电路的瞬态分析

换路后初始值的确定及步骤
初始值（起始值）： 即u、i 在t=0+时的大小
1.由换路前电路（旧稳定状态）求uC(0-)和iL(0-) 2.由换路定律
u C (0 iL (0

) u C (0


)
) iL (0
得uC(0)、iL(0)
)
3. 画0+等值电路。 电容有初始值，用恒压源替代； 电感有初始值，用恒流源替代； 4. 由0+电路求所需各变量的初始值。 稳态值的确定：对新稳态电路的分析。 例
uC
不能突变
电容器上电荷的积累只有快与慢之分，由电 路时间常数决定 注意：在实际应用中，不只是电容器才具有电容， 任何一个绝缘导体之间都存在电容。
4、电容的串并联 电容串联 电容并联
u
1 C 1 C1 1
u1 u2

C1
C2
u
C1
C C1 C2
C2
C2
u1 u2
特解
u C ( t ) u 'C u " C
u" C 对应齐次方程的通解
u C ( t ) u 'C u " C
1. 求特解 —
u'C
在电路中，通常取换路后的新稳态值
u C ( )
作为特解，故此特解也称为稳态分量
所以该电路的特解为：
u' C ( t ) u C ( ) U
换路
研究过渡过程的意义 过渡过程是一种自然现象，过渡过程的存
在有利有弊。 有利的方面，如电子技术中常用它来产生各种 波形等； 不利的方面，如在瞬态过程发生的瞬间，可 能出现过压或过流，致使设备损坏，必须采取
防范措施。
二 激励和响应 激励：电路中的电源或信号源，又称为输入 响应：由激励引起的电压和电流，又称电路的输出 1、零状态响应（外部激励引起） ——只由电源激励作用产生的响应 2、零输入响应（内部激励引起）
第2章 电路的瞬态分析
在自然界的事物中，事物在一定的条件下处 于一个稳定状态，当条件改变了状态随之改变，
经过一定的时间后过渡到新的稳定状态。这一
物理过程称为过渡过程。 在电路中同样也存在这一物理现象。如： RC、RL电路开关的接通和断开、电源电压的 波动等都使电路的工作状态改变。
2.1 瞬态分析的基本概念
原来电压36.8%所需的时间 工程上认为：经过 3 - 5 ，过渡过程结束。
（二）RC电路的零状态响应 t=0 K + _ Us
充电状态
R
uR
i
C
uC
S闭合后据KVL
RC duC dt uC U S
uC (0 ) 0
换路后，S 闭合uC(∞) = US
一次线性非齐次常微 分方程
u' C
u（ 0） i R ( 0 ) R 1 5 R 5V
u （0） U S u （0） u C 0） （ L R 5 - 5 - 0 0V
iL ( 0 ) iL ( 0 ) 1A
u（ 0 ） u（ 0 ） 0 C C
2、求稳态值即t=∞时的值 t=∞时的等效电路
1 RC t
uc (0)e
t RC

t RC

U0 R
e
I 0e

t RC
U0 uC t
代入初始条件确定 待定常数A
0
ic
I0
电压、电流以同一指数规律衰减，衰减快慢取决于RC乘积 令 =RC 为电路的时间常数
库 安秒 RC 欧 法 欧 欧 秒 伏 伏
（一）RC电路的零输入响应 放电状态 研究 uC 和 iC的变化情况
S合在b处后
根据KVL：Ri C u C 0 t = 0 时换路
RC duC dt uC 0
换路前,S 合在 a 端 uC(0) = U0
换路后,S 合在 b 端 uC(∞) = 0
一阶线性齐次常微分方程
通解为：
uC A e
1、电容上电压与电流的关系 若电压uc与电流ic取关联参考方向
ic ( t ) dq dt dCu dt
c
u
i
C
C
du c dt
(电容充电)
当 u U时,
i 0
在直流电路中，电容元件相当于开路 当电压变化时，电容电流才有值 电容具有隔直流、通交流的作用
当电容电压uc与电流ic取非关联参考方向时 du c ic ( t ) C dt
2、瞬时功率 关联参考方向下
p u c i c Cu
u
u du dt 0
du c
c
dt
p0
说明 C 从外部输入电功率 电能 电场能
u
u du dt 0
p0
说明 C 向外部输出电功率
电场能 电能
所以电容是一种储能元件，能量的转换是可 逆的，它不消耗能量。
3、电感中储存的磁场能 当t = 0 ξ时,i 由0 I,则输入电能

