2021年高考数学三轮考点总动员 专题1.7 概率与统计、推理与证明、算法 文(含解析)

2021年高考数学三轮考点总动员专题1.7 概率与统计、推理与证明、算法文（含解
析）
1．古典概型计算三注意：
第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．
2.求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进
而利用概率公式求解．
(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即
可；
(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基
本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示
基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．
3.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；
(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便．
4. 正确把握三种抽样方法的适用范围及特点，能根据具体情况正确选择抽样方法：当总体中的个体个数较少时，通常采用简单随机抽样，一般可用从总体中逐个抽取的；当总体中的个体个数较多且均衡时，通常采用系统抽样，将总体平均分成几部分，按一定的规则分别在各部分中抽取；当总体是由差异明显的几部分组成时，则采用分层抽样，将总体按差异分成几层，按分层个体数之比抽取．
5.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于；
6.样本的数字特征：
（1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数对应的直线的左右两边的矩形面积之和均为，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数；
（3）平均数：设个数分别为、、、，则叫做这个数的算数平均数.在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；
（4）方差：设个数分别为、、、，则()()()
2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦叫做这个数的方差，方差衡量样本的稳定性的强弱.一般来讲，方差越大，样本的稳定性越差；方差越小越接近于零，样本的稳定性越强；
7.两个分类变量的独立性检验的一般步骤：
1）列出两个分类变量的列联表： 2）假设两个分类变量、无关系；
3）求 ；4）把的值与临界值比较，确定、有关的程度或无关系.
8.综合法与分析法的关系
（1）分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．
(2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P ，再说明所要证明的数学问题成立．
9.算法
(1)利用循环结构表示算法，第一要先确定是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；第二要选择准确
的表示累计的变量；第三要注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．
(2)关于赋值语句，有以下几点需要注意：
①赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3＝m是错误的．
②赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y＝x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x＝Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值．
③在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现一个或多个“＝”．
1．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由五个小球随意的取出两个，共有10种情况，其中符合情况（1,2）；（1,6）；（2,4）三种.所以所求概率是.故选D.
【要点回扣】1.分类的思想.2.古典概型.
2．从数字、、中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于的概率为
A． B． C． D．
【答案】B
【要点回扣】利用古典概型求随机事件的概率.
3．小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于，则周末打篮球；否则就在家看书．那么小明周末在家看书的概率是．
【答案】
【解析】设“看电影”、“打篮球”、“看书”三个事件分别为A、B、C，则这三个事件互斥，而且
，又，，所以；
【要点回扣】1．几何概型；2．互斥事件；
4．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x,y），则点P的坐标满足不等式的概率为（）（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】满足不等式组的区域如图内部（含边界），由于直线与垂直，与圆的公共部分如图阴影部分是圆，则点落在圆内的概率为
.
【要点回扣】1、线性规划的应用；2、几何概型的概率计算公式.
5．已知研究与之间关系的一组数据如下表所示，则对的回归直线方程必过点（）
A． B． C． D．
【答案】D
【要点回扣】线性回归方程的定义
6．在样本频率分布直方图中，样本容量为，共有个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他个小长方形面积和的，且则中间一组的频数为．
【答案】32
【解析】设中间一组频数为x，由题意，中间一个小长方形的面积等于其他个小长方形面积和的，则另外10组频数为，因为样本容量为160，所以，所以．
【要点回扣】频率分布直方图．
7．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图
0 1 2 3
1 3 5 7
（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出人．
【答案】25
【解析】由题可知，区间在［2500，3000）之间出现的频率为，分层抽样方法抽出100人中，此部分人应该有；
【要点回扣】频率分布直方图的计算
8．执行右边的伪代码后，输出的结果是．
【答案】28
【解析】
试题分析：i=1,x=4;1<10成立，x=6,i=4;4<10成立，x=14,i=7;7<10成立，x=28,i=10;10<10不成立，所以输出的x的值为28；
【要点回扣】算法与程序语句；
9．执行如图中的程序框图，如果输入的，则输出的所在区间是 .
【答案】
【解析】该程序框图的功能是求的值域，当时，；当时，；所以输出的所在区间是.
【要点回扣】1.程序框图；2.分段函数的值域.
10．定义某种运算，的运算原理如右图：则式子_________.
【答案】14
【解析】由于，故，，故，故结果是14.
【要点回扣】新定义在程序框图的应用.
11.正偶数列有一个有趣的现象：①；②；
③按照这样的规律，则xx在第个等式中。

