高二数学(理)《极坐标系》(课件)
合集下载
高二数学选修4-44.1.21极坐标系课堂PPT.ppt
（x , y , z）的集合建立一一对应；
授课：XX
1
复习回顾
4.1.1 直角坐标系
数
平面直角
轴
坐标系
空间直角 坐标系
R
（x , y)
（x , y , z)
授课：XX
2
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系 中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐 标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
OM= 3
M
给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的 射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描 点。
授课：XX
19
5、负极径的实质
从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射
M
线OP“反向延长”。
而反向延长也可以看成是旋转 O
，因此，所谓“负极径”实
质是针对方向的。这与数学中
[1]作射线OP，使XOP=
P
[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使OM= ;
O
X
如图示：
M
授课：XX
15
新课讲解
2、负极径的实例
在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一
P = /4
点M，使OM= 3;
O
X
如图示： M（－3，/4）
[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？
有.（ ，2k ） 或（- ，2k π）
授课：XX
27
课堂小结
1、极坐标 （ρ，2kπ+θ） 和（-ρ，2kπ+θ+π）k其Z
高二数学人教版人教A版选修44课件第一讲三第2课时直线的极坐标方程
2.如图，在极坐标系中，过点 M(2，0)的直线 l 与极轴的夹 角 α＝π6.若将 l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ)的形 式，则 f(θ)＝________.
解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正
弦定理得sin
O∠MOPM＝sin
∠OPOMP，即sinπ62－θ＝sinρ
所以圆的直角坐标方程为 x2＋y2＝2y，
即 x2＋(y－1)2＝1，
其圆心(0,1)到直线 2 3x＋2y＋1＝0 的距离
d＝ |22×31＋2＋1|22＝34<1，则直线与圆相交， [答案] 2
故直线与圆的公共点的个数是 2.
谢谢！
圆 C 的直角坐标方程是 x2＋y2－2x＝0， 即(x－1)2＋y2＝1. 直线 l 的直角坐标方程为 x－y－4＝0. 圆心 C(1,0)，所以过点 C 与 l 垂直的直线方程为 x＋y－1＝0. 化为极坐标方程为 ρcos θ＋ρsin θ－1＝0，即 ρcosθ－π4＝ 22.
方法·规律 解答此类问题应先将已知条件中的极坐标方程化为直角坐 标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后再将直 角坐标方程转化为极坐标方程即可．
极坐标方程为： ρsin (θ－α)＝ρ0sin (θ0－α) ．
[问题思考]
1．在直线的极坐标方程中，ρ 的取值范围是什么？
提示：ρ 的取值范围是全体实数，即 ρ∈R.
2．在极坐标系中，点 M(ρ，θ)与点 P(－ρ，θ)之间有什么 关系？
提示：若 ρ<0，则－ρ>0，因此点 M(ρ，θ)与点 P(－ρ，θ) 关于极点对称．
(2)设 P(ρ，θ)为直线上任意一点(如图)，由△OMP 为直 角三角形，显比直角坐标系中直线的方程，可将(1)看成是直线方程 的点斜式，不难验证当 θ0＝0，α＝π2时，直线(1)即 ρcos θ＝ ρ0；当 θ0＝π2，α＝0 时，即 ρsin θ＝ρ0.
湘教版高中数学选修4-4课件--1.4极坐标与平面直角坐标的互化(共17张PPT)
例2. 将点M的直角坐标 化成极坐标.
解:
因为点在第三象限， 所以 因此， 点M的极坐标为
练习: 已知点的直角坐标， 求它们 的极坐标.
例3 已知两点(2，π )，(3，π )
求两点间的距离.3 B 2
解：∠AOB = π
用余弦定理求6
A
AB的长即可.
o
推广：在极坐标下，任意两点P1(1,1
),
其中
2、点 M(ρ，θ) 关于极点的对称点的一个坐标为(-ρ， θ) 或(ρ，π+θ) ；
3、点 M(ρ，θ) 关于极轴的对称点的一个坐标为(ρ， -θ) 或(-ρ，π-θ) ；
4、点 M(ρ，θ) 关于直线
的对称点的一个
坐标为(-ρ，-θ) 或(ρ，π-θ) ；
极坐标系与直角坐标的互化
问题：若点M的直角坐标为
用极坐标如何表示？
在直角坐标系中， 以原点作为极 y M (1，3)
点，x轴的正半轴作为极轴，两种
坐标系中取相同的长度单位.
