极限的运算法则与性质
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极限的运算法则
2.型 有 理 式 及 无 理 式
1
方法：分子分母同时除以x 的最高次方幂
2
约最高次幂法
2x2 3
lim
x
3x2
1
.
(
型
)
[分析 ]当x时,分子 ,分母都趋于, 无穷大
先x用 2去 0 1 除分,转 子化 分为 母 ,再 无0求 2穷 .极 小限
2x2 3
lim
x
3x解2
1
lim
x
2 3
lim x1
x3 1
(x1)(x2) lx i1m (x1)(x2x1)
0 0
x2
lx im 1 x2
1 x1
求ln i m (n12n22 nn2) .
n时,是无穷小之和．
01 先变形再求极限.
02
说明:无穷多个无穷小 量之和不一定是无穷小
03
解l n i(n 1 m 2 n 2 2 n n 2 0)4 l n i 例1 m 2 n 2 n
3 x2 1 x2
例1
lim(2
x
3 x2 )
1
lim(3
x
x2 )
20 2 30 3
lim x 1 . ( 型 ) x x2 x 1
lim
x
1 x 1例 21
x
1
x2
1 x2
lim ( 1 x x
1 x2
)
0
lim (1
x
1 x
1 x2
)
例3
3x2 x2 lx im 4x3 2x3.(
型
)
lim
x
3 x
1
x2 2
2
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
03极限的运算法则与性质
解
x2
x 2 x 2
lim
lim
x2 x 2 x2 x 2 x 2
x 2 x 2
lim
2 2.
x2
x2
上例给出了无理函数求极限的一般方法: 有理化.
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铃
例8 求 lim 4x 1 3. x2 x 2 2
解
lim
4x 1 3
x2 x 2 2
4x 1 3 4x 1 3 x 2 2 lim
x2 x 2 2 x 2 2 4x 1 3
4 x 2
lim
x 2 2 8.
x2 x 2 4x 1 3 3
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铃
二、极限的性质
1. 收敛数列的有界性
定理 收敛数列必有界.
x1 x3
【
M1
(
xN+1 xN+3
xN+2
)
a
xN
a 1
a 1
推论: 无界数列必发散.
x2 】 M2 x
注意, 该定理不是充分必要条件.
例如数列 xn 1 n1 是有界数列但是发散的.
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铃பைடு நூலகம்
与数列的有界性定理平行的是:
定理 （局部有界性）如果极限 lim f (x)存在 , 那么
x2
x2
x2
2 22 4 2 31 13.
3
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铃
由上例得到多项式函数在有限点的极限的一般公式:
极限的运算法则
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3
性质与极限运算法则
且 g( x) A，lim f ( x) B, 则 lim f [g( x)] B.
xA
xX
这一性质是用变量替换求极限的理论基础，
lim f [ g( x)] lim f ( y ) B.
xX
y A
注意条件 g( x) A 不能省去.
例1. lim sin x 1 x0 x
例如：lim sin x ? 0 x x
lim sin x x x
?
2
2
2、在lim sin x中，若x是一个其他的变量，(例如是x的函数)， x x0
记作* 那么如果满足下列两点，则lim sin* 1仍成立。 * *0
(1)三个* 处是相同的；
(2) * 表示的变量必须是趋于0的。
第2.3节
第二章
函数极限的性质与运算法则
一 、极限的性质与四则运算法则 二、 极限四则运算法则的应用
一、极限的性质与四则运算法则
定义2.3 函数 f ( x) 称为在 x x0 下是有界的, 如果 有一个 x0 的去心邻域 O ( x0 ) \ { x0 }, f ( x) 在其中是有 界的, 即存在 M 0, 使得 x O ( x0 ) \ { x0 } 时
(3)
lim
e
1 x2
y
1 x2
lim e y
x0
y
1
lim
y
e
y
0.
