5.1多边形 边角
北师大版九年级数学下册《圆——圆内接正多边形》教学PPT课件(2篇)
⊙O的六等分点，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边
形ABCDEF.
E
D
O
F
A
C
B
典例精析
例、 用尺规作圆的内接正方形.
已知：如图，⊙O.
求作：正方形ABCD 内接于⊙O.
O
练一练
作法：
你能简单说明下如
何用尺规做出两条
为切点的⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
A
T
E
B
O
Q
S
C
D
R
新知探究
⌒ ⌒
又∵AB=BC，
∴AB=BC，
P
A
T
∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形.
∴∠P=∠Q,PQ=2PA.
同理∠Q=∠R=∠S=∠T，
QR=RS=ST=TP=2PA，
最小要___ _cm.
课堂练习
5.如图，已知正三角形ABC的边长为6，求它的中心角、半径和边心距.
解:设这个正三角形的中心为点O，
A
连接OB，OC，作OH⊥BC于点H，
则∠BOC=360°÷3=120°，
O
∴∠BOH=60°.
在Rt△BOH中，
BH=BC=3，∠OBH=30°，
OH= ， =
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫
做该正多边形的外接圆.
新知讲解
怎样由圆得到多边形呢？
定义：把一个圆 n 等分（n ≥ 3），依次连结各分
点，所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
《多边形的内角和与外角和》说课稿
《多边形的内角和与外角和》说课稿《多边形的内角和与外角和》说课稿（精选3篇）《多边形的内角和与外角和》说课稿1一，说教材分析从教材的编排上，本节课作为第八章的第三节是承上启下的一节，在内容上，从三角形的内角和到四边形的内角和到多边形的内角和环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，知识联系性比较强，特别是教材中设计了一些"想一想""试一试""做一做"等内容，体现了课改的精神。
在编写意图上，编者有意从简单的几何图形入手，让学生经历探索，猜想，归纳等过程，发展了学生的合情推理能力。
二，说学生情况学生上节课刚刚学完三角形的内角和，对内角和的问题有了一定的认识，加上七年级的学生具有好奇心，求知欲强，互相评价互相提问的积极性高。
因此对于学习本节内容的知识条件已经成熟，学生参加探索活动的热情已经具备，因此把这节课设计成一节探索活动课是切实可行的。
三，说教学目标及重点，难点的确定新的课程标准注重学生所学内容与现实生活的联系，注重学生经历观察，操作，推理，想象等探索过程。
根据新课标和本节课的内容特点我确定以下教学目标及重点，难点【知识与技能】掌握多边形内角和与外角和定理，进一步了解转化的数学思想【过程与方法】经历质疑，猜想，归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法。
【情感态度与价值观】让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造。
【教学重点】多边形内角和及外角和定理【教学难点】转化的数学思维方法四，说教法和学法本次课改很大程度上借鉴了美国教育家杜威的"在做中学"的理论，突出学生独立数学思考活动，希望通过活动使学生主动探索，实践，交流，达到掌握知识的目的，尤其是本节课更是一节难得的探索活动课，按新的课程理论和叶圣陶先生所倡导的"解放学生的手，解放学生的大脑，解放学生的时间"及初一学生的特点，我确定如下教法和学法。
【精品】第九章 三角形、多边形
第9章三角形与多边形一、教学目标本章的主要内容是三角形和多边形的有关概念及其边角的性质。
教材先从瓷砖的铺设提出问题,接着研究三角形和多边形的有关边角的性质,最后探究正多边形在拼地板中的运用及其隐含的数学道理。
本章的教学目标是:1．了解三角形的内角、外角及其主要线段（中线、高、角平分线）等概念。
2．会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和高。
3．了解三角形的稳定性。
4．了解几种特殊的三角形与多边形的特征，并能加以简单地识别。
5．探索并掌握三角形的外角性质与外角和。
6．理解并掌握三角形的三边关系。
7．探索、归纳多边形的内角和外角和公式，并能运用于解决计算问题。
8．体验探索、归纳过程，学会合情推理的数学思想方法。
9．在直观感知、操作确认的基础上，体验证明的必要性，初步学会说理.10．欣赏丰富多彩的图案,体验数学美，提高审美情趣.二、教材特点1．本章由“瓷砖的铺设"导入,接着研究三角形和多边形的性质,最后运用三角形和多边形的有关性质探索拼地板的问题，体现了数学来源于实践,又应用于实践的特点。
2．在呈现方式上，改变“结论——例题——练习”的陈述模式，而是采用“问题——探究——发现”的研究模式，并采用多种探究方法：对“三角形的外角性质及外角和”同时采用拼图和数学说理的方法；对“三角形的三边关系"采用画图的方法；对“多边形的内角与外角和”采用计算与归纳说理的方法.3．在直观感知、操作确认的基础上，适当地进行数学说理，将两者有机地结合起来,让学生体验证明的必要性，学会初步说理。
4．渗透计算器的应用，有意识地让学生运用计算器探索多边形的内角和外角和。
5．通过教材的“问题型”呈现和探索性、开放性习题的练习,力图改变学生的学习方式，让学生自主探索、合作学习。
6．第1课时认识三角形（1）教学目的1。
理解三角形、三角形的边、顶点、内角、外角等概念.2。
会将三角形按角分类.3。
理解等腰三角形、等边三角形的概念。
多边形边角关系(思维训练含答案)
知识要点梳理定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
凸多边形分类1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
分类2：多边形非正多边形：1、n边形的内角和等于180°（n-2）。
多边形的定理2、任意凸形多边形的外角和等于360°。
3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）只用一种正多边形：3、4、6。
镶嵌拼成360度的角只用一种非正多边形（全等）：3、4。
知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可;③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。
八年级数学 第 三角形 专题训练(二)有关三角形、多边形的角度计算与数学思想应用
7．(中考改编题)如图①，线段AB，CD相交(xiāngjiāo)于点O，连接AC，DB. (1)求证：∠A＋∠C＝∠D＋∠B； (2)如图②，已知∠A＝50°，∠D＝40°，若BE平分∠ABD交CD于点F，CE平分∠ACD 交AB于点G，求∠E的度数； (3)如图③，若直线BM平分∠ABD交CD于点F，CM平分∠DCH交直线BF于点M，直接 写出∠M与∠A，∠D之间相等的数量关系．
内容(nèiróng)总结
No 第十一章 三角形。类型一 与平行线相结合求角的度数或探究(tànjiū)角与角之间的关
系。A．70° B．80°。C．90° D．100°。5．将纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′ 处．
Image
12/9/2021
第二十页，共二十页。
9．一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2 570°，求： (1)这个多边形的边数； (2)除去的那个(nàge)内角的度数．
解：(1)设这个多边形的边数为 n，则其内角和为(n－2)·180°.依题意，得 2 570°<(n－2)·180°<2 570°＋180°，解这个不等式组，得 16158 <n<17158 ，因 为 n≥3，且 n 是整数，所以 n＝17，即这个多边形的边数为 17
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(3)设∠BAD＝x，∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝∠B＋x，∠DAE＝∠BAC －∠BAD＝180°－2∠C－x，∴∠ADE＝∠AED＝∠C＋12 x，∴∠CDE＝ ∠B＋x－(∠C＋12 x)＝12 x，∴∠BAD＝2∠CDE
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类型五 利用方程、不等式求解多边形中的边角问题
