线性规划解的性质
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第六章线性规划基础
12x1 3x2 4
s.t.
2 x1 3x1
3x2 15x2
2 36
x1 x2 1
x1 0, x2 0 max z' 3x1 2x2
12x1 3x2 x3
4
s.t.
2 x1 3x1
3x2 15x2
x4
2
x5 5
x1
x2
1
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
x1 +2x2≤ 8
s.t.
x2≤ 3
x1≥0, x2 ≥0
线性规划的数学表达
即求一组变量x1 , x2 ,…, xn ,在满足约束条件： a11x1 + a12x2 + … +a1nxn≤b1 a21x1 + a22x2 + … +a2nxn≤b2 ……
am1x1 + am2x2 + … +amnxn≤bm x1 , x2 , … , xn ≥0 的情况下，使目标函数：
XB所含 分量个
数恰为 阶数m， XN含nm个0分 量
线性规划解的性质
• 性质1：LP问题的可行域R为一凸集 • 性质2：LP问题的一个基本可行解与可行域R的一
个极点互相对应 • 性质3：线性规划的基本定理：对于任何一个给定
的标准形LP问题M来说，若M有可行解，则必有基 本可行解；如M有最优解，则必有最优基本可行解。 • 性质4：若LP问题的可行域R≠Ф，则R至少有一极 点 • 性质5：LP问题可行域R的极点数量必为有限多个
基本解
可行解 基本可行解
约束矩阵A中
基的数目最多 为Cnm，因而 基本解的个数
最多也只能有 Cnm个，所以 基本可行解的
线性规划的解与最优解知识点总结
线性规划的解与最优解知识点总结在现实生活和工作中，我们经常会遇到需要最优化某个目标函数的问题。
线性规划作为一种常见的数学优化方法，在各个领域中得到了广泛应用。
它能够帮助我们在一定的约束条件下，找到目标函数的最佳解。
本文将对线性规划的解与最优解的相关知识点进行总结。
1. 基本概念线性规划问题由目标函数和一组线性约束条件组成。
目标函数的形式通常是最大化或最小化一些变量的线性组合，而约束条件则给出了这些变量的取值范围。
线性规划问题的一般形式如下：```max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0```其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右边常数，x₁,x₂, ..., xₙ为决策变量。
2. 解的存在性线性规划问题存在三种解的情况：无解、有界解和无界解。
如果约束条件与目标函数之间存在矛盾，例如出现一个约束条件为 a₁₁x₁ +a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，而目标函数的系数为 c₁ > a₁₁，那么这个线性规划问题就没有解。
有界解指的是线性规划问题在满足所有约束条件的情况下，能够找到目标函数的最大值或最小值。
无界解意味着目标函数可以无限制地增大或减小。
3. 最优解的性质线性规划问题的最优解具有以下性质：- 最优解必然出现在可行域的顶点上。
可行域是指所有满足约束条件的解的集合，而顶点则指可行域的边界上的点。
- 如果最优解存在，那么至少存在一个顶点是最优解。
- 如果可行域是有限的，则一定存在一个顶点是最优解。
- 如果最优解存在，那么一定有一条或多条约束条件在最优解上取等号。
线性规划问题解的概念和性质
线性规划问题解的应用之一是生产计划问题，通过合理安排生产计划，最大化利润并满足市场需 求。
线性规划问题解的生产计划问题需要考虑多种因素，如生产成本、市场需求、产品价格等，以制 定最优的生产计划。
线性规划问题解的生产计划问题可以通过建立数学模型进行求解，利用计算机软件进行优化和模 拟。
线性规划问题解的生产计划问题在实际应用中具有广泛的应用价值，可以提高企业的生产效率和 经济效益。
线性规划问题的标准形式
初始解的求解方法
初始解的判断准则
初始解的调整策略
迭代过程：通过不断迭代更新解，逐步逼近最优解 终止条件：当迭代过程中解的变化小于预设阈值或达到最大迭代次数时，终止迭代 收敛性：算法收敛于最优解的充分必要条件是所有约束条件都是“可行”的 算法复杂度：迭代次数与问题规模呈指数关系，需要选择合适的算法和参数
方案。
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定义：在给定风险 水平下最大化收益， 或在给定收益水平
下最小化风险
应用场景：股票、 债券等金融资产的
投资组合配置
线性规划问题解的 应用：通过线性规 划方法找到最优投 资组合，实现风险
和收益的平衡
线性规划问题解的 概念和性质：在投 资组合优化问题中， 线性规划方法用于 求解最优解，其概 念和性质对于理解 和应用投资组合优
解的唯一性：线性 规划问题有唯一最 优解
解的稳定性：最优 解不会因约束条件 的微小变化而发生 大的改变
解的敏感性：当目 标函数系数或约束 条件发生变化时， 最优解可能会发生 改变
算法原理：通过 不断迭代，寻找 最优解
适用范围：线性 规划问题
求解步骤：确定 初始解，计算目 标函数值，迭代 更新解
5 线性规划
可行域： D { x | Ax b , x 0 }。
定理 线性规划问题的可行域 D是凸集。
证明： 任取 x1 , x2 D , 0 1。
XiDian University
A( x1 (1 ) x2 ) Ax1 (1 ) Ax2
b (1 )b b
x i 0 , i 1,2,3
4. 数学模型
S 4 x1 5 x2 7 x3 2 x1 1.5 x 2 3 x 3 100 s .t . x1 2 x 2 2 x 3 150 x i 0, i 1,2,3 min
XiDian University
方案 规格 y1(根) y2 y3 1 2 1 0
0
2 2 0 1
0.3
3 1 2 0
0.5
4 1 1 2
0.1
5 1 0 3
0.4
6 0 4 0
0
7 0 3 1
0.3
8 0 2 2
0.6
9 0 1 4
0.2
10 0 0 5
0.5
需要量 1000 1000 1000
余料（m）
XiDian University
XiDian University
例3（下料问题）合理用料问题。 某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格 分别是1.5，1，0.7（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆 钢长度为4 m。现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来 生产这些轴？ 解：这是一个条材下料问题。为了计算简便，这里假定切割的 切口宽度为零，在实际应用中，应将切口宽度计算进去。求所 用圆钢数量分两步计算，先求出在一根4m长的圆钢上切割三种 规格的毛坯共有多少种切割方案，再在这些方案中选择最优或 次优方案，即建立线性规划数学模型。
第1章 线性规划基本性质
1. X1≥0, X2 ≥0 2. 2X1 + 3X2 ≤ 100 3. 4X1 + 2X2 ≤ 120
所有约束条件的的交集为R.