2、极限四则运算的应用 利用极限四则运算法则求极限时，必须满足定理的条件：
参加求极限的函数应为有限个，每个函数的极限都必须存在 考虑商的极限时，还需要求分母的极限不为零。
例1、求极限 lim 2x2 x 5 (直接代入法) x2 3x 1
2.3极限性质、法则
x →0
(2) lim e
x →∞
(3) lim e
x→0
解：（1） ：（ ）
Q lim 2 +
x→0
1 x
1 y = x
y→+∞ →+∞
lim 2 y
= +∞
x→0
lim− 2
1 x
1 y = x
1 x
y→−∞ →−∞
lim 2
y
1 t = − y lim =0 t t →+∞ 2
∴ lim 2 不存在
令δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时有
A+ B g( x ) < < f ( x) 2
【2-3-3】
3、推论1： 、推论 ：
若 lim f ( x ) = A > B(或 < B ), 则∃δ > 0, 使得
x → x0
当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > B(或 < B )
即A − 1 < f ( x ) < A + 1, 所以f ( x )局部有界
【2-3-1】
二、局部保序性 1、定理： lim 、定理： 若
x → x0
f ( x ) = A, lim g( x ) = B , 且A > B , 则∃δ > 0,
x → x0
使得当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > g( x )
【2-3-5】
2、※证明： 、 证明：
x → x0
对 ∀ε > 0
Q lim g ( x ) = A,∴ ∃δ 1 > 0, 使当x ∈ Oδ 1 ( x0 ) \ { x0 }时,
(2) lim e
x →∞
(3) lim e
x→0
解：（1） ：（ ）
Q lim 2 +
x→0
1 x
1 y = x
y→+∞ →+∞
lim 2 y
= +∞
x→0
lim− 2
1 x
1 y = x
1 x
y→−∞ →−∞
lim 2
y
1 t = − y lim =0 t t →+∞ 2
∴ lim 2 不存在
令δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时有
A+ B g( x ) < < f ( x) 2
【2-3-3】
3、推论1： 、推论 ：
若 lim f ( x ) = A > B(或 < B ), 则∃δ > 0, 使得
x → x0
当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > B(或 < B )
即A − 1 < f ( x ) < A + 1, 所以f ( x )局部有界
【2-3-1】
二、局部保序性 1、定理： lim 、定理： 若
x → x0
f ( x ) = A, lim g( x ) = B , 且A > B , 则∃δ > 0,
x → x0
使得当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > g( x )
【2-3-5】
2、※证明： 、 证明：
x → x0
对 ∀ε > 0
Q lim g ( x ) = A,∴ ∃δ 1 > 0, 使当x ∈ Oδ 1 ( x0 ) \ { x0 }时,
极限的性质及运算法则
去心邻域 在该邻域内 有f(x)0(或f(x)0) 定理3 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)
而且 lim f(x)=A 那么 A0(或 A0)
x x0
推论 如果j(x)f(x) 而limj(x)=a limf(x)=b 那么ab
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2x3 x2 5 lim = 2 2x 1 x 3x
•讨论
有理函数的极限 lim
a0 x n a1x n 1 an b0 xm b1 x m 1 bm
x
=?
•提示
0 0 a0 x n a1x n 1 an a0 a0 x n a1x n 1 an a0 lim lim = = m b x m 1 b m b x m 1 x b x x b x bm b b 0 0 1 1 m 0 0
当 Q ( x 0 ) = 0 且 P ( x 0 ) 0 时
lim
当Q(x0)=P(x0)=0时 约去分子分母的公因式(xx0)
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3x3 4x2 2 例5 例 5 求 lim 3 5x 2 3 x 7 x
解 先用x3去除分子及分母 然后取极限
二、极限的四则运算法则
定理5 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 则 lim[f(x)g(x)] 存在 并且 lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB lim [c f(x)]=c lim f(x) (c 为常数)
x 1 x 1 x 1 x 1
1.3极限的运算法则和性质
例如,
lim sin x 0 , 函数 sin x 是当 x 0时的无穷小
x 0
.
lim
1 x
x
0,
n
函数
1 x
是当 x 时的无穷小
n
.
lim
( 1) n
n
0 数列 { ,
( 1) n
}是当 n 时的无穷小
.