θ
O
x
设点M的极坐标为(ρ，θ)
点M的极坐标为(2， )
3
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)
直角坐标化为极坐标：
思考：极坐标如何化为直角坐标？ y M (ρ，θ)
P2
(
2
,
2
x
)
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
练习：
1.把点M
的极坐标 (8, 2 ),
3
(4,11 ),
6
(2, )
化成直角坐标；
2.把点P的直角坐标( 6, 2) (2,2)和(0,15) 化成极坐标.
青海省海东市第二中学高中数学选修4-4：12极坐标系课件(共12张PPT)
23 6
7
5
3
2 12
2
3 3
12
3
4
4
5
6
11 12
13 12
E F
C
6
12
AB
O
X
23
12
7 6
D
5
4 4
3
17 3
12
2
G
5
19 12
3
11 6
7 4
平安区第一高级中学
例2：说出下图中各点的极坐标
A(4, 0 )
B(2, 4 )
5
C(3, )
2
6
D(1,5 )
6
E(3.5, )
2.给定一个（，θ）,可以在坐标平面内确定惟一 的点M；给定平面上一点M，却有无数个极坐标与之对应， 即极坐标 （，θ）与（，θ+2k ）表示同一个点.
平安区第一高级中学
思考：平面内的一个点既可以用直角坐标系表
示，也可以用极坐标表示，那么，这两 种坐标之间有什么关系呢？
谢谢
F(6, 4 )
3
G(5, 5 )
3
你能写出O点坐标吗？
2
4
C
E
D
B
A
O
X
F
4
G
5
3
3Байду номын сангаас
探究二：平面上一点是否唯一确定一个极坐标？
注意:
1.当M在极点时，它的极坐标=0,θ可以取任意 值。极点坐标为（0，θ）（θ R），即极点有无数 个极坐标。
2.给定一个（，θ）,可以在坐标平面内确定惟 一的点M，给定平面上一点M，却有无数个极坐标与 之对应，即极坐标 （，θ）与，θ+2k ）表示同一 个点.
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：第一讲二极坐标
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．已知 M 点的极坐标为－5，π3，下列极坐标不能 表示点 M 的是( )
A.5，－π3 C.5，－23π
B.5，43π D.－5，－53π
解析：一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)、(－ρ， 2kπ＋π＋θ)(k∈Z)表示同一个点，检验应选 A.
A________ B________ C________ D________
E________ F________ G________
(2) 与 极 坐 标 －2，π6 不 表 示 同 一 个 点 的 极 坐 标 是
()
A.2，76π
B.2，－76π
C.－2，－116π
D.－2，136π
解析：(1)根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点，ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为 终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
4．写出下图中各点的极坐标：
A________，B________，C________． 答案：(4，0) 2，π4 3，π2
5．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对 称的点的极坐标是________．
答案：3，π3
类型 1 极坐标系与点的极坐标(自主研析) [典例 1] (1)写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤ θ<2π，且各线之间间距相等)．
③点 A 关于直线 θ＝π2的对称点的极坐标是_______． 解析：(1)如图所示，△OAB 为等腰直角三角形， 斜边 AB＝ 于极轴对称点为 B3，116π. ②关于极点对称点 C3，76π. ③关于直线 θ＝π2的对称点为 D3，56π.
答案：(1)2 (2)①3，116π ②3，76π ③3，56π
2．已知 M 点的极坐标为－5，π3，下列极坐标不能 表示点 M 的是( )
A.5，－π3 C.5，－23π
B.5，43π D.－5，－53π
解析：一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)、(－ρ， 2kπ＋π＋θ)(k∈Z)表示同一个点，检验应选 A.
A________ B________ C________ D________
E________ F________ G________
(2) 与 极 坐 标 －2，π6 不 表 示 同 一 个 点 的 极 坐 标 是
()
A.2，76π
B.2，－76π
C.－2，－116π
D.－2，136π
解析：(1)根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点，ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为 终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
4．写出下图中各点的极坐标：
A________，B________，C________． 答案：(4，0) 2，π4 3，π2
5．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对 称的点的极坐标是________．
答案：3，π3
类型 1 极坐标系与点的极坐标(自主研析) [典例 1] (1)写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤ θ<2π，且各线之间间距相等)．
③点 A 关于直线 θ＝π2的对称点的极坐标是_______． 解析：(1)如图所示，△OAB 为等腰直角三角形， 斜边 AB＝ 于极轴对称点为 B3，116π. ②关于极点对称点 C3，76π. ③关于直线 θ＝π2的对称点为 D3，56π.
