第七章 7.4基本不等式及应用-学生版

1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1

x 的最小值是2.( )

(2)函数f (x )＝cos x ＋

4cos x ，x ∈(0，π

2

)的最小值等于4.( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋y

x ≥2”的充要条件．( )

(4)若a >0，则a 3＋1

a

2的最小值为2a .( )

(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b

2≥ab 有相同的成立条件．( )

(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( ) 2、设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82

3、已知x >0，a >0，当y ＝x ＋a

x 取最小值时，x 的值为( )

A ．1

B ．a C.a D ．2a

4、若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ≤14 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2

D ．a 2＋b 2≥8

第1课时

进门测

5、若正数x ，y 满足x 2＋4y 2＋x ＋2y ＝1，则xy 的最大值为________．

无

题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 通过配凑法利用基本不等式

例1 (1)已知0

4x －5的最大值为________．

(3)函数y ＝x 2＋2

x －1(x >1)的最小值为________．

命题点2 通过常数代换法利用基本不等式

例2 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1

b 的最小值为________．

引申探究

作业检查

阶段训练

第2课时

1．若条件不变，求(1＋1a )(1＋1

b )的最小值．

2．已知a >0，b >0，1a ＋1

b ＝4，求a ＋b 的最小值．

3．若将条件改为a ＋2b ＝3，求1a ＋1

b 的最小值．

【同步练习】

(1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．

(2)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －

3＝(12)y ，若1x ＋m y (m >0)的最小值为3，则m ＝________.

题型二 基本不等式的实际应用

例3 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万

元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司年平均利润的最大值是________万元． 【同步练习】

1、某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x

8

天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．

1．基本不等式ab ≤a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a

b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛

⎭⎫a ＋b 22

(a ，b ∈R )．

(4)a 2＋b 22≥

⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．

第3课时

阶段重难点梳理

以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数

设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b

2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算

术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 2

4.(简记：和定积最大)

【知识拓展】

不等式的恒成立、能成立、恰成立问题

(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )； 若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )

(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；

若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ； 不等式f (x )

题型三 基本不等式的综合应用

重点题型训练

命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题

例4 (1)正实数x ，y 满足：1x ＋1

y

＝1，则x 2＋y 2－10xy 的最小值为_____．

(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8

a n 的最小值是________．

命题点2 求参数值或取值范围

例5 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m

a ＋3

b 恒成立，则m 的最大值为( )

A ．9

B ．12

C ．18

D ．24

(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11

x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．

【同步练习】

(1)已知函数f (x )＝x ＋a

x ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )

A.12

B.3

2 C ．1 D ．2

(2)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋

4

n

的最小值为( ) A.32 B.53 C.94 D.256

题型五 利用基本不等式求最值

例6 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2

y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．

(2)函数y ＝1－2x －3

x

(x <0)的值域为________．