又如： 当 x 1时 ， x 1是 穷 量 无 小 ；
3
) lim
x x 1 3
2
x 1
2
1 x
x 1
3
3
( x 1) ( x 2)( x 1) lim 2 x 1 ( x x 1)( x 1) x2 1. lim 2 x 1 x x 1
x 1 3
lim
x x2
lim
x
m n
a0 b0
lim x
x
mn
x
x
b0 0,
,
n m; n m; n m.
,
总结：(1)有理函数在无穷远的极限
—无穷小因子分出法
a0
lim
Pm( x ) Qn( x )
x
lim
a0 x a1 x b0 x b1 x
n
m
m 1 n 1
22/22
2
函数极限的性质
定理4(唯一性定理) 如果函数在某一变化过程中
有极限，则其极限是唯一的．
定理5(有界性定理) 若函数f (x)当x→ x0时极限存在，
则必存在x0的某一邻域，使得函数f (x)在该邻域内有界． 定理6(保号性定理) 若函数f (x)当x→ x0时极限为A， 且A>0(或A<0),则在x0的某一去心邻域内，恒有
高等数学极限的运算法则与性质
例1
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x2
x3 1 3x
5
lim( x3 1)
x
a0 xm b0 xn
a1xm1 b1xn1
am bn
0,当n m,
,当n m,
7
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例4
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限.
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2
13
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3. 函数极限的局部保号性
如果lim f (x) A, 且A 0(或A 0),那么 x x0
存在常数 0, 使得当0 x x0 时，有
f (x) 0(或f (x) 0).
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问题讨论
思考题
在某个过程中，若 f ( x) 有极限，g( x) 无极限，那么f ( x) g( x)是否有极限？为
1.3极限的性质与运算法则
ESC
一.一. 极限的四则运算法则 极限的性质与四则运算法则
例1 求 lim(5 x 2 + 3 x − 1) .
x →1
解 由极限的四则运算法则 原式 = lim 5 x
x →1 2
+ lim 3x − lim1
x →1 x →1
和的极限 = 5 lim x 2 + 3 lim x − 1 = 5(lim x) 2 + 3 × 1 − 1 =极限的和 极限的和 x →1 x →1 x →1 常数因子可提到 极限符号之前
ESC
课堂练习
1.求下列函数的极限 . (1) xlim sin x (2) xlim arctan x x →∞ x →∞
(3) lim(x2 + x)cos 1 x
设 lim f (x) = A ,
lim g ( x) = B , 则
f (x) (3) 若 limg( x) = B ≠ 0 ,商的极限 lim 存在, 商的极限 存在 且 g(x)
f (x) lim f (x) A lim = = . g(x) lim g(x) B
要注意极限的四则运算 法则使用的前提条件！ 法则使用的前提条件！
= 5 × 12 + 3 × 1 − 1 = 7.
由该题计算结果知， 由该题计算结果知，对多项式
有
Pn(x) = a0 xn + a1xn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1x + an (a0 ≠ 0) ,
x → x0
lim P (x) = a0 x0 + a1 x0 n
n
n−1
+ ⋅ ⋅ ⋅ + an−1 x0 + an
一.一. 极限的四则运算法则 极限的性质与四则运算法则
例1 求 lim(5 x 2 + 3 x − 1) .
x →1
解 由极限的四则运算法则 原式 = lim 5 x
x →1 2
+ lim 3x − lim1
x →1 x →1
和的极限 = 5 lim x 2 + 3 lim x − 1 = 5(lim x) 2 + 3 × 1 − 1 =极限的和 极限的和 x →1 x →1 x →1 常数因子可提到 极限符号之前
ESC
课堂练习
1.求下列函数的极限 . (1) xlim sin x (2) xlim arctan x x →∞ x →∞
(3) lim(x2 + x)cos 1 x
设 lim f (x) = A ,
lim g ( x) = B , 则
f (x) (3) 若 limg( x) = B ≠ 0 ,商的极限 lim 存在, 商的极限 存在 且 g(x)
f (x) lim f (x) A lim = = . g(x) lim g(x) B
要注意极限的四则运算 法则使用的前提条件！ 法则使用的前提条件！
= 5 × 12 + 3 × 1 − 1 = 7.
