高考数学数列、导数、圆锥曲线综合题

综合题

(答案在文章最后面)

1、设n S 为数列}{

n a 的前n 项和，对任意的∈n N *

，都有()1n n S m ma =+-m (为常数，且0)m >．

（1）求证：数列}{

n a 是等比数列；

（2）设数列}{

n a 的公比()m f q =，数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -==(2n ≥，∈n N *

)，求数列{}

n b 的通项公式；

（3）在满足（2）的条件下，求数列12n n b +⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前n 项和n T ．

2、已知函数)0,()(≠+=

a b a b

ax x

x f 为常数且满足1)2(=f 且x x f =)(有唯一解。 （1）求)(x f 的表达式；

（2）记)1)((1>∈=-n N n x f x n n 且，且1x ＝()f 1，求数列{}n x 的通项公式。 （3）记1n y +⋅=n n x x ，数列｛n y ｝的前n 项和为n S ，求证34

3、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列

{}n a 的前n 项和n S ；

（Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11

n k n

k a a a a ++≤对任意n *∈N 均成立．

4、设数列).(3

,3,3}{},{*1

11N n n P P P b b P b n n n n n

n n n ∈+===++且满足

（1）求数列}{n b 的通项公式；

（2）若存在实数t ，使得数列})2

1

({,1)41(n C n n n C n n t b C ⋅++⋅

-=记数列成等差数列的前n 项和为n T ，证明：3(1)n

n n T b -<

（3）设2

5

,}{,)1(1<+=

n n n n n S S n A T n n A 求证项和为的前数列

5、已知函数3

2

()3f x x ax x =--.

(1)若()f x 在区间[1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若13

x =-是()f x 的极值点，求()f x 在[1,]a 上的最大值；

(3)在(2)的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x bx =的图象与函数()f x 的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由．

6、已知函数(),()2ln m

f x mx

g x x x

=-

=. （1）当2m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当m=1时，求方程f(x)=g(x)实数根个数；

（3）若(1,]x e ∈时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围.

7、已知函数2(2)()().x x x x e f x g x e e

-=

=, （Ⅰ）求函数()f x 的极值；

（Ⅱ）求证：当1x >时，()()f x g x >；

（Ⅲ）如果21x x <，且12()()f x f x =，求证：12()(2)f x f x >-．

8、设函数()e x f x =(e 为自然对数的底数)，23

()12!3!

!

n

n x x x g x x n =++

+++（*n ∈N ）． （1）证明：()f x 1()g x ≥；

（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；

（3）证明：()123

222211e 2341n

n g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎛⎫++++

+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

≤（*

n ∈N ）

．

9、已知椭圆2

2

14

y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． （1）求曲线C 的方程；

（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；

（3）设TAB ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且15PA PB ≤，求22

12S S -的取

值范围。

10、设m R ∈,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)a mx y =+,向量(,1)b x y =-,a b ⊥,动点(,)M x y 的轨迹为E .

（1）求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知4

1

=

m ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A ,B ,且OA OB ⊥(O 为坐标原点),并求出该圆的方程;

(3)已知4

1=

m ,设直线l 与圆C:222

x y R +=(1

1、解：（1）证明：当1=n 时，()1111a S m ma ==+-，解得11=a ．………………1分 当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．……………………………………………2分 即()11n n m a ma -+=． ∵m 为常数，且0m >，∴

11n n a m

a m

-=+()2n ≥．………………………………………3分 ∴数列}{

n a 是首项为1，公比为

1m

m

+的等比数列．…………………………………4分 （2）解：由（1）得，()m f q =1m

m

=+，1122b a ==．……………………………5分

∵()1

11

1n n n n b b f b b ---==

+，………………………………………………………………6分

∴

1111n n b b -=+，即1111

=--n n b b ()2n ≥．……………………………………………7分 ∴⎭

⎬⎫⎩⎨

⎧n b 1是首项为1

2，公差为1的等差数列．……………………………………………8分

∴

()11211122n n n b -=+-⋅=，即221

n b n =-（*

n ∈N ）．…………………………9分 （3）解：由（2）知221n b n =-，则()12221n n n

n b +=-．……………………………10分