勾股定理知识点总结、经典例题
勾股定理典型题总结(较难)
勾股定理一．勾股定理证明与拓展 模型一. 图中三个正方形面积关系思考：如下图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系？例1、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是 .变式1：在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，1. 21，1. 44，正放置的四个正方形的面积依次是1234S S S S ，，，，则41S S =______.变式2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，求S2.（变式2）（变式3）变式3：如图，Rt△ABC 的面积为10cm2，在AB 的同侧，分别以AB，BC，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为．（难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB＝ 90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点G 落在HI 上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则阴影部分面积模型二外弦图DCBA内弦图GFEH例题2.四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5。
求中间小正方形的面积为__________;变式1：如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下列四个说法：①2225x y +=，②2x y -=，③2125xy +=，④9x y +=．其中说法正确的有___________（填序号）.(变式1) (变式2)变式2：如图,正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长 为变式3：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称为“赵爽弦图”（如图5），图6是由弦图变化得到的，他是由八个全等的直角三角形拼接而成。
勾股定理知识点总结及练习
A D勾股定理知识点总结及训练一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理典型例题及专项训练专题一：直接考查勾股定理及逆定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：练习：1、如图所示，在四边形ABCD 中，∠BAD=︒90，∠DBC=︒90，AD=3，AB=4，BC=12，求CD 。
2．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
3、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求： 四边形ABCD 的面积。
例2：已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
练习：在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为多少？例3：（1）.已知∆ABC 的三边a 、b 、c 满足0)()(22=-+-c b b a ，则∆ABC 为 三角形 （2）.在∆ABC 中，若2a =（b +c ）（b -c ），则∆ABC 是 三角形，且∠ ︒90 练习：1、已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。
2、.若∆ABC 的三边a 、b 、c 满足条件2a c b a c b 26241033822++=+++，试判断∆ABC 的形状。
专题04 勾股定理常考压轴题汇总(解析版)
专题04勾股定理常考压轴题汇总一．选择题（共23小题）1．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c．若b﹣a＝2，c＝10，则a+b的值为（）A．12B．14C．16D．18【答案】B【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2，∴且a、b均大于0，解得，∴a+b＝6+8＝14，故选：B．2．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是6和3，则所走的最短线段是＝3；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是5和4，所以走的最短线段是＝；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和2，所以走的最短线段是＝；三种情况比较而言，第二种情况最短．所以它需要爬行的最短路线的长是，故选：B．3．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定【答案】C【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故选：C．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI 上，若AC+BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（）A．3B．C．2D．【答案】B【解答】解：∵四边形ABGF是正方形，∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，∴∠FAC+∠BAC＝∠FAC+∠ABC＝90°，∴∠FAC＝∠ABC，在△FAM与△ABN中，，∴△FAM≌△ABN（ASA），＝S△ABN，∴S△F AM＝S四边形FNCM，∴S△ABC∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+BC＝6，∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝36，∴AB2+2AC•BC＝36，＝10.5，∵AB2﹣2S△ABC∴AB2﹣AC•BC＝10.5，∴3AB2＝57，解得AB＝或﹣（负值舍去）．故选：B．5．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2【答案】C【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．6．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AC＝3，则BC长是（）A．3.5B．C．4D．5【答案】B【解答】解：以AC为直径的半圆的面积＝×π×＝π，同理：以BC为直径的半圆的面积＝π，以AB为直径的半圆的面积＝π，∴S1+S2＝π+π+△ABC的面积﹣π，∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴S1+S2＝△ABC的面积＝AC•BC＝7，∵AC＝3，∴BC＝．故选：B．7．如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm 的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（）A．（10﹣5）cm B．3cm C．（10﹣4）cm D．5cm【答案】A【解答】解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时GI＝cm，而AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25，∴GI＝＝＝5（cm），∴GJ长度的最小值为（10﹣5）cm．故选：A．8．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A．420B．440C．430D．410【答案】B【解答】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，由题意得，∠BAC＝∠BPF＝∠FBC＝90°，BC＝BF，∴∠ABC+∠ACB＝90°＝∠PBF+∠ABC，∴∠ACB＝∠PBF，∴△ABC≌△PFB（AAS），同理可证△ABC≌△QCG（AAS），∴PB＝AC＝8，CQ＝AB＝6，∵图2是由图1放入长方形内得到，∴IP＝8+6+8＝22，DQ＝6+8+6＝20，∴长方形KLMJ的面积＝22×20＝440．故选：B．9．国庆假期间，妍妍与同学去玩寻宝游戏，按照藏宝图，她从门口A处出发先往东走9km，又往北走3km，遇到障碍后又往西走7km，再向北走2km，再往东走了4km，发现走错了之后又往北走1km，最后再往西走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）A．3km B．10km C．6km D．km【答案】D【解答】解：过点B作BC⊥AC，垂足为C．观察图形可知AC＝9﹣7+4﹣1＝5（km），BC＝3+2+1＝6（km），在Rt△ACB中，AB＝（km）．答：门口A到藏宝点B的直线距离是km，故选：D．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝9，BC＝6，则BD的长为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝9，BC＝6，∴，∵，∴AC•BC＝AB•CD，，，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴，故选：B．11．