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5 ARIMA 模型预测

5.1 模型选取

目前，学术界较为成熟的预测方法很多，各种不同的预测方法有其所面向的特定对象，不存在一种普遍“最好”的预测方法。GM （1,1）模型预测是以灰色系统理论为基础，通过原始数据的分析处理和建立灰色模型，对系统未来状态作出科学的定量预测的一种方法。我们采用GM （1,1）模型是基于以下两方面的考虑：第一，GM （1,1）模型对数据要求较低，而其他多数预测方法以数理统计为基础，对样本量有较高要求。我们用来做预测的数据时序只有14年，预测使用GM （1,1）模型较好；第二，GM （1,1）模型的计算量相对较小，计算方法相对简单，适用性较好。

5.2 模型假设前提

1、假设未来重庆地区经济发展基本态势不变；

2、假设未来中央政府对重庆实施的政策方向基本不变；

3、假设未来不会出现战争、瘟疫及其它不可抗拒的自然或社会因素。

5.3 预测数据来源

预测样本为1997—2008年的重庆市农资价格指数、化学肥料价格指数、饲料价格指数。具体预测样本数据如下：

表5.1 1997—2008年重庆部分农资价格指数

单位：%

为提高数据预测的科学性，我们以1996年（直辖前）的农资价格为基期，

假设1996年农资产品价格为100元，则以后第i 年的农资产品价格计算公式如下：

i i Z Z G ⨯⨯⨯=∏ 1997100

经此换算，得到1997—2008年的预测样本。其中，NZJG 表示换算后的农资，HXFL 表示换算后的化肥，SL 表示换算后的饲料。具体见下表：

表5.2 1997—2008年转换后的预测样本

单位：元

5.4 GM （1,1）模型建立与检验

5.4.1 序列的建立

设由n 个原始数据组成的原始序列为x (0)(k)={x (0)(1),x (0)(2),…,x (0)(n)}。那么可以得到四个样本原始序列：

NZJG x (0)(k)= {105.9,95.7,…,120.3}； HXFL x (0)(k)= {93.6,81.8,…,89.9}； SL x (0)(k)= {96.6,87.9,…,118.7}。

5.4.2 级比检验

级别检验是GM （1,1）建模的数据检验，经计算可得： NZJG 级比序列={ 0.904,0.932 ,…, 1.198}； HXFL 地区序列={ 0.874, 0.965,…, 1.200 }； SL 地区序列={ 0.910, 0.919,…, 1.170}；

都落在界区（0.7515，1.3307）内。这表明，以上三个样本序列均可以进行GM （1,1）模型建模。

5.4.3 模型的方程

通过一次累加生成新序列：x (1)(k)={x (1)(1),x (1)(2),…,x (1)(n)}，则GM(1,1)

模型相应的微分方程为：μ=+）（）（11ax dt dx

其中，a 称为发展灰度，μ为内生控制灰度，它们是方程中重要的参数。通过求解微分方程，即可得到预测模型。由于GM （1,1）预测模型种类较多，我们选取其中较常用的一种如下：

a e a x x ak k μμ+⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

-=-+.1)1(1^ ),2,1,0(n k ， =

通过测算，我们得到三组a 、μ值和相应的四个拟合预测方程如下表

表5.3 拟合预测方程和a 、μ值

5.4.4 后验差检验

后验差检验包括残差的方差比（C ）和小误差概率（P ）。 首先算得知残差平均值为

历史数据方差为

[]

2

1

)0(1)()/1(∑--=n

i x k x n s

其中历史数据平均值为

残差方差为

()[]

2

121∑--=n

i k n s εε

后验差比值为

小误差概率为

经计算，我们同样得到四组方差比（C）和小误差概率（P）如下：

根据下列后验差检验结果判别表，我们认为四个模型均通过了后验差检验，有较好的预测精度。

表5.5 后验差检验结果判别表

5.4.5 相对误差检验

经过对模型进行拟合测算，得到以下四个相对误差表：

表5.6 NZJG GM(1,1)模型拟合相对误差表

表5.7 HXFL GM(1,1)模型拟合相对误差表

表5.8 SL GM(1,1)模型拟合相对误差表

综上分析，我们发现：以上四个模型的相对误差还是在合理的范围内，模型可靠，拟合精度较高，可以进行预测。

5.5模型预测

利用模型预测2009-2020年NZJG、HXFL、SL的具体数值，结果见表5.9。

表5.9 GM(1,1)模型预测结果

经过换算，我们可以得到2009-2020年重庆市农资价格指数、化学肥料价格指数、饲料价格指数的预测值如下：

表5.10 GM(1,1)模型预测换算结果

单位：%

附录

Null Hypothesis: NZJG has a unit root

Exogenous: None

Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=11)

t-Statistic Prob.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic -0.484387 0.5029 Test critical values: 1% level -2.595340

5% level -1.945081

10% level -1.614017

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation

Dependent Variable: D(NZJG)

Method: Least Squares

Date: 08/31/09 Time: 20:34