第29届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第6套(共6套)答案及评分标准

（2 分）
∴ k 1.402
第二题（20 分） Andy Riley 画了《找死的兔子》 ，该书中的人们精通各种物理原理，从而帮助兔子成功自杀。 巨石的质量为 1 105 kg ，巨石下有 10 根圆木，人们拉着巨石缓缓移动。圆木的质量可以忽略，所 有地方均不滑动。由于压力巨大，圆木的直径被压扁了 0.2%（假设地面没有形变） ，圆木滚动之后被 压扁的地方又恢复了原状。假设圆木如图顺时针滚动的时候作用力集中在 A、B 两点。重力加速度取 g 9.8N / kg （1） 原始人至少需要多大的拉力才能将巨石拉动？ （2） 各处摩擦系数至少达到多少才能保证不滑动？
I 表示质点看来的转动惯量 mvl cos 2mv cos 1 ∴ I=(M +m)( )2 2I (M m)l 2
（其实拿质点写角动量是一样的） （5 分）
1 1 由能量守恒， I ' 2 I 2 (M m) grc 2sin 2 2 ml l (m M ) 式中 rC = l 是质心到支点的距离 M m 2 (M m)
Q2 （因为开始突然充上了电） C 3
Q1 Q2 C 3
（2 分）
第 29 届复赛模拟赛题 第六套
4
对上面的圈写基尔霍夫方程有：
i1 R U 2 U1
对电源回路写基尔霍夫方程有：
2i1 R U 2 U
（2 分）
两方程消去 Q2 得到
Q 2 i1 R 1 3 3C
（2 分）
得到
x 202 x （等式两边消去 m ， r0 ）
（4 分）
类比简谐振动得到： 径向做频率为 20 的简谐振动 （4 分） （用能量守恒精确到 2 阶，同样给分）
切向几乎保持原角速度转动（偏差为一阶小量） 。
第四题（20 分） 找一个理想的电容 C ，直接接到一个内阻可以忽略的电压为 U 的电池上，会迅速充电，很显然充
第 29 届复赛模拟赛题 第六套 答案及评分标准
第一题（20 分） Andy Riley 画了《找死的兔子》 ，该书中的兔子精通各种物理原理，从而成功自杀。一个轻质的跷 跷板，长度为 l 1.000m ，支点在中间，高 0.200m ，兔子从一定高度 h 2.000m 做自由落体运动，与 跷跷板发生完全非弹性碰撞，之后落地时与地面发生完全非弹性碰撞，问兔子是否可能自杀成功？如 果可能兔子与石头的质量比 m / M 应当为多少？ g 9.80m / s 2
第六题（22 分） 月亮离地球越来越远了，以后看到的月亮就越来越小了。其原因在于地球现在的自转角速度比月 亮公转的角速度快，受到潮汐的影响，一部分地球自转的动能转化成了地月体系的平动动能和势能， 我们假设这个转化的效率为 50%。这个过程将不断进行，直到月球公转周期和地球自转周期相等，或 者月亮飞离地球（月亮总是用一个面冲着地球） 。我们想关心的问题是月球的命运到底如何？月亮是 否会飞离地球？如果不飞离地球，最后地球上的人看到的月亮大小是现在的多少倍？ 当前地球的自转周期为 1 天，月亮公转周期为 27.32 天，月亮半径为 1.738 103 m ，月球质量为
【解】 ： 画出物理情景
h
v
θ
ω
ω
v 2 g (h 2h0 ) 5.6m / s （式中 h0 0.2m ）
（2 分）
在支点看来角动量守恒
l L1 mv cos I 2
（5 分）
式中 满足 sin
h0 2h0 1 l 2
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1
1 2 MmMe MmMe 2 2 2 2 ' M e re 2 ' M m rm 2 ' 3 [G(M e M m )] 3 L ' M e re 2 ' M m rm 2 ' r '2 5 5 5 5 Mm Me Mm Me
（4 分） 带入数值，解得：
第三题（20 分） 空间中有沿着 z 轴的静磁场，磁场强度和到 z 轴的距离成正比 B(r ) B0
r 。一个带电为 q ，质量 r0
为 m 的粒子，在 x y 平面内绕着 z 轴在洛仑兹里作用下做圆周运动，半径为 r0 。 （1） 写出粒子速度大小 v0 应当满足的式子 （2） 粒子在做圆周运动的时候收到一个径向扰动，略微偏离了原来的轨道，求解粒子之后的运动。 【解】 ： rBq （1） v0 0 0 （2 分） m （2）取极坐标 , 考虑角动量的变化
m k M
（4 分）
得 v'
（2 分）
' 6.415rad / s ，记
由 ' 2 2

