2.1.1.2 指数幂及运算

1．分数指数幂的意义
n m a a>0，m， 正分数指 规定：a＝______( n∈N*，且n>1). 数幂
m 1 1 规定：a－ n ＝ m＝ 分数指 负分数指 a n n am ________ 数幂 数幂 (a>0，m，n∈N*，且 n>1).
性质
0的正分数指数幂等于__,0 0 无意义 的负分数指数幂________.
负指化正―→根式化分数指数―→用指数幂的 运算性质
[解题过程] 3 ＋9 2
3 1 － 2 272 (1)原式＝1＋2 · － 0.01－ 8 2 3
3 －2 32 ＝1＋2 · －10＋27＝1＋1－10＋27＝19. 2 33 251 2 1 3 (2)原式＝[(0.3) ] ＋53－ － 9 3 3 2 5 1 1 9 5 5 9 2 2 ＝0.3 ＋ －3 ＝ ＋ － ＝ . 100 3 3 100 2 33 1 5 3
根式与分数指数幂互化 用分数指数幂的形式表示下列各式． (其 中 a>0) 3 4 (1) a· a； 3 3 2 (2)a · a ； (3) a3· a； 3 2 3 (4)( a) · ab .
将根式化为分数指数幂形式―→根据分数指数 幂的运算性质化简―→结论
1 1 1 1 7 4 [解题过程] (1) a· a＝a · a ＝a ＋ ＝a . 3 4 3 4 12 2 11 3 3 2 3 2 (2)a · a ＝a · a ＝a3＋ ＝a . 3 3 3 7 3 3 1 1 (3) a · a＝(a · a ) ＝a . 22 4 1 2 1 3 3 2 2 3 3 1 (4)( a) · ab ＝a3 · (ab ) ＝a · a b 2 3 2 2 2 1 3 7 3 ＝a ＋ b ＝a b . 3 2 2 6 2 3
2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝____ a r＋ s ； (2)(ar)s＝___ ars ； a rb r . (3)(ab)r＝____ 3．无理数指数幂 确定 无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个_____ 的实数 ．有理数指数幂的运算性质对于无理数 _______ 指数幂同样适用．
[题后感悟] 进行分数指数幂的运算要熟练掌 握分数指数幂的运算性质，并灵活运用．一般 地进行指数幂运算时，化负指数为正指数、化 根式为分数指数幂、化小数为分数运算，同时 还要注意运算顺序问题．
0 － 4 1 1 2.(1)计算：2－ ＋ ＋ － 2 2 2－1
2 1－5 · 8 . 3 3 3 1 1 13 －3 －5 (2)化简： a · a · a － a－ . 2 2 2
[ 题后感悟 ] n
m (1) 此类问题应熟练应用 a n ＝
am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．当所求根式 含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向 外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化 简． (2)分数指数幂是根式的另一种写法，分数指 数幂与根式可以相互转化．
a3 (1) (a>0)； 3 23 4 a·a
0
1 1 2 解析： (1)原式＝ ＋ ＋ 2＋1－2 2 2 ＝2 2－3. 3 3 1 －5 1 1 13 1 (2)原式＝(a · a－ ) · [(a )－ · (a－ ) ] 2 23 2 2 2 5 13 1 －4 1 －2 0 1 ＝ (a ) · (a · a－ ) ＝(a ) ＝a . 3 2 2 2 2
有条件求值问题 1 1 －1 已知 a ＋ a－ ＝ 2，求(1)a＋ a ；(2)a2 2 2 ＋a 2.
－
1 12 [解题过程] 方法一： (1)a＋a ＝(a ＋a－ ) 2 2 2 －2＝2 －2＝2. －1 ∴a＋a ＝2. －2 －1 2 2 (2)a ＋a ＝(a＋a ) －2＝22－2＝2. －2 2 ∴a ＋a ＝2. 1 1 方法二：(1)由 a ＋a－ ＝2， 2 2 1 即 a＋ ＝2，两边同乘以 a，得 a－2 a＋1 a ＝ 0， 即( a－1)2＝0， a＝1，∴a＝1. － － ∴a＋a 1＝1＋1 1＝1＋1＝2. (2)由(1)a＝1，∴a2＋a－2＝12＋1－2＝2.
－1
[题后感悟] (1)解决条件求值问题一般有三个 思路： ①由条件直接去推结论； ②由结论去探求条件； ③分别从条件和结论出发向中间靠拢． (2)处理根式与分数指数幂的综合问题时，一定 要熟记公式和法则，同时要根据具体题目灵活 运用各种方法和技巧去处理问题.
3.题目条件不变，求a2－a－2. 解析： ∵a＋a－1＝2，a2＋a－2＝2. ∵(a－a－1)2＝a2＋a－2－2＝0. ∴a－a－1＝0， ∴a2－a－2＝(a＋a－1)(a－a－1)＝0. 4．已知102x＝25，求101－x的值．
第2课时 指数幂及运算
1.理解分数指数幂的含义， 1.根式与分数指数幂 掌握根式与分数指数幂 的互化．(重点) 的互化. 2.运用有理指数幂运 2.掌握有理指数幂的运算 算性质进行化简、求 性质. 值．(难点)
1．零次幂，规定 a0＝1(a≠0)； 1 －m 负整数指数 a ＝am(a>0)． 2．正整数指数幂：an(n∈N*)叫做a的n次幂，a叫 做幂的底数，n叫做幂的指数，并规定a1＝a. 整数指数幂的运算法则： m＋n (m∈Z，n∈Z) (1)am·an＝a ______ m·n (m∈Z，n∈Z) (2)(am)n＝a _____ n ·b n (3)(a·b)n＝a _____ (n∈Z)
∵102x＝25，∴(10x)2＝52， 10 10 x 1－x ∴10 ＝5，∴10 ＝ x＝ ＝2. 10 5 解析：
11 ◎化简(1－a)[(a－1) (－a) ] . 22
－2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
11 【错解】 (1－a)[(a－1) (－a) ] 22 1 1 －1 ＝(1－a)(a－1) · (－a) ＝－(－a) . 4 4
－2
1 【错因】 错解的原因在于忽略了题中有(－a) ， 2 即相当于告知－a≥0 故 a≤0， －2 1 这样，[(a－1) ] ≠(a－1)－1. 2 1 【正解】 由(－a) 知－a≥0，故 a－1<0， 2 11 －2 ∴(1－a)[(a－1) · (－a) ] 22 1 1 －1 ＝(1－a)(1－a) (－a) ＝(－a) . 4 4
1.用分数指数幂表示下列各式．
a2 b3 4 a (2) b · a · b3； 3 6 6 94 3 94 (3)( a)· ( a).
2 4 2 4 解析： (1)原式＝a · a－ · a－ ＝a3－ － ＝a. 3 3 3 3 3 1 2 b a 2 4 1 a (2)原式＝ b × 1× 3 2 a b 2 4 7 1 1 3 3 1 7 1 1 1 ＝a2－2＋4b2－1－4 ＝a4b－4 ＝a b－ . 8 8 2 2 94 34 3 4 2 (3)原式＝(a ) · (a ) ＝ a × · a3× 63 6 2 3 3 ＝a2· a2＝a4.
3
分数指数幂的综合运算 计算： 3 3 3 1 －2 2 0 (1)(－1.8) ＋2 · 38 － ＋ 0.01 7 27 2 1 0.5 2 (2)(0.027) ＋ － － 3 3 125 9 93；