高二数学(理)《极坐标系》(课件)
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坐标的其他表达式。
请说出点M的极 4
O
M X
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
三、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
坐标的其他表达式。 O 思：这些极坐标之间有何异同？
请说出点M的极 4
M X
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
三、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
极坐标是(ρ,θ)
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是(x, y)
极坐标是(ρ,θ)
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x cos , y sin
1 （ 3） 2
2 2
湖南长郡卫星远程学校
3 tan 3 1 2010年上学期 制作 09
在直角坐标系中， M (1, y 以原点作为极点， θ x轴的正半轴作为 O 极轴，并且两种 坐标系中取相同的长度单位
3)
x
点M的直角坐标为 (1, 3 ) 设点M的极坐标为 ( , )
3)
x
点M的直角坐标为 (1, 3 ) 设点M的极坐标为 ( , )
1 （ 3） 2
2 2
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
在直角坐标系中， M (1, y 以原点作为极点， θ x轴的正半轴作为 O 极轴，并且两种 坐标系中取相同的长度单位
3)
x
点M的直角坐标为 (1, 3 ) 设点M的极坐标为 ( , )
及它的正方向(通 O X
常取逆时针方向)。
这样就建立了一个极坐标系。
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
二、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M，用表示线 段OM的长度，用 M 表示从OX到OM 的 角度，叫做点M的 极径，叫做点M的 O X 极角，有序数对(,)就叫做M的极坐标。
)
( 2) 已知直线的极坐标方程 为 2 sin( ) , 则极点到该直线 4 2 的距离是 ___________ .
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制作 09
2010年上学期
***练习***
1. 写出图中A, B, C , D, E , F , G各点 的极坐标( 0,0 2 ).
它的正方向。
[2] 极坐标系内一点的极坐标有多少 种表达式？ [3] 一点的极坐标有否统一的表达式?
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
***小结***
[1] 建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和
它的正方向。
[2] 极坐标系内一点的极坐标有多少 种表达式？ 无数，极角有无数个。 [3] 一点的极坐标有否统一的表达式?
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
***小结***
[1] 建立一个极坐标系需要哪些要素
[2] 极坐标系内一点的极坐标有多少 种表达式？ [3] 一点的极坐标有否统一的表达式?
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
***小结***
[1] 建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和
P (ρ,θ)…
X
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制作 09
2010年上学期
四、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
[1] 给定（,）,就可以 在极坐标平面内确定唯 一的一点M。 M O
P (ρ,θ)…
X
[2] 给定平面上一点M，但却有无数
个极坐标与之对应。
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制作 09
2010年上学期
四、极坐标系下点与它的极坐标的
湖南长郡卫星远程学校
请说出点M的极 4
M
制作 09
2010年上学期
三、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
坐标的其他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角. 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相 同。也就是说它们是终边相同的角。 本题点M的极坐标统一表达式： (4,2k ) 2010年上学期 制作 09
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
二、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M，用表示线 段OM的长度，用 M 表示从OX到OM 的 角度，叫做点M的 极径，叫做点M的 O X 极角，有序数对(,)就叫做M的极坐标。 特别强调：表示线段OM的长度， 即点M到极点O的距离；表示从OX到 OM的角度，即以OX(极轴)为始边，OM 为终边的角。 2010年上学期 制作 09
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题组一：说出下图中各点的极坐标
2
5 6
C E D O B A X
4
4 3
F
G
5 3
制作 09
湖南长郡卫星远程学校
2010年上学期
特别规定：当M在极点时，它的
极坐标=0，可以取任意值。
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
特别规定：当M在极点时，它的
极坐标=0，可以取任意值。 ***想一想？*** ① 平面上一点的极坐标是否唯一？
制作 09
2010年上学期
在直角坐标系中， M (1, y 以原点作为极点， θ x轴的正半轴作为 O 极轴，并且两种 坐标系中取相同的长度单位
3)
x
点M的直角坐标为 (1, 3 ) 设点M的极坐标为 ( , )
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制作 09
2010年上学期
在直角坐标系中， M (1, y 以原点作为极点， θ x轴的正半轴作为 O 极轴，并且两种 坐标系中取相同的长度单位
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制作 09
2010年上学期
从这向北 2000米。
请问：去长郡中 学新校区怎么走？
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制作 09
2010年上学期
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么? 从这向北走2000米!