A B R
10 60
现在,问题变为在R内找一点, O 使目标函数值最大.如何找?…
C
20 30 40 50
Ｘ1
§1.2 线性规划的图解法
Ｘ2
（三）目标函数的图形表示 Z = 6X1 + 4X2 将上式改写： X2 ＝－3X1/2 ＋ Z/4 令Z为参量，使其取不同 的值，则得到以－3/2为斜率的 一族平行等值线. 如令: 60, 则经过点(10,0)和(0,15); Z=0, 则经过原点; Z=120,则经过点(20,0)和(0,30);
0.8X1 + X2≥1.6 X1 X2 ≤2 ≤1.4
X1 ≥0, X2 ≥0
§1.1 线性规划的一般模型
所谓线性规划问题： 就是求一组变量 ( x1 , x2 , , xn ) 的值，它们 在满足一组线性等式或不等式的限制条件下，使某 一线性函数的值达到极大或极小。而线性规划就是 研究并解决这类问题的一门理论和方法。 请问在企业中有哪些问题属于线性规划问题？
§1.2 线性规划的图解法
maxZ = 6X1 + 4X2 2X1 + 3X2 ≤ 100 --① 4X1 + 2X2 ≤ 120 --② X1≥0, X2 ≥0 （一）建立坐标系 （二）约束条件的图形表示
Ｘ2
60 50 40 30 20 10
两个概念:
1.可行解:满足约束条件的点. 2.可行域:全部可行解的集合, 即区域OABCO,用R表示.
X1 ≥0, X2 ≥0
§1.1 线性规划的一般模型
计量地理学第四章——线性规划和多目标规划
目标：用料最少
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划数学模型
以上例子表明，线性规划问题具有以下特征： ①每一个问题都用一组未知变量（x1，x2，…，xn）表示某一规 划方案，其一组定值代表一个具体的方案，而且通常要求这些未 知变量的取值是非负的。
②每一个问题的组成部分：一是目标函数，按照研究问题的不同， 常常要求目标函数取最大或最小值；二是约束条件，它定义了一 种求解范围，使问题的解必须在这一范围之内。
二 线性规划的标准形式
（二）化为标准形式的方法
2.约束方程化为标准形式的方法
若第k个约束方程为不等式，即
ak1 x1 ak 2 x2 akn xn ()bk
引入松弛变量 x nk 0, K个方程改写为：
ak1 x1 ak 2 x2 akn xn () xnk bk
则目标函数标准形式为：
非负约束
xij 0(i 1,2,, m; j 1,2,, n)
mn
z
cij xij min
i1 j1
目标：总运费最小
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划模型之实例 资源利用问题 假设某地区拥有m种资源，其中，第i种资源在规
划期内的限额为bi(i=1，2，…，m)。这m种资源可用 来生产n种产品，其中，生产单位数量的第j种产品需 要 消 耗 的 第 i 种 资 源 的 数 量 为 aij(i=1 ， 2 ， … ， m ； j=1,2, …,n)，第j种产品的单价为cj(j=1，2， …，n)。 试问如何安排这几种产品的生产计划，才能使规划期 内资源利用的总产值达到最大?
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划模型之实例
资源利用问题
设第j种产品的生产数量为xj(j=1，2，…，n)，则上述资源问题就是：
第二章 线性规划与单纯形法14节
2、标准形式的特征？？？
2018/10/11 10
二、 线性规划的标准形
3、线性规划的标准化方法
（1）把最小化目标函数转化为求最大化问题。 （2）约束条件右端项为负时两边同乘以－1 （3）把约束方程中的不等式转化为等式。具体做法是：对于≤的 情况，引进松弛变量，对于≥的情况，引进剩余变量。 （4）将变量中的非正限制或无限制转化为非负限制。其中，对 于无限制变量的处理：一是同时引进两个非负变量，然后用它 们的差代替无限制变量，即令 二是从约束方程 ' " xk x k xk 中任取一个包含无限制变量的等式约束，解出该变量，并把它 代入目标函数和其他约束方程中去，以消除该无限制变量。
2018/10/11
13
小
结
1.什么是线性规划，掌握线性规划在管理中的几个应用 例子 2.线性规划数学模型的组成及其特征 3.线性规划数学模型的一般表达式和标准形式。 4.