答案：(1)2 (2)①3，116π ②3，76π ③3，56π
高二数学,人教A版,选修4-4 , 第2课时,极坐标,和直角坐标的互化 , 课件
7π 3，－1)化为极坐标为2， 6 .
[规律方法]
2
将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，
2
y 运用公式 ρ＝ x ＋y ，tan θ＝x(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 y tan θ＝x(x≠0)求 θ 时， 要根据直角坐标符号特征判断出点所在的 象限．如果允许 θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ ＋2kπ(k∈Z)即可．
解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0，
∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． 0 (2)∵ρ＝ －2 ＋0 ＝2，tan θ＝ ＝0， －2
2 2
由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
(2)互化公式： 设 M 是平面内任意一点， 它的直角坐标是(x， y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)， 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M 互化 公式 直角坐标(x，y)
______ cos θ x＝ρ sin θ ______ y＝ρ
极坐标(ρ，θ)
x2＋y2 ρ2＝______
tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 3π 由于点(－1,1)在第二象限，所以 θ＝ 4 ，
∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为
2 2
3π 2， 4 .
－1 3 (2)ρ＝ － 3 ＋－1 ＝2，tan θ＝ ＝3， － 3 7π 由于点(－ 3，－1)在第三象限，所以 θ＝ 6 ， ∴直角坐标(－
二 极坐标 第2课时 极坐标和直角坐标的互化
课标定位
1．了解极坐标系与直角坐标系的联系．
2．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式．
[规律方法]
2
将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，
2
y 运用公式 ρ＝ x ＋y ，tan θ＝x(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 y tan θ＝x(x≠0)求 θ 时， 要根据直角坐标符号特征判断出点所在的 象限．如果允许 θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ ＋2kπ(k∈Z)即可．
解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0，
∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． 0 (2)∵ρ＝ －2 ＋0 ＝2，tan θ＝ ＝0， －2
2 2
由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
(2)互化公式： 设 M 是平面内任意一点， 它的直角坐标是(x， y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)， 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M 互化 公式 直角坐标(x，y)
______ cos θ x＝ρ sin θ ______ y＝ρ
极坐标(ρ，θ)
x2＋y2 ρ2＝______
tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 3π 由于点(－1,1)在第二象限，所以 θ＝ 4 ，
∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为
2 2
3π 2， 4 .
－1 3 (2)ρ＝ － 3 ＋－1 ＝2，tan θ＝ ＝3， － 3 7π 由于点(－ 3，－1)在第三象限，所以 θ＝ 6 ， ∴直角坐标(－
二 极坐标 第2课时 极坐标和直角坐标的互化
课标定位
1．了解极坐标系与直角坐标系的联系．
2．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式．
数学：4.1.2《极坐标系(1))课件(新人教选修4-4)
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角度单位及它 的正方向（通常取逆时针方向）. O 这样就建立了一个极坐标系.
X
2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
A(3, 0) 4 D(5, ) 3 5 G (6, ) 3
B(6, 2 ) 5 E (3, ) 6
C (3,
2
)
F (4, )
[小结] 由极坐标描点的步骤： (1) 先按极角找到点所在射线； (2) 在此射线上按极径描点.
思考: ①平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一, 那有多少种表示方法？ ② 不同的极坐标是否可以写 出统一表达式？ 3、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
M
P (ρ,θ) X
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
O
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。 如果限定ρ ＞0,0≤θ ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
例2. 在极坐标系中, (1) 已知两点 P(5, )， (2, 4 )，求线段PQ的长度； Q 3 3 (2) 已知点M的极坐标为(, ), R, 说明满足上述 4 条件的点M的位置.
思考: 对比直角坐标系，比较异同 极点、极轴、长度单位、 (1) 要素：____________________ 角度单位和正方向 ____________________；
M
O X
(, ) (2) 平面内点的极坐标用_____表示.
