极坐标线路放样计算原理

（15）
（16）
如图二、图三所示，缓和曲线终点的切线方位角αB应为：
α
顾及式(10)有：
B
= α
A
− β
0
αB = αA −
( RA − RB )l AB l AB ( R + RB )l AB − =αA − A 2 RA RB RA 2 RA RB
（17）
当RA → ∞ 时： α B = α A −
设缓和曲线两端点的曲率半径分别为RA及RB，当RA、RB及缓和曲线长lAB和曲向确定时， 且起始点A坐标（XA，YA）及A点切线方位角αA也确定时，则缓和曲线完被全确定（包 括缓和曲线形状及其在坐标系中的位置）。由图二知，当lAP=0时，RP= RA；当lAP=lAB时， RP= RB。因此，按式（3）可列出：
（14）
y P = l AP −
l l l + − 2 2 6 R A 8 l AB R A 40 l
3 AP
4 AP
5 AP 2 AB
2 RA
5 6 7 8 9 l AP l AP l AP l AP l AP + − + − + 4 4 2 4 3 4 4 4 120 R A 72 l AB R A 112 l AB R A 384 l AP R A 3456 l AB R A
极坐标线路放样计算原理
中交第三航务工程局
一、概述 工程测量中，经常会遇到线路放样工作，其中包括 一些缓和曲线、园曲线等的放样工作。传统的线路放样 工作（特别是曲线放样工作）需要首先确定线路的各关 键点，如直缓点、缓圆点、交点等，然后再在这些点上 架设仪器，根据曲线要素，采用偏角法或切线支距法进 行放样工作。这些方法步骤繁琐，受现场地理条件的限 制较多，且放样成果累积误差也较大。 在全站仪和GPS较为普及的今天，需要改进线路放样
3 7 l AP l AP xP = − 3 3 6 l AB R B 336 l AB R B
y P = l AP
5 9 l AP l AP − + 2 2 4 4 40 l AB R B 3456 l AB R B
(13)
当RB→∞时，式（12）化为：
2 3 4 5 6 7 l AP l AP l AP l AP l AP l AP xP = − − + − + 3 3 2 3 3 3 2 R A 6 l AB R A 24 R A 20 l AB R A 48 l AB R A 336 l AB R A 6 7 8 9 l AP l AP l AP l AP + − + − 5 5 2 5 3 5 720 R A 336 l AB R A 384 l AB R A 864 l AB R A
l AB 2 R B
(18)
当RB → ∞ 时：
α
B
= α
A
−
l AB 2 R
(19)
A
3、圆曲线上任意点的坐标计算 、 如图四所示，对圆曲线同样只要给定其起点A的坐标（XA，YA）、起点方向 αA、圆半径R及线路长lAB，则该圆曲线形状及位置完全确定。
X x
x
β0 β αA A P B β0 y O Y 图五： 起点为原点圆曲线上任意点的坐标计算示意图 lAP A P β0 y β0 R β R B
工作的方法，提高放样工作的效率，通过对各种测量线路的分 析研究，抓住确定线路形状的主要因素，导出计算线路轴线及 边线上任意点的坐标计算公式。这样就可以配合全站仪或GPS 在控制点上设站，按极坐标法对路线上任意点进行放样，使得 各类线路的放样工作变得简便、灵活、快捷。 二、线路轴线上点的坐标计算原理 一般来说，工程线路轴线无论其复杂程度如何，均由直线、 缓和曲线及园曲线等三类基本线型的组合而成。其中缓和曲线 主要用于连接直线和园曲线、两个曲率半径不同的园曲线。 1、直线段上任意点的坐标计算
如图一所示，一直线段AB，在起点A的坐标（XA，YA）、起点方位角αAB及线 路长度lAB确定的情况下，该段线路完全确定。线路上任一桩位点P的坐标 （XP，YP）可由起点A至P点的距离lAB及方位角αAB按式（1）计算： X P = X A + l AP cos α AB
Y P = Y A + l AP sin α AB