如图，某小区有一块长方形花圃，为了方便居民不用再走拐角，打算用瓷砖铺上一条新路，居民走新路比走拐角近（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m【答案】D【解答】解：根据勾股定理求得，AB＝＝10（m），∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），故选：D．12．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148B．100C．196D．144【答案】A【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴这个风车的外围周长是37×4＝148．故选：A．13．如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E是AB的中点，连接DE，则DE的最大值是（）A．5B．C．6D．【答案】C【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点为M，连接DM、EM，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∵AD＝8，CD＝6，∴AC＝，∵M是AC的中点，∴DM＝AC＝5，∵M是AC的中点，E是AB的中点，∴EM是△ABC的中位线，∵BC＝2，∴EM＝BC＝1，∵DE≤DM+EM（当且仅当点M在线段DE上时，等号成立），∴DE≤6，∴DE的最大值为6．故选：C．14．如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm【答案】A【解答】解：∵点C为线段AB的中点，∴AC＝AB＝4cm，在Rt△ACD中，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；∵CD⊥AB，∴∠DCA＝∠DCB＝90°，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），∴AD＝BD＝5cm，∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；∴橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．15．如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意可得∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝3﹣1＝2，则CB＝＝，那么点P表示的实数为3﹣，故选：A．16．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如下图，设图中直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，∵图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，∴可有，解得c2＝18，解得或（不合题意，舍去），∴大正方形的边长是．故选：D．17．如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（）A．5米B．6米C．7米D．8米【答案】C【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AB＝5m∴AC＝＝4（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AC+BC＝7米，故选：C．18．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACKJ，正方形ABFE，正方形BCIH，连接AH．CF，具中正方形BCIH面积为1，正方形ABFE面积为5，则以CF为边长的正方形面积为（）A．4B．5C．6D．10【答案】D【解答】解：过点C作CM⊥EF于点M，交AB于点N，∵正方形ABFE面积为5，正方形BCIH面积为1，∴CN⊥AB，BC＝1，AB＝MN＝，BN＝FN，∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝2，∴，即＝CN，∴CN＝，∴BN＝FM＝＝＝，∴CM＝CN+MN＝＝，∴CF＝10，∴以CF为边长的正方形面积为10．故选：D．19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN．四块阴影部分的面积如图所示分别记为S、S1、S2、S3，若S＝10，则S1+S2+S3等于（）A．10B．15C．20D．30【答案】C【解答】解：如图，过E作BC的垂线交ED于D，连接EM．在△ACB和△BDE中，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝∠EBD，AB＝BD，∴△ACB≌△BND（AAS），同理，Rt△GDE≌Rt△HCB，∴GE＝HB，∠EGD＝∠BHC，∴FG＝EH，∴DE＝BC＝CM，∵DE∥CM，∴四边形DCME是平行四边形，∵∠DCM＝90°，∴四边形DCME是矩形，∴∠EMC＝90°，∴E、M、N三点共线，∵∠P＝∠EMH＝90°，∠PGF＝∠DGE＝∠BHC＝∠EHM，∴△PGF≌△MHE（AAS），∵图中S1＝S Rt△EMH，S△BHC＝S△EGD，∴S1+S3＝S Rt△ABC．S2＝S△ABC，∴S1+S2+S3＝Rt△ABC的面积×2＝20．故选：C．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆，它们的面积分别记作S1、S2、S3，若S1＝25，S3＝16，则S2为（）A．9B．11C．32D．41【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2．∵S1＝（AB）2π＝AB2＝25，∴AB2＝25×．同理BC2＝16×．∴AC2＝AB2﹣BC2＝25×﹣16×＝9×．∴S1＝（AC）2π＝AC2＝×9×＝9．故选：A．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，记四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．若已知S△ABC＝S，则下列结论：①S4＝S；②S2＝S；③S1+S3＝S2；④S1+S2+S3+S4＝2.5S．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】A【解答】解：由题意有Rt△EBD≌Rt△ABC，∴S4＝S；故①正确；过F作AM的垂线交AM于N，由题意，得Rt△ANF≌Rt△ABC，Rt△NFK≌Rt△CAT，所以S2＝S，故②正确；连接FP，FQ，由题意，可得△AQF≌△ACB，则F，P，Q三点共线，由Rt△NFK≌Rt△CAT可得Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3＝S△FPT，可得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1+S3＝S Rt△AQF＝S，故③正确；S1+S2+S3+S4＝（S1+S3）+S2+S4+S Rt△ABC+S Rt△ABC＝S Rt△ABC×3＝S Rt△ABC＝3S，故④不正确．故选：A．22．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．A．10B．12C．13D．14【答案】C【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C．23．将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFGH．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且A′E＝ME．B′F ＝NF，C′G＝PG，D′H＝HQ，得到图2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即△A′EF，△B′FG，△C′CH．△D′HE．若FM平分∠BFE，正方形ABCD和正方形EFGH 的边长比为1：5．若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，则正方形EFCH的面积是（）A．B．C．3m D．【答案】B【解答】解：∵将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFCH．正方形ABCD和正方形EFGH的边长比为1：5．∴设正方形ABCD的边长为a，则正方形EFGH的边长为5a，设AE＝BF＝CG＝DH＝x，在△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（x+a）2+x2＝（5a）2，x2+ax﹣12a2＝0，（x+4a）（x﹣3a）＝0，x＝﹣4a（舍去）或x＝3a，∴BE＝4a，BF＝3a，EF＝5a，∵FM平分∠BFE，∴△EMF边EF上的高为BM，+S△MBF＝S△BEF，则S△BMF即，∴，∴BM＝，∵A'E＝ME＝BE﹣BM＝4a﹣a，若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，＝S△EF A'＝m，∴S△EMF∴，∴a m，∴a＝∴EF＝5a＝，＝EF＝，∴S正方形EFCH故选：B．二．填空题（共14小题）24．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为32cm．【答案】32．【解答】解：由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，∴BC＝7﹣3＝4（cm），由勾股定理得：AC＝＝5（cm），∴阴影的周长＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．故答案为：32．