极坐标系
极坐标
二 、常见曲线的极坐标方程 求曲线的极坐标方程的方法和步骤： 和求直角坐标方程类似，就是把曲线 看作适合某种条件的点的集合或轨迹， 将已知条件用曲线上点的极坐标 、 的 关系式 表示出来，就得到曲线 的极坐标方程。
1、直线的极坐标方程 例：求极坐标系下，经过定点 且 关于极轴的倾斜角为 的直线 方程 （其中 为定值）
极坐标
三、极坐标与直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标 系，同一点可以有极坐标，也可以有直角坐标； 同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角 坐标方程。为了研究问题方便，有时需要把在 一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的 方程。
1、极坐标和直角坐标的互化公式： 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半 轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度 单位。 设M是平面内任一点，它的直角坐标为 极坐标是 ，从点M作 ，由三角函数 定义，可得出 之间的关系。
2、圆的极坐标方程 例：求极坐标系下，以定点 为半径的圆的方程。 解：如图，设所求圆上任一点 在 中，由余弦定理： 即为所求圆方程。
为圆心， ，
当圆心 表示极点时， 代入 则圆方程化为：
O
x
当圆心在极轴上，且圆经过极点时， 则圆方程化为 即：
O
x
3、三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 如图建立坐标系， 设圆锥曲线上任一点 ， 由定义知
O
x
3、极坐标系下点与极坐标的对应关系 A、B、C、D、E、F、 π G各点的极坐标。 2 π
5π 6 4
C E
4π F 3
π
D
B
o
A G
5π 3
x
角 也可以取负值，如：
5π 6
π
2
高考数学一轮复习选修44坐标系与参数方程课件新人教A版理
3
cos +sin
(2)C3 是一条过原点且斜率为正值的直线,
C3 的极坐标方程为 θ=α,α∈ 0,
π
2
,
= 2cos,
联立 C1 与 C3 的极坐标方程
= ,
得 ρ=2cos α,即|OA|=2cos α.
3
= cos +sin ,
联立 C1 与 C2 的极坐标方程
= ,
-11知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
2.若原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,则点(-5,-5√3)的极
坐标是(
)
π
A. 10, 3
2π
C. -10,- 3
4π
B. 10, 3
2π
D. 10, 3
关闭
设点(-5,-5√3)的极坐标为(ρ,θ),
-5 √3
则 tan θ=
-5
= √3.
4π
因为 x<0,所以最小正角 θ= ,
由圆 C1 与圆 C2 的方程相减可得公共弦所在的直线方程为
4x-2y+1=0.
圆心(1,1)到直线 4x-2y+1=0 的距离 d=
故弦长|AB|=2 1-
3 2
√20
=
√55
5
.
|4-2+1|
42 +(-2)2
=
3
,
√20
-24考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
(2)解 ①圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ,
3
3
得 ρ=cos +sin ,即|OB|=cos +sin ,
高二数学(文)《极坐标和直角坐标的互化》(课件)
y x y , tan ( x 0). x
2 2 2
①
由①又可得到下面的关系式：
这就是极坐标与直角坐标的互化公式。
湖南长郡卫星远程学校 制作 05 2011年下学期
例题1
2 将点M的极坐标(5， )化成直角坐标。 3
湖南长郡卫星远程学校
制作 05
2011年下学期
例题2
将点M的直角坐标( 3 ,1) 化成极坐标。
湖南长郡卫星远程学校
制作 05
2011年下学期
温故知新
极坐标系的概念
如图，在平面内取一个定点O，叫
做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做 极轴；再选定一个长度单位、一个角度 单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆 时针方向)，这样就建立了一个极坐标 M (ρ, θ) 系。
ρ
O
湖南长郡卫星远程学校
θ
x制作 05
考一本 第3课时
湖南长郡卫星远程学校
制Hale Waihona Puke 052011年下学期2011年下学期
极坐标的表示
设M是平面内一点，极点O与点M
的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；
以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角
xOM叫做点M的极角，记为θ。有序数
对(ρ， θ )叫做点M的极坐标，记为M (ρ，
θ ).
注
一般地，不作特殊说明时， 我们认为ρ≥0，θ可取任意实数。
制作 05 2011年下学期
湖南长郡卫星远程学校 制作 05 2011年下学期
小结
由例题3(1)(2)可概括出极坐标方程
与直角坐标方程互化的方法是
凑出ρcos θ，ρsin θ
( , ) 0
f (x , y)=0.
2 2 2
①
由①又可得到下面的关系式：
这就是极坐标与直角坐标的互化公式。
湖南长郡卫星远程学校 制作 05 2011年下学期
例题1
2 将点M的极坐标(5， )化成直角坐标。 3
湖南长郡卫星远程学校
制作 05
2011年下学期
例题2
将点M的直角坐标( 3 ,1) 化成极坐标。
湖南长郡卫星远程学校
制作 05
2011年下学期
温故知新
极坐标系的概念
如图，在平面内取一个定点O，叫
做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做 极轴；再选定一个长度单位、一个角度 单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆 时针方向)，这样就建立了一个极坐标 M (ρ, θ) 系。
ρ
O
湖南长郡卫星远程学校
θ
x制作 05
考一本 第3课时
湖南长郡卫星远程学校
制Hale Waihona Puke 052011年下学期2011年下学期
极坐标的表示
设M是平面内一点，极点O与点M
的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；
以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角
xOM叫做点M的极角，记为θ。有序数
对(ρ， θ )叫做点M的极坐标，记为M (ρ，
θ ).