由该题计算结果知， 由该题计算结果知，对多项式
有
Pn(x) = a0 xn + a1xn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1x + an (a0 ≠ 0) ,
x → x0
lim P (x) = a0 x0 + a1 x0 n
n
n−1
+ ⋅ ⋅ ⋅ + an−1 x0 + an
23性质与极限运算法则-精品文档
说明:
sin x 必须在 x 0 的过程中才 1 、使用公式 lim 1 时， x 0 x 2 sin x sin x lim ? 0 例如： lim ? x x x x 2
sin x ( 例如是 x 的函数 ) ， 2 、在 lim 中， 若 x 是一个其他的变量， x 0 x sin* 则 lim 1 仍成立 记作 * 那么如果满足下列两点 ， * 0 * (1)三个 *处是相同的；
x X
性质2.10 若 lim g ( x ) A （这里 A 可以是无穷
x X
且 g ( x ) A ， lim f( x ) B ,则 lim f[ g ( x )] B .
x A x X
这一性质是用变量替换求极限的理论基础，
x X
lim f [ g ( x ) ] lim f ( y ) B .
(2)*表示的变量必须是趋于 0 的。
sin 2 x 例 2 、求 lim x 0 sin 3 x
解:
0 0
sin2x 2x 2 sin 2 x 3 x 2 x lim lim lim ( ) x0 0 sin3x x 2 x sin 3 x3 x x0 3x 3
性质2.9
x X
若 lim f ( x ) A , lim g ( x ) B ，则
x X x X
x X
lim [ Cf ( x )] C lim f ( x ) CA ( C 是与 x 无关 ) ;
x X
lim [ f ( x ) g ( x )] lim f ( x ) lim g ( x ) A B ;
x X
极限过程 x X 所允许的某一邻域内有 界 . lim f(x )A , lim g (x ) 性质2.6 （局部保号性）若 x X x X
函数极限的性质及运算法则
=
23 -1 22 -10+3
=
-
7 3
x2
二、函数极限的运算法则
例例33
求 lim x3
x-3 x2 -9
解
解 lim
x 3
x-3 = lim x2 -9 x3
x-3 = lim (x-3)(x+3) x3
1 x+3 =
lim 1
xx33
=1
lim (x+3) 6
xx33
例例44
求 lim 2x-3 x1 x2 -5x+4
x
3 sin = 3 lim x x 3
x
= 31
=3
三、两个重要极限
(2)
lim(1 + 1 )x = e
x
x
lim(1 + 1 )n = e
n
n
三、两个重要极限
证明：当 x 1时, 有 [ x] x [ x] + 1,
(1 + 1 )[ x] (1 + 1 ) x (1 + 1 )[ x]+1 ,
解 因解解为 limlimx2x-25-x5+x4+4==121-25-51+14+4==0 0 xx11 2x2-x3-3 221-13-3
根据无穷大与无穷小的关系得
lim
x1
2x-3 x2 -5x+4
=
二、函数极限的运算法则
•讨论
有理函数的极限 lim P(x) = ? xx0 Q(x)
•提示
§2.3 函数极限的性质及运算法则
一、函数极限的性质 二、函数极限的运算法则 三、两个重要极限
高等数学极限知识点总结
高等数学极限知识点总结
以下是高等数学极限知识点总结：
1. 极限的定义：极限是描述函数在某一点的行为的数学工具。
它包括数列的极限和函数的极限。
2. 极限的性质：包括唯一性，有界性，和收敛性。
3. 极限的四则运算法则：如果lim f(x)，lim g(x)存在，那么对于加减乘除四种运算，极限都存在。
4. 极限的夹逼定理：如果一个数列被两个已知极限的数列夹在中间，那么这个数列的极限就是这两个数列的极限。
5. 函数极限的运算法则：如果lim f(x)存在，那么lim [f(x) + c] = lim f(x) + lim c，lim [f(x) c] = lim f(x) lim c，其中c是一个常数。
6. 无穷小和无穷大的概念：无穷小是一个趋于0的变量，无穷大是一个趋于无穷的变量。
7. 洛必达法则：当分子和分母的极限都存在时，可以求出函数的极限。
8. 泰勒级数：将一个函数表示为其各阶导数的无限和的方法。
9. 单侧极限和双侧极限：函数在某一点的单侧极限是指函数在该点的左侧或右侧的极限；双侧极限是指函数在这一点左侧和右侧的极限。
10. 连续性和可微性：如果一个函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则称该函数在该点连续；如果一个函数在某一点的导数存在，则称该函数在该点可微。
以上就是高等数学极限的基本知识点，希望对你有所帮助。
极限的性质与四则运算法则
例
求 极li限 m2x53x21。 x4x5 x3 7
计算过程
练习 求 极ln i限 m3n4n57n132。 答案 0 很容易可以看出，这一类的极限只和分子、分母的次数 以及(次数相等时)最高次项的系数有关。
例4 求xl i m27xx3334xx2215.