25．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接PA，当△ABP为等腰三角形时，t的值为16或10或．【答案】16或10或．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC＝cm，∵△ABP为等腰三角形，当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x cm，则PC＝（8﹣x）cm，在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AC2＝AP2，∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴t＝．综上所述：t的值为16或10或．故答案为：16或10或．26．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为．【答案】．【解答】解：当BN为最大线段时，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BN＝＝＝，故答案为：．27．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝136．【答案】136．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，∴BO2+CO2＝CB2，OB2+OA2＝AB2＝36，OA2+OD2＝AD2，OC2+OD2＝CD2＝100，∴BO2+CO2+OA2+OB2＝36+100，∴AD2+CB2＝BO2+CO2+OA2+OB2＝136；故答案为：136．28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（30，0）（0，12），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，点P 的坐标为（9，12）或（3，12）或（24，12）．【答案】（9，12）或（6，12）或（24，12）．【解答】解：由题意，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD＝OD＝15，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝12．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD﹣DE＝15﹣9＝6，∴此时点P坐标为（6，12）；（2）如答图②所示，OP＝OD＝15．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝9，∴此时点P坐标为（9，12）；（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD+DE＝15+9＝24，∴此时点P坐标为（24，12）．综上所述，点P的坐标为：（9，12）或（6，12）或（24，12）；故答案为：（9，12）或（6，12）或（24，12）．29．《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn）一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图推开两扇门（AD和BC），门边沿D，C两点到门槛AB的距离是1尺（1尺＝10寸），两扇门的间隙CD为2寸，则门槛AB长为101寸．【答案】101．【解答】解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，如图，过D作DE⊥AB于点E，则DE＝10寸，OE＝CD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101，即门槛AB长为101寸，故答案为：101．30．如图，在某次军事演习中，舰艇1号在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇2号在指挥中心南偏东60°的B处，并且OA＝OB．接到行动指令后，舰艇1号向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇2号沿北偏东60°的方向以m海里/小时的速度前进．1.5小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达点E，F处，若∠EOF＝75°，EF＝210海里，则m的值为80．【答案】80．【解答】解：延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+30°＝150°，∠EOF＝75°，∴∠EOF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（60°+60°）＝180°，延长FB至D，使BD＝AE，连接OD，∵∠OBD＝∠OBC，∴．∠OBD＝∠A，∴△OBD≌△OAE（SAS），∴OD＝OE，∠BOD＝∠AOE，∵∠EOF＝∠AOB＝∠EOD，∴．∠EOF＝∠DOF，又∵OF＝OF，∴△EOF≌△DOF（SAS），∴EF＝AE+BF，即EF＝1.5×（60+m）＝210．解得m＝80．故答案为：80．31．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG并延长交BC于点M．若AB＝5，EF＝1，则GM的长为．【解答】解：由图可知∠AED＝90°，AB＝5，EF＝1，∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，故AE＝BF＝GC＝DH，设DE＝x，则在Rt△AED中，AD＝AB＝5，AE＝1+x，根据勾股定理，得AD2＝DE2+AE2，即52＝x2+（1+x）2，解得：x1＝3，x2＝﹣4（舍去）．过点M作MN⊥FB于点N，如图所示．∵四边形EFGH为正方形，EG为对角线，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EGF＝∠NGM＝45°，故△GNM为等腰直角三角形．设GN＝NM＝a，则NB＝GB﹣GN＝3﹣a，∵MN∥AF，∴△BMN∽△BAF，∴＝，将MN＝a，AF＝3，BN＝3﹣a，BF＝4代入，得＝，解得a＝，∴MN＝GN＝，在Rt△MGN中，由勾股定理，得GM＝＝＝．32．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝15km，CD＝10km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C 两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A10千米．【答案】10．【解答】解：设AP＝x千米，则DP＝（25﹣x）千米，∵B、C两村到P站的距离相等，∴BP＝PC．在Rt△APB中，由勾股定理得BP2＝AB2+AP2，在Rt△DPC中，由勾股定理得PC2＝CD2+PD2，∴AB2+AP2＝CD2+PD2，又∵AB＝15km，CD＝10km，∴152+x2＝102+（25﹣x）2，∴x＝10．故答案为：10．33．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm（杯壁厚度不计）．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝20（cm）．故答案为20．34．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．【答案】．【解答】解：如图，连接BP，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，∴BD＝DC，∴BP＝PC，∴PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，∴当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小，∴当BQ⊥AC时，BQ的值最小，令AQ'＝a，则CQ'＝10﹣a，∵BQ'⊥AC，∴AB2﹣AQ'2＝BC2﹣CQ'2，即102﹣a2＝122﹣（10﹣a）2，解得a＝，∴BQ'＝＝，∴PC+PQ的最小值为，故答案为：．35．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为2．【答案】2．【解答】解：过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，∴∠GAF＝∠ACE，在△AFG和△CEA中，，∴△AFG≌△CEA（SAS），∴GF＝AE，∴AE+BF的最小值，即为BG的长，∵∠ABC＝45°，∴∠RAB＝∠EBA＝45°，∵AB＝4，∴BR＝AR＝4，∵AC＝6，∴AG＝AC＝6，∴RG＝AR+AG＝4+6＝10，∴BG＝＝＝2，即AE+BF的最小值为2．故答案为：2．36．如图，在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E，线段DE的最小值是cm．【答案】．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴BC2＝AB2+AC2，∴∠A＝90°，∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴∠A＝∠ADM＝∠AEM＝90°，∴四边形ADME是矩形，∴DE＝AM，当AM⊥BC时，AM的长最短，根据三角形的面积公式得：AB•AC＝BC•AM，∴9×12＝15AM，AM＝，即DE的最小值是cm．故答案为：．37．如图，Rt△ABC中，．点P为△ABC内一点，PA2+PC2＝AC2．当PB的长度最小时，△ACP的面积是．【答案】．