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类型四 利用方程思想探究角与角之间的关系 8．【探究与发现】如图①，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC边上，点E在AC边 上，且∠ADE＝∠AED，连接DE. (1)当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数(dùshu)； (2)当点D在BC(点B，C除外)边上运动时，试猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明 理由； (3)【深入探究】如图②，若∠B＝∠C，但∠C≠45°，其他条件不变，试探究∠BAD 与∠CDE的数量关系．
多边形边角关系(经典)
知识要点梳理边形的内角和等于180°（n-2）。
360°。
边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）3、4、6。
拼成360度的角：3、4。
巩固提高一、填空题1.如果一个多边形的内角和等于900°,那么这个多边形是_____边形.2.一个正多边形的每个外角都等于30°,则这个多边形边数是______.3.n边形的外角和与内角和的度数之比为2:7,则边数为_______.4.从一个多边形的一个顶点出发,一共做了10条对角线,则这个多边形的内角和为_ 度.5.在四边形ABCD中,如果∠A:∠B:∠C:∠D=1:2:3:4,则∠D=______.6.一个多边形的内角和是外角和的5倍,那么这个多边形的边数是( )7、正n边形的一个外角等于它的一个内角的13，则n=________.8、正n边形的一个内角等于150°，则从这个多边形的一个顶点出发可引_____条对角线.9、一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为2780°，则除去的这个内角的度数为________.10.从n边形(n>3)的一个顶点出发，可以画__ _____条对角线，.这些对角线把n边形分成______三角形，分得三角形内角的总和与多边形的内角和_______。
.11.如果一个多边形的内角和与它的外角和相等，那么这个多边形是____边形。
12.如果一个多边形的内角和等于它的外角和5倍，那么这个多边形是____边形。
13.若n 边形的每个内角都是150°，则n=____。
14.如果一个多边形的每个内角都相等，且内角的度数是与它相邻的外角度数的2倍，那么这个边形的每个内角是_____度，其内角和等于_____度。
15.一个多边形的外角和是它的内角和的41，这个多边形是______边形。
16.如果十边形的每个内角都相等，那么它的每个内角都等于______度，每个外角都等于______度。
magicstudio软件操作指南
magicstudio软件操作指南Geomagic studio软件操作指南⽬录AA004XNCEY软件介绍 (1)1.1 Geomagic公司及其主要产品 (1)1.2 Geomagic Studio软件的使⽤范围 (1)1.3 Geomagic Studio软件的主要功能 (1)1.4 Geomagic Studio软件的优势 (1)1.5 计算机要求 (2)2. 软件安装 (3)3. 软件功能介绍 (10)3.1 Geomagic studio软件及流程简介 (10)3.2 Geomagic Studio 中⿏标控制和主要快捷键 (11)3.3 Geomagic Studio 软件的基本模块 (11)4.点阶段 (15)4.1 点阶段主要操作命令列表 (15)4.2 实验 (15)5.多边形阶段 (25)5.1多边形阶段主要操作命令列表 (25)5.2实验 (26)(26)5.2.2 实验⼆：建筑物单⾯墙体建模 (39)6.精确曲⾯阶段 (46)6.1 精确曲⾯阶段主要命令列表 (46)6.2 实验 (47)1软件介绍1.1 Geomagic公司及其主要产品Geomagic是⼀家世界级的软件及服务公司，在众多⼯业领域如汽车、航空、医疗设备和消费产品得到⼴泛应⽤。
公司旗下主要产品为Geomagic Studio、Geomagic Qualify和Geomagic Piano。
其中Geomagic Studio是被⼴泛应⽤的逆向⼯程软件，可以帮助⽤户从点云数据中创建优化的多边形⽹格、表⾯或CAD模型。
Geomagic Qualify 则建⽴了CAD和CAM 之间所缺乏的重要联系纽带，允许在CAD 模型与实际构造部件之间进⾏快速、明了的图形⽐较，并可⾃动⽣成报告；⽽Geomagic?Piano是专门针对⽛科应⽤的逆向软件。
本项⽬所使⽤的主要是Geomagic Studio软件。
1.2 Geomagic Studio软件的使⽤范围：(1)零部件的设计；(2)⽂物及艺术品的修复；(3)⼈体⾻骼及义肢的制造；(4)特种设备的制造；(5)体积及⾯积的计算，特别是不规则物体。
初中数学必背几何知识点总结归纳
初中数学必背几何知识点总结归纳初中数学几何的知识点三角形知识点、概念总结1. 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3. 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4. 中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
5. 角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6. 高线、中线、角平分线的意义和做法7. 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
8. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°推论1 直角三角形的两个锐角互余推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;三角形的内角和是外角和的一半9. 三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角。
10. 三角形外角的性质(1)顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线;(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和;(3)三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角;(4)三角形的外角和是360°。
四边形(含多边形)知识点、概念总结一、平行四边形的定义、性质及判定1. 两组对边平行的四边形是平行四边形。
2. 性质：(1)平行四边形的对边相等且平行(2)平行四边形的对角相等，邻角互补(3)平行四边形的对角线互相平分3. 判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形4. 对称性：平行四边形是中心对称图形二、矩形的定义、性质及判定1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2. 性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3. 判定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(2)有三个角是直角的四边形是矩形(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形4. 对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形。
多边形的内角和与外角和
B 求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
F
E
HM
D
A
G
B
C
C 讨论：是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的
五分之一？为什么？
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探究 求五边形的外角和
探究 求五边形的外角和
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=？
∠1+∠6=？ ∠2+∠7=？ ∠3+∠8=？ ∠4+∠9=？ ∠5+∠10=？
°
=180
1A
6
B
7 2
5
10 E
∠6+∠7+∠8+∠9+∠10=？ 五边形外角和 = 五个平角-五边形内角和
8ห้องสมุดไป่ตู้
C3
= 5×180°-(5-2) × 180°
注意： 1.多边形的内角和随着边数的增加而增加； 2.多边形的外角和为一个定值，与边数无关； 3.特殊情况：
如果多边形（边数为n）的每个外角都相等
n × 每个外角的度数 =360°.
例题4 一个多边形的每个外角都是72 º，这个 多边形是几边形？
分析： n × 每个外角的度数 =360°.