注
一般地，不作特殊说明时， 我们认为ρ≥0，θ可取任意实数。
制作 05 2011年下学期
湖南长郡卫星远程学校 制作 05 2011年下学期
小结
由例题3(1)(2)可概括出极坐标方程
与直角坐标方程互化的方法是
凑出ρcos θ，ρsin θ
( , ) 0
f (x , y)=0.
2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)配套课件第一讲 1.2 极 坐 标 系
ρsin θ
或
x2＋y2 ，
y x
栏 目 链 接
x≠0.
预习 思考
1.写出下图中各点的极坐标：
栏 目 链 接
π π 3， 2， 4 A________，B________ ，C________. 2
(4,0)
预习 思考
2．回答下列问题： (1)平面上一点的极坐标是否唯一？ (2)若不唯一，那有多少种表示方法？ (3)坐标不唯一是由谁引起的？
第一讲
坐 标 系
1.2 极 坐 标 系
栏 目 链 接
1.理解极坐标的概念. 2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐
栏 目 链 接
标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
3.能进行极坐标与平面直角坐标的互化.
栏 目 链 接
1．极坐标系的建立． 在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确
栏 目 链 接
栏 目 链 接
题型1
极坐标的概念
例1 写出下图中各点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
栏 目 链 接
分析：根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点， ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
π π 3π 解析： A(5,0)， B2，6， C4，2， D5， 4 ， E(2， 4π 5π π)，F5， 3 ，G3.5， 3 .
栏 目 链 接
为直角坐标为( 3，－1)． ∴A、B 两点间的距离 d＝
(
3－ 3)2＋[1－－1]2＝2.
变式 训练
π π 2．已知两点的极坐标 A3，2，B3，6 ，求：
或
x2＋y2 ，
y x
栏 目 链 接
x≠0.
预习 思考
1.写出下图中各点的极坐标：
栏 目 链 接
π π 3， 2， 4 A________，B________ ，C________. 2
(4,0)
预习 思考
2．回答下列问题： (1)平面上一点的极坐标是否唯一？ (2)若不唯一，那有多少种表示方法？ (3)坐标不唯一是由谁引起的？
第一讲
坐 标 系
1.2 极 坐 标 系
栏 目 链 接
1.理解极坐标的概念. 2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐
栏 目 链 接
标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
3.能进行极坐标与平面直角坐标的互化.
栏 目 链 接
1．极坐标系的建立． 在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确
栏 目 链 接
栏 目 链 接
题型1
极坐标的概念
例1 写出下图中各点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
栏 目 链 接
分析：根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点， ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
π π 3π 解析： A(5,0)， B2，6， C4，2， D5， 4 ， E(2， 4π 5π π)，F5， 3 ，G3.5， 3 .
栏 目 链 接
为直角坐标为( 3，－1)． ∴A、B 两点间的距离 d＝
(
3－ 3)2＋[1－－1]2＝2.
变式 训练
π π 2．已知两点的极坐标 A3，2，B3，6 ，求：
人教B版高二数学选修4-4_4.(2)极坐标与直角坐标互化课件
y
cos sin
2、 ( , ) (x,y)2tanx2xyy2
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
课外作业
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
练一练
某地区原计划经过B地沿着东北方向修建一条高速公路.但在A 村北偏西300方向距A村500米处，发现一古代文物遗址W， 经过初步勘测，文物管理部门将遗址W周围200米划为禁区。 已知B地位于A村的正西方向1千米处，试问：修建高速公路 的计划需要改变吗？如图示：
C
W
B
A
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
练一练
练习:已知点的直角坐标, 求它们的极坐标.
A (3, 3) C (5,0) E (3,3)
B (1, 3) D (0,2)
F (3, 0)
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
化成直角坐标.
