作业1．D [只有D 符合函数定义，即在定义域内每一个x 对应唯一的y 值．]2．C [A 中，当x ＝0时，y ＝±1；B 中0是偶数，当x ＝0时，y ＝0或y ＝－1；D 中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x ＝1∈N (Z ，Q )，故y 的值不唯一，故A 、B 、D 均不正确．]3．C [方法一 令1－2x ＝t ，则x ＝1－t 2(t ≠1)，∴f (t )＝4(t －1)2－1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝16－1＝15.方法二 令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝16－1＝15.]4．B [设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2，∴f (x )＝3x －2.] 5．B [国旗的运动规律是：匀速升至旗杆顶部——停顿3秒——国旗匀速下落至旗杆中部．对应的图象为B.]6．①解析 设进水量为y 1，出水量为y 2，时间为t ，由图象知y 1＝t ，y 2＝2t .由图丙知，从0～3时蓄水量由0变为6，说明0～3时两个进水口均打开进水但不出水，故①正确；3～4时蓄水量随时间增加而减少且每小时减少一个单位，若3～4点不进水只出水，应每小时减少两个单位，故②不正确；4～6时为水平线说明水量不发生变化，应该是所有水口都打开，进出均衡，故③亦不正确．所以正确论断的序号只有①.7．1 1解析 f [g (1)]＝f (3)＝1； g [f (x )]＝2，∴f (x )＝2，∴x ＝1.8．解 (1)∵f (2x ＋1)＝3x －2＝32(2x ＋1)－72∴f (x )＝32x －72，∵f (a )＝4，∴32a －72＝4，∴a ＝5.(2)∵f (0)＝c ＝0，∴f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ， f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，∴⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
20XX 年高中数学 函数的表示方法学案 新人教B 版必修1
一、三维目标：
知识与技能：进一步理解函数的概念；使学生掌握函数的三种表示方法;使学生掌握分段函数及其简单应用。
过程与方法：通过实例，使学生会根据具体问题选择合适的方法来表示两个变量之间的函数
关系，并初步感知处理函数问题的方法。
情感态度与价值观：通过学习，让学生体会到生活离不开数学，激发学习兴趣，培养学生学
数学用数学的意识。
二、学习重、难点：
重点：函数的表示方法，根据具体问题选择合适的方法来表示两个变量之间的函数关系。
难点：函数三种表示方法的选择及分段函数的表达和性质。
学法指导：在回顾初中所学函数的有关知识的基础上，认真阅读教材P38--P43，通过对教
材中的例题的研究，完成学习目标 。
学习过程：
1、函数的三种表示方法
（1）列表法：__________________________________________________。
举例： 如：人口普查表（见课本P38）
优点：___________________________________________________________________. （2）解析法：___________________________________________________________。
举例：___________________________________________________________。
优点： ⎩⎨
⎧函数值；
意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；
简明，全面地概括了变
（3）图象法：__________________________________________________________。
优点：___________________________________________________________。
说出函数y=f(x)与其图像间的关系：__________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________. 这是“数形结合”思想和方法的依据。
例1：某种笔记本的单价是5元，买x （{1,2,3,4,5}x ∈个笔记本需要y 元,试用函数的三
种表示法表示函数()y f x =。
例2：设x 是任意的一个实数，y 是不超过x 的最大整数，试问x 和y 之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图像。
例3：作函数x x y 1
+
=的图像。
例4：作函数
62
-+=x x y
点拨：
○1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；(见课本P39的思考与讨论）。
○
2 解析法：必须注明函数的定义域； ○
3 图象法：是否连线； ○
4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征。
3、分段函数：______________________________________________________________。
例5. 已知函数()y f x =的定义域为区间【0,2】，当[]1,0∈x 时，对应法则为y=x,当(]2,1∈x 时，对应法则为y=2-x ，试用解析法和图像法分别表示这个函数。
例6．作出函数1y x =-的图象，并分别求出函数的值域。
1．已知)(x f 与)(x g 分别由下表给出
那么=))3((g f
2.在一定范围内,某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系。
如果购买1000吨，每吨800元，购买2000吨，每吨700元，若一客户购买400吨，单价应该是 （ ） （A ）820 （B ）840 （C ）860 （D ）880
3．设函数22(2)
()2(2)
x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则(4)f -= ，若0()8f x =，则0x = 。
1．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1
元（不足5公里按5公里计算）。
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画
出函数的图像。
2．已知1(0)()(0)0(0)x x f x x x π+>⎧⎪
==⎨⎪<⎩
，则{[(1)]}f f f -= 。
3.在函数2
2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
中，若()3f x =，则x 的值为 。
4． 如图所示，在边长为4的正方形ABCD 边上有一点P ，自点B （起点）沿着折线BCDA 向点A （终点）运动。
设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式。
并画出这个函数的图象。