解 xl im 27xx3334xx2215xl im 72xx43xx1533
limf1(x)limf2(x)limfn(x)
推论4 如果 limf(x)存在 ,而k是正整 ,则数 limf[(x)]k [limf(x)]k.
推论5 如果 limf(x)存在且,不 而 k是 为正 零,整 则数 limf([x) ]k [lim f(x) ]k.
注 ⑴应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为 零、偶次根号下非负等；
答案 a b
当x→-∞时结果为-(a+b)，故x→∞ 时极限不存在
例7 求limx2 2x. x2 x2
解 原 l式 im x 2 2 xx 2 2 x x 2 x 2 x 2 2 x
lim x22x x 2x2 x2 2x
23 1 3
7. 3
x2
例2 求xl im 1x24x2x13.
解 lim (x22x3) 0, x 1
又 lim (4x1) 30,
x 1
limx22x3 0 0. x1 4x1 3
商的法则不能用
由无穷小与无穷大的关系,得 xl im 1x24x2x13.
0
lx i m b am nxxm n a bm n 1 1xxn m 11 a b00
a b
n m
06[1].极限四则运算法则与基本性质
![06[1].极限四则运算法则与基本性质](https://img.taocdn.com/s3/m/ecaf94ea998fcc22bcd10d88.png)
f ( x) f ( x) A (4) 如果还有 B ≠ 0, 则 lim 亦存在,且有:lim = . g ( x) g ( x) B 证明 设 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B . 任给 ε > 0 , 取 δ > 0 ,
x→ x0 x→x0
欲证 0 < x x0 < δ ( f ( x) + g ( x)) ( A + B) < ε , ∵ ( f ( x) + g ( x)) ( A + B) ≤ f ( x) A + g ( x) B ,
x→ x0
当 0 < x x0 < δ
( x) A < ε 1 = A ε
于是对此 δ > 0 ,当 0 < x x0 < δ 时 :
( x) A =
≤ A ε A =ε ;
( x) A ( x) A = ( x) + A ( x) + A
∴ lim (x) = A .
x→x0
n1
h( x) a0 x n + a1 x n1 + + + an1 x + an = 或者说,当 f ( x) = , m m 1 g ( x) b0 x + b1 x + + +bm1 x + bm 且 g ( x0 ) = b0 x0 + b1 x0
m m 1
+ + +bm1 x0 + bm ≠ 0 时,
( x x0 ) h1 ( x) h1 ( x) h( x ) 于是 lim f ( x) = lim = lim = lim x → x0 x → x0 g ( x ) x → x0 ( x x ) g ( x ) x → x0 g ( x) 0 1 1
x→ x0 x→x0
欲证 0 < x x0 < δ ( f ( x) + g ( x)) ( A + B) < ε , ∵ ( f ( x) + g ( x)) ( A + B) ≤ f ( x) A + g ( x) B ,
x→ x0
当 0 < x x0 < δ
( x) A < ε 1 = A ε
于是对此 δ > 0 ,当 0 < x x0 < δ 时 :
( x) A =
≤ A ε A =ε ;
( x) A ( x) A = ( x) + A ( x) + A
∴ lim (x) = A .