解:由5， 2
则有 x5co2s35 y5sin2 5 3
32
32
所以, 点M的直角坐标为（ 5 , 5 3 ）
22
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
特此声明
由于一个点达 可式 有， 多 对 0种 时于 表 ，上
公式仍适用！
例如：上述点也的可极写坐 -成 5， 标 5（ ）
高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《1.2.1极坐标系的的概念》课件2
2 ＋ y2 x ρ ＝________
2
y tan θ ＝x（x≠0）
在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限
取最小正角．
课前自主学习
课堂讲练互动
知能提升演练
教材超级链接
名师点睛
1．极坐标系的概念
极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长
度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可． 极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置． 2．点的极坐标：每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的 位置．其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角． 平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐 标．根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点 (ρ，θ)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(ρ，θ＋
知能提升演练
教材超级链接
(2)极坐标系内一点的极坐标的规定： 设M是平面内一点，极点O与点M的距离 极径 ，记为ρ；以极轴Ox |OM|叫做点M的_____
为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点
(ρ，θ) 叫做点M的极坐标，记 极角 ，记为θ.有序数对_________ M的_____ M(ρ，θ) 为___________ ．
极角θ在后，不能把顺序搞错了． (2)点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，则除
极点外，点的极坐标是唯一确定的．
课前自主学习
课堂讲练互动
知能提升演练
教材超级链接
【变式1】 写出下列各点的极坐标．
解
π A(4，0)，B1， 3
2 13 5 C3， π ，D4， π ，E2， π ， ， 3 12 4
对应关系？
定一点M；反过来，给定平面内一点M，它的极坐标却不是唯 一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一 对应关系，这是极坐标系与平面直角坐标系的主要区别．
人教版高二数学选修4《极坐标系的概念》课件(共27张PPT)
新课标人教版课件系列选修4－4
极坐标系的概念
余集高中数学组
唐汝照
Page 1
教学目标
1、理解极坐标的概念，弄清极坐标系的 结构（ 建立极坐标系的四要素）； 2、理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ， θ）与点之间的多对一的对应关系； 3、已知一点的极坐标会在极坐标系中描 点，以及已知点能写出它的极坐标。
极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ ，2kπ +θ ）
Page 24
课后作业 思考: 极坐标系中, 点M的坐标为 (-10, 3 ), 则下列各 坐标中, 不是M点 的坐标的是( ) 4 ) (A) (10, 3 ) (B) (-10, - 5 3 2 2 (C) (10, - 3 ) (D)(10, 3 )
点M：在角终边的反向延长线上， 且|OM|=|| 5 ° M(-2, ) O 5
6 ° O 6 • •M(-x 2, 5) M (, ) 6
5、关于负极径
x
Page 20
小结： 从比较来看, 负极径比正极径 多了一个操作, 将射线OP“反向延
练习：写出下列各点的负极径的极坐标
Page 25
Page 2
β=α+2kπ,k∈Z 与角α终边相同的角：
平面直角坐标系中的点P与坐标 y 一一 对应的. (a ,b)是 _____ P(a,b)
平面直角坐标系是最 a O x 简单最常用的一种坐标 系，但不是唯一的一种 坐标系. 有时用别的坐 标系比较方便. 还有什么坐标系呢？
Page 3
(, 2k+)
极坐标系的概念
余集高中数学组
唐汝照
Page 1
教学目标
1、理解极坐标的概念，弄清极坐标系的 结构（ 建立极坐标系的四要素）； 2、理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ， θ）与点之间的多对一的对应关系； 3、已知一点的极坐标会在极坐标系中描 点，以及已知点能写出它的极坐标。
极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ ，2kπ +θ ）
Page 24
课后作业 思考: 极坐标系中, 点M的坐标为 (-10, 3 ), 则下列各 坐标中, 不是M点 的坐标的是( ) 4 ) (A) (10, 3 ) (B) (-10, - 5 3 2 2 (C) (10, - 3 ) (D)(10, 3 )
点M：在角终边的反向延长线上， 且|OM|=|| 5 ° M(-2, ) O 5
6 ° O 6 • •M(-x 2, 5) M (, ) 6
5、关于负极径
x
Page 20
小结： 从比较来看, 负极径比正极径 多了一个操作, 将射线OP“反向延
练习：写出下列各点的负极径的极坐标
Page 25
Page 2
β=α+2kπ,k∈Z 与角α终边相同的角：
平面直角坐标系中的点P与坐标 y 一一 对应的. (a ,b)是 _____ P(a,b)
平面直角坐标系是最 a O x 简单最常用的一种坐标 系，但不是唯一的一种 坐标系. 有时用别的坐 标系比较方便. 还有什么坐标系呢？
Page 3
(, 2k+)
北师大版高中数学选修4-4《点的极坐标和直角坐标的互化》课件(共13张PPT)
3.已知A，B两点的极坐标A(2, )，B(4, 5 )，求A, B两点间
3
6
距离和AOB的面积。
4.已知两点的极坐标A(3, )，B(3, )，求A, B两点间
2
6
距离和AB与极轴正方向的夹角.