【解答】解：如图所示，取AC中点O，连接PO，BO，∵PA2+PC2＝AC2，∴∠APC＝90°，∴，∵BP+OP≥OB，∴当B、P、O三点共线时BP+OP有最小值，即此时BP有最小值，∵∠ACB＝90°，∴，∴BP＝BO﹣OP＝2，∴BP＝PO，又∠ACB＝90°，∴PC＝BO＝2，∴PC＝PO＝CO，∴△OPC是等边三角形，∴∠PCO＝60°，∠PAC＝30°∴AP＝＝2，∴，故答案为：．三．解答题（共4小题）38．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC＝CA．设AC为x，则OC＝9﹣x，由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，又∵OA＝9，OB＝3，∴32+（9﹣x）2＝x2，解方程得出x＝5．∴机器人行走的路程BC是5cm．39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）求BC边的长．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【答案】或10或16．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝，当AP＝BP时，如图1，则AP＝t，PC＝BC﹣BP＝8﹣t，在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，∴62+（8﹣t）2＝t2，解得t＝；当AB＝BP时，如图2，则BP＝t＝10；当AB＝AP时，如图3，则BP＝2BC；∴t＝2×8＝16，综上，t的值为或10或16．40．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB ＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解答过程；（2）台风影响该海港持续的时间为小时．【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；过点C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，∵ED＝（km），∴EF＝2ED＝200km，∵台风的速度为28千米/小时，∴200÷28＝（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为小时．41．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）DE2＝BD2+EC2；（2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF＝AB，FD＝DB，∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴AF＝AC，∵∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝∠FAD+45°，∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB，∴∠FAE＝∠EAC，又∵AE＝AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，即DE2＝BD2+EC2；解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT．∴∠ABT＝∠C＝45°，AT＝AE，∠TAE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠TBC＝∠TBD＝90°，∵∠DAE＝45°，∴∠DAT＝∠DAE，∵AD＝AD，∴△DAT≌△DAE（SAS），∴DT＝DE，∵DT2＝DB2+EC2，∴DE2＝BD2+EC2；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD＝DF，EF＝BE．∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．。
勾股定理知识点
勾股定理知识点及主要题型考点一：勾股定理（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。
③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。
（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。
（2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ）A 、2nB 、n+1C 、n 2－1D 、1n 2+ （3）在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ）A.222a b c +=B. 222a c b +=C. 222c b a +=D.以上都有可能（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A 、25B 、14C 、7D 、7或25例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。
（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
（2）已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ）A 、242c mB 、36 2c mC 、482c mD 、602c m （3）已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A 、5B 、25C 、7D 、15 考点二：勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 有关系，222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理(10个考点梳理+题型解读+提升训练)(原卷版)24-25学年八年级数学上学期期中考点
勾股定理（10个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC 的两直角边长分别为，斜边长为，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：a b ，c 222a b c +=，， .运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段【清单02】勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.【清单03】勾股定理逆定理 222a c b =-222b c a =-()222c a b ab =+-1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若，则△ABC 不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.【清单04】勾股数像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数【清单05】勾股定理应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题【考点题型一】一直直角三角形的两边，求第三边长【典例1】已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．25【变式1-1】如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =8，AB =10，则BC 的长为（ ）a b c ，，222a b c +=c 2c 22a b +222c a b =+222c a b ¹+222a b c +<222a b c +>cA．6B C．24D．2【变式1-2】如图，一个零件的形状如图所示，已知∠CAB=∠CBD=90°，AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm，则CD长为（）cm．D．15A．5B．13C．1445【变式1-3】如图，∠C=∠ABD=90∘，AC=4，BC=3，BD=12，则AD的长等于．【考点题型二】等面积法斜边上的高【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=6，CB=8．(1)求AB的长；(2)求AB边上的高CD是多少？【变式2-1】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为（）A．52B．6C．132D．6013【变式2-2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，AB=4，AC=2，则CD的长为．【变式2-3】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，则高CD=．【考点题型三】作无理数的线段【典例3】如图，在数轴上点A表示的数为a，则a的值为（）A B．―1C．―1+D．―1―【变式3-1】如图，点B，D在数轴上，OB=3，OD=BC=1,∠OBC=90°,DC长为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的是（）A B+1C1D【变式3-2】如图，OC=2,BC=1，BC⊥OC于点C，连接OB，以点O为圆心，OB长为半径画弧与数轴交于点A，若点A表示的数为x，则x的值为（）A B．C―2D．2―【变式3-3】如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（）A3B．3―C3D．3―【考点题型四】勾股定理的证明【典例4】用图1所示的四个全等的直角三角形可以拼成图2的大正方形．