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2018/10/11
图解法
Exit
14
第二节 线性规划的图解法
1.图解法的含义 在直角坐标系中，描绘出约束条件和变量限制的公 共区域，然后通过观察确定符合目标要求的变量的取值。 2.几个概念 （ 1 ）可行解 : 由约束条件和变量取值限制围成的公共 区域中的每一个点都称为线性规划问题的可行解。 （2)可行域:所有可行解的集合，构成线性规划问题的 可行域。 (3)等值线:使目标函数取相等值的所有点的集合，称 为目标函数的等值线。 (4)法向量: 与等值线垂直的向量。分为正法向量和负 2018/10/11 15 法向量。
基：约束系数矩阵A中，m个线性无关的列向量，称为
m维实空间中的一个基。其中，每个列向量称为基向 量，全部基向量构成基矩阵（也可简称为基），剩下 的n-m个列向量称为非基向量，所有的非基向量构成 非基矩阵。
( 6 )线性规划
x j ，即 x j 没有非负限制，则令
例
将下面线性规划问题化成标准型
max z x1 x2
四、线性规划解的性质
（一）几个概念 1.凸集 若连接n维点集S中任意两点 x , x 的线段
仍在S内，则称S为凸集。
(1) (2)
x 即：
(1)
, x ∈S，有 x (1 ) x ∈S，0≤λ≤1，
均为最小值点，即 AB连线上任一点均为解，故解有 无穷多个。
若线性规划问题
的约束条件为
由上图可知，此时可行域不存在，即可行解集 S＝Φ，无可行解，也就没有最优解。
从几何直观上可以看到，可行域为一凸多边形，且
有几种可能：有惟一解，则一定在可行域的某个顶 点达到最优；有无穷多解，一定在可行域的某一边 界上达到最优；若可行域非空，但无解，则可行域 无界；若无可行解，则无最优解。由此可猜想：如
果可行域为凸多边形，且有最优解，则它一定在某
个顶点上达到。事实上，不难证明这一点。对于凸 多面体上的高维线性规划问题，若有最优解，也可
以证明最优解一定在凸多面体的顶点处达到。
三、线性规划的标准型
用图解法求解，虽然简单，但不实用，因而
有必要寻找另外的求解方法。 我们规定标准型为
矩阵形式
化成标准型
( 0)
若rank（A）＝m，则每个基解的非零分量的个
数≤m。若个数＜m，则称该基解是退化的，否则称
为非退化的。
（二）线性规划问题解的性质
1.线性规划问题的可行解为凸集。因而任意连接 两个可行解的线段上的点仍是可行解。 2.最优值可以在极点上达到。 3. 可行解集 S 中的点 x 是极点的充要条件是 x 为基 可行解。
例
第一章 线性规划
下料方法 毛坯数 毛坯长
B1 5 1 5
B2 4 2 20
B3 3 3 35
B4 2 4 50
B5 1 5 65
B6 0 7 10
毛坯 需要量 3000 5000
85 70 余料长度
4、营养问题 例5.假定一个成年人每天需要从食物中获取3000大 卡热量、65克蛋白质、800毫克钙和75克脂肪。如 果市场上只有8种食物可供选择，他们每千克所含热 量和营养成分以及市场价格见表所示，问如何选择才 能在满足营养的前提下使购买食品的费用最小。
◦ 1、画出满足约束条件的可行区域，可行区域的点称为可 行解 ◦ 2、任取一点f=f0，画出等值线 ◦ 3、平移等值线，使目标函数达到最优。
1、把数学模型转化为标准型 2、确定基变量，在所有约束方程中只出现一次并 且系数为1的为基变量，其余为非基变量。 3、列出初始单纯型表 4、换基迭代：
红星玻璃制品厂是一个有3个工人的生产两种类型手工艺窗户的小厂。 窗户一种是木框架的，一种是铝框架的。3个工人的分工是：张三制作木 框架，每天做4个；李四制作铝框架，每天做6个；王二制作和切割玻璃， 每天制作18平方米的玻璃。又知每生产一个木框架窗户使用3平方米玻璃， 每一个铝框架窗户使用2平方米玻璃。又知每生产一个木框架窗户可获得 30元的利润，每生产一个铝框架窗户可获得50元的利润。由于工厂产量小， 可假设每天生产出来的产品都可以卖出去。现请为该厂制定一个每天的生 产计划，使其获利最大。 木框架窗户 铝框架窗户 工人的生产能力
5、检查检验数：若、确定最优解
◦ 原则上检验数大的变量入基，采用θ法则确定出基变量， 入基与出基交叉点处的变量为旋转元，用方框圈起。 ◦ 将旋转元所在行的所有元素都除以旋转元，将旋转元变为 1 ◦ 利用旋转元所在行的元素把旋转元所在列的所有元素都变 为0
B1 5 1 5
B2 4 2 20
B3 3 3 35
B4 2 4 50
B5 1 5 65
B6 0 7 10
毛坯 需要量 3000 5000
85 70 余料长度
4、营养问题 例5.假定一个成年人每天需要从食物中获取3000大 卡热量、65克蛋白质、800毫克钙和75克脂肪。如 果市场上只有8种食物可供选择，他们每千克所含热 量和营养成分以及市场价格见表所示，问如何选择才 能在满足营养的前提下使购买食品的费用最小。
◦ 1、画出满足约束条件的可行区域，可行区域的点称为可 行解 ◦ 2、任取一点f=f0，画出等值线 ◦ 3、平移等值线，使目标函数达到最优。
1、把数学模型转化为标准型 2、确定基变量，在所有约束方程中只出现一次并 且系数为1的为基变量，其余为非基变量。 3、列出初始单纯型表 4、换基迭代：
红星玻璃制品厂是一个有3个工人的生产两种类型手工艺窗户的小厂。 窗户一种是木框架的，一种是铝框架的。3个工人的分工是：张三制作木 框架，每天做4个；李四制作铝框架，每天做6个；王二制作和切割玻璃， 每天制作18平方米的玻璃。又知每生产一个木框架窗户使用3平方米玻璃， 每一个铝框架窗户使用2平方米玻璃。又知每生产一个木框架窗户可获得 30元的利润，每生产一个铝框架窗户可获得50元的利润。由于工厂产量小， 可假设每天生产出来的产品都可以卖出去。现请为该厂制定一个每天的生 产计划，使其获利最大。 木框架窗户 铝框架窗户 工人的生产能力
5、检查检验数：若、确定最优解
◦ 原则上检验数大的变量入基，采用θ法则确定出基变量， 入基与出基交叉点处的变量为旋转元，用方框圈起。 ◦ 将旋转元所在行的所有元素都除以旋转元，将旋转元变为 1 ◦ 利用旋转元所在行的元素把旋转元所在列的所有元素都变 为0
第二章 线性规划解的概念、性质及图解法
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习题：用图解法求下列线性规划:
可行域为无界 区域一定无最 优解吗？
x2
2 x1 x2 2
max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
Note:
x1 4 x2 4
可行域为无界区域，
目标函数值可无限
x(1) (1 ) x(2) S 则称 S 是一个凸集。
几何意义：如果集合中任意两点连线上的一切点都在 该集合中，则称该集合为凸集。
凸集
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定义 2
设 x R , i 0, i 1, 2,, k , 且 i 1， 则称
(i ) n i 1
k
x 1 x (1) 2 x (2) k x ( k )
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3.可行解与最优解
Ax=b，x≥0；
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4.线性规划的可行域和最优解的性质
1.若线性规划的可行域非空，则可行域必定 为一凸集． 2.若线性规划的可行域非空，则至多有有限 个极点.