解：设多边形的边数为n，根据题意，得 n·72º= 360º． 解得n=5．
A r=2
D r=2
r=2 B
r=2 C
A
A r=2 r=2 B
r=2 C
F r=2 E r=2
r=2 D
B
课堂小结
2.多边形外角和的定义 本节1.3多课.任对边你意多形有边多外哪形边角的些形的每收的一定获个外义或内角角思和，考等从？于与它
浙教版数学八年级下册解码专训一：巧用多边形的内(外)角和求边角问题.docx
解码专训一：巧用多边形的内(外)角和求边角问题名师点金：多边形的内角和与外角和定理属于多边形中的基础知识，常与方程、不等式综合运用来求角的度数或多边形的边数．多边形的有关概念1．下列说法正确的是()A．若干条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做多边形B．连结多边形两个顶点的线段叫做多边形的对角线C．从n边形的一个顶点可以引(n－2)条对角线D．n边形共有n（n－3）2条对角线利用多边形的内角和或外角和定理求边数2．已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是()A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形3．(中考·娄底)一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数为________．4．已知两个多边形的内角总和是900°，且边数之比是1∶2，求这两个多边形的边数．利用多边形的内角和或外角和定理求角的度数5．在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数比为2∶3∶4∶3，则∠D等于()A．60°B．75°C．90°D．120°6．(中考·北京)如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝________．(第6题)7．如图，CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°，试求∠F的度数．(第7题)用不等式思想解有关多边形的边数及角的问题8．一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2 570°，求：(1)这个多边形的边数；(2)除去的那个内角的度数．求不规则图形的内角和9．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．(第9题)多边形中的截角问题10．一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形，新多边形的内角和是其外角和的6倍，那么原多边形的边数是多少？解码专训二：平行四边形判定的五种常用方法名师点金：平行四边形的判定方法有多种，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，灵活选择恰当的方法，从而简化解题过程．利用两组对边分别平行判定1．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，交CB的延长线于点E，BF平分∠ABC，交AD的延长线于点F，那么四边形BFDE是否为平行四边形？说明你的理由．(第1题)利用两组对边分别相等判定2．如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，并且BE＝DF，证明：四边形AECF是平行四边形．(第2题)利用一组对边平行且相等判定3．(中考·桂林)如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．(1)求证：四边形EBFD为平行四边形；(2)对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM.(第3题)利用两组对角分别相等判定4．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？(第4题)利用对角线互相平分判定5．如图，AB、CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，点E、F分别是OC、OD的中点．求证：四边形AFBE是平行四边形．(第5题)解码专训三：平行四边形的性质与判定的五种常见题型名师点金：平行四边形的性质与判定定理的应用，是中考的重点内容之一，主要从四边形的边、角、对角线等方面进行比较，对四边形的边、角进行计算或推理论证，题型多样，命题以简单题为主，有向解决实际问题方面发展的趋势．利用性质与判定证明平行四边形1．(中考·龙岩)如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2.(1)求证：AE＝CF；(2)求证：四边形EBFD是平行四边形．(用两种不同的方法证明)(第1题)利用性质与判定判断线段的关系2．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB 于F，连结EF、AD，那么是否有下列结论？说明理由．(1)AD与EF互相平分；(2)BF＝AE.(第2题)利用性质与判定探究图形的形状3．如图，E，F分别是▱ABCD的AD，BC边上的点，且AE＝CF.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若M，N分别是BE，DF的中点，连结MF，EN，试判断四边形MFNE 是怎样的四边形，并证明你的结论．(第3题)利用性质与判定探究四边形中的动点问题4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC＝6厘米．点P、Q分别为从点A、C同时出发，点P以1厘米/秒的速度由点A向点D运动，点Q以2厘米/秒的速度由点C向点B运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．几秒后，四边形ABQP为平行四边形？(第4题)利用性质与判定求解翻折问题5．如图，四边形ABCD是长方形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上，设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点．(1)求证：四边形AECG是平行四边形；(2)若AB＝4 cm，BC＝3 cm，求线段EF的长．(第5题)解码专训四：平行四边形与图形变换名师点金：本章主要学习平行四边形的性质与判定，结合前面学过的平移、旋转与轴对称，可利用图形变换的性质，解决平行四边形中简单的推理与计算问题．平行四边形与平移1．将图①中的平行四边形ABCD沿对角线AC剪开，再将△ADC沿着AC 方向平移，得到图②中的△A1D1C1，连结AD1，BC1.除△ABC与△C1D1A1外，你还可以在图中找出哪几对全等的三角形(不能另外添加辅助线和字母)？请选择其中的一对加以证明．(第1题)平行四边形与旋转2．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，将△OAB绕点O 沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1.(1)求线段OA1的长和∠AOB1的度数；(2)连结AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形；(3)求四边形OAA1B1的面积．(第2题)3．已知：如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA，BC的延长线于点E，F，交AB，DC于点M，N.(1)观察图形并找出一对全等三角形：△________≌△________，请加以证明；(2)在(1)中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？(第3题)平行四边形与轴对称4．△ABO在平面直角坐标系中的位置如图①，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，AB＝1，OB＝2，以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连结AD并延长交OC于点E.(1)求点B的坐标；(2)求证：四边形ABCE是平行四边形；(3)如图②，将图①中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．