x→x0
n1
h( x) a0 x n + a1 x n1 + + + an1 x + an = 或者说,当 f ( x) = , m m 1 g ( x) b0 x + b1 x + + +bm1 x + bm 且 g ( x0 ) = b0 x0 + b1 x0
m m 1
+ + +bm1 x0 + bm ≠ 0 时,
( x x0 ) h1 ( x) h1 ( x) h( x ) 于是 lim f ( x) = lim = lim = lim x → x0 x → x0 g ( x ) x → x0 ( x x ) g ( x ) x → x0 g ( x) 0 1 1
极限的性质与运算法则
限;
b.分解因子法求极限;
c.函数倒数求极限;
d.利用最高次幂求分段函数极限.
x 1
4x 3 x2 3x 2
解 因为分母的极限为0，不能直接使用运算法则。所以求极限的
方法取决于分子极限的状况。本题分子极限不等于零，这时我们 先来考虑原来函数倒数的极限。 2 2 lim ( x 3 x 2) x 3 x 2 x 1 0 lim 0 x 1 4x 3 lim(4 x 3) 43 x 1 即
项
§1.4 极限的性质与四则运算法则
• 一般地，当 x 时，有理分式（ a0 0,b0 0 ） • 的极限有以下结果：
0, n m ， a x n a1 x n1 an a0 ＝ , n m ， lim m m 1 x b x b x bm b0 1 , n m． • 练习：求下列极限
§1.4 极限的性质与四则运算法则
§1.4 极限的性质与四则运算法则
1.4.1 极限的性质
1.4.2极限四则运算法则
§1.4 极限的性质与四则运算法则
1.4.1极限的性质
性质1.5（唯一性）若极限 lim f (x) 存在，则极限值唯一。
f ( x) 存在，则函数 f (x） 性质1.6（有界性）若极限 xlim x
x2 3x 2 是x 1 4x 3
时的无穷小，由无穷小与无穷大的
倒数关系，得到
4x 3 lim 2 x3 x 3 x 2
§1.4 极限的性质与四则运算法则
例4
2 x 9 求 lim . 2 x3 x 2 x 3
解 显然, 分子与分母的极限都是0.
(x 3)( x 3) 原式 lim x 3 (x 3)( x 1)
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⑶若 B 0, 则有
lim f (x) A lim f (x) . g(x) B lim g(x)
2
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例1 求极限 lim 2x2 4x 3 . x2
解 由运算法则得
lim 2x2 4x 3 lim2x2 lim4x lim3
x2
x2
x2
x2
2
2 lim x 4lim x 3lim1
4x 1 3 4x 1 3 x 2 2 lim
x2 x 2 2 x 2 2 4x 1 3
4 x 2
lim
x2 2 8.
x2 x 2 4x 1 3 3
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二、极限的性质
1. 收敛数列的有界性
定理 收敛数列必有界.
x1 x3
【
M1
3.
解因
x2 2x 3 x2 1
x 1 x 3 x 1 x 1
约分
x3 x 1
所以
lim
x1
x2
2x x2 1
3
lim
x1
x x
3 1
2.
7
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例4
求极限
2x3 3x2 2x 1
lim
x
3x3
x2
2x
3
.
解 分子分母均除以 x3, 得
2x3 3x2 2x 1 lim x 3x3 x2 2x 3
x x0
u u0
11
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例6 求极限 lim 2x 3. x2
解 令u 2x 3, f (u) u ,则函数 f (u),u g(x)
满足定理的条件, 由此得到
lim 2x 3 lim u 7.
x2
u7
12
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x2
例7 求 lim
.
x2 x 2
1 x2
1 x3
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对上面几个例子的分析, 得到有理函数f x当 x
时的极限公式:
lim
x
Pm (x) Pn (x)
lim
x
a0 xm a1xm1 b0 xn b1xn1
a0
b0
0
nm mn
am1x am bn1x bn
基本方法: 除以最高次幂.
10
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若
f (x) a0xm a1xm1 am1x am Pm (x) , b0xn b1xn1 bn1x bn Pn (x)
且 Pn (x0 ) 0, 则:
lim
xx0
f
(x)
lim
xx0
Pm (x) Pn (x)
f
(x0 ).
6
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例3
求极限
lim
x1
x2
2x x2 1
x2
x2
x2
2 22 4 2 31 13.