3.若线性规划有最优解,则至少有一个极点是 最优解.
可行域内 无限个 可行解 搜索
可行域的 有限个极点
x2
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图解法
步骤 一： 由全 部约 束条 件作 图求 出可 行域 ；
9— 8—
目标函数
Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件
x2
7—
6— 5—
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
线性规划问题解的基本理论
8.基本可行解（对应的基为可行基）：满
足非负条件的基本解。
4
9.退化的基本可行解
非零分量个数小于m（至少有一个基变量 取值为0）。
10.最优基
该基对应的基本可行解为LP的最优解。
结论
基本解的个数≤Cmn
基本可行解的非零分量均为正分量 个数不超过m
5
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
（即可行域）
D
X
n
Pj x j
j 1
b, x j
0是凸集。
定理3-2 线性规划几何理论基本定理
若
D
X
n
Pj x j
j 1
b,
x，j
0
则X是D的一个顶点的充分必要条件是X为线性
规 划的基本可行解。
8
定理3-3 若可行域非空有界，则线性规划问 题的目标函数一定可以在可行域的顶点上 达到最优值。
化为只在可行域的顶点中找，从而把一 个无限的问题转化为一个有限的问题。
☺ 若已知一个LP有两个或两个以上最
优解，那麽就一定有无穷多个最优解。
11
二、 线性规划问题 解的概念和性质
1
一、LP问题的各种解
1. 可行解：满足约束条件和非负条
件的决策变量的一组取值。
2. 可行解集：所有可行解的集合。 3. 可行域：LP问题可行解集构成n维
空间的区域，可以表示为：
D {X | AX b, X 0}
2
4.最优解:使目标函数达到最优值的可行解。 5.最优值：最优解对应目标函数的取值。 6.求解LP问题:求出问题的最优解和最优值。
足非负条件的基本解。
4
9.退化的基本可行解
非零分量个数小于m（至少有一个基变量 取值为0）。
10.最优基
该基对应的基本可行解为LP的最优解。
结论
基本解的个数≤Cmn
基本可行解的非零分量均为正分量 个数不超过m
5
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
（即可行域）
D
X
n
Pj x j
j 1
b, x j
0是凸集。
定理3-2 线性规划几何理论基本定理
若
D
X
n
Pj x j
j 1
b,
x，j
0
则X是D的一个顶点的充分必要条件是X为线性
规 划的基本可行解。
8
定理3-3 若可行域非空有界，则线性规划问 题的目标函数一定可以在可行域的顶点上 达到最优值。
化为只在可行域的顶点中找，从而把一 个无限的问题转化为一个有限的问题。
☺ 若已知一个LP有两个或两个以上最
优解，那麽就一定有无穷多个最优解。
11
二、 线性规划问题 解的概念和性质
1
一、LP问题的各种解
1. 可行解：满足约束条件和非负条
件的决策变量的一组取值。
2. 可行解集：所有可行解的集合。 3. 可行域：LP问题可行解集构成n维
空间的区域，可以表示为：
D {X | AX b, X 0}
2
4.最优解:使目标函数达到最优值的可行解。 5.最优值：最优解对应目标函数的取值。 6.求解LP问题:求出问题的最优解和最优值。
运筹学复习资料(1)
运筹学复习一、单纯形方法（表格、人工变量、基础知识）线性规划解的情况：唯一最优解、多重最优解、无界解、无解。
其中，可行域无界，并不意味着目标函数值无界。
无界可行域对应着解的情况有：唯一最优解、多重最优解、无界解。
有界可行域对应唯一最优解和多重最优解两种情况。
线性规划解得基本性质有：满足线性规划约束条件的可行解集（可行域）构成一个凸多边形；凸多边形的顶点（极点）与基本可行解一一对应（即一个基本可行解对应一个顶点）；线性规划问题若有最优解，则最优解一定在凸多边形的某个顶点上取得。
单纯形法解决线性规划问题时，在换基迭代过程中，进基的非基变量的选择要利用比值法，这个方法是保证进基后的单纯型依然在解上可行。
换基迭代要求除了进基的非基变量外，其余非基变量全为零。
检验最优性的一个方法是在目标函数中，用非基变量表示基变量。
要求检验数全部小于等于零。
“当x1由0变到45/2时，x3首先变为0，故x3为退出基变量。
”这句话是最小比值法的一种通俗的说法，但是很有意义。
这里，x1为进基变量，x3为出基变量。
将约束方程化为每个方程只含一个基变量，目标函数表示成非基变量的函数。
单纯型原理的矩阵描述。
在单纯型原理的表格解法中，有一个有趣的现象就是，单纯型表中的某一列的组成的列向量等于它所在的单纯型矩阵的最初的基矩阵的m*m矩阵与其最初的那一列向量的乘积。
最初基变量对应的基矩阵的逆矩阵。
这个样子：'1222 1 0 -32580 1 010 0 158P B P -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦５１＝５所有的检验数均小于或等于零，有最优解。
但是如果出现非基变量的检验数为0，则有无穷多的最优解，这时应该继续迭代。
解的结果应该是：X *= a X 1*+(1-a)X 2* （0<=a<=1）说明：最优解有时不唯一，但最优值唯一；在实际应用中，有多种方案可供选择；当问题有两个不同的最优解时，问题有无穷多个最优解。
线性规划的解的唯一性
线性规划的解的唯一性线性规划是运筹学中的一种重要方法，广泛应用于优化问题的求解。
而线性规划问题的解决方案在很多情况下并非唯一的，唯一性是一个非常关键的性质。
本文将探讨线性规划问题解的唯一性，以及与其相关的概念和定理。
一、线性规划问题的描述线性规划问题（Linear Programming, LP）是指在一组线性约束条件下，目标函数线性而约束条件的形式也是线性的。
一般而言，线性规划问题可描述为如下形式：\[\begin{align*}\text{最小化（或最大化）} & : c^TX \\\text{约束条件} & : Ax \leq b, x \geq 0\end{align*}\]其中，$c$是一个给定的$n$维向量，$X=(x_1,x_2,\dots,x_n)$是决策变量向量，$A$是$m\times n$矩阵，$b=(b_1,b_2,\dots,b_m)$是$m$维向量。
问题的目标是找到满足所有约束条件的决策变量向量$X$，使得目标函数$c^TX$达到最小（或最大）值。
二、线性规划解的存在性线性规划问题的解不一定存在。