6 7 8 9 l AP ( R A − R B ) l AP ( R A − R B ) 2 l AP ( R A − R B ) 3 l AP + + + + 5 5 2 5 2 3 5 3 720 R A 336 l AB R A R B 384 l AB R A R B 864 l AB R A R B
图四：圆曲线上任意点的坐标计算示意图
又如图五所示，设以起点A为原点，A点切线方向为y轴方向，建立直角坐标 系A-xy。则容易推求出圆曲线轴线上P点的坐标：
x y
P P
= R − R cos = R sin
β
β
（20）
注意到β=lAP/R，故上式化作：
x y
P
= =
R
−
R cos l
AP
l
AP
R
（21）
（1）
线路终点B坐标为：
X
B
= X
A
+ l AB coቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ α
AB
Y B = Y A + l AB sin α
（2）
AB
直线形线路的特点是，线路上任意一线段的方位角不变，均为αＡＢ。 2、 缓和曲线上任意点的坐标计算 工程线路中一般采用螺旋线作为缓和曲线，如图二所示。螺旋线的特点 是：曲线上任一点P的曲率半径RP与该点至起点的曲线长lAB成反比，即：
y P = l AP
3 4 5 5 6 l AP ( R A − R B ) l AP ( R A − R B ) 2 l AP l AP ( R A − R B ) l AP − − − + + 2 2 2 2 2 4 4 6RA 8 l AB R A R B 40 l AB R A R B 120 R A 72 l AB R A R B
（12)
7 8 9 ( R A − R B ) 2 l AP ( R A − R B ) 3 l AP ( R A − R B ) 4 l AP + + + 2 4 2 3 4 3 4 4 4 112 l AB R A R B 384 l AB R A R B 3456 l AB R A R B
式(12)即为由图三所示的在A-xy坐标系中解算缓和曲线上轴线点的坐标计算公式。在式（12）中， 当RA→∞时有：
同时，对线路终点方位角的计算也需稍为作些调整。对于缓和 曲线来说，当曲线的曲向为右向时，曲线终点方位角的计算公 式（17）、（18）或（19）中右边的“-”号应取“+”，即相应于 式（17）、（18）及（19）有：
α B′ = α A +
( RA − RB )l AB l AB ( R + RB )l AB + =αA + A 2RA RB RA 2RA RB = α + l AB 2 R l AB 2 R
（11）
将式（11）按幂级数展开，并逐项积分，略去可忽略的9次以上高次项得
xP=
2 3 5 6 7 l AP ( R A − R B ) l AP l4 ( R A − R B ) l AP ( R A − R B ) 2 l AP ( R A − R B ) 3 l AP + − AP 3 − − − 3 2 3 2 3 3 3 2RA 6 l AB R A R B 24 R A 20 l AB R A R B 48 l AB R A R B 336 l AB R A R B
P
R sin
R
式（21）即为在A-xy系中，圆曲线轴线上任一点P的坐标计算公式。同样式 4.7-21需要按式（15）作坐标转换。 由图四、图五得圆曲线终点B的切线方位角为：
α
B
= α
A
− β
0
= α
A
−
l AB R
（22）
需要说明的是：在曲线部分我们只讨论了曲线的一个曲向（左向）。 至于另一个曲向（右向），由对称性显见，在由图三、图五所确定 的坐标系中，其y值不变，x值取相反符号。即当曲线的曲向为右向 时，仍可按缓和曲线坐标计算公式（12）、（13）、（14）及圆曲 线的坐标计算公式（21）等计算轴线点坐标，只是在计算结果中， 将xp的符号取其反号即可。
R
A
=
C K l AB
= =
RB =
C + K
R R R
A A
（4）
B
由式（4）解得 4
C K R −
B
l AB R B
AB
R
A
l −
R
B
（5）