请根据信息解答下列问题：(1)请用含a，b，c的代数式表示大正方形的面积．方法1：______．方法2：______．(2)根据图2，求出a，b，c之间的数量关系．(3)如果大正方形的边长为10，且a+b=14，求小正方形的边长．【变式4-1】下面四幅图中，能证明勾股定理的有（）A．一幅B．两幅C．三幅D．四幅【变式4-2】勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利用图1证明勾股定理的完整过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连接BD ，过点D 作DF ⊥BC 交BC 延长线于点F ，则DF =EC =b ―a∵S 四边形ADCB =S △ACD +S △ABC =12b 2+12ab 又∵S 四边形ADCB =S △ADB +S △DCB =12c 2+12a (b ―a )∴∴12b 2+12ab =12c 2+12a (b ―a )∴a 2+b 2=c 2请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB =90°，求证：a 2+b 2=c 2．【变式4-3】我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c 的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ）．(1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积．方法1：S 阴影=______；方法2：S 阴影=______；根据以上信息，可以得到等式：______；(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若a=6，b=3，求阴影部分的面积．【考点题型五】直角三角形的判定【典例5】下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．8，12，13【变式5-1】以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（）A．4，8，7B．5，12，14C．2，2，4D．7，24，25【变式5-2】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A B．1,C．6,7,8D．2,3,4【变式5-3】下列几组数中，不能构成直角三角形的是（）A．9，12，15B．15，36，39C．10，24，26D．12，35，36【考点题型六】勾股定理的逆定理的运用【典例6】如图，一块四边形的空地，∠B=90°，AB的长为9m，BC的长为12m，CD的长为8m，AD的长为17m．为了绿化环境，计划在此空地上铺植草坪，若每铺植1m2草坪需要花费50元，则此块空地全部铺植草坪共需花费多少元？【变式6-1】绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积．【变式6-2】定义：顶点都在网格点上的多边形叫格点多边形．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的每一个顶点都在格点上，(1)求∠ABC的度数；(2)求格点四边形ABCD的面积．【变式6-3】如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中∠B=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，DA=24m，求这块草地的面积．【考点题型七】勾股数的应用【典例7】勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（ ）A ．13，14，512B ．1.5，2，2．5C ．5，15，20D ．9，40，41【变式7-1】下列各组数中，是勾股数的是( )A ．13，14，15B ．3，4，7C ．6，8，10D ．12【变式7-2】下列数组是勾股数的是（ ）A ．2，3，4B ．0.3，0.4，0.5C ．5，12，13D ．8，12，15【变式7-3】下列各组数中是勾股数的是（ ）A ．4，5， 6B ．1.5，2， 2.5C ．11，60， 61D ．12【考点题型八】构造直角三角形解决实际问题【典例8-1】如图，一架2.5m 长的梯子斜靠在墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7m ．(1)求OA 的长度．(2)如果梯子下滑0.4m ，则梯子滑出的距离是否等于0.4m ？请通过计算来说明理由．【典例8-2】小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度CE ，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离BD 为15m ；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线BC （假设BC 是直的线）的长为39m ；③小强牵线的手离地面的距离DE 为1.5m ．(1)求此时风筝的铅直高度CE．(2)若小强想使风筝沿CD方向下降16m（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？【典例8-3】台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．(1)求∠ACB的度数；(2)海港C受台风影响吗？为什么？(3)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【变式8-1】一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是5cm，则这支铅笔的长度是（）cm．A．10B．15C．20D．25【变式8-2】如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB的长度是（）A．185cm B．195cm C．205cm D．215cm【变式8-3】如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞米．【变式8-4】如图，大风把一棵树刮断，量得AC=4m，BC=3m，则树刮断前的高度为m．【变式8-5】我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是尺【变式8-6】如图，开州大道上A，B两点相距14km，C，D为两商场，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA=8km，CB=6km．现在要在公路AB上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等，(1)求E站应建在离A点多少km处？(2)若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？【变式8-7】某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当AC⊥BC时，A点到B，C两点的距离分别为500km和300km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．(1)求BC；(2)海港C受台风影响吗？为什么？【典例9】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD 折叠，使点C落在边AB的C′点．(1)求DC′的长度；(2)求△ABD的面积．【变式9-1】如图，长方形ABCD中，AB=9，BC=6，将长方形折叠，使A点与BC的中点F重合，折痕为EH ，则线段BE 的长为（ ）A ．53B ．4C ．52D ．5【变式9-2】如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB =8cm ，BC =10cm ，则EC 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．3.5cmD ．5cm【变式9-3】如图，将长方形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上点F 处，若AB =3，AD =5，求EC 的长．【考点题型十】面展开图-最短路径问题【典例10-1】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 ．【典例10-2】如图，圆柱形杯子容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯子内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm．【变式10-1】临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC 的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（）A．20米B．25米C．30米D．15米【变式10-24cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（）A．9B．+6C．D．12【变式10-3】如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=9cm，BC=6cm，BF=5cm，点M在棱AB上，且AM=3cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为cm．【变式10-4】如图，圆柱的底面周长是10cm，圆柱高为12cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为．【变式10-5】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是．【变式10-6】如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了m，却踩伤了花草．【变式10-7】如图，在一个边长为6cm的正方形纸片ABCD上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是cm．。