解的存在性是问题求解过程中需要确定的一个条件。
根据线性规划理论，如果问题的可行域（即满足所有约束条件的解的集合）是非空的，且目标函数在可行域内有下确界（对于最小化问题）或上确界（对于最大化问题），则线性规划问题一定存在解。
三、线性规划解的唯一性线性规划问题的解可能是唯一的，也可能有无穷多个解。
解的唯一性是一个非常重要的性质，对问题求解过程有着重要的影响。
线性规划解的唯一性有以下两个定理来保证：1. 线性规划可行域的非退化性线性规划可行域的非退化性指的是在可行域的极点（解）中，没有任意两个解具有完全相同的基变量。
当问题满足可行域的非退化性时，线性规划问题的最优解是唯一的。
反之，当问题的可行域退化时，可能存在多个最优解，即线性规划问题可能有无穷多个解。
2. 线性规划目标函数的凸性线性规划目标函数的凸性指的是目标函数在可行域上是凸函数。
线性规划基本性质
03
在线性规划问题中，最优基解一 定是基可行解，但基可行解不一
定是最优基解。
04
2023
PART 03
线性规划的几何解释
REPORTING
线性规划在几何上的表示
线性规划问题可以用一组不等式和等式来表示，这些不等式 和等式可以看作是定义了一个多维空间中的半空间和超平面 。
在几何上，这些半空间和超平面可以表示为一个凸多面体， 称为可行域。
01 Excel内置了线性规划求解工具，可以通过“工具 ”菜单中的“规划求解”选项进行操作。
02 Excel的线性规划求解工具支持多种约束条件，包 括等式约束、不等式约束和整数约束等。
03 Excel的线性规划求解工具可以处理包含多个决策 变量和目标函数的问题。
MATLAB实现
MATLAB提供了优化工具箱， 其中包括线性规划求解器。
在线性规划问题中，变量的取值范围 是有限的，通常表示为闭区间。
凸性
凸性是指目标函数和约束集都是凸集， 即对于任意两个点，连接它们的线段 仍在集合内。
VS
凸性是线性规划问题的一个重要性质， 因为凸集的性质可以简化问题的求解 过程。
有效解与最优解
有效解是指满足所有约束条件的解，即在该解处， 目标函数取得非负值。
PuLP可以与其他Python库集成，如NumPy和SciPy，以提供更
03
高级的功能和算法。
2023
PART 06
线性规划的案例分析
REPORTING
案例一：生产计划问题
目标函数
最大化总利润或最小化总成本。
约束条件
包括资源限制、市场需求、产品组合等。
解决方案
通过求解线性规划模型，找到最优的生产计划方 案。
在线性规划问题中，最优基解一 定是基可行解，但基可行解不一
定是最优基解。
04
2023
PART 03
线性规划的几何解释
REPORTING
线性规划在几何上的表示
线性规划问题可以用一组不等式和等式来表示，这些不等式 和等式可以看作是定义了一个多维空间中的半空间和超平面 。
在几何上，这些半空间和超平面可以表示为一个凸多面体， 称为可行域。
01 Excel内置了线性规划求解工具，可以通过“工具 ”菜单中的“规划求解”选项进行操作。
02 Excel的线性规划求解工具支持多种约束条件，包 括等式约束、不等式约束和整数约束等。
03 Excel的线性规划求解工具可以处理包含多个决策 变量和目标函数的问题。
MATLAB实现
MATLAB提供了优化工具箱， 其中包括线性规划求解器。
在线性规划问题中，变量的取值范围 是有限的，通常表示为闭区间。
凸性
凸性是指目标函数和约束集都是凸集， 即对于任意两个点，连接它们的线段 仍在集合内。
VS
凸性是线性规划问题的一个重要性质， 因为凸集的性质可以简化问题的求解 过程。
有效解与最优解
有效解是指满足所有约束条件的解，即在该解处， 目标函数取得非负值。
PuLP可以与其他Python库集成，如NumPy和SciPy，以提供更
03
高级的功能和算法。
2023
PART 06
线性规划的案例分析
REPORTING
案例一：生产计划问题
目标函数
最大化总利润或最小化总成本。
约束条件
包括资源限制、市场需求、产品组合等。
解决方案
通过求解线性规划模型，找到最优的生产计划方 案。
线性规划问题解的概念和性质
第五节 线性规划问题解的概念和性质
第五节 线性规划问题解的概念和性质
非退化的基本(可行)解， 并恰有 n – m 个 0 分量。
基本可行解对应的基，称为可行基； 最优基本解对应的基，称为最优基。 如：基 B0= ( a2 ,a3 ,a4 ) 对应 X0 = ( 0，0，8，12，36 )T 可行 基 B1= ( a2 ,a3 ,a4 ) 对应 X1 = ( 0，9，8，- 6，0 )T 不可行 基 B2 = ( a1 ,a2 ,a3 ) 对应 X2 = ( 4，6，4，0，0 )T
恰有 m 个非 0 分量，
为可行基
为非可行基
为最优基
x*
x*
B*
第五节 线性规划问题解的概念和性质
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
例： 求线性规划问题的所有基矩阵。
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵（不等于0）只有9个，即
第五节 线性规划问题解的概念和性质
凸性的几个基本概念 一、凸集 设S En，对任意两点X∈S ，Y∈S，若对满足0 ≤μ ≤1的一切 实数μ ，都有 μX+(1- μ)Y ∈ S 则称S为凸集。
X
Y
X
Y
凸集
凸集
非凸集
非
表示S 中两点 X，Y 连线上的任一点
凸集的几何意义：凸集S中任意两点 X，Y 连线上的点，都在凸集S中。
第五节 线性规划问题解的概念和性质
二、极点 设凸集S En, X∈S，如果X不能用S中不同的两点Y和Z 表示为 X =λY+(1-λ)Z (0<λ<1) 则称X为S的一个极点。 三、 凸组合 设Xi∈En, 实数μi ≥0,i = 1,2,… , s,且∑μi = 1，则称 X = μ1X1 + μ2X2 +…+ μsXs 为点 X1，X2，… ，Xs 的一个凸组合。
第二节 线性规划解的概念、性质及图解法
5
2.线性规划的图解法 2.线性规划的图解法
例 2.4: 某工厂拥有 A 、 B 、 C 三种 类型的设备，生产甲、乙两种产品。 类型的设备，生产甲、乙两种产品。 每件产品在生产中需要占用的设备机 时数， 时数，每件产品可以获得的利润以及 三种设备可利用的时数如下表所示：
产品甲 设备A 设备B 设备C 利润（元/件） 3 2 0 1500 产品乙 2 1 3 2500
无可行解的情况
22
2.线性规划的图解法 2.线性规划的图解法
根据以上例题，进一步分析讨 论可知线性规划的可行域和最优解 有以下几种可能的情况 1.可行域为封闭的有界区域 1.可行域为封闭的有界区域 (a)有唯一的最优解； (a)有唯一的最优解； (b)有无穷多个最优解； (b)有无穷多个最优解； 2.可行域为封闭的无界区域 2.可行域为封闭的无界区域 (c)有唯一的最优解； (c)有唯一的最优解；