4h0 4 g (M m)l (M m)l 2 l
4m2 v 2 cos2 16h0 g (k 1) ( M m)2 l 2 (k 1)l 2

4k 2 2 g (h 2h0 )cos2 16h0 g (k 1) (k 1)2 l 2 (k 1)l 2
1 电完成的时候，电容器储存能量为 CU 2 ，而电源做功为 CU ，多出的能量，在没有电阻的情况下会 2
以其它的方式耗散掉（例如电磁辐射等） 。 如图所示电路中，电源电动势为 ，电阻为 R ，电容为 C 。开始电容不带电。开关闭合后，电容 会迅速充电，然后再慢慢达到平衡。 （1） 计算从闭合开关到电荷分布稳定过程中，电阻上发热为多少？ （2） 画出电阻上求过的电量和电阻两端电压的图像， 并计算当电阻上发热量累计达到最大发热量一 半时，各电容器上电压为多少。
第 29 届复赛模拟赛题 第六套
2
A
f
N

N
f
B
【解】 ： 由合外力等于 0，重力可以忽略，两个作用点支持力、摩擦力各自等大。 由于力矩为 0，所以两边支持力与摩擦力的合力过圆心。 （5 分） 摩擦角至少为 。 cos 1 0.2% 解得 3.6 得到 f mg tan 6.2 104 N 摩擦角大于等于 ，所以 tan 0.063 （5 分） （5 分） （5 分）
有扰动的时候，令 r0 (1 x) ， 0
1 1 小量近似有 0 ((1 x)2 (1 x) (1 x)2 ) 0 (1 x) 3 3
（2 分）
带入径向牛顿第二定律：
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3
m( 2 ) q B
得到一个线性函数，
2 3
i1 R
2C Q1
（5 分）
2 3
这个函数下方面积就是左边电阻上的发热。 可见当发热量达到总热量一半的时候， i1 R 由此可以计算出 上下两个电容上的电压为 (1
2 2 2 ) ，中间电容器电压为 (1 ) 3 3
（3 分）
第五题（20 分） 在那个很遥远的年代，在生活很美好的时候，有人出选择题：把一根均匀的筷子竖直插入圆柱形 装水的烧杯中，从侧面观察烧杯，看到的应当是哪一幅图？经过若干次错误和面壁思考，我们的终于 发现答案是 D。现在的问题是，筷子到底变粗了多少倍？
∴ ' 2 2 2
2h0 (m M ) 2 g 2I l l 2
由运动学关联 v '
其中 v 为抛射速度
v sin t l cos 由运动学知 1 v cos t gt 2 l sin 2
gl cos2 3.207m / s sin
h R sin i sin( π i) 2
视线位置 x R sin 整理的得到
1
（4 分）
（2 分）
x2 x2 x x x 1 R2 n2 R 2 R nR nh
对于 h R / 2 解得 40.7976o （4 分） o i 29.3433 令 h h h ， x x x 带入上式，计算数值得到 x 1.23h 即放大率为 1.23 （6 分）
7.350 1022 kg ，当前地月距离为 3.84 108 m ，地球质量为 5.98 1024 kg ，地球半径为 6.37 106 m 。将
3 地球和月亮均视为均匀球体，球体绕过球心的轴定轴转动的转动惯量为 I mr 2 ，其中 m 为质量， r 5
球的半径，刚体定轴转动的角动量为 L I 。
L M t qvr B(r )t qB0

r0

qB0 3 3r0
可见 m 2
qB0 3 是常数 3r0
（6 分）
qB0 m qB B q qB 得到 mr0 2 (1 x)2 0 r03 (1 x)3 mr0 2 0 0 r03 3r0 m 3r0
1 电容器储能 E0 ' 3 C 2 2
这时候电源通过电量 Q0 ' 3C ，电源做功 W0 ' Q0 ' 3C 2
4 电阻发热 W0 ' W0 ( E0 ' E0 ) C 2 3
（8 分）
（2）过一个电阻的电流为 i1 (t ) ，电量为 Q1 (t ) 过中间的电容的电流为 i2 (t ) ，从迅速充电结束之后开始，流过的电量为 Q2 (t ) 这样中间电容器左极板比右极板电势高 U 2 右方方电容器上极板比下极板电势高 U1
i1 i2
i1 i2 i1
【解】 ： （1）迅速充电之后三个电容器上的电压均为 这时候电源通过电量 Q0
1 ，电容器储能 E0 3 C ( )2 3 2 3
C 2 C ，电源做功 W0 Q0 3 3 稳定之后三个电容器的电压均为 ，但中间的电容器正负极反向
俯视图如下，筷子距离轴心 R / 2 ，水折射率为 n 1.33 ，玻璃厚度不记，人从如图方向很远的地 方观察。