3
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由上例得到多项式函数在有限点的极限的一般公式:
若
f (x) a0xn a1xn1 an1x an ,
则
lim f (x)
x x0
lim x x0
a0xn a1xn1
an1x an f (x0).
231 lim x
2
1 x2
1 x3
2.
x
3
1 x
2
1 x2
3
1 x3
3
8
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例5
求极限 lim
x2 x 1 .
x x3 2x2 2x 1
解 分子分母均除以 x3, 得
x2 x 1 lim x x3 2x2 2x 1
lim
1 x
1 x2
1 x3
0.
x
1
2
1 x
2
(
xN+1 xN+3
xN+2
)
a
xN
a 1
a 1
推论: 无界数列必发散.
x2 】 M2 x
注意, 该定理不是充分必要条件.
例如数列 xn 1 n1 是有界数列但是回
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与数列的有界性定理平行的是:
定理 （局部有界性）如果极限 lim f (x)存在 , 那么
xx0
在
x0 的某个去心邻域内,
函数
f (x)
y
有界.
有界性的几何意义.
A1
y f x
上界与下界
A
A 1
局部范围
O x0 x0 x0
x
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2.有极限的函数的局部保号性
定理 （极限的保号性） 如果 lim f (x) A 0, 则存在
x0 的某个去心邻域内,
xx0
使得在该邻域中有:
有极限函数的局部保号性
18
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课后练习
P25 习题1-3
1, 2
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一、极限运算法则
为简化起见, 以lim表示自变量 x的下列任一种变化
趋势:
x x0, x x0 , x , x .
1
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法则1（极限四则运算法则）设
lim f (x) A,lim g(x) B,
则
⑴ lim f (x) g(x) A B lim f (x) lim g(x); ⑵ lim f (x)g(x) AB lim f (x) lim g(x);
f x 0.
y
保号性的几何意义.
3A/ 2
y f x
保持符号
A
A/2
局部范围
O x0 x0 x0
x
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小结
极限的运算法则
极限四则运算法则
复合函数的极限运算法则
极限的性质
lim f u( x) lim f (u) A
x x0
uu0
收敛数列的有界性 有极限函数的局部有界性
4
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例2
求极限 lim 2x 1 .
x1 x2 x 3
解因
lim x2 x 3 5 0,
x 1
所以由商的运算法则得
lim
2x 1
lim2x 1
x 1
3.
x1 x2 x 3 lim x2 x 3 5
x 1
5
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更一般地有有理函数在有限点处的求极限法则:
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法则2（复合函数的极限运算法则 ） 设 lim f (u) A, u u0
又设函数 u g( x) 当 x x0 时的极限存在且等于 u0 ,
但在点 x0的某去心领域内u(x) u0,则复合函数 f [u(x)]
当 xxx0x0 时的极限存在, 且
lim f [u(x)] lim f (u) A.
解
x2
x 2 x 2
lim
lim
x2 x 2 x2 x 2 x 2
x 2 x 2
lim
2 2.
x2
x2
上例给出了无理函数求极限的一般方法: 有理化.
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例8 求 lim 4x 1 3. x2 x 2 2
解
lim
4x 1 3
x2 x 2 2
lim f (x) A lim f (x) . g(x) B lim g(x)
2
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例1 求极限 lim 2x2 4x 3 . x2
解 由运算法则得
lim 2x2 4x 3 lim2x2 lim4x lim3
x2
x2
x2
x2
2
2 lim x 4lim x 3lim1
4x 1 3 4x 1 3 x 2 2 lim
x2 x 2 2 x 2 2 4x 1 3
4 x 2
lim
x2 2 8.
x2 x 2 4x 1 3 3
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二、极限的性质
1. 收敛数列的有界性
定理 收敛数列必有界.
x1 x3
【
M1
3.
解因
x2 2x 3 x2 1
x 1 x 3 x 1 x 1
约分
x3 x 1
所以
lim
x1
x2
2x x2 1
3
lim
x1
x x
3 1
2.
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例4
求极限
2x3 3x2 2x 1
lim
x
3x3
x2
2x
3
.
