湖南省2020届高三年级下学期4月六校联考理科科数学试题及答案

姓名
准考证号
湖南省2020届高三六校联考试题
数学（理科）
考生注意：
1.本试卷分第Ι卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

时量120分钟，满分150分。

答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

作答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。

第Ι卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}12x A y y -==，}4{0|
2x B x x -=≤+，则A B =U （ ） A.()0,4 B.∅C.()2,-+∞ D.[)2,-+∞
2.若复数z 满足211z i i i
=++g （i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点在（ ） A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限 3.已知条件p ：1k =,条件q ：直线1y kx =+与圆2212x y +=
相切，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.若31log 3a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，313b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133c c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. c a b << B. c b a << C. a c b << D.b c a <<
5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推。

”这首歌决的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算。

”在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则3a =（ ）
A.17
B.29
C.23
D.35
6.函数()()
21x x x e e f x x --=-的部分图象大致是（ ）
7.已知非等向量AB u u u r 与AC uuu r 满足0
AB AC BC AB AC ⎛
⎫ ⎪+= ⎪⎝⎭
u
u u r u
u u r u u u r g u u u r u u u r ，且3BC AB =u u u r u u u r ，则△ABC 为（ ）
A.等腰非等边三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.三边均不相等的三角形
8.在正方体内随机放入n 个点，恰有m 个点落入正方体的内切球内，则π的近似值为（
） A.2m
n B.2m
n C.6m n D.6m
n
9.执行如图所示的程序框图，若输出的数S=3，那么判断框内可以填写的是（ ）
A. 6?k ≥
B.6?k ≤
C.7?k ≥
D.7?k ≤
10.已知函数()sin f x cosx x =g ，给出下列四个说法：
①201564f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，②函数()f x 的一个周期为2π;
③()f x 在区间3,44π
π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减；④()f x 的图象关于点（π，0）中心对称.
其中正确说法的序号是（ ）
A.①②
B.③④
C.②④
D.②③
11.定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()'f x ，当0x ≤时，恒有()()'03
x f x f x --≥，若()()3g x x f x =，则不等式()()213g x g x >-的解集为（ ） A.1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.()1,1,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭
U
12.如图所示是一款热卖的小方凳，其正、侧视图如图所示，如果凳脚是由底面为正方形的
直棱柱经过切割后得到，当正方形边长为2cm 时，则切面的面积为（ ）
2cm B.216 3
cm
2 cm
2 cm
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在()7121x x x ⎛
⎫+- ⎪⎝⎭
的展开式中x 的系数为. 14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若11a =，121n n a S +=+()
n N *∈，则3456a a a a +++=
. 15.若实数x ，y 满足不等式15220x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则1y x +的最大值为. 16.若点P 是曲线1C ：216y x =上的动点，点Q 是曲线2C :()2
249x y -+=上的动点，点O 为坐标原点，则PQ OP
的最小值是. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题，共60分。

17.（本小题满分12分）
在三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()22cos 2cos 2C a a b c A -=-. （1）求角A 的大小；
（2）若3a =时，求2b c -的取值范围.
18.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -；中，AC ⊥BC ，14AC CC ==，BC=2，D 为棱11A C 上的动点.
（1）若D 为11A C 的中点，求证：1BC ∥平面1ADB ；
（2）若平面11A ACC 平面ABC ，且1160AAC ∠=︒.是否存
在点D ，使二面角11B AD C --的平面角的余弦值为
3？若存在，求出11A D C D
的值，若不存在，说明理由。

19.（本小题满分12分） 已知圆C ：22
232x y ++=（），点D （2，0），点P 是圆C 上任意一点，线段PD 的垂直平
分线交线段CP 于点Q.
（1）求点Q 的轨迹方程.
（2）设点A （0，2)，M ，N 是Q 的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN 为直径的圆过点
A.求证直线MN 过定点，并求出该定点的坐标.
20.（本小题满分12分）
自从新型冠状病毒爆发以来，全国范围内采取了积极的措施进行防控，并及时通报各项数据以便公众了解
经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15秒，就有可能传染病毒.
（1）将1月23日作为第1天，连续9天的时间作为变量x ，每天新增确诊人数作为变量y ，通过回归分析，得到模型用于对疫情进行分析.
对上表的数据作初步处理，得到下面的一些统计量的值（部分数据已作近似处理）：
根据相关数据，
求该模型的回归方程（结果精确到0.1），并依据该模型预测第10天新增确诊人数.
（2）如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为0.3，在一次12人的家庭聚餐中，只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为X ，求X k =最有可能（即概率最大）的值是多少. 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v …，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的
最小二乘估计分别为
21. （本小题满分12分）
已知函数()cos x f x ae x =-,2a R x π⎛
⎫∈>- ⎪⎝⎭
. （1）证明：当a=1时，()f x 有最小值，无最大值；
（2）若在区间,2ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上方程()0f x =恰有一个实数根，求α的取值范围，
（二）选考题：共10分。

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2211222
x t y t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩()t t R ∈为参数，，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，()02θπ≤≤.
（1）求曲线1C 的极坐标方程；
（2）射线l 的极方程为()0,0θααπρ=≤≤≥，若射线l 与曲线1C ，2C 分别交于异于
原点的A ，B 两点，且4OA OB =，求a 的值.
23.（本小题满分10分）选修4一5：不等式选讲 若不等式13x m x +++≤的解集非空。

（1）求实数m 的取值范围；
（2）设m 的最大值为M ，若b a R +
∈、，且a+b=M ，求22
a 11
b b a +++的最小值。