从算术到代数(含答案)

从算术到代数

（先阅读，再看例，最后尝试练习）

完成时间：建议两天

知识纵横

“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”(algebra)•可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”。著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言。”

用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别。

字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代表式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用。

例题

【例1】(河南省中考题)观察下列等式：

9-1=8,

16-4=12,

25-9=16,

36-16=20,

……

这些等式反映出自然数间的某种规律,设n表示自然数,用关于n的等式表示出来:____________.

思路点拨在观察给定的等式基础上,寻找数字特点,等式的共同特征,•发现一般规律.

解:(n+2)2-n2=4(n+1)

【例2】(竞赛题)某商品2000年比1999年涨价5%,2001年又比2000年涨价10%,•2002•年比2001年降价12%,则2002年比1999年( )

A.涨价3%

B.涨价1.64%

C.涨价1.2%

D.降价1.2%

思路点拨设此商品1999年的价格为a元,把相应年份的价格用a的代数式表示,由计算作出判断.解:选B.

【例3】 (竞赛题)有一张纸,第1次把它分割成4片,第2次把其中的1片分割分4片,•以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片,如此进行下去,试问:

(1)经5次分割后,共得到多少张纸片?

(2)经n次分割后,共得到多少张纸片?

(3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么?

思路点拨从简单情形入手,发现纸片数的特点是解本例的关键.

解:(1)因为每分割1次,就要增加3张纸片,所以经5次分割,共得到1+3×5=16•张纸片.

(2)经n次分割,共得到(1+3n)张纸片.

(3)若能分得2003张纸片,则1+3n=2003,3n=2002,无整数解,•所以不可能经若干次分

13

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割后得到2003年纸片.

【例4】 (竞赛题)在右图中有9个方格,要求每个方格填入不同的数,使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等,问:右图上角的数是多少?

思路点拨 虽然要求的只是右上角的数,但是题目的条件还与其他的数有关,因此,需恰当地引进不同的字母表示数,以便充分运用已知条件.

解:提示:如图,设相应方格中的数为x 1,x 2,x 3和x 4,问号处填的数为x,由已知条件得:x+x 1+x 2=x+x 3+x 4=x 1+x 3+13=x 2+19+x 4,这样,前面两个式子之和等于后面的两个式子之和,•即 2x+x 1+x 2+x 3+x 4=13+19+x 1+x 2+x 3+x 4,

∴2x=13+19,得x=16.

练习

1. (福州市中考题)给出下列算式:

12+1=1×2, 22+2=2×3, 32+3=3×4, ……

观察上面一列算式,你能发现什么规律,用代数式子表示这个规律:________. 2. (武汉市中考题)已知:2+

23=22×23,3+38=32×38,4+415=42×415

……, 若10+

a b =102×a

b

(a 、b 为正整数),•则a+b=_________. 3. (江苏省竞赛题)若(m+n)人完成一项工程需要m 天,则n 个人完成这项工程需要________

天.(假定每个人的工作效率相同)

4. (河南省竞赛题)某同学上学时步行,回家时坐车,路上一共要用90分钟,若往返都坐车,全部行程只需30分钟,如果往返都步行,那么,需要的时间是________.

5.一项工程,甲建筑队单独承包需要a 天完成,乙建筑队单独承包需要b 天完成,•现两队联合承包,完成这项工程需要( )天. A.

1a b + B.1a +1b C.ab

a b

+ D.1ab

6. (中考题)某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现,二月份比一月份增加10%,•

三月份比二月份减少10%,那么三月份比一月份( )

A.增加10%

B.减少10%

C.不增不减

D.减少1%

7.为了绿化环境,美化城市,在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪,•如果两块草坪的周长相同,那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是( ) A.S 1>S 2 B.S 1

1319x 4

x 3x 2x 1x

E

D B G F

C A 8. (江苏省竞赛题)从小明的家到学校,是一段长度为a 的上坡路接着一段长度为b 的下坡路(•两段路的长度不等但坡度相同).已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20%,走下坡路时的速度比走平路时的速度快20%,又知小明上学途中花10分钟,•放学途中花12分钟.

(1)判断a 与b 的大小;(2)求a 与b 的比值.

9.观察下列各正方形图形,每条边上有n(n ≥2)个圆点,每个图案中圆点的总数是S.

按时规律推断出S 与n 的关系式是__________.(广西中考题)

n=4,s=12

n=3,s=8n=2,s=4.......

10. (“希望杯”邀请赛试题)如图,将面积为

a 2的小正方形与面积

为b 2的大正方形放在一起(b>a>0),用a 、•b 表示三角形ABC 的

面积为________.

11. (天津市竞赛题)已知17个连续整数的和是306,那么,紧接在

这17个数后面的那17个整数的和为_________.

12. (南昌市中考题)用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所

示的规律,拼成若干个图案:(1)第4个图案中有白色地面砖_________块;(2)第n 个图案中有白色地面砖_________块.

13. (江苏省竞赛题)下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是( ) A.1627384950 B.2345678910 C.3579111300 D.4692581470