(第4题)解码专训五：构造平行四边形巧解证明题名师点金：在解决与四边形有关的几何问题时，若能够根据题设条件和图形特征，运用平行四边形具有的对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质，添加适当的辅助线，巧妙地构造出平行四边形，就会化难为易，化繁为简．证两线段相等1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，BE∥DF，BD∥EF，DF交AC于G.求证：AG＝EG.(第1题)证两线段互相平分2．如图，在平行四边形ABCD中，E，G，F，H分别是四条边上的点，且AE＝CF，BG＝DH.求证：EF与GH互相平分．(第2题)证两线段平行3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，过点O任作一直线分别交AB，CD于点G，H.求证：GF∥EH.(第3题)证线段的和差关系4．如图，在四边形BCED中，DE∥BC，延长边BD，CE交于点A，在边BD上截取BF＝AD，过点F作FG∥BC交EC于点G.求证：DE＋FG＝BC.(第4题)解码专训六：巧用三角形的中位线名师点金：三角形的中位线是初中几何中的重要内容，通常可以利用它来证明线段的位置关系和数量关系．在实际运用中，有些问题虽没有直接给出中位线或看似与三角形中位线定理无关，但通过巧添辅助线就可运用其解决相关问题．利用三角形的中位线求线段长度或角的度数1．在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB＝6，AC＝4，则四边形AEDF的周长是()A．8 B．10(第2题)C．12 D．142．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，F、E、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝60°，则∠FEG＝________．利用三角形的中位线证线段的位置关系3．如图，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点，AE＝BF，AF与BE相交于点M，CE与DF相交于点N.求证：MN∥BC.(第3题)4．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC ＝BD ，M 、P 、N 分别是边AB 、BC 、CD 的中点，Q 是MN 的中点．(1)求证：PQ ⊥MN ； (2)判断△OEF 的形状．(第4题)利用三角形的中位线证线段的倍分关系5．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 的中点，求证：CD ＝2CE.(第5题)利用三角形的中位线证线段的和差关系6．如图，在△ABC 中，AC>AB ，M 为BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，若CF ⊥AD 交AD 的延长线于F ，求证：MF ＝12(AC －AB)．(第6题)利用三角形的中位线证线段的不等关系7．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ≠CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．求证：EF<12(AB ＋CD)．(第7题)解码专训七：思想方法荟萃方程思想名师点金：对于所要求的数学问题，通过列方程(组)来解决的一种解题策略就是方程思想．在一些几何图形中，利用设未知数、列方程(组)求解可使问题更简单易解．1．如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE ＝4，AF ＝5，四边形ABCD 的周长为36，求AB ，BC 的长．(第1题)转化思想名师点金：平行四边形可被其对角线分成几个三角形(或特殊三角形)，在解决有关的计算题与证明题时，常将四边形中的问题转化到三角形中，然后用三角形知识来解决．另外，证明线段或角相等时，若不能直接证得结论，可通过转化为平行四边形的对边、对角或证三角形全等的形式来证明．2．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线交AD 于点E，交BC于点F，若▱ABCD的面积为30 cm2，求图中阴影部分的面积．(第2题)3．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EF过点O与AB交于点E，与CD交于点F，GH过点O与AD交于点G，与CB交于点H.求证：GF＝EH.(第3题)构造法名师点金：构造法是根据题设条件或结论具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助该数学模型来解决原数学问题的解题方法．对于某些问题，常采用构造平行四边形的方法，从而利用平行四边形的性质使问题变得简单．4．如图，AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC.(第4题)答案解码专训一1．D 2.B3．6点拨：设多边形的边数为n，由题意得(n－2)·180°＝360°×2.所以n ＝6.4．解：设这两个多边形的边数分别是n，2n.根据多边形的内角和定理，得(n－2)·180°＋(2n－2)·180°＝900°，解得n＝3.所以2n＝6.所以，这两个多边形的边数分别是3，6.5．C 6.360°7．解：如图，连结AD，在四边形ABCD中，∠BAD＋∠ADC＋∠B＋∠C＝360°.∵AB⊥BC，∴∠B＝90°.又∵∠C＝120°，∴∠BAD＋∠ADC＝150°.∵CD∥AF，∴∠CDA＝∠DAF.∴∠BAF＝150°.∵∠CDE＝∠BAF，∴∠CDE＝150°.∴在六边形ABCDEF中，∠F＝720°－∠BAF－∠B－∠C－∠CDE－∠E＝720°－150°－90°－120°－150°－80°＝130°.(第7题)8．解：(1)设这个多边形的边数为n，则其内角和为(n－2)·180°.依题意，得2 570°＜(n－2)·180°＜2 570°＋180°.解得16518＜n＜17518.因为n≥3，且n是整数，所以n＝17，即这个多边形的边数为17.(2)除去的那个内角的度数为(17－2)×180°－2 570°＝130°.点拨：由于除去一个内角后，其余内角之和为2 570°，因此该多边形的内角和比2 570°大，比2 570°＋180°小．可列出关于边数的不等式，先确定边数的范围，再求边数．(第9题)9．解：如图，连结CD.∵∠1＋∠3＋∠4＝180°，∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°，∴∠1＝∠A＋∠ACF＋∠ADB.∵∠1＝∠2，∠2＋∠B＋∠E＋∠F＝360°，∴∠A＋∠B＋∠ACF＋∠ADB＋∠E＋∠F＝360°.因此，所求的度数为360°.10．解：设新多边形的边数是n，根据多边形的内角和定理，得(n－2)·180°＝6×360°.解得n＝14.一个多边形截去一个角后，所得新多边形的边数可能不变，也可能减少1，还可能增加1，所以原多边形的边数是13或14或15.解码专训二1．解：四边形BFDE为平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD∥AB，∠ADC＝∠ABC，∴FD∥BE，∠2＝∠3，∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，∴∠1＝12∠ADC，∠2＝12∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．2．证明：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF.又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF.同理可得△ADF≌△CBE，∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形．3．证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，EB∥DF.又∵EB＝12AB，DF＝12CD，∴EB＝DF，∴四边形EBFD为平行四边形．(2)∵四边形EBFD为平行四边形，∴∠ABN＝∠CDM.∵AB∥CD，∴∠BAN＝∠DCM.又∵AB＝CD，∴△ABN≌△CDM. 4．解：四边形BFDE是平行四边形．理由：在▱ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠A＝∠C. ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝12∠ABC，∠CDF＝∠ADF＝12∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝∠ADF.∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，∴∠DFB＝∠BED，∴四边形BFDE是平行四边形．5．证明：∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.∵∠AOC＝∠BOD，OA＝OB，∴△AOC≌△BOD，∴OC＝OD.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OE＝12OC，OF＝12OD，∴OE＝OF.又∵OA＝OB，∴四边形AFBE是平行四边形．解码专训三BC，∴∠3＝∠4.1．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=∵∠1＝∠3＋∠5，∠2＝∠4＋∠6，∠1＝∠2，∴∠5＝∠6，又∵AD＝CB，∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴AE＝CF.(2)方法一：由(1)知△ADE≌△CBF，∴DE＝BF.∵∠1＝∠2，∴DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．方法二：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠BAE ＝∠DCF.∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴BE＝DF.∵△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，∴四边形EBFD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．点拨：(2)题方法不唯一．2．解：两个结论都成立，理由如下：(1)∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形．∴AD与EF互相平分．(2)在▱AFDE中，AE＝DF，AC∥DF，∴∠C＝∠FDB.∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠B＝∠FDB，∴BF＝DF＝AE.3．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠C.∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．(2)解：四边形MFNE是平行四边形．证明如下：∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD，BE＝DF.又∵M，N分别是BE，DF的中点，∴ME＝FN.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB＝∠FBE.∴∠CFD＝∠FBE.∴EB∥DF，即ME∥FN.∴四边形MFNE是平行四边形．规律总结：(2)题是一道猜想型问题，先猜想结论，再证明结论．本题已知一个四边形是平行四边形，借助其性质判断另一个四边形的形状，再利用平行四边形的判定方法判定这个四边形是平行四边形．4．解：设x 秒后，四边形ABQP 是平行四边形． 则AP ＝x 厘米，CQ ＝2x 厘米，BQ ＝(6－2x)厘米．∵AD ∥BC ，∴当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 是平行四边形． ∴x ＝6－2x ，解得x ＝2.∴2秒后，四边形ABQP 是平行四边形．5．(1)证明：由题意可得∠GAH ＝12∠DAC ，∠ECF ＝12∠ACB. ∵四边形ABCD 是长方形，∴AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB.∴∠GAH ＝∠ECF ， ∴AG ∥CE ，又∵AE ∥CG ，∴四边形AECG 是平行四边形．(2)解：由勾股定理可得AC ＝5 cm ，由题意可得CF ＝BC ＝3 cm ，∴AF ＝2 cm ，设EF ＝BE ＝x cm ，则AE ＝(4－x)cm ，∴(4－x)2＝22＋x 2，解得x ＝32. ∴EF ＝32 cm .解码专训四1．解：△AA 1D 1≌△C 1CB ，△AD 1C 1≌△C 1BA. 选证△AA 1D 1≌△C 1CB ：由平行四边形和平移的性质，得AA 1＝C 1C ，A 1D 1＝CB ，∠ACB ＝∠C 1A 1D 1， ∴∠AA 1D 1＝∠C 1CB. 在△AA 1D 1和△C 1CB 中，⎩⎨⎧AA 1＝C 1C ，∠AA 1D 1＝∠C 1CB ，A 1D 1＝CB ，∴△AA 1D 1≌△C 1CB.2．(1)解：由旋转的性质得OA 1＝6，∠AOB 1＝90°＋45°＝135°.(2)证明：∵∠AOA 1＝∠OA 1B 1＝90°，∴OA ∥A 1B 1.又∵OA ＝AB ＝A 1B 1，∴四边形OAA 1B 1是平行四边形．(3)解：S 四边形OAA 1B 1＝OA·OA 1＝6×6＝36. 3．解：(1)BOM ；DON证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BO ＝DO ，AB ∥CD ，∴∠MBO ＝∠NDO ，∠BMO ＝∠DNO. ∴△BOM ≌△DON.(2)其中一个三角形可由另一个三角形绕点O 旋转180°后得到或以点O 为对称中心作中心对称得到．点拨：(1)题答案不唯一．4．(1)解：由勾股定理得OA ＝22－12＝3， ∴点B 的坐标为(3，1)．(2)证明：∵∠OAB ＝90°，∴AB ⊥x 轴． ∵y 轴⊥x 轴，∴AB ∥y 轴，即AB ∥CE. ∵∠AOB ＝30°，∴∠OBA ＝60°. ∵D 是OB 的中点，∴OD ＝DB ＝1. ∵AB ＝1，∴AB ＝DB.∴△ABD 是等边三角形，∴∠ADB ＝60°. ∵△OBC 是等边三角形，∴∠OBC ＝60°， ∴∠ADB ＝∠OBC ，∴AE ∥BC ， ∴四边形ABCE 是平行四边形．(3)解：设OG ＝x ，则由题意可得GA ＝GC ＝2－x.由勾股定理得，OG 2＋OA 2＝GA 2，即x 2＋(3)2＝(2－x)2，解得x ＝14，即OG ＝14.解码专训五(第1题)1．证明：∵BE ∥DF ，BD ∥EF ， ∴四边形BEFD 是平行四边形． ∴EF ＝BD.∵D 为AB 的中点， ∴AD ＝BD ，∴EF ＝AD.如图，连结DE ，AF ，∵EF ∥AD ， ∴四边形ADEF 是平行四边形． ∴AG ＝EG.2．证明：如图，连结HE ，EG ，GF ，FH.(第2题)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AD ＝CB. ∵BG ＝DH ， ∴AH ＝CG. 又∵AE ＝CF ， ∴△HAE ≌△GCF ， ∴HE ＝FG. 同理可证HF ＝EG.∴四边形EGFH 是平行四边形． ∴EF 与GH 互相平分．(第3题)3．证明：如图，连结GE ，FH. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AB ∥CD ，∴∠BAO ＝∠DCO. 又∵∠AOG ＝∠COH ， ∴△AOG ≌△COH ， ∴OG ＝OH.∵E ，F 分别为OB ，OD 的中点， ∴OE ＝12OB ＝12OD ＝OF ，∴四边形EHFG是平行四边形．∴GF∥EH.(第4题)4．证明：如图，过点F作FM∥AC交BC于点M，则四边形FMCG是平行四边形，∠BFM＝∠A.∵DE∥BC，∴∠EDA＝∠B.又BF＝AD，∴△BFM≌△DAE，∴BM＝DE.∵四边形FMCG是平行四边形，∴FG＝MC，∴DE＋FG＝BM＋MC＝BC.解码专训六1．B 2.20°3．证明：连结EF，在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∵AE＝BF，∴DE＝CF.∴四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形．∴点M、N分别是EB和EC的中点．∴MN是△EBC的中位线．∴MN∥BC.点拨：本题借助平行四边形的性质，先证明MN是△EBC的中位线，然后利用三角形中位线定理证明结论．4．(1)证明：如图，连结PM和PN，∵M、P分别是边AB、BC的中点，∴PM是△BAC的中位线．∴PM ∥AC ，PM ＝12AC.同理，PN ∥BD ，PN ＝12BD.