勾股定理专题知识点+常考题型+重难点题型
勾股定理专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (3)1.勾股定理： (3)2.勾股定理的逆定理： (3)3.勾股定理的证明 (3)4.含特殊角的直角三角形三边的关系 (3)5.逆命题与逆定理 (4)三、常考题型 (5)1.勾股定理在几何计算中的应用-求线段的长 (5)2. 勾股定理在几何计算中的应用-坐标平面内两点的距离 (6)3. 勾股定理在几何计算中的应用-面积问题 (8)4.构造直角三角形 (9)5.勾股定理的逆定理的应用 (11)四、重难点题型 (14)1.利用勾股定理解计算问题 (14)2勾股数组 (15)3.与线段平方关系有关的证明题 (16)4.矩形和直角三角形中的折叠问题 (18)二、基础知识点1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2注：1）仅在直角三角形中存在勾股定理2）由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边两直角边的平方和，避免出现这样的错误2.勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2，那么这个三角形是以c为斜边的直角三角形。
注：在同一个三角形中，大边对大角，小角对小边3.勾股定理的证明方法一：方法二：4.含特殊角的直角三角形三边的关系勾股数：1）a=3，b=4，c=52）a=5，b=12，c=13特殊直角三角形①a=x，c=2x，b=√3x②a=x，b=x，c=√2x③AC=x，DC=x，AD=√2x，BD=√2x④AC=x，AF=2x，DC=√3x，BD=2x5.逆命题与逆定理命题与定理命题：判断一件事的语句定理：经过我们一定推理，得到的真命题互逆命题：两个命题的题设、结论正好相反的命题。
若将其中一个叫做原命题，则另一个就是它的逆命题逆定理：若一个定理的逆命题成立，则这个定理与原定理互为逆定理三、常考题型1.勾股定理在几何计算中的应用-求线段的长解析：应用勾股定理，在直角三角形中，“知二求一”。
小学奥数 勾股定理 知识点+例题+练习 (分类全面)
勾股定理：直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a2+b2=c2o勾膻定理勾股数★满足关系a2+b2=c2的3个正整数a,b,c称为勾股数。
★常见的勾股数有：①3,4,5；②6,8,10；③8,15,17:④7,24,25；⑤5,12,13；⑥9,12,15…注意：①3,4,5既是勾股数，又是三个连续整数，它们非常特殊，不要认为三个连续整数都是勾股数；②每组勾股数的相同倍数也是勾股数；（如：3,4,5；6,8,10；9,12,15）③勾股数必须都是正整数，（如：0.3,0.4,0.5都是小数，因而不是勾股数）3米例2、一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树的底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是多少米？巩固、如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？巩固、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000m 处,过了20秒，飞机距离这个女孩头顶5000m,则飞机速度是多少？例3、暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝.他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为km.丄埋宝藏点632登陆点8巩固、轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9km，由于遇到冰山，只好又向南航行4km，再向西航行6km，再折向北航行2km，最后又向西航行9km，到达目的地B,求AB 两地间的距离.例4、一个圆桶，底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为多少厘米?如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分米？B例5、下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A,B，C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是？巩固、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积的和是cm2.巩固、如图所示，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为?例6、如图，已知直角三角形两直角边BC，AC的长分别为3cm和4cm,那么CD有多长?巩固、三角形的三边长分别为6,&10，它的最短边上的高为，最长边上的高为巩固、若直角三角形的三边长分别为X,6,8,则X2=例7、等腰三角形ABC的腰长为10,底边上的高为6,则底边的长为多少？巩固、如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。
勾股定理知识点和典型例题
cbaHG F EDCBAbacbac cabcab a bcc baE D CBA 勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法： 1、方法一：ABCD EFG H D AF S S S 正方形正方形=+∆42、方法二：大正方形小正方形S S S =+∆43、BCE ABE AD E S S S S ∆∆∆++=梯形针对练习一：勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个整数称为勾股数，即：222c b a =+中，c b a 、、为正整数时， 称c b a 、、为一组勾股数。
1、记住常见的勾股数可以提高解题速度：⎪⎩⎪⎨⎧25247131251086543、、、、、、、、2、用含有字母n 的代数式表示勾股数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++2222222221222212121n m m n n m n n n n n n n n 、、—、、、、—针对练习一： 判断题1、由于0.3、0.4、0.5不是勾股数，故以0.3、0.4、0.5为边长的三角形不是直角三角形。
（ ）2、由于以0.5、1.2、1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5、1.2、1.3是勾股数。
（ ）考点一：直接考察勾股定理1、在ABC ∆中，︒=∠90C（1）已知6=AC ，8=BC ，求AB 的长 （2）已知17=AB ，15=AC ，求BC 的长2、梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少？3、水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.考点二：木箱木棒问题1、有一根长70厘米的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm,40cm，30cm的木箱中，能放进去吗？2、如图所示，在一个高48厘米、底面半径7厘米的圆柱中，放入一根木棒，木棒最长可以是多少厘米？3、在一个长、宽、高都是30厘米的正方体中，放入一根长45厘米的木棒，能否放的进去？4、在一个高12厘米、直径5厘米的圆柱体中放入一根15厘米的木棒，木棒露在外面的部分最短是多少厘米？木棒露在外面的长度x取值范围是多少？考点三：蚂蚁找食题1、如图，在一块长方形纸盒，蚂蚁要从A 点爬到B 点吃食，最短路线是多少？2、如图，一块砖宽CD cm ND cm AN ，，长105==上的点B 距地面的高cm BD 8=，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，要爬行的最短路线是多少？3、底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只蚂蚁要从A 点爬到B 点，则蚂蚁爬行的最短距离是多少？4、底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只蚂蚁要从O 点爬到B 点，则蚂蚁爬行的最短距离是多少？ C B DM E NAAB 7厘米6厘米6厘米B AO B A。
勾股定理知识点总结
练习：
1.若正整数a,b,c是一组勾股数，则下列各组数中，一 定是勾股数的是（ C ）
A.a+1,b+1,c+1
B.a2,b2,c2
C.2a,2b,2c
D.a-1,b-1,c-1
2.下列几组数：①1，2，3；②30，40，50；③ 3，4，1. 55
其中是勾股数的有_____②____（只填序号）
三角形是___直__角____三角形（按角分类填写）
3. 原命题与逆命题
互逆命题: 两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个
命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题 的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做 它的逆命题.
