非线性控制系统分析

实验八非线性控制系统分析
实验目的
1.掌握二阶系统的奇点在不同平衡点的性质。

2.运用Simulink构造非线性系统结构图。

3.利用Matlab绘制负倒描述函数曲线，运用非线性系统稳定判据进行稳定性分析，同时分析交
点处系统的运动状态，确定自振点。

实验原理
1.相平面分析法
相平面法是用图解法求解一般二阶非线性系统的精确方法。

它不仅能给出系统稳定
性信息和时间特性信息，还能给出系统运动轨迹的清晰图像。

设描述二阶系统自由运动的线性微分方程为
片+ 2冲+承=0
分别取和为相平面的横坐标与纵坐标，并将上列方程改写成
dx _24/ +曲H
上式代表描述二阶系统自由运动的相轨迹各点处的斜率。

从式中看出在’「及—，即坐标原点（0,0）处的斜率灯‘以_门。

这说明，相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值的确定，相平面上的这类点成为奇点。

无阻尼运动形式（二--）对应的奇点是中心点；
欠阻尼运动形式（「上」）对应的奇点是稳定焦点；
过阻尼运动形式（―-）对应的奇点是稳定节点；
负阻尼运动形式（：=二）对应的奇点是不稳定焦点；
负阻尼运动形式-）对应的奇点是不稳定节点；
■-描述的二阶系统的奇点（0,0）称为鞍点，代表不稳定的平衡状态。

2.描述函数法
设非线性系统经过变换和归化，可表示为非线性部分「与线性部分，相串联的典型反馈结构如图所示。

从图中可写出非线性系统经谐波线性化处理线性化系统的闭环频率响应为
ROM
由上式求得图中所示非线性系统特征方程为■-
，还可写成
呛曲）=- ….或4丁 丁，对应着一个正弦周期运动。

若系统扰动后，上述周期运 动经过一段时
间，振幅仍能恢复为 A 二：，则具有这种性质的周期运动，称为自激振荡。

可见自激振荡就是一种振幅能自动恢复的周期运动。

周期运动解
A 二：可由特征方程式
求得，亦可通过图解法获得。

由等式 宀小在复数平面上分别绘制|」 曲线和；， 曲线。

两曲线的 交点对应的参数即为周期运动解。

有几个交点就有几个周期运动解。

至于该解是 否对应着自激振荡状态，取决于非线性系统稳定性分析。

实验内容 1•相平面分析法
（1）二阶线性系统相平面分析不同奇点的性质 例8-1设一个二阶对象模型为
绘制、=2, 分别为0.5、-0.5、1.25、0时系统的相平面图及G （s ）= 的相平面图 s 一4
num-4;
den=[l 2 4]; daiup (d^n):
h j d]=tfZss (num^ den): [巧 x,
t]=st*p 〔包 b, Cj d)； subplot (2, 1,
1);
plot (t,r );grid;
subplot (2. 1,2);
plot (X (：, 2),x(\ 1)) ; grid
其中称为非线性特性的负倒描述函数。

若有 工使上式成立，便有
G(s)二 s 2 2、s
请同学们自己画出其他情况下系统的单位阶跃响应曲线和相平面图，
并分析不同奇
点的性质。

(2)用Simulink 分析非线性系统性能 例8-3饱和非线性的控制系统如图8-3(a)所示，系统相轨迹的Simulink 仿真框图如图 8-3(b)所示。

2. 描述函数分析法
已丸带有死区继电特性的乘统如图7-17所示.且死匿继电特性的参数M=l. 7. A =
8-4(a)所示，K=6时系统的相轨迹如图 8-4(b)所示。

图8-3 (a) 系统方框图 reriudtiue
图8-3 (b) 系统Simulink 仿真图
当K=15时系统的相轨迹如图 (a) K=15
(b) K=6
(1)该系统的参数
线性部分的频率特性两》时丁船吋存
死区继电特性的描述函数N(工) = K°NoCr)死区继电特性的尺度系数K<)=器=*二#=・2・43。

死区继电特性的相对描述函数
(2)该系统的闭环待征方程为
l + NQ)Go (血)=0
该系统的闭环特征方程
1 + K°N Q(JC〉G O (jo>) = 0
Ko Go (j+s) = —
O(jaj) = K Q G O (jco) =2. 43Go (血)
(3)绘制线性部分的Nyquist曲线
num= 460;den=conv(conv([ 1 0」，[0・01 0025 1]) i
Go = tf (num,den) ；G = 2・ 43 * Go；
nyquist(G) ,hold on
<4)在同一复平面上绘制负倒描述函数曲线•
syma h x No；h=0. 7；
for x=0. 71 x 0. 1 : 7
No=4 * h/(pi * x) * sqrt(l — ( h/x )A 2)； y=zeros(size(No)) j
plot( —l/(No) »y/ k-b1) ♦hold on,grid
end
(5)运行程序
运行程序后.在同一复平面上绘制出了非线性特性的相对负倒描述函数与线性部分的
Nyquist 曲线
(6)对系统进行稳定性分析
由图町见一瓦匕轨迹和G0G有交点，此时该非线性系统处于临界稳定状态，且在交点处出现厳自振。

(7)求出自振的撮幅X和角频率g
令［KoGfj弹〉］=0,即交点虚部为零.求解得出交点处口振的角频率＜U = 200rad/s, 冉求出
|K o GCj2OO)|的值”也可以在图中读出交点处角频率和= 200説/齐|K o G(j2OO)l应该为交点处的实部，近似为生2氣丙此可得交点处一瓦訂 =一£2典
令定=生，則卜式转换成土 *立— #=0*4425*然后利用MATLAB求解该方程吉x兀
flyms z ；
L z J = sclv e C,4 *z/(pi) * sqnCl-i A 2) = 0. 4425^
执行后得到’訂=広3749, z2 = 0・Q271
最后得出：XI = 1. 8672, X2 = 0. 755
(8)判斷自振交点
系统奈氏曲线G(js)与负倒描述函数一丽士孑曲线有两个交点，对应着系统的两个周
期的运动狀态，因此需要判定究竟哪个点是自振点*改变复平而纵轴的坐标范围，观察两交
1
点附近振幅的变化方向，随着振幅增大的方向，G(讪)曲线不包围一烝芮曲线，则为自振点，故Xi^l. 8672与⑴=200i■且d/s是包振点，自扼的振幅为1- 8672^
练习题
1.用Simulink仿真，观察非线性系统的输入和输出。

(参考教材P251例7-10)
2.用Simulink仿真绘制教材P235例7-5中，当K=10时系统的相平面图。

提示：在前项通道中加入变增益模块Slider Gain，通过改变增益，观察系统
3.运用Matlab，使用描述函数法完成教材P248例7-8和P249例7-9的仿真，并判断自振点。

实验要求
1.掌握二阶系统的奇点在不同平衡点的性质。

2.运用Simulink构造非线性系统结构图。

3.学会运用Matlab绘制负倒描述函数曲线，巩固绘制线性系统Nyquist曲线的方法。

4.分析交点处系统的运动状态，确定自振点。

4.实验心得.。