∵AC ＝BD ，∴PM ＝PN.∵Q 是MN 的中点，∴PQ ⊥MN.(2)解：△OEF 是等腰三角形．∵PM ∥AC ，PN ∥BD ，∴∠OFE ＝∠PMN ，∠OEF ＝∠PNM.∵PM ＝PN ，∴∠PMN ＝∠PNM ，∴∠OFE ＝∠OEF.∴△OEF 是等腰三角形．(第4题)(第5题)5．证明：如图，取CD 的中点F ，连结BF ，则CD ＝2CF.∵AB ＝BD ，∴BF 是△ADC 的一条中位线，∴BF ∥AC ，BF ＝12AC.∴∠2＝∠ACB.∵AB ＝AC ，∴∠1＝∠ACB ，∴∠1＝∠2.∵E 是AB 的中点，∴BE ＝12AB ， ∵BF ＝12AC ，且AB ＝AC ，∴BE ＝BF.在△BCE 和△BCF 中，⎩⎨⎧BE ＝BF ，∠1＝∠2BC ＝BC ，，∴△BCE ≌△BCF(SAS)，∴CE ＝CF.∵CD ＝2CF ，∴CD ＝2CE.(第6题)6．证明：如图，延长AB 、CF 交于点E.∵CF ⊥AF ，∴∠AFE ＝∠AFC ＝90°.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1＝∠2.在△AEF 和△ACF 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，AF ＝AF ，∠AFE ＝∠AFC ，∴△AEF ≌△ACF(ASA)．∴AE ＝AC ，EF ＝CF.又∵M 为BC 的中点，∴MF 为△BEC 的中位线．∴MF ＝12BE ＝12(AE －AB)＝12(AC －AB)．(第7题)7．证明：如图，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME 和MF.∵M 、E 分别是BD 、AD 的中点，∴ME 是△ABD 的中位线．∴ME ＝12AB.同理，MF ＝12CD.在△MEF 中，ME ＋MF>EF ，∴12AB ＋12CD ＝12(AB ＋CD)>EF ，即EF<12(AB ＋CD)．解码专训七1．解：在▱ABCD中，CD＝AB.∵▱ABCD的面积＝BC·AE＝CD·AF，AE＝4，AF＝5，∴4BC＝5CD，即BC＝54CD.又2(AB＋BC)＝36，∴AB＋BC＝18，即BC＋CD＝18，∴54CD＋CD＝18，解得CD＝8.∴BC＝10.即AB＝8，BC＝10.2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，DC＝BA.∵AC＝CA，∴△ABC≌△CDA.∴S△ABC ＝S△CDA＝12S▱ABCD＝12×30＝15(cm2)．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，AD∥BC.∴∠OED＝∠OFB，∠EDO＝∠FBO. ∴△DOE≌△BOF，∴S△DOE ＝S△BOF.∴S阴影部分＝S△BOF＋S△AOE＋S△COD＝S△DOE＋S△AOE＋S△COD＝S△CDA＝15 cm2.(第3题)3．证明：如图，连结GE，HF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OA＝OC，∴∠1＝∠2.又∵∠3＝∠4，∴△AEO≌△CFO(ASA)，∴OE＝OF.同理可证△OCH≌△OAG，∴OH＝OG.∴四边形GEHF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．∴GF＝EH.点拨：本题把要证明相等的两条线段转化为平行四边形的对边加以证明．4．证明：如图，延长AD至N，使DN＝AD，连结BN，CN，则四边形ABNC 是平行四边形．(第4题)∴BN＝AC，BN∥AC，∴∠BNA＝∠NAC.∵AE＝FE，∴∠FAE＝∠AFE.∵∠AFE＝∠BFN，∴∠BFN＝∠BNF.∴BN＝BF，∴BF＝AC.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
多边形边角关系
（三角形的“五心三线段” ｛多边形的概念与性质 ［多边形的镶嵌、\prepare1. 判断：三角形的高是一条直线.（ ）2. 判断：三角形的三条高必交一点.（ ）3. 判断：所有内角都相等的多边形是正多边形.（)4.正六边形的一个内角等于度.【解析】错，错，错，120. 删叶卄“五心”（1）三角形的“三线段”指的是三角形的角平分线.中线、高.⑵三角形的“五心”指的是三角形的内心、重心、垂心、外心、旁心.①三角形的三条角平分线的交点叫做内心.② 三角形的三条中线的交点叫做重心.③ 三角形的三条高所在的直线的交点叫做垂心.④ 三角形的三条边的中垂线的交点叫做外心.⑤ 三角形的任意两个外角的外角平分线和第三个内角平分线的交点叫做旁心.（虽然课本没有, 但中考中出现了很多与旁心相关的题）锐角三角形的内心直角三角形的内心 钝角三角形的内心 三角形内切岡的恻心锐角三角形的重心直角三角形的重心 钝角三角形的重心【例1】⑴如图1, 30平分Z4BC, ⑵如图2, BO 平分ZABC, ⑶如图3, BO 平分乙CBD , CO 平分ZACD,写出ZA 与ZO 之间的等童关系.CO 平分ZACB,写出ZA 与上O 之间的等童关系. CO 平分ZBCE,写出ZA 与ZO 之间的等量关系.角平分线 中线 高钝角三角形的垂心说角三角形的垂心直角三角形的垂心 钝角三角形的外心Z0+Z1+22 = 180°ZA+(180°- 2Z1) + (180° - 2Z2) =180° 【变式】如下图，ZAEB=ZCEB, ZADB=ZCDB,写出ZA, ZB, ZC 之间的等童关系.【解析】用上一讲的结论：■乙2 3 4,.・.2Z5=ZA +ZC . ZC=Z1+Z2 + ZB【例2】已知BD 、CE 是A4BC 的两条高，直线BD 、CE 交于点O,且D.E.A.O 互不重合，ZBOC = a, 请用a^ZBAC的度数.【解析】1•锐角三角形的情形：ZBAC = lSO°-a.二、Z4为钝角三角形的锐角，如图：ZBAC = a.2 直角三角形不符合的情形；3 钝角三角形的情形：一、ZA 为钝角三角形的钝角，如图：ZBAC = lSO°-a.【解析】（D由外角定理: 2Z1+ZA = 2Z2 Z1 + ZO=Z2 ,・・・ZO =丄乙4.由三角形内角和定理:2Z1 + 2Z2+ZA = 18O° Z1+Z2+ZO = 180°,・・・込9。
中考数学专题复习 三角形与多边形
第四章 三角形
第2节 三角形与多边形
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课标导航
·理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，会按照边长的 关系和角的大小对三角形进行分类，了解三角形的稳定性．
·探索并证明三角形的内角和定理．掌握它的推论．证明三角形的任意两边之 和大于第三边．
·了解三角形重心的概念． ·探索并证明三角形的中位线定理． ·了解多边形的定义，多边形的定点、边、内角、外角、对角线等概念；探索 并掌握多边形内角和与外角和公式．
∴BF＝2BT＝2 3.
∵∠A F E ＝120°，∠A F B ＝∠A B F ＝30°，
∴∠B F E ＝90°.
∴S
△PE
F＝
S
△B EF
＝1·E 2
F
·BF
＝1×2×2 2
3＝2
外心 三角形三边垂直平分线的交点，外心到各顶点的距离相等.
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3．(1)下列说法错误的是( D ) A．三角形的内心是三角形内切圆的圆心 B．三角形的外心是三角形外接圆的圆心 C．三角形的重心到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的 2 倍 D．等腰三角形的四心重合
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2．(1)如图，在△ABC 中，AE 是中线，AD 是∠BAC 的角平分线，AF ⊥BC 于点 F，∠B＝30°，∠C＝50°.
①BE＝ EC ； ②∠BAD＝ 50 °； ③∠DAF＝ 10 °； ④S△AEC ＝ S△ABE.(填“>”“＜”或“＝”)
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AD×BC×14.
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顶点连中点，倍长造全等 点 D 是 BC 的中点，延长 AD 到 E，使 AD＝DE，则有 点 D 为 BC 的中点，延长 ED △ACD≌△EBD，AC∥BE. 到点 F，使 DF＝ED，连接 CF，则有△BED≌△CFD.
