孙会元固体物理基础能带论37布洛赫电子的准运动

另外,当讨论电子在外场中的运动问题时,如果采用量子 力学处理,哈密顿中除了周期势外,还要考虑外势场.而且, 由于外场使得电子的状态和能量随时间变化,所以必须求 解包括外加势场在内的含时薛定谔方程.
求解含时薛定谔方程是很复杂的,为此人们把布 洛赫电子近似当作准经典粒子来处理,这样就避 免了复杂的数学运算,而且物理图像也比较直观.
n
(k
v
)
n
(k0
)
k
n
(k
)
k0
k
考虑到在k0 附近,调幅因子un,k包函数近似为：
n,k0 (r,t) 1 k
u (r )e d( k
2 k n,k0
i[(k0 k ) r 1[n (k0 )(kn (k ))k0 k ]t]
k)
2
2
2 (r ,t)A(r ,t)
n,k
n,k0
kx
ky
kz
n,k0
2
2
2
sin kx sin ky sin kz
(r ,t) (r ,t) 2
2
2 (r ,t)A(r ,t)
n,k
n,k0
kx
ky
kz
n,k0
2
2
2
上式即布洛赫波包函数
(r ,t) u (r )ei[(k0•r n (k0 )t]
k0
n,k0
某时刻，在坐标空间内找到电子的概率为：
2
n,k (r , t)
2
n,k0 (r , t)A(r ,t)
2
un,k0 (r )
A(r ,t) 2
附加因子A(r,t)的最大值为1(k 或,, 0时) .
2
当k
0
时,在坐标空间内找到电子的概率为
u n,k0
(r
)
,对应k0 本征态,电子的坐标完全不确定.
亦即外电场、磁场对布洛赫电子的作用采用 经典的处理方式，晶格周期场对电子的作用沿 用能带论量子力学的处理方式。
把布洛赫电子当作准经典粒子来处理的近似方 法称为准经典近似。下面我们首先给出布洛赫电 子的准经典模型，然后对这一模型的合理性给出 解释。
一、布洛赫电子的准经典模型
1.模型的表述
假设每个电子具有确定的位置r,波矢k和能带指标n,对
u (r ) n,k0
i[(k0 r n (k0 )t ]
k 2
i[ k (r (kn (k ))k0 t )]
k e e d( k ) k
2
(r ,t)
u n,k0
(r
)
ei[( k0
r n (k0 ) t ]
n,k
k
k i[ k (r (k n (k ))k0 t )]
e 2
k
如果k 0, 仅当,, 0时,波包的振幅最大,而 当 , , 0时,波包的振幅趋于零.这表明波包 局限在晶体的一个区域内,且位置是时间的函数.
由测不准关系,布洛赫电子的波矢完全确定,则
坐标是完全不确定的. 考虑到实际晶体中的电子态,往往v是一些本v 征态 的叠加.如果布洛赫电子的状态由 k0 附近k 范围 内的布洛赫本征态叠加构成,它将构成一个波包.
虽然波包的波矢不能完全确定，但是波包的空 间位置有一定的确定性。也就是说，这个叠加态 构成的波包以牺牲波矢的完全确定来换取坐标的 某种确定性。
于给定的εn(k),在外电场E(r,t)和外磁场B(r,t)的作用下,位 置、波矢、能带指标随时间的变化遵从如下规则:
1).能带指标n是运动常数，电子总呆在同一能带中，
忽略带间跃迁的可能性；
电
2).电子的速度满足：
rv•
v vn (k )
1 h
kv n
v (k )
子 的 运
3).波矢随时间的变化满足：
前面写波函数时,考虑到本征态是定态,没有考
虑时间因子,现在考虑时间因子后，布洛赫波函
数写成：
(r,t)
n
(k
,
r
)e
i
n
(
k
)t
i[k
e
rn (k )t]
u (r) n,k
由于波包包含不同能量本征态(不同的
v
v k
状态 v
具有不同的能量).忽略带间跃迁,可把 k0附近k 范
围内的布洛赫本征态叠加构成的波包函数写成:
3.7 布洛赫电子的准经典运动
前面我们讨论了晶体电子在周期势场中的本征态和本 征能量，从本征态和本征能量出发可以进一步研究晶体 中电子的基态和激发态
因为只要知道了电子本征态的分布，就可以根据统计 物理的基本原理去讨论系统中电子按能量的平衡态分布 问题，也可以讨论在外场下的量子跃迁问题，比如热激 发、光吸收和电子散射等。
d(
k)
2
考虑到 (r ,t) u (r )ei[(k0 r n (k0 )t]
k0
n,k0
并把被积函数中的矢量用分量表示，且令：
x
1
n (k
kx
)
k0
t
y
1
n (k
ky
)
k0
t
z
1
n (k
kz
)
k0
t
则波包函数可表示为：
sin kx sin ky sin kz
(r ,t) (r ,t) 2
在准经典模型中，能带仍然满足前面的对称性。
2.模型合理性的说明
下面我们从量子力学出发给出模型的合理解释
严格求解电子在外电场和外磁场作用下的
行为，应从含时薛定谔方程中得到：
[
1
(
p)
v eA)2
V
(rv)
e]
(rv,
t)
ih•
(rv,
t)
v
2m
A是与磁场相关的矢量势；是与电场相关的标量势
量子力学对应原理告诉我们,如果一个力学体
(r,t) 1 k
u (r )e dk k0
k 2
k0
k 2
n,k
i[k r n (k )t]
归一化因子
v 求和写成积分是同一能带中波矢 k是准连续的
令：k
v
k0
k
(r,t) 1 k
u (r )e dk k0
k 2
k0
k 2
n,k
i[k r n (k )t]
在k0附近将n (k )展开得：
系的态与态的变化可以用经典力学近似描述,则这
个态在量子力学中可以表示为一个波包.
波包就是指该粒子的空间分布在r0附近⊿r范 围内，动量取值在ħk0附近 ħ⊿k 范围内，且⊿r 与⊿k满足不确定性关系。
粒子运动的平均速度相当于波包中心移动的速度
晶体中,一个电子的本征状态v是由布洛赫波函数v 来描述的,它具有确定的波矢 k 和确定的能量n(k ).
动
v• hk
e[
Ev(rv,
t
)
vvn
v (k )
Bv(rv,
t
)]
方 程
hrv•kv•vn (ek[vE)v(rv,1ht)kvvvnn((kvkv)) Bv(rv,t)]
晶v格周期场的量子力学处理的结果全部体现 在n (k ) 中
因而准经典模型提供了从能带结构推断输运 性质，或反过来从输运性质的测量结果推断能带 结构的理论基础。