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角 三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确 定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最长边，不妨设最长边长为c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2， 则△ABC是以∠C为直角的直角三角形
练习：
1.已知△ABC的三边长a，b，c满足：(a+c)(a-c)=b2, 则（ A ） A.a边所对的角是直角 B.b边所对的角是直角 C.c边所对的角是直角 D.△ABC不是直角三角形
1.直角三角形中，已知两条边,不知道是直角边还是斜 边时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句、画图， 避免遗漏另一种情况。
6.方程思想
例１.小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳 子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后， 发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？
(完整版)勾股定理典型例题详解及练习(附答案)
典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB CD EF 、GH 四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）1） 题意分析：本题考查勾照定理及勾股定理的逆定理./2） 解题思踏；可利用勾照定理直接求出各也长，再进行判断.卜 解答过程：#ai^AEAF 中，AF=h AE=2,根据勾股定理，得。
跻=J 招己'十』十F = 姊同理 = 2思* QH. = 1 CD = 2^5计算发现（右尸十0招”=（雁沪t 即/费+寥=奇,根据 勾股定理的迎定理得到以AE 、EF 、GH 为也的三角形是直角三角形.故选 B. *解题后B0思考、1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形. 因此，解跑时一定要认真分析题目所蛤条件，看是否可用勾股定理来解n ，L 在运用勾股定理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为 七”就是斜诳而.固执"地运用公式"二/十舛 其实，同样是四"6 NC 不一定就等于叩幻I 不一定就是斜遮，A ABC 不一定就是直角三痢 形.卜A. CD 、EF 、GH C. AB 、CD GHB. AB 、EF 、GHD. AB 、CD EF3.直角三角形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从"形胡（一个三角形是直角三角形）到板'3’ =疽十瑟）的辿程，而直角三角形的判定是一个从W〔一个三角形的三满是L = ^+广的条件）到胃形'这个三弟形是直急三甬形）的过程.甘1在应用勾股定理解题时，要全面地毒虑问题.注意m题中存在的多种可能性，避免漏解。
/例2-如图'有一块直角三角形舐板幽G两直角边ACMkm, BWg 现博直甬边AC沿直线AD折叠,庾它落在斜辿AB上,且点C落到点E处, 则CD等于（EC 。
A. 2cmB. 3cm C 4an D 5cm*" iiEMraZJ VI :『n暴意分析，本题考查勾股定理的应用，：）解题思路；本题若直接在△XOQ中运用勾股定理是无法求得® ffi 长的，因为只知道一条迫应。
勾股定理典型例题含答案
勾股定理复习一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么a2 + b2= c2。
公式的变形：a2 = c2- b2，b2= c2-a2 。
勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理，也叫百牛定理。
它是直角三角形的一条重要性质，揭示的是三边之间的数量关系。
它的主要作用是已知直角三角形的两边求第三边。
勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、知识结构：三、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积求：（1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； （3） 阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边例如图2，已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高，AD ＝8，则边BC 的长为（ ）A ．21B ．15C ．6D ．以上答案都不对【强化训练】：1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为．直角三角形 勾股定理应用判定直角三角形的一种方法2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．（结论：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch）考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD的长；②ΔABC的面积．考点四:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题例、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．分析：如何利用所学知识，把折线问题转化成直线问题，是问题解决的关键。
勾股定理知识点及典型例题
勾股定理知识点及典型例题一、勾股定理：勾股定理定义为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²，其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。
勾股定理的逆定理为：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
勾股数是满足a²+b²=c²的三个正整数a，b，c。
注意，若a，b，c为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数。
常见的勾股数有3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,13.判断直角三角形的方法有两种：一是如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
二是如果有一个角为90°或两个角互余，那么这个三角形是直角三角形。
具体判断方法是确定最大边（不妨设为c），若c=a+b，则为直角三角形；若a+bc，则为锐角三角形。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
勾股定理的作用有四个：一是已知直角三角形的两边求第三边；二是已知直角三角形的一边，求另两边的关系；三是用于证明线段平方关系的问题；四是利用勾股定理，作出长为a，b，c的直角三角形。
二、勾股定理的证明：勾股定理的证明方法有很多种，其中常见的是拼图的方法。
具体证明过程如下：在直角三角形ABC中，以BC为底边，作等腰直角三角形ABD，连接AD，则AD=AB，BD=BC。
因此，AB²=AD²+BD²=AD²+BC²，即a²=b²+c²。
1.一个无盖的正方体盒子内有两只昆虫，昆虫甲在顶点C1处，昆虫乙在棱BB1的中点E处。
昆虫乙要在最短时间内捕捉到昆虫甲，可以沿着路径A→E→C1爬行。
勾股定理专题(附问题详解,全面、精选)
勾股定理一、探索勾股定理【知识点1】勾股定理定理内容：在RT△中，勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角典型题型1、对勾股定理的理解〔1〕直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，如此如下关于a,b,c的关系不成立的是〔〕A、c²- a²=b²B、c²- b²=a²C、a²- c²=b²D、 a²+b²= c²〔2〕在直角三角形中，∠A=90°，如此如下各式中不成立的是〔〕A、BC²- AB²=AC²B、BC²- AC²=AB ²C、AB²+AC²= BC²D、AC²+BC²= AB ²2、应用勾股定理求边长〔3〕在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.〔4〕在直角△中，假如两直角边长为a、b，且满足，如此该直角三角形的斜边长为．3、利用勾股定理求面积〔5〕以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。
〔6〕如图〔1〕，图中的数字代表正方形的面积，如此正方形A的面积为。
〔7〕如图〔2〕，三角形中未知边x与y的长度分别是x= ,y=。
〔8〕在Rt△ABC中，∠C＝90°，假如AC＝6，BC＝8，如此AB的长为〔〕A、6B、8C、10D、12〔9〕在直线l上依次摆放着七个正方形〔如图4所示〕。
斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S12、、S S S S S S341234、，则+++=_____________。
【知识点2】勾股定理的验证推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进展推导。
(完整版)勾股定理及其逆定理复习典型例题
勾股定理及其逆定理复习典型例题1.勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2=c 2） 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
2.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
3.如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如：C ，但不要认为最大边一定是C ）（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2=a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形。
（若c 2>a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为钝角的三角形，若c 2<a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为锐角三角形）二、例题分析例1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
解：设此直角三角形两直角边分别是3x ，4x ，根据题意得： （3x ）2+（4x ）2=202 化简得x 2=16； ∴直角三角形的面积=21×3x ×4x =6x 2=96注：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。
例2、等边三角形的边长为2，求它的面积。
解：如图，等边△ABC ，作AD ⊥BC 于D 则：BD=21BC （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）∵AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等） ∴BD=1在直角三角形ABD 中AB 2=AD 2+BD 2，即：AD 2=AB 2－BD 2=4－1=3 ∴AD=3 S △ABC =21BC·AD=3 ABCD注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a ，则其面积为43a 例3、直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积。
勾股定理中考章节复习知识点+经典题型分析总结)
AB Ca b c弦股勾勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题） 命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹ 证明的一般步骤 ① 根据题意，画出图形。
② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