多边形 精品导学案及练习
第十一章 三角形多边形及其内角和11.3.1 多边形... . .?二、新知预习 自主归纳：（1）多边形的概念：类比三角形的概念，在平面内，由一些线段_______相接组成的封如果一个多边形由n 条线段组成，那么这个多边形A,∠B,∠C,∠D,∠E 是五边形_______________组成的角叫做多边形的外角.的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线,线段_________是五边.各边都___________的多边形叫做正多边形.方法总结:多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可有两种方法：形任何一边所在的直线，整个多边形都在此直线的同一侧；180°.通常所说的多边形指凸多边形．例1 凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明．方法总结:一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条.例 2 过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分该多边形所得三角形的个数的和为21，求这个多边形的边数． 解：设这个多边形为n 边形，则有(n-3)条对角线，所分得的三角形个数为n-2，画一画：画出下列多边形的全部对角线.探究点3：正多边形想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？方法总结：判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角都相等，两个条件必须同时具备.（四条边都相等） （四个角都相等）二、新知预习1.在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？三角形中已知两角一边又分成哪两种呢？2.现实情境一张教学用的三角板硬纸不小心被撕坏了，如图：你能制作一张与原来同样大小的新道具吗？能恢复原来三角形的原貌吗？（1）以①为模板，画一画，能还原吗？（2）以②为模板，画一画，能还原吗？（3）以③为模板，画一画，能还原吗？（4）第③块中，三角形的边角六个元素中，固定不变的元素是_____________.猜想：两角及夹边对应相等的两个三角形_______.三、我的疑惑___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________B=∠C,求证：AD=AE.证明线段或角度相等，可先证两个三角形全等，利用对应边或对应角相等来CBE.探究点2：三角形全等的判定定理3的推论--“角角边”做一做：已知一个三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边的边长为3cm，你能画出这个三角形吗?追问：这里的条件与“角边角”中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为“角边角”中的条件吗？要点归纳：相等的两个三角形全等(简称“角角边”或“AAS”).几何语言：如图，在△ABC和△DEF中，ABC≌△DEF.例3：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF．例4：如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是()。
苏科版(2024)七年级上册数学第6章 平面图形的初步认识6.5 多边形 教案
苏科版（2024）七年级上册数学第6章平面图形的初步认识6.5 多边形教案【教材分析和学情分析】教材分析：在苏科版七年级上册的第6章“平面图形的初步认识”中，6.5“多边形”是一个重要的概念，它是在学生初步了解了点、线、面等基本几何元素的基础上进行的。
本节内容主要介绍了多边形的定义、基本性质，包括内角和、外角和、对角线等，以及正多边形的特殊性质。
教材通过丰富的实例和图形，帮助学生建立直观的几何观念，培养他们的空间想象能力和逻辑推理能力。
学情分析：1. 知识基础：学生在小学阶段已经接触过一些基本的几何图形，如三角形、四边形等，对图形的直观感知有一定的基础。
同时，他们在初中学过全等图形和相似图形，对图形的性质有一定的理解。
2. 技能基础：学生具备一定的观察、比较、分析问题的能力，但可能在抽象思维和逻辑推理方面还有待提高。
3. 学习兴趣：初中的学生对新鲜事物充满好奇，对图形的探索和发现有较高的兴趣，但可能对理论性强、抽象度高的数学概念感到挑战。
4. 学习习惯：七年级的学生正处于从小学向初中过渡的阶段，学习习惯和方法还在形成中，需要引导他们主动学习，培养良好的数学思维习惯。
【教学目标】1. 知识与技能：学生能够理解多边形的基本概念，包括边、顶点、内角、外角等。
学生能够识别和命名不同的多边形，如三角形、四边形、五边形等。
学生能够掌握多边形的周长和面积的计算方法。
2. 过程与方法：通过观察、比较、分类等活动，培养学生的观察力和抽象思维能力。
通过实际操作，让学生掌握多边形的性质和特征，提高解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和好奇心，体验数学的美和实用性。
培养学生的合作精神和学习的自主性。
【教学重难点】1. 重点：理解多边形的基本概念，掌握多边形的周长和面积的计算方法。
2. 难点：理解和应用多边形的内角和外角和性质。
【教学方法与手段】在教学过程中，我采用了多种教学方法和手段。
首先，我通过多媒体展示了多种多边形图形，让学生直观地感受到多边形的形状和特。
四下认识多边形整理复习
一．谈话导入师：同学们，我们都知道数学课离不开数，但你知道么，在数学这个王国里还有一个很大的家族—就是图形，前面我们已经学习了四单元认识多边形，那这节课我们就一起来整理整理多边形这个单元吧。
（板贴课题多边形的整理复习）二，回顾整理建构网络1.回顾整理师：回顾多边形这个单元，谁能来说说我们都学习了哪些图形？生：三角形，平行四边形，梯形（板贴框架）师：课前同学们已将这部分知识进行了整理，接下来请同学们在小组内交流并完善你的思维导图。
（在学生交流过程中，师下去巡视指导）2.汇报交流（1）.三角形知识的梳理目标引导学生条理的整理思维导图师：谁先来和大家分享你整理的有关三角形的知识？（将思维导图呈现在幻灯片上交流同时，师注意倾听，找出错误或是遗漏的知识点，）生：（起来汇报交流）（预设1对于错误）师：你真棒，建构了三角形的知识网络。
那对刚才这位同学说的你有不同意的地方吗？生：······（预设2对于知识点的遗漏）师：你真棒，建构了三角形的知识网络。
谁还有补充？生：······结师：哦，老师听出来了，原来大家是从三角形的特性，认识，分类和边角的关系这几个方面进行梳理的（随着叙述板贴）。
梳理的真不错。
老师这里有一张桌子太晃了，你能帮我想个办法加固它么？生：师：这个办法真不错，你是怎么想到的？生：利用三角形具有稳定性师：恩，你可真会活学活用，这就是三角形一个重要的特性。
其实，我们不仅认识了三角形、了解了它的这个独一无二的特性，还学习了三角形的分类，是吧？那如果老师用一个圆表示全部的三角形，那么，怎样用这个图形来表示三角形的分类？谁想来说说你的想法？按角进行分类如果让你用图形表示你打算怎样分？（思考10秒）师：谁起来说说看？生：可以用一个圆表示全部的三角形，然后把它分成三部分，一次是锐角三角形，钝角三角形，直角三角形。
八年级数学上册：多边形的边与角
八年级数学上册：多边形的边与角知识导航1.多边形的边与角的关系；2.多边形中角度计算.【板块一】多边形的边角的关系方法技巧熟记n 边形内角和外角和以及正多边形边角的关系，直接运用公式计算.题型一求多边形边数【例1】若一个多边形的内角和是外角和的3倍，求这个多边形的边数.题型二求多边形对角线条数【例2】一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线共有______条.题型三探究多边形边角变化规律【例3】一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的()A.内角和增加180°B.外角和增加360°C.对角线增加一条D.内角和增加360°题型四正多边形内外角与边数关系【例4】如果一个正多边形的内角和等于外角和的2倍，求每一个内角的度数.针对练习11.如图，如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则∠1的度数是_________.2.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数.1【板块二】多边形中角度计算方法技巧1.直接运用公式计算；2.运用转化思想，整体思想，设参计算等解决多边形中角度问题.题型一正多边形组合求角【例5】有公共顶点A ，B 的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC 交正六边形于点D ，求∠ADE 的度数.ED C BA题型二多边形多角求和(转化思想＋整体思想)【例6】“转化思想”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题.