31
2.线性规划解的概念 2.线性规划解的概念
直线B、E的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（E）、（G）的解，即： 的解， x(7) = (20,0,5,0,75)T 20, 75) 直线C、D的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（D）、（H）的解，即： 的解， x(8) = (0,25,15,15,0)T 25,15,15, 直线C、E无交点（C、E相互平行） 无交点（ 相互平行） 直线D、E的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（D）、（E）的解，即： 的解， x(9) = (0,0,65,40,75)T 65,40,75)
26
2.线性规划解的概念 2.线性规划解的概念
Max z = 1500 x1 + 2500 x2 s.t. 3x1+2x2+x3= 65 (A) (B) 2x1+x2+x4= 40 3x2+x5= 75 (C) x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥ 0 用（D）（E）（F）（G）（H） 分别表示x1 = 0、x2 = 0、x3 = 0、 x4 = 0、x5 = 0 。 这里一共有8个约束条件，其中3个等 式约束
2.线性规划的图解法 2.线性规划的图解法
例 2.4: 某工厂拥有 A 、 B 、 C 三种 类型的设备，生产甲、乙两种产品。 类型的设备，生产甲、乙两种产品。 每件产品在生产中需要占用的设备机 时数， 时数，每件产品可以获得的利润以及 三种设备可利用的时数如下表所示：
产品甲 设备A 设备B 设备C 利润（元/件） 3 2 0 1500 产品乙 2 1 3 2500
无可行解的情况
22
2.线性规划的图解法 2.线性规划的图解法
根据以上例题，进一步分析讨 论可知线性规划的可行域和最优解 有以下几种可能的情况 1.可行域为封闭的有界区域 1.可行域为封闭的有界区域 (a)有唯一的最优解； (a)有唯一的最优解； (b)有无穷多个最优解； (b)有无穷多个最优解； 2.可行域为封闭的无界区域 2.可行域为封闭的无界区域 (c)有唯一的最优解； (c)有唯一的最优解；
31
2.线性规划解的概念 2.线性规划解的概念
直线B、E的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（E）、（G）的解，即： 的解， x(7) = (20,0,5,0,75)T 20, 75) 直线C、D的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（D）、（H）的解，即： 的解， x(8) = (0,25,15,15,0)T 25,15,15, 直线C、E无交点（C、E相互平行） 无交点（ 相互平行） 直线D、E的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（D）、（E）的解，即： 的解， x(9) = (0,0,65,40,75)T 65,40,75)
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2.线性规划解的概念 2.线性规划解的概念
Max z = 1500 x1 + 2500 x2 s.t. 3x1+2x2+x3= 65 (A) (B) 2x1+x2+x4= 40 3x2+x5= 75 (C) x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥ 0 用（D）（E）（F）（G）（H） 分别表示x1 = 0、x2 = 0、x3 = 0、 x4 = 0、x5 = 0 。 这里一共有8个约束条件，其中3个等 式约束
第二章线性规划的基本性质
(LP)
， c (c1 , c 2 , , c n ) T R n ，
x ( x1 , x 2 , , x n ) T R n 是(LP)的决策变量。在(LP)中，不妨设 A 的秩 r(A)=m，并且 A 不含零向量列。
并称为是 x j 所对应的系数列向量， 则 a j 0( j 1, , n) 。 记向量 a j ( j 1, , n) 是矩阵 A 的第 j 个列向量， 集合 S { x R | Ax b, x 0} 为(LP)的可行域，约束 Ax b 称为(LP)的主约束， x 0 是非负约束。
m
Ax b ，所得解就是关于 B 的基本解。若此解满足非负条件，那么就是基本可行解。 xN 0
4
定义 2.2.3 设(2.2.2)是 S 关于 B 的基本可行解。若 B 1 b 0 ，则称(2.2.2)是非退化的基本可行解，B 为非退化的可行基，否则称(2.2.2)为退化的基本可行解，B 为退化的可行基。若 S 的所有基本可行解都 是非退化的，则称(LP)是非退化的。 例 2.2.1 考虑例 1.2.1，即
（1.1.1）
2．画出目标函数梯度即方向 c= (c1 , c 2 ) T ，经过 S 中某点的目标函数等值线（与 c 垂直） 。 3．沿 c 的反方向移动目标函数等值线直到再移动则等值线与 S 不再相交为止，或得知可无限移动。 4．求得最优解或得知不存在最优解。 下面通过一个具体例子说明如何用图解法求解问题(1.1.1)。 例1.1.1 用图解法求解线性规划问题
1
l
T
j
（2）(LP)存在最优解时，最优解可在某个极点达到。 根据定理 2.1.1 知和注 1.2.1 得知如下结论。 推论 2.1.1 若某一线性规划问题的可行域非空有界，则该问题一定存在最优解；若某一线性规划问 题存在最优解，最优解一定可在某个极点达到。
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线性规划解的关系图
最优解？
非可行解
可行解
基解
基可行解
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• 例：求基解、基可行解、最优解。
max
z 2 x1 3 x 2 x 3 x3 5 x1 x 2x x 4 10 1 2 x2 x5 4 xi 0, i 1,2,,...,5
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图解法
9— 8—
x2
•可行域为凸集 •目标函数不同时 等值线的斜率不同 •最优解在顶点产生