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2010年上学期
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么? 从这向北走2000米!
1 （ 3） 2
2 2
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M (2,/3)
3 tan 3 1 2010年上学期 制作 09
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是(x, y)
极坐标是(ρ,θ)
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制作 09
2010年上学期
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是(x, y)
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制作 09
2010年上学期
[例2] 已知两点( 2,
), ( 3, )求两 3 2
点间的距离.
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制作 09
2010年上学期
[例2] 已知两点( 2,
), ( 3, )求两 3 2
点间的距离.
B
A
O
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x
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[例2] 已知两点( 2,
请说出点M的极 4
M X
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2010年上学期
三、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
坐标的其他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角. 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相 同。也就是说它们是终边相同的角。
), ( 3, )求两 3 2
点间的距离.
解 : AOB
B
6
O
A
用余弦定理求 AB 的长即可.
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x
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[例3] (1) 在极坐标系中 , 与圆
4 sin 相切的一条直线的方程 是( A. cos 2 C . cos 4 B . sin 2 D. cos 4
② 若不唯一，那有多少种表示方法?
③ 坐标不唯一是由谁引起的？
④ 不同的极坐标是否可以写出统一
表达式？
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制作 09
2010年上学期
三、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
4
O
M X
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制作 09
2010年上学期
三、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
坐标的其他表达式。 O 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角.
请说出点M的极 4
M X
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2010年上学期
三、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
坐标的其他表达式。 O 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角. 思考：这些极角有何关系？
出发点
方向
距离
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2010年上学期
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么? 从这向北走2000米!
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
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2010年上学期
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请说出点M的极 4
M
4
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A( 3,0) 4 D(5, ) 3 5 G (6, ) 3
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B(6,2 ) 5 E ( 3, ) 6
C ( 3, ) 2 F (4, )
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2010年上学期
2
5 6
对应情况
[1] 给定（,）,就可以 在极坐标平面内确定唯 一的一点M。 M O
P (ρ,θ)…
X
[2] 给定平面上一点M，但却有无数
个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
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2010年上学期
如果限定ρ>0，0≤θ<2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标
就可以一一对应了.
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2010年上学期
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
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2010年上学期
2 ) [例1] (1) 将点M的极坐标(5, 3 化成直角坐标 . ( 2) 将点M的直角坐标( 3 ,1) 化成极坐标.
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4
E F O
C A B X
4 3
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D
G
5 3
制作 09 2010年上学期
四、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
M O
P (ρ,θ)…
X
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2010年上学期
四、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
[1] 给定（,）,就可以 在极坐标平面内确定唯 一的一点M。 M O
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2010年上学期
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么? 从这向北走2000米!
出发点
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2010年上学期
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么? 从这向北走2000米!
出发点
方向
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请分析上面这句话，他告诉了问路人什么? 从这向北走2000米!
一、极坐标系的建立：
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2010年上学期
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
O
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一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
O
X
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2010年上学期
2010年上学期
极坐标和直角坐标的互化
***思考***
平面内的一个点的直角 坐标是 (1, 3 )这个点如何用极坐标表 示?