解 分子分母均除以 x3, 得
2x3 3x2 2x 1 lim x 3x3 x2 2x 3
x x0
u u0
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例6 求极限 lim 2x 3. x2
解 令u 2x 3, f (u) u ,则函数 f (u),u g(x)
满足定理的条件, 由此得到
lim 2x 3 lim u 7.
x2
u7
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x2
例7 求 lim
.
x2 x 2
1 x2
1 x3
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对上面几个例子的分析, 得到有理函数f x当 x
时的极限公式:
lim
x
Pm (x) Pn (x)
lim
x
a0 xm a1xm1 b0 xn b1xn1
a0
b0
0
nm mn
am1x am bn1x bn
基本方法: 除以最高次幂.
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若
f (x) a0xm a1xm1 am1x am Pm (x) , b0xn b1xn1 bn1x bn Pn (x)
且 Pn (x0 ) 0, 则:
lim
xx0
f
(x)
lim
xx0
Pm (x) Pn (x)
f
(x0 ).
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例3
求极限
lim
x1
x2
2x x2 1
x2
x2
x2
2 22 4 2 31 13.
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由上例得到多项式函数在有限点的极限的一般公式:
若
f (x) a0xn a1xn1 an1x an ,
则
lim f (x)
x x0
lim x x0
a0xn a1xn1
an1x an f (x0).
231 lim x
2
1 x2
1 x3
2.
x
3
1 x
2
1 x2
3
1 x3
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例5
求极限 lim
x2 x 1 .
x x3 2x2 2x 1
解 分子分母均除以 x3, 得
x2 x 1 lim x x3 2x2 2x 1
lim
1 x
1 x2
1 x3
0.
x
1
2
1 x
2
(
xN+1 xN+3
xN+2
)
a
xN
a 1
a 1
推论: 无界数列必发散.
x2 】 M2 x
注意, 该定理不是充分必要条件.
例如数列 xn 1 n1 是有界数列但是回
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与数列的有界性定理平行的是:
定理 （局部有界性）如果极限 lim f (x)存在 , 那么
xx0
在
x0 的某个去心邻域内,
函数
f (x)
y
有界.
有界性的几何意义.
A1
y f x
上界与下界
A
A 1
局部范围
O x0 x0 x0
x
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2.有极限的函数的局部保号性
定理 （极限的保号性） 如果 lim f (x) A 0, 则存在
x0 的某个去心邻域内,
xx0
使得在该邻域中有:
有极限函数的局部保号性
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课后练习
P25 习题1-3
1, 2
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一、极限运算法则
为简化起见, 以lim表示自变量 x的下列任一种变化
趋势:
x x0, x x0 , x , x .
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法则1（极限四则运算法则）设
lim f (x) A,lim g(x) B,
则
⑴ lim f (x) g(x) A B lim f (x) lim g(x); ⑵ lim f (x)g(x) AB lim f (x) lim g(x);
f x 0.
y
保号性的几何意义.
3A/ 2
y f x
保持符号
A
A/2
局部范围
O x0 x0 x0
x
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极限的运算法则
极限四则运算法则
复合函数的极限运算法则
极限的性质
lim f u( x) lim f (u) A
x x0
uu0
收敛数列的有界性 有极限函数的局部有界性
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例2
求极限 lim 2x 1 .
x1 x2 x 3
解因
lim x2 x 3 5 0,
x 1
所以由商的运算法则得
lim
2x 1
lim2x 1
x 1
3.
x1 x2 x 3 lim x2 x 3 5
x 1
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更一般地有有理函数在有限点处的求极限法则:
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法则2（复合函数的极限运算法则 ） 设 lim f (u) A, u u0
又设函数 u g( x) 当 x x0 时的极限存在且等于 u0 ,
但在点 x0的某去心领域内u(x) u0,则复合函数 f [u(x)]
当 xxx0x0 时的极限存在, 且
lim f [u(x)] lim f (u) A.
解
x2
x 2 x 2
lim
lim
x2 x 2 x2 x 2 x 2
x 2 x 2
lim
2 2.
x2
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上例给出了无理函数求极限的一般方法: 有理化.
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例8 求 lim 4x 1 3. x2 x 2 2
解
lim
4x 1 3
x2 x 2 2