如图三所示，以A点为原点建立过渡直角坐标系A-xy，其中坐标横轴与A点切线重合。 从图中可以看出，曲线上任一弧长的微分段与相应的坐标有如下关系：
dx = sin β ⋅ dl dy = cos β ⋅ dl
（8）
(l + K ) l 2 Kl β =∫ ⋅ dl = + 0 C 2C C
（9）
由式（5）知：
( R A − R B )l 2 l β = + 2 l AB R A R B RA
（10）
将式（10）代入式（7）有：
xP = yP =
∫ ∫
l AP 0 l AP 0
( R A − R B )l 2 l ⋅ dl sin + 2l R R RA AB A B ( R A − R B )l 2 l ⋅ dl cos + 2l R R RA AB A B
xP = yP =
x
（6）
β0 RA RB B
dβ
对式（6）求积得：
∫ ∫
l AP 0 l AP 0
sin β ⋅ dl cos β ⋅ dl
（7）
A
dl
dx
β
dy
β0 y
图 五：缓和曲线上任意点的坐标计算示意图
式中β为弧长l的函数。由于dβ=dl/ R，则由式（3）有：
dβ =
则
l
(l + K ) ⋅ dl C
三、线路边线点的放样坐标计算 上面讨论了各类线路轴线上的桩位点按里程的坐标计算公式。但在实际 工作中，我们往往不仅需要测定线路轴线的位置，而且还需要测定与线路轴 线成一定夹角的排架桩位。下面，我们导出根据线路轴线上的里程及该里程 排架与轴线的夹角和排架上桩位离轴线的距离来推算相关桩位坐标的计算公 式。有了这些公式，我们就可以在实际工作中直接放样线路轴线以外的桩位 点。省去须先放出线路的轴线点，而后再由轴线点施放相应排架桩位点的繁 琐过程。 所谓与线路轴线上某一点的相应边线点的含意是指：通过该轴线点且与 轴线或轴线的切线（对曲线而言）方向成一定夹角90°的直线，在轴线两边 延伸到设计桩中位置上的点。因此，桩位点的计算应根据轴线上点的坐标及 相应点的排架方向和轴线到桩中的距离来进行。这里，线路轴线与排架轴线 的夹角φ有一个正负取值问题，我们规定：当φ在线路前进方向的左侧时取 负值，当φ在线路前进方向的右侧时取正值。
（23）
α
B
A
B
（24）
α
B
= α
A
+
A
（25）
对于圆曲线而言，当曲线的曲向为右向时，曲线终点方位角计算公式4.7-22 右边的“-”号也应取“+”，即有：
αB = α A + β0 = α A +
4 、各类线路的连接
l AB R
（26）
工程线路的连接一般遵循如下两条原则：第一，前一线路段的终点与后一线 路段的起点重合；第二，前一线路段的终点方向（或终点的切线方向）与后 一线路段的起点方向（或起点的切线方向）一致。因此，对任一条复合线路， 只要知道该线路的组成形式（即该复合线路按次序分别由哪些形式的线路段 组合而成）、各线路段的长度、曲线的曲向、圆曲线的半径以及第一段线路 的起点坐标、起点方向等，则该复合线路形状及位置就完全确定，就可用上 述公式按线路组合次序计算线路轴线上任意里程点的坐标。然后，再根据计 算坐标由全站仪按极坐标法实施线路轴线上的桩位放样工作。
X X B P αＡＢ A O 图 一：直线段任意点意图 Y Ｏ RA
x αB RP αA Ａ P y Y 图 二：缓和曲线上任意点示意图 RB B
lAP
R
P
=
l
AP
C +
K
（3）
式中：C为比例常数，K为加常数。 当缓和曲线用于连接直线至圆曲线时，K=0，此时在直线与缓 和曲线连接点处的曲率半径R→∞。当缓和曲线用于连接圆曲 线至直线时K=-lAB，此时在缓和曲线和直线连接点处的曲率半 径R→∞。
式（12）、（13）、（14）分别为三种不同情况下，缓和曲线轴线上点坐标 在A-xy坐标系中的计算公式。当在上面的计算公式中用lAB代lAP时，即得缓和 曲线终点B之坐标（xB，yB）。需要注意的是：在实际计算时，还需要将在Axy系中计算的坐标换算到施工坐标系O-XY中去。由图二得到转换公式：
X P = xP cos( A − 90°) − yP sin( A − 90°) + X A α α YP = xP sin( A − 90°) + yP cos( A − 90°) + YA α α