高中数学数列解答题(含答案)

高中数学数列解答题(含答案) 数列解答题

1、设各项均为正数的等比数列设

（1）求数列的通项公式；

（2）若

（3）设，是否存在关于n的整式，使对一切不小于2的整数n都成立？若存在，求出，若不存在，说明理由。

2、设数列{an}的各项都是正数，且对任意nN*，都有a13＋a23＋a33＋……＋an3=sn2,其中sn为数列的前n项和. (Ⅰ)求证：an2=2sn―an；

(Ⅱ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅲ)设bn=3n＋(―1)n-12an(为非零整数，nN*)，试确定的值，使得对任意的

nN*，都有bn+1bn成立.

解：(Ⅰ)由已知，当n=1时，a13=s12又∵a10a1=1 (1)

分

当n2时，a13＋a23＋a33＋……＋an3=sn2…………①

a13＋a23＋a33＋……＋

an-13=sn-12…………②………………2分

①―②得：an3=(sn―sn-1)(sn＋sn-1)=an(sn＋

sn-1)∵an0an2=sn＋sn-1

又sn-1=sn―anan2=2sn―an…………3分

当n=1时，a1=1也适合上式an2=2sn―an…………4分(Ⅱ)由（1）知，an2=2sn―an………③当n2时，

an-12=2sn-1―an-1……④

③―④得：an2―an-12=2（sn―sn-1）＋an-1―an=an＋

an-1…………6分

∵an＋an-10an―a n-1=1数列{an}是等差数列，

an=n…………8分

(Ⅲ)∵an=nbn=3n＋(―1)n-12n.要使bn+1bn恒成立，则

bn+1―bn=3n+1＋

(―1)n2n+1―3n―(―1)n-12n=23n―3(―1)n-10恒成立，即(―1)n-1(32)n-1恒成立…………9分，

（1）当n为奇数时，即(32)n-1恒成立，又(32)n-1的最小值为1，1；…………10分

（2）当n为偶数时，即―(32)n-1恒成立，又―(32)n-1的最大值为―32，―32……11分

即―321,又为非零整数，=―1能使得对任意的nN*，都有bn+1bn成立.…12分

3、已知各项均为正数的数列的首项，且，数列是等差数列，首项为，公差为2,其中.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

解：（1）由题可得：，数列是以1为首项，2为公比的等

比数列。

.……………………………………6分

（2）由题知：，

.…………12分

4、已知数列的前n项和为，点在曲线上且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求证：．

解：（1）

，数列是等差数列，首项公差d=4

（2）

5、设数列的前项和为，对一切，点都在函数的图象上．

（Ⅰ）求的值，猜想的表达式，并用数学归纳法证明；（Ⅱ）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），（，，），（，，，）；（），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；

思路点拨：（本题将函数与数列知识交汇在一起，考查了观察、归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法，考查了等差数列、等差数列的求和公式，考查了同学们观察问题、解决问题的能力。（1）将点代入函数中，通过整理得到与的关

系，则可求；（2）通过观察发现是第25组中第4个括号内各数之和，各组第4个括号中各数之和构成首项为68、公差为80构成等差数列，利用等差数列求和公式可求．。解：（Ⅰ）因为点在函数的图象上，

故，所以．------------------------1分

令，得，所以；

令，得，所以；

令，得，所以．

由此猜想：．…………………………………………4分

用数学归纳法证明如下：

①当时，有上面的求解知，猜想成立．-------------5分

②假设时猜想成立，即成立，

则当时，注意到，

故，．

两式相减，得，所以．

由归纳假设得，，

故．

这说明时，猜想也成立．

由①②知，对一切，成立．……………………………………8分

（Ⅱ）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；

（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以．又=22，所以=2019．………………14分

归纳总结：由已知求出数列的前几项，做出猜想，然后利用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法。证明的关键是根据已知条件和假设寻找与或与间的关系，使命题得证。

6、已知数列满足，，且．（N*）

（I）求数列的通项公式；

（II）若= 试问数列中是否存在三项能按某种顺序构成等差数列？

若存在，求出满足条件的等差数列，若不存在；说明理由. 解：（I）由，知，

当为偶数时，；当为奇数时，；……………2分

由，得，即，

所以，