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2010年上学期
在直角坐标系中， M (1, y 以原点作为极点， x轴的正半轴作为 O 极轴，并且两种 坐标系中取相同的长度单位
3)
x
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一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度
单位和角度单位
及它的正方向(通 O X
常取逆时针方向)。
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制作 09
2010年上学期
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度
单位和角度单位
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2010年上学期
***小结***
[1] 建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和
它的正方向。
[2] 极坐标系内一点的极坐标有多少 种表达式？ 无数，极角有无数个。 [3] 一点的极坐标有否统一的表达式? 有。(ρ，2kπ+θ)
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请说出点M的极 4
O
M X
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三、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
坐标的其他表达式。 O 思：这些极坐标之间有何异同？
请说出点M的极 4
M X
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2010年上学期
三、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
极坐标是(ρ,θ)
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
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极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是(x, y)
极坐标是(ρ,θ)
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x cos , y sin
1 （ 3） 2
2 2
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3 tan 3 1 2010年上学期 制作 09
在直角坐标系中， M (1, y 以原点作为极点， θ x轴的正半轴作为 O 极轴，并且两种 坐标系中取相同的长度单位
3)
x
点M的直角坐标为 (1, 3 ) 设点M的极坐标为 ( , )
3)
x
点M的直角坐标为 (1, 3 ) 设点M的极坐标为 ( , )
1 （ 3） 2
2 2
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在直角坐标系中， M (1, y 以原点作为极点， θ x轴的正半轴作为 O 极轴，并且两种 坐标系中取相同的长度单位
3)
x
点M的直角坐标为 (1, 3 ) 设点M的极坐标为 ( , )
及它的正方向(通 O X
常取逆时针方向)。
这样就建立了一个极坐标系。
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2010年上学期
二、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M，用表示线 段OM的长度，用 M 表示从OX到OM 的 角度，叫做点M的 极径，叫做点M的 O X 极角，有序数对(,)就叫做M的极坐标。
)
( 2) 已知直线的极坐标方程 为 2 sin( ) , 则极点到该直线 4 2 的距离是 ___________ .
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***练习***
1. 写出图中A, B, C , D, E , F , G各点 的极坐标( 0,0 2 ).
它的正方向。
[2] 极坐标系内一点的极坐标有多少 种表达式？ [3] 一点的极坐标有否统一的表达式?
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***小结***
[1] 建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和
它的正方向。
[2] 极坐标系内一点的极坐标有多少 种表达式？ 无数，极角有无数个。 [3] 一点的极坐标有否统一的表达式?
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***小结***
[1] 建立一个极坐标系需要哪些要素
[2] 极坐标系内一点的极坐标有多少 种表达式？ [3] 一点的极坐标有否统一的表达式?
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2010年上学期
***小结***
[1] 建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和
P (ρ,θ)…
X
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四、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
[1] 给定（,）,就可以 在极坐标平面内确定唯 一的一点M。 M O
P (ρ,θ)…
X
[2] 给定平面上一点M，但却有无数
个极坐标与之对应。
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2010年上学期
四、极坐标系下点与它的极坐标的
湖南长郡卫星远程学校
请说出点M的极 4
M
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2010年上学期
三、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
坐标的其他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角. 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相 同。也就是说它们是终边相同的角。 本题点M的极坐标统一表达式： (4,2k ) 2010年上学期 制作 09
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二、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M，用表示线 段OM的长度，用 M 表示从OX到OM 的 角度，叫做点M的 极径，叫做点M的 O X 极角，有序数对(,)就叫做M的极坐标。 特别强调：表示线段OM的长度， 即点M到极点O的距离；表示从OX到 OM的角度，即以OX(极轴)为始边，OM 为终边的角。 2010年上学期 制作 09
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题组一：说出下图中各点的极坐标
2
5 6
C E D O B A X
4
4 3
F
G
5 3
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2010年上学期
特别规定：当M在极点时，它的
极坐标=0，可以取任意值。
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特别规定：当M在极点时，它的
极坐标=0，可以取任意值。 ***想一想？*** ① 平面上一点的极坐标是否唯一？
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2010年上学期
在直角坐标系中， M (1, y 以原点作为极点， θ x轴的正半轴作为 O 极轴，并且两种 坐标系中取相同的长度单位
3)
x
点M的直角坐标为 (1, 3 ) 设点M的极坐标为 ( , )
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在直角坐标系中， M (1, y 以原点作为极点， θ x轴的正半轴作为 O 极轴，并且两种 坐标系中取相同的长度单位
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从这向北 2000米。
请问：去长郡中 学新校区怎么走？
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请分析上面这句话，他告诉了问路人什么? 从这向北走2000米!