勾股定理知识点及例题讲解
第九讲勾股定理知识概要1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么222a b c+=．(注：应用勾股定理的关键在于构造直角三角形)2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足222+=，那么这个三角形是直角三角形，其a b c中c为斜边。
3、勾股定理的作用|（1）已知直角三角形的两边求第三边.（2）已知在特殊直角三角形中，直角三角形的一边，求另两边的关系.（3）用于证明平方关系的问题.4、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c）.（2）验证2c与2a+2b是否具有相等关系.若2c=2a+2b，则△ABC是以∠C=90°的直角三角形；:若2c≠2a+2b，则△ABC不是直角三角形.【注意】当2c≠2a+2b时有两种情况.（1）当2a+2b<2c时，此三角形为钝角三角形；（2）当2a+2b>2c时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.5、常用勾股数组：(3, 4 ,5); (5, 12 ,13); (6, 8, 10); (7, 24, 25); (8, 15, 17) ; (9, 40 ,41)；（20,21,29）……6、一组勾股数中各数的相同的正整数倍得到的一组新数还是勾股数。
7、一组勾股数中各数的相同的正数倍得到的一组新数为边，仍构成直角三角形。
8、（9、直角三角形的性质：（1）直角三角形中斜边最大；（2）直角三角形中有勾股定理；（3）直角三角形中，30度角所对应直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；（5）等积原理（ab=ch ）10、双垂图中的射影定理例题精讲~【例1】如图，证明勾股定理．【例2】填空题:》在△ABC 中,∠C 为直角.(1)若BC =2, AC=3则AB = ； 若BC =5, AB=13.则AC = ；若AB=61, AC=11.则BC = .(2)若BC ∶AB =3∶5且AB =20则AC= .(3)若∠A=60°且AC=2cm 则AB= cm ，BC= cm.【巩固练习】1、2、Rt △ABC 中，C ∠是直角，3、（1）已知6BC =，8AC =，求AB 之长；4、（2）已知25AB =，14BC =，求AC 之长；（3）板块一 勾股定理aaa ab b] b@（3）已知13AC =，19AB =，求BC 之长．2、已知等边三角形的边长为a ，求等边三角形一边上的高和这等边三角形的面积．￥【例 3】已知60A ∠=︒，90B D ∠=∠=︒，2AB =，1CD =，求BC 和AD 的长．>【巩固练习】已知：如图所示，在四边形ABCD 中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形ABCD 的周长为32，求BC 和CD 的长.《【例 4】如图，已知AB ＝13，BC ＝14，AC ＝15,BC AD ⊥于D ，求AD 的长.'ABCD【 BA DCB AD【例 5】如图，已知：︒=∠90C ，CM AM =，AB MP ⊥于P ．求证：222BC AP BP += ．"【例 6】如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ．$【巩固练习】 1、如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．`P M B C A ; A B S 12、图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是A．13 B．26 C．47 D．94^3、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则1S+2S+3S+4S=____$"1S2S3S4231【例7】在△ABC 中，如果a ∶b ∶c =1∶3∶2, 那么∠A= °,∠B= °∠C= °如果a ∶b ∶c =1∶1∶2, 那么∠A= °,∠B= °∠C= °`【例 8】判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形：（1）15a =，8b =，17c =；（2）13a =，14b =，15c =；（3）7a =，24b =，25c =．【例 9】已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ， 《试判断△ABC 的形状《【例 10】如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．，板块二 勾股定理逆定理A【例 11】已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点即3CE ＝EB求证：AF ⊥FE ．(》【例 12】如图，已知四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积.|【巩固练习】1.若一个三角形的周长为123cm,一边长为33cm,其他两边之差为3cm,则这个三角形是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2.如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°>3.有一块土地形状如图所示,∠B=∠D=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积.~ 4.如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=90°，试求∠A 的度数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知识点及例题知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中，所以。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以。
方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以。
知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理，作出长为的线段。
2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。
经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。
如：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。
举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少？【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.∴.总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，根据勾股定理有，∴.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析：延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。
∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。
解析：（1）过B点作BE米，CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．因此高度上有米的余量，所以卡车能通过厂门．（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论．解析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3图（3）中，在Rt△ABC中同理∴图（3）中的路线长为图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH由∠FBH＝及勾股定理得：EA＝ED＝FB＝FC＝∴EF＝1－2FH＝1－∴此图中总线路的长为4EA+EF＝3＞>∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线．总结升华：在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出最优设计．本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质．举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．解：如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，根据勾股定理得（提问：勾股定理）∴ AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．答：最短路程约为１０．７７cm．类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、、的线段。
思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。
作法：如图所示（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。
斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是、、、。
总结升华：（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长时可自定。
一般习惯用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。
举一反三【变式】在数轴上表示的点。
解析：可以把看作是直角三角形的斜边，，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。
类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1．原命题：猫有四只脚．（正确）2．原命题：对顶角相等（正确）3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。
解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．•（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确）总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。
7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
思路点拨：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。
解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。
∴ a=3，b=4，c=5。
∵ 32+42=52,∴ a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。
总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。
举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
【答案】：连结AC∵∠B=90°，AB=3，BC=4∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）∴AC=5∵AC2+CD2=169，AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:a2+b2=c2即可证明：所以△ABC是直角三角形.【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。
请问FE与DE是否垂直请说明。
【答案】答：DE⊥EF。
证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a,∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。
连接DF（如图）DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。
∴ DF2=EF2+DE2,∴ FE⊥DE。