(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图1中∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数；(2)若对图1中星形截去一个角，如图2，请你求出∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数；(3)若再对图2中的角进一步截去，你能由(1)(2)所得的方法或规律，猜想图3中的∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠M ＋∠N 的度数吗?(只要写出结论，不需要写出解题过程)图1图2图3E A BCD 2211N M GF E D C B A F E DC B A题型3多边形与角平分线夹角【例7】(2018济宁)如图，在五边形ABCDE 中，∠A ＋∠B ＋∠E ＝300°，DP ，CP 分别平分∠EDC ，∠BCD ，求∠P 的度数.PEABC【例8】如图1，四边形ABCD 中，设∠A ＝α，∠D ＝β，∠P 为四边形ABCD 的内角∠ABC 与外角∠DCE 的平分线所在直线相交而形成的锐角.(1)如图1，若α＋β＞180°，求∠P 的度数(用含α，β的代数式表示)；(2)如图2，若α＋β＜180°，请在图2中画出∠P ，并直接写出∠P 的度数(用含α，β的代数式表示).图1图2A B C D EABC D E针对练习21.如图，以正六边形ADHGFE 的一边AD 为边向外作正方形ABCD ，求∠BED 的度数.AB C DEF G2.如图1所示，△ABO 与△CDO 称为“对顶三角形”，其中∠A ＋∠B ＝∠C ＋∠D.利用这个结论，在图2中，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G 的度数.图1图2ACD EF G O D CBA3.如图，P 是四边形ABCD 的外角∠EBC 与∠BCF 的平分线BP 和CP 的交点，设∠A ＋∠D ＝α.(1)求∠BPC 与α之间的数量关系；(2)根据α的值的情况，判断△BPC 的形状(按角分类).ABC D EFP4.动手操作，探究:探究一:三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系已知:如图1，在△ADC 中，DP ，CP 分别平分∠ADC 和ACD ，试探究∠P 与∠A 的数量关系并说明理由；探究二:若将△ADC 改为任意四边形ABCD 呢?已知:如图2，在四边形ABCD 中，DP ，CP 分别平分∠ADC 和∠BCD ，请你利用上述结论探究∠P 与∠A ＋∠B 的数量关系，并说明理由；探究三:若将上题中的四边形ABCD 改为六边形ABCDEF ，如图3所示，请你直接写出∠P 与∠A ＋∠B ＋∠E ＋∠F 的数量关系.图3图2P P P A B C DE F AB C 图1AC D。
多边形边角关系(思维训练含答案)
知识要点梳理边形的内角和等于180°（n-2）。
360°。
边形的对角线条数等于1/2·n （n-3）3、4、6。
拼成360度的角：3、4。
知识点一：多边形及有关概念1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可;③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。
要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。
(2)n边形共有条对角线。
多边形对称轴公式
多边形对称轴公式在本文中，我们将介绍多边形的对称轴公式，包括常见多边形的对称轴公式推导和实际应用。
首先，我们将对多边形的对称轴进行定义和介绍，然后分别讨论正n边形、矩形和菱形的对称轴公式，并介绍一些应用实例，帮助读者更好地理解和掌握这一重要数学概念。
一、多边形的对称轴定义和性质多边形是一个平面图形，由若干条线段组成，相邻线段的端点相连接而形成的图形。
对称轴是指多边形的一个虚拟轴线，在这条轴线的对称下，多边形的两部分完全一样，即对称轴两侧的图形是相互对称的。
多边形对称轴的性质包括：1. 对称轴将多边形分成两个对称的部分；2. 对称轴上的每一个点与多边形上的另一个点以及对称轴上的点对称；3. 对称轴可以是多边形的一个边，也可以不是；4. 多边形可以有多个对称轴。
在研究多边形的对称轴问题时，我们通常需要确定对称轴的位置和方向，并计算对称轴的具体位置和特性，以便更好地解决与对称轴相关的实际问题。
接下来，我们将分别介绍正n边形、矩形和菱形的对称轴公式，并介绍一些常见的多边形对称轴应用实例。
二、正n边形的对称轴公式正n边形是指所有边相等、所有内角相等的多边形，其中n为正整数。
对于正n边形来说，它的对称轴有n条，分别是过每一个顶点和中心点的辅助线，这些辅助线相交于正n边形的中心点。
以正n边形的边数为n，中心角为α，则正n边形的对称轴角度公式如下：对称轴角度α = 360°/n在正n边形中，对称轴的个数为n，每一条对称轴的角度为α，可以利用上述公式计算得到。
另外，对于正n边形而言，它的中心点是所有对称轴的交点，因此对称轴都经过正n边形的中心点，具有对称性。
三、矩形的对称轴公式矩形是指所有内角都为直角的四边形，它具有两条对称轴，分别是矩形的两条对角线。
矩形的对称轴角度为90°，因为矩形的内角均为90°，所以矩形的每一条对角线都是对称轴，具有对称性。
因此，矩形的对称轴公式如下：对称轴角度α = 90°在矩形中，两条对称轴相互垂直，且相交于矩形的中心点，具有对称性。
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§5.1多边形
〖课堂练习〗
1、 已知：四边形四个内角之比为3：3：5：4，求它的四个内角。
2、 如图：AB=BC ，BD 平分∠ABC ，∠A=70°，∠ABC=80°，求∠C 和∠ADC 的度数。
3、 如果n 边形的边数每增加一条，则它的内角和增加多少？
4、 过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，求这个多边形的边数。
5、 一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2750°，求这个内角。
6、 如果各角都相等的多边形的一个内角是它的外角的n 倍，求这个多边形的边数。
7、 如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，求多边形原来的边数。
A
B
C
D
8、一个多边形的每个一个外角都相等，且小于45°，则这个多边形的边数至少有多少？
9、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，BC=23,CD=5，DA=3，求四边形的面积。
10、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，∠A：∠C=1：2，求BC和AD的长。
A
D
B C
〖课后作业〗
1、有一个边长为4m的正六边形客厅，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（） A、216块 B、288块 C、384块 D、512块
2、一个八边形ABCDEFGH的每个内角都相等，边AB，BC，CD，DE，EF，FG的长分别为7，4，2，5，6，2。
求这个八边形的周长。
3、已知△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是一个含有30º角的直角三角形，现将△ABC 和△ACD拼成一个凸四边形ABCD。
（1）画出四边形ABCD；（2）求出四边形ABCD的对角线BD 的长。
A
B
C
D A2
A4B1
A1
A3
A5
E
A D
B
C D
C
E
M
N
O
P
R
A 4、如图，四边形ABCD 中，AB=BC=CD ，∠ABC=90º，∠BCD=150º，求∠BAD 的度数。
5、如图，在五边形A 1A 2A 3A 4A 5中，B 1是A 1的对边
A 3A 4的中点，连结A 1
B 1
，我们称A 1B 1
是这
个五边形的一条中对线，如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分，求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行。
6、如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，垂足为E ，AD+AB=2AE ，求∠ADC+∠B 的度数。
7、画一个正六边形，在正六边形外画一条直线m ，从6个顶点分别向直线m 引垂线，可以得到k 个不同的垂足，那么k 的值在3，4，5，6这四个数中不可能取得的数是几？为什么？
8、设A ，B ，C ，D 为平面上的任意四点，且任何三点都不在同一条直线上，求证：△ABC △ABD ，△ACD ，△BCD 中至少有一个三角形的某个内角不超过45º。
9、已知五边形ABCDE 的各边长都相等，O 是五边形内一点，过点O 作五边形各边的垂线，垂足分明是M ，N ，P ，Q ，R （都落在各边的内部），如图。
求证：
AM+BN+CP+DQ+ER=MB+NC+PD+QE+RA 。
C
A D
F
E
10、已知一个十一边形，由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无空隙拼成，求该十一边形的各内角的度数。
11、已知正五边形ABCDE，O是平面内的一点，△DOE是等边三角形，求∠AOC的度数。
12、如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，DF=FC，CE=2EB。
若△ADF的面积为m，四边形AECF的面积为n（n>m），求四边形ABCD的面积。
B。