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请分析上面这句话，他告诉了问路人什么? 从这向北走2000米!
1 （ 3） 2
2 2
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M (2,/3)
3 tan 3 1 2010年上学期 制作 09
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是(x, y)
极坐标是(ρ,θ)
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极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是(x, y)
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[例2] 已知两点( 2,
), ( 3, )求两 3 2
点间的距离.
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[例2] 已知两点( 2,
), ( 3, )求两 3 2
点间的距离.
B
A
O
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[例2] 已知两点( 2,
请说出点M的极 4
M X
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三、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
坐标的其他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角. 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相 同。也就是说它们是终边相同的角。
), ( 3, )求两 3 2
点间的距离.
解 : AOB
B
6
O
A
用余弦定理求 AB 的长即可.
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x
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[例3] (1) 在极坐标系中 , 与圆
4 sin 相切的一条直线的方程 是( A. cos 2 C . cos 4 B . sin 2 D. cos 4
② 若不唯一，那有多少种表示方法?
③ 坐标不唯一是由谁引起的？
④ 不同的极坐标是否可以写出统一
表达式？
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2010年上学期
三、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
4
O
M X
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三、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
坐标的其他表达式。 O 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角.
请说出点M的极 4
M X
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制作 09
2010年上学期
三、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
坐标的其他表达式。 O 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角. 思考：这些极角有何关系？
出发点
方向
距离
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请分析上面这句话，他告诉了问路人什么? 从这向北走2000米!
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
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M
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题组二：在极坐标系里描出下列各点
A( 3,0) 4 D(5, ) 3 5 G (6, ) 3
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B(6,2 ) 5 E ( 3, ) 6
C ( 3, ) 2 F (4, )
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2
5 6
对应情况
[1] 给定（,）,就可以 在极坐标平面内确定唯 一的一点M。 M O
P (ρ,θ)…
X
[2] 给定平面上一点M，但却有无数
个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
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2010年上学期
如果限定ρ>0，0≤θ<2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标
就可以一一对应了.
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互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
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2 ) [例1] (1) 将点M的极坐标(5, 3 化成直角坐标 . ( 2) 将点M的直角坐标( 3 ,1) 化成极坐标.
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E F O
C A B X
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D
G
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四、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
M O
P (ρ,θ)…
X
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四、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
[1] 给定（,）,就可以 在极坐标平面内确定唯 一的一点M。 M O
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请分析上面这句话，他告诉了问路人什么? 从这向北走2000米!
出发点
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请分析上面这句话，他告诉了问路人什么? 从这向北走2000米!
出发点
方向
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制作 09
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请分析上面这句话，他告诉了问路人什么? 从这向北走2000米!
一、极坐标系的建立：
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
O
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2010年上学期
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
O
X
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2010年上学期
极坐标和直角坐标的互化
***思考***
平面内的一个点的直角 坐标是 (1, 3 )这个点如何用极坐标表 示?
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2010年上学期
在直角坐标系中， M (1, y 以原点作为极点， x轴的正半轴作为 O 极轴，并且两种 坐标系中取相同的长度单位
3)
x
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一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度
单位和角度单位
及它的正方向(通 O X
常取逆时针方向)。
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一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度
单位和角度单位
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***小结***
[1] 建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和
它的正方向。
[2] 极坐标系内一点的极坐标有多少 种表达式？ 无数，极角有无数个。 [3] 一点的极坐标有否统一的表达式? 有。(ρ，2kπ+θ)
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