4x1 16
7—
6— 5—
目标函数等 值线的斜率 C
4 —B
3— 2— 1—
D
最优解 4 x2 16 x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4
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• 引理：可行解X为基可行解 X的正分量对应的列向量线性无关 • 定理2：线性规划问题的基可性解X 对应于可行域D的顶点。 证明：反证法。分两步。
• 定理3：若可行域有界，线性规划 问题的目标函数一定可以在 其可行域的顶点上达到最优。
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几点结论：
• 线性规划问题的可行域是凸集。 • 基可行解与可行域的顶点一一对 应，可行域有有限多个顶点。 • 最优解必在顶点上得到。
A
0பைடு நூலகம்
E
| 5
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图解法
9— 8—
x2
•可行域为凸集 •目标函数不同时 等值线的斜率不同 •最优解在顶点产生
X X (1) (1 ) X ( 2) 则X为顶点.
(0 1)
凸集
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凸组合：
设X（1) ,..., X ( k )是n维向量空间中的k个点, 若存在1 ,..., k , 且0 i 1, i 1,2,..., k ,
i 1
k
i
1,
1
n=2，k=3
( 2)
使X 1 X 2 X 则X为X
(1)
... k X
(k )
,..., X
(k )
的凸组合.
X
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基本定理
定理1: 若线性规划问题存在可行域, 则其可行域:
D X AX b, X 0)
是凸集. (1) ( 2) (1) ( 2) 证明: 设：X D, X D, X X
第三节 线性规划解的性质
线性规划解的概念 线性规划问题的几何意义 （单纯形法原理）
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线性规划问题解的概念
标准型
max Z CX AX b X 0
可行解:满足AX=b, X>=0的解X称为线性 规划问题的可行解。 最优解：使Z=CX达到最大值的可行解称 为最优解。
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基：若B是矩阵A中m×m阶非奇异 子矩阵（B≠0），则B是线性规划 问题的一个基。不妨设：
a11 ,..., a1m B .............. ( P 1 ,..., P m) a ,..., a mm m1
Pj , j=1，2，…,m —— 基向量。 X j ，j=1，2，…,m —— 基变量。 X j , j=m+1,…,n —— 非基变量。
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线性规划问题的几何意义
基本概念
对 X K， X 连线上的一切点
（ 1） （ 1） （ 2）
设 k是 n维欧氏空间的一点集， 凸集： K
αX （ 1 α ） X K， （ 0 α 1 ），则 K为凸集。
（ 2）
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顶点:若K是凸集，X∈K；若X不能用
不同的两点 X (1) K和X ( 2) K 的线性组合表示为：
是否基 可行解
Y Y Y N N Y N Y
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：求基解、基可行解、最优解 。 练习：
max z 2 x1 3 x2 0 x3 0 x4 0 x5 8 x1 2 x2 x3 4 x x4 16 1 4 x2 x5 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0 1 2 1 0 0 A 4 0 0 1 0 A的秩是 3. 0 4 0 0 1
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max Z CX
求解 AX b
X 0 a1m a11 ... x1 ... ... xm a a m1 mm
a1n b1 a1m 1 xm 1 ... ... xn ... ... b a a m mm1 mn
则有：AX AX
(1)
b, X b, X
(1)
0, 0
( 2)
( 2)
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返回
令X为X 和X 连线上的任意一点，则： X X (1) (1 ) X ( 2 ) (0 1) 显然，X 0
只要验证X在D中即可 将X代入约束条件，有：
(1)
( 2)
AX A(X (1) (1 ) X ( 2 ) ) AX (1) (1 ) AX ( 2 ) b (1 )b b 因此，X D, D是凸集。
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基变量 X B ( x1 , x2 ...xm )T 令
xm1 xm2 ... xn 0
' 1 ' 2 ' m
可求出：
X (b , b ,...b ,0,0,...,0)T
基解：称上面求出的X解为基解。 基可行解：非负的基解X称为基可行解 可行基：对应基可行解的基称为可行基
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解：
x1 x 2 x 3 x 4 x 5
1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 0 4 5 0 0 5 10 0 5 2.5 5 4 2 4 5 5 0 5 -5 0 0 3 10 4 2 0 5 4 0 -1 0 4 0 1.5 -3 0 0 0
最优解
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z
5 17 10 20 15 17.5 22 19
线性规划解的关系图
最优解？
非可行解
可行解
基解
基可行解
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• 例：求基解、基可行解、最优解。
max