I

0
pdt uidt Li
0 0
di dt
I
dt Lidi
0
1 2
2
LI
2
W 则L储存的磁场能为：
L
=
1 2
Li
L
单位：焦[耳](J)
W L 不能突变
iL
不能突变
4、电感的串并联 电感串联： 电感并联：
电感具有通直流、阻交流的作用
2、瞬时功率 关联参考方向下，电感吸收的功率
p u L i L Li L
i i
di dt 0
di L dt
p0
说明 L 从外部输入电功率 电能 磁场能
i i
di dt 0 p 0
说明 L 向外部输出电功率 磁场能 电能
设：t =0 时换路
t 0
t 0
--- 换路前瞬间 --- 换路后瞬间
f(t) t
则： u C ( 0 ) u C ( 0 )
iL (0 ) iL (0 )
注意： 换路瞬间，uC、iL 不能突变。其它电量均可能 突变，变不变由计算结果决定。
0- 0 0+
换路后经一段时间电路达到新的稳态值
i
u
i
L1 L2
u
1 L 1 L1 1 L2
L1
L2
L L1 L 2


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2.3 换路定律
换路: 电路状态的改变。如：
1.电路接通、断开电源 2.电路中电源的升高或降低 3.电路中元件参数的改变 …………..
换路定律:在换路瞬间，电容上的电压
电感中的电流不能突变。
iL ( 0 ) U
S
电压和电流的初始值和
稳态值。

5 5
1A
R
t=0+时的等效电路
iL ( 0 )
iC ( 0 ) i L ( 0 ) I S 1 5 6 A
5A
1A
i R ( 0 ) iC ( 0 ) I S 6 5 1 A
5V
u C 0 ） （
iL ( ) iR ( ) I S 5 A
u R ( ) iR ( ) R 5 5 25 V
iC ( ) 0
uL ( ) 0
uC ( ) u L ( ) U S u R ( ) 0 5 25 30 V
iC ( 0 )


u C ( ) iC ( )
0 0
u C (0 ) R2


8 4
2 mA
例
K t=0 U
uR iL
解:
根据换路定理

uL
iL (0 ) iL (0 ) 0 ( A )
iL
不能突变
已知: R=1KΩ, L=1H , U=20 V、
换路后电压方程 :
u(∞)
i(∞) 在计算t=0与t=∞时刻的值时，运用分析 直流稳态电路的方法。 注意：在直流稳态电路中，电容相当开路， 电感相当短路。
例2.3.1
解：首先选择电路的参考方向
1、求初始值 t=0-
已知:US=5V,IS=5A,R=5Ω
S断开前电路已稳定。
求：S断开后R、C、L的
u c (0 - ) 0
st
A为积分常数 S为特征根
RC
d Ae dt
st
st
Ae
st
0
RC s Ae
Ae
st
0
uC (0 ) U 0
得: A=U0
uc U 0 e
ic C duc dt
t RC
得出特征方程式：
RCs 1 0
s
1 RC
则 u C A e st A e
——只由储能元件作用产生的响应
3、全响应（ 内部激励+外部激励引起） ——零状态响应+零输入响应
根据激励信号波形的不同零状态和全响应分： 阶跃响应：在直流电源作用下的响应
正弦响应 脉冲响应 单位阶跃函数
0 u (t ) 1 ( t 0) ( t 0)
u(t)
1 0 t
2.2 储能元件 （一）电容：是一种储存电场能量的理想元件。
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3、电容器中储存的电场能 当t = 0 ξ时,u 由0 U,则输入电能