课时小结
1.点的极坐标的理解，极坐标的不唯一性； 2.点的极坐标与直角坐标的互化； 3.极坐标系下，两点间距离公式及应用。
(1)当极径 0，以OX为始边作角，在角的终边上截取| OM | ; (2)当极径 0,以OX为始边作角，在角的终边的反向延长线上 截取 | OM || |； （3）极点的极坐标为（0，），其中为任意角。
M
O
X
° O
x
(, )
3.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平
M (ρ,θ)
面内确定唯一的一点M；
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
（，），(， 2k ), (, 2k )(k Z)表示同一点
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
(ρ,θ)
(ρ,θ +2kπ)
(-ρ,θ +π) (-ρ,θ +（2k+1）π)
[3]对称性：
点（，）关于极轴的对称点为(，2 ); 点(, )关于极点对称点为(, ); 点(， )关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为(, ).
新课探究
1.点的极坐标与直角坐标的互化：
(
R);
(2)点M的直角坐标(x, y)为极坐标(, )的关系式：
高中数学课件《极坐标系》
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条 射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向 (通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的
极径，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的 极角 ， 记为 θ.有序数对 (ρ，θ) 叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ) ．一般地，不作 特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可取任意实数 ．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标 系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长 度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角 θ 的正弦值 和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
[小组合作型] 将点的极坐标化为直角坐标
写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限．
(1)2，43π；(2)2，23π；(3)2，－π3；(4)(2，－2)．
【思路探究】
点的极坐标(ρ，θ)―→xy＝ ＝ρρcsions
θ θ
―→点的直角坐标(x，y)―→
极坐标系
1．理解极坐标系的概念． 2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐 标系中刻画点的位置的区别．(难点) 3．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互 化．(重点、易错点)
[基础·初探] 教材整理 1 极坐标系 阅读教材 P8～P10，完成下列问题． 1．极坐标系的概念
(3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π， y＝ρsin θ＝πsin π＝0， ∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．
(2)极坐标：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的
极径，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的 极角 ， 记为 θ.有序数对 (ρ，θ) 叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ) ．一般地，不作 特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可取任意实数 ．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标 系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长 度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角 θ 的正弦值 和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
[小组合作型] 将点的极坐标化为直角坐标
写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限．
(1)2，43π；(2)2，23π；(3)2，－π3；(4)(2，－2)．
【思路探究】
点的极坐标(ρ，θ)―→xy＝ ＝ρρcsions
θ θ
―→点的直角坐标(x，y)―→
极坐标系
1．理解极坐标系的概念． 2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐 标系中刻画点的位置的区别．(难点) 3．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互 化．(重点、易错点)
[基础·初探] 教材整理 1 极坐标系 阅读教材 P8～P10，完成下列问题． 1．极坐标系的概念
(3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π， y＝ρsin θ＝πsin π＝0， ∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P (ρ,θ)…
X
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
四、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
[1] 给定（,）,就可以 在极坐标平面内确定唯 一的一点M。 M O
P (ρ,θ)…
X
[2] 给定平面上一点M，但却有无数
个极坐标与之对应。
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
四、极坐标系下点与它的极坐标的
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
从这向北 2000米。
请问：去长郡中 学新校区怎么走？
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么? 从这向北走2000米!
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么? 从这向北走2000米!
出发点
方向
距离
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么? 从这向北走2000米!