z 2 x1 3 x 2 x 3 x3 5 x1 x 2x x 4 10 1 2 x2 x5 4 xi 0, i 1,2,,...,5
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图解法
9— 8—
x2
•可行域为凸集 •目标函数不同时 等值线的斜率不同 •最优解在顶点产生
4x1 16
7—
6— 5—
目标函数等 值线的斜率 C
4 —B
3— 2— 1—
D
最优解 4 x2 16 x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4
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• 引理：可行解X为基可行解 X的正分量对应的列向量线性无关 • 定理2：线性规划问题的基可性解X 对应于可行域D的顶点。 证明：反证法。分两步。
• 定理3：若可行域有界，线性规划 问题的目标函数一定可以在 其可行域的顶点上达到最优。
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几点结论：
• 线性规划问题的可行域是凸集。 • 基可行解与可行域的顶点一一对 应，可行域有有限多个顶点。 • 最优解必在顶点上得到。
A
0பைடு நூலகம்
E
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图解法
9— 8—
x2
•可行域为凸集 •目标函数不同时 等值线的斜率不同 •最优解在顶点产生
X X (1) (1 ) X ( 2) 则X为顶点.
(0 1)
凸集
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凸组合：
设X（1) ,..., X ( k )是n维向量空间中的k个点, 若存在1 ,..., k , 且0 i 1, i 1,2,..., k ,
i 1
k
i
1,
1
n=2，k=3
( 2)
使X 1 X 2 X 则X为X
(1)
... k X
(k )
,..., X
(k )
的凸组合.
X
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基本定理
定理1: 若线性规划问题存在可行域, 则其可行域:
D X AX b, X 0)
是凸集. (1) ( 2) (1) ( 2) 证明: 设：X D, X D, X X
第三节 线性规划解的性质
线性规划解的概念 线性规划问题的几何意义 （单纯形法原理）
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线性规划问题解的概念
标准型
max Z CX AX b X 0
可行解:满足AX=b, X>=0的解X称为线性 规划问题的可行解。 最优解：使Z=CX达到最大值的可行解称 为最优解。
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基：若B是矩阵A中m×m阶非奇异 子矩阵（B≠0），则B是线性规划 问题的一个基。不妨设：
a11 ,..., a1m B .............. ( P 1 ,..., P m) a ,..., a mm m1
Pj , j=1，2，…,m —— 基向量。 X j ，j=1，2，…,m —— 基变量。 X j , j=m+1,…,n —— 非基变量。
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线性规划问题的几何意义
基本概念
对 X K， X 连线上的一切点
（ 1） （ 1） （ 2）
设 k是 n维欧氏空间的一点集， 凸集： K
αX （ 1 α ） X K， （ 0 α 1 ），则 K为凸集。
（ 2）
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顶点:若K是凸集，X∈K；若X不能用
不同的两点 X (1) K和X ( 2) K 的线性组合表示为：
是否基 可行解
Y Y Y N N Y N Y
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：求基解、基可行解、最优解 。 练习：
max z 2 x1 3 x2 0 x3 0 x4 0 x5 8 x1 2 x2 x3 4 x x4 16 1 4 x2 x5 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0 1 2 1 0 0 A 4 0 0 1 0 A的秩是 3. 0 4 0 0 1
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max Z CX
求解 AX b
X 0 a1m a11 ... x1 ... ... xm a a m1 mm
a1n b1 a1m 1 xm 1 ... ... xn ... ... b a a m mm1 mn
则有：AX AX
(1)
b, X b, X
(1)
0, 0
( 2)
( 2)
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令X为X 和X 连线上的任意一点，则： X X (1) (1 ) X ( 2 ) (0 1) 显然，X 0
只要验证X在D中即可 将X代入约束条件，有：
(1)
( 2)
AX A(X (1) (1 ) X ( 2 ) ) AX (1) (1 ) AX ( 2 ) b (1 )b b 因此，X D, D是凸集。
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基变量 X B ( x1 , x2 ...xm )T 令
xm1 xm2 ... xn 0
' 1 ' 2 ' m
可求出：
X (b , b ,...b ,0,0,...,0)T
基解：称上面求出的X解为基解。 基可行解：非负的基解X称为基可行解 可行基：对应基可行解的基称为可行基
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解：
x1 x 2 x 3 x 4 x 5
1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 0 4 5 0 0 5 10 0 5 2.5 5 4 2 4 5 5 0 5 -5 0 0 3 10 4 2 0 5 4 0 -1 0 4 0 1.5 -3 0 0 0
最优解
上页
z
5 17 10 20 15 17.5 22 19