0
pdt uidt uC
0 0
du dt
U
dt Cudu
0
1 2
CU
2
则C储存的电场能为： Wc =
1 2
CU
2
C
单位：焦 [耳] (J)
W C 不能突变
根据换路定理：

例： 计算电容电压、电流的初始值和稳态值 t=0 在t=0+时， U=12V K R1 iC 电容相当于 R1=2k 一个恒压源 + C u C R2 R2=4k U _ C=1F R2 4 u c (0 ) U 12 8V R1 R 2 24
u c (0 ) u c (0 ) 8 V
u L (0 ) = U - i L (0 )R
+
+
开关闭合前 i L 0 A
设 t 0 时开关闭合 求 : iL (0



u L 发生了突变
u L ( 0 ) 20 0 20 V
), u L (0 )
iL ( ) ?
u L ( ) ?
2.4 RC电路的瞬态分析
uc U0 0
大 小
t
时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
的物理意义
t
uc U 0 e
t
0


2 U0 e -2
3 U0 e -3
5 U0 e -5 0.007 U0
U0 U0 e -1 U0 0.368 U0
0.135 U0 0.05 U0
值表示了电容电压衰减到
一、稳态和瞬态 K
+ _
R
uC
换路：引起工作状态改变
+
R
U
旧稳态
Hale Waihona Puke Baidu
C
U _
新稳态
uC
1、稳态：电路的结构和元件的参数一定时，电路的工作 状态一定，电压和电流不会改变，称电路为稳定的状态， 简称稳态。 2、瞬态： 过渡过程所处的状态
2、瞬态： 过渡过程所处的状态
开关由断开到闭合后电容两端电压的变化波形
C2 C1 C2 C1 C1 C2
u
u
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（二）电感 ：是一种储存磁场能量的元件。
i
Φ
i

e

e
u
L
u

亨利（H）--
L
--韦伯(Wb)
i L --安培（A)
若线圈的匝数为N，且通过每匝的磁通量均为Ф， 则通过线圈的磁链ψ=ФN与电流的比值为电感。
1、电感上电压与电流的关系 磁链的变化，在电感线圈的两端会产生感应电压。 当线圈两端的电压u与电流i取关联参考方向时，根 据法拉第电磁感应定律和楞次定律
uL d dt
i

dLi dt
L
L
di L dt
u
e
L
当 i I 时， u 0
在直流电路中，电感元件相当于短路 当电流变化比较剧烈时，电感两端会出现高电压
u
i
q q

+ + – –
i
u
C
q --库伦（C) 法拉（F)-- C u --伏特（V)
电容的单位
1 F 10 F 10 nF 10
6 9 12
pF
几种常用电容器
1．铝电解电容器 2．钽铌电解电容器 3．陶瓷电容器 4.云母电容器 5.薄膜电容器 6.纸介电容器 7.金属化纸介电容器 8.油浸纸介电容器 在实际应用中，第 一要根据不同的用途选择 不同类型的电容器；第二 要考虑到电容器的标称容 量，允许误差、耐压值、 漏电电流等技术参数；第 三对于有正、负极性的电 解电容器来说，正、负极 在焊接时不要接反。
K R
+ U _
uC
uC
过渡过程
新稳态
C
旧稳态
U
t
换路后，u、i 都处于瞬间的不稳定状态，所以过渡
过程又称为电路的瞬态过程。
3、产生过渡过程的原因 a、电路内部含有储能元件L、C -- 内因
p w t
能量的储存和释放都需要一定的时间来完成
b、电路结构、状态发生变化 -- 外因 电源的接通与断开、支路接入或断开、参数变化