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
4
E F O
C A B X
4 3
湖南长郡卫星远程学校
D
G
5 3
制作 09 2010年上学期
四、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
M O
P (ρ,θ)…
X
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
四、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
[1] 给定（,）,就可以 在极坐标平面内确定唯 一的一点M。 M O
湖南长郡卫星远程学校
请说出点M的极 4
M
制作 09
2010年上学期
三、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
坐标的其他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角. 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相 同。也就是说它们是终边相同的角。 本题点M的极坐标统一表达式： (4,2k ) 2010年上学期 制作 09
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
二、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M，用表示线 段OM的长度，用 M 表示从OX到OM 的 角度，叫做点M的 极径，叫做点M的 O X 极角，有序数对(,)就叫做M的极坐标。 特别强调：表示线段OM的长度， 即点M到极点O的距离；表示从OX到 OM的角度，即以OX(极轴)为始边，OM 为终边的角。 2010年上学期 制作 09
1 （ 3） 2
2 2
湖南长郡卫星远程学校
3 tan 3 1 2010年上学期 制作 09
在直角坐标系中， M (1, y 以原点作为极点， θ x轴的正半轴作为 O 极轴，并且两种 坐标系中取相同的长度单位
3)
x
点M的直角坐标为 (1, 3 ) 设点M的极坐标为 ( , )
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
2 ) [例1] (1) 将点M的极坐标(5, 3 化成直角坐标 . ( 2) 将点M的直角坐标( 3 ,1) 化成极坐标.
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
***小结***
[1] 建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和
它的正方向。
[2] 极坐标系内一点的极坐标有多少 种表达式？ 无数，极角有无数个。 [3] 一点的极坐标有否统一的表达式? 有。(ρ，2kπ+θ)
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
② 若不唯一，那有多少种表示方法?
③ 坐标不唯一是由谁引起的？
④ 不同的极坐标是否可以写出统一
表达式？
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
三、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
4
O
M X
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
三、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
对应情况
[1] 给定（,）,就可以 在极坐标平面内确定唯 一的一点M。 M O
P (ρ,θ)…
X
[2] 给定平面上一点M，但却有无数
个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
如果限定ρ>0，0≤θ<2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标
就可以一一对应了.
及它的正方向(通 O X
常取逆时针方向)。
这样就建立了一个极坐标系。
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
二、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M，用表示线 段OM的长度，用 M 表示从OX到OM 的 角度，叫做点M的 极径，叫做点M的 O X 极角，有序数对(,)就叫做M的极坐标。
一、极坐标系的建立：
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
O
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
O
X
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
它的正方向。
[2] 极坐标系内一点的极坐标有多少 种表达式？ [3] 一点的极坐标有否统一的表达式?
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
***小结***
[1] 建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和
它的正方向。
[2] 极坐标系内一点的极坐标有多少 种表达式？ 无数，极角有无数个。 [3] 一点的极坐标有否统一的表达式?
湖南长郡卫星远程学校 请源自出点M的极 4 M
4
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A( 3,0) 4 D(5, ) 3 5 G (6, ) 3
湖南长郡卫星远程学校
B(6,2 ) 5 E ( 3, ) 6
C ( 3, ) 2 F (4, )
制作 09
2010年上学期
2
5 6
请说出点M的极 4
M X
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
三、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
坐标的其他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角. 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相 同。也就是说它们是终边相同的角。
制作 09
2010年上学期
在直角坐标系中， M (1, y 以原点作为极点， θ x轴的正半轴作为 O 极轴，并且两种 坐标系中取相同的长度单位
3)
x
点M的直角坐标为 (1, 3 ) 设点M的极坐标为 ( , )
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
在直角坐标系中， M (1, y 以原点作为极点， θ x轴的正半轴作为 O 极轴，并且两种 坐标系中取相同的长度单位
2010年上学期
极坐标和直角坐标的互化
***思考***
平面内的一个点的直角 坐标是 (1, 3 )这个点如何用极坐标表 示?
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
在直角坐标系中， M (1, y 以原点作为极点， x轴的正半轴作为 O 极轴，并且两种 坐标系中取相同的长度单位
3)
x
湖南长郡卫星远程学校
)
( 2) 已知直线的极坐标方程 为 2 sin( ) , 则极点到该直线 4 2 的距离是 ___________ .
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
***练习***
1. 写出图中A, B, C , D, E , F , G各点 的极坐标( 0,0 2 ).
湖南长郡卫星远程学校
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
5 6
C E D O B A X
4
4 3
F
G
5 3
制作 09
湖南长郡卫星远程学校
2010年上学期
特别规定：当M在极点时，它的
极坐标=0，可以取任意值。
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
特别规定：当M在极点时，它的
极坐标=0，可以取任意值。 ***想一想？*** ① 平面上一点的极坐标是否唯一？
), ( 3, )求两 3 2
点间的距离.
解 : AOB
B
6
O
A
用余弦定理求 AB 的长即可.
湖南长郡卫星远程学校
x
制作 09 2010年上学期
[例3] (1) 在极坐标系中 , 与圆
4 sin 相切的一条直线的方程 是( A. cos 2 C . cos 4 B . sin 2 D. cos 4