【答案】31
【解析】发现这些数一次列出是成等差数列的，xx是第1006个数，第一个式子由3个数，第二个式子5个数………，第n个式子2n+1个数，则第一个式子到第n个式子共个数，当时，第一个式子到第30个式子共个，当时，第一个式子到第31个式子共，故xx在第31个等式中
【要点回扣】推理与证明
12.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为、、、，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10. 故选B.
【要点回扣】1.茎叶图的认识；2.程序流程图的认识
13.设函数f(x)＝(x ＞0)，观察：f 1(x)＝f(x)＝, f 2(x)＝f(f 1(x))＝, f 3(x)＝f(f 2(x))＝, f 4(x)＝f(f 3(x))＝……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N*, n ≥2时，f n (x)＝f(n －1(x))＝ ．
【答案】
【解析】由已知，的分子均为，分母分别为其中常数项为的系数为，故.
【要点回扣】归纳推理.
14．已知下列四个等式
依此类推，猜想第个等式为 . 【答案】 【解析】通过分析前4个等式，可知第个等式的左边为与前个奇数的乘积，右边为个连续自然数的乘积，右边的第一个自然数为，所以猜想第个等式为
【要点回扣】归纳推理.
1234212
21334
2135456
213575678⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯21357(21)(1)(2)(3)()n n n n n n n ⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=+⨯+⨯+⨯⨯+
15．给出以下数对序列：
（1，1）
（1，2）（2，1）
（1，3）（2，2）（3，1）
（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）
记第行的第个数对
．．为，如，则（1） ________；（2） ________．
【答案】（1）（4，2）；（2）
所以（Ⅰ）的答案应填：；（Ⅱ）答案应填：. 【解析】由题意第行每个和数对中的两数之和为，即，
，
【要点回扣】合性推理.
16. 某同学在纸上画出如下若干个三角形：△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……
若依此规律，得到一系列的三角形，则在前xx个三角形中共有▲的个数是（）
A．64 B．63 C．62 D．61
【答案】
【解析】前个三角形中共有▲的个数是，由解得。

【要点回扣】1.归纳推理；2.等差数列的求和公式.
17．某高校在xx年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[160,165），第二组[165,170），第三组[170,175），第四组[175,180），第五组[180,185）得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求第三、四、五组的频率；
（2）为了以选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试.
（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第四组至少有
一名学生被甲考官面试的概率.
【答案】（1）0.3，0.2,0.1；（2）3人，2人，1人；（3）
【解析】（1）由题设可知，第三组的频率为0.06×5=0.3第四组的频率为0.04×5=0.2第五组的频率为0.02×5=0.1
（2）第三组的人数为0.3×100=30 第四组的人数为0.2×100=20第五组的人数为0.1×100=10因为第三、四、五组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽到的人数分别为：第三组第四组第五组，所以第三、四、五组分别抽取3人，2人，1人.
（3）设第三组的3位同学为，第四组的2为同学为,第五组的1为同学为C1，则从6为同学中抽2位同学有：
共15种可能其中第四组的2为同学中至少1为同学入选有，共9种可能。

所以第四组至少有1位同学被甲考官面试的概率为.
【要点回扣】1.统计概率问题.2.分层抽样.3.列举法.
19．参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：
（1）求参加数学抽测的人数、抽测成绩的中位数及分数分别在，内的人数；
（2）若从分数在内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在内的概率．
【答案】（1）73,4,2;（2）．
【解析】(1）分数在内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在内同样有人．
由，得，茎叶图可知抽测成绩的中位数为．分数在之间的人数为，参加数学竞赛人数，中位数为73，分数在、内的人数分别为人、人．
（2）设“在内的学生中任选两人，恰好有一人分数在内”为事件，将内的人编号为；内的人编号为，1213111211232122
(,),(,),(),(,)(,),(,),(,),(,)
A A A A A
B A B A
C A A A B A B
21313231121121
(,),(,),(,)(,),(,),(,)(,)
A C A
B A B A
C B B B C B C
在内的任取两人的基本事件为：共15个，其中，恰好有一人分数在内的基本事件有共8个，故所求的概率得．
【要点回扣】1．频率分布直方图；2．茎叶图；3．古典概型．
19．下图是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图.
（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图中补全这些数据的频率分布直方图；
（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？
【答案】（1）频率分布表和频率分布直方图见解析；
（2）能认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%．
【解析】
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（2）由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为19，故此人到达当天空气质量优良的概率：，故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%.
【要点回扣】1、频率分布表；2、频率分布直方图；3、古典概型． &a
Y36001 8CA1 財 39211 992B 餫38233 9559 镙28133 6DE5 淥27686 6C26 氦g29303 7277 牷S
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