极小值原理及应用
极小值原理及其应用
假设同定理5-1。
若 u* (t) 和 t f * 是使性能指标取最小值的最优解，x* (t)
为相应的最优轨线，则必存在n 维向量函数
，
使得 (t )
x*(t)和, u*(t), t f满* 足如(下t)必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
(t) H
x
式中哈密顿函数
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x* (t), (t), u* (t), t]
min
u (t )
H[x* (t
x(t f
)
（5-4）
③ 哈密顿函数相对最优控制为极小值
H (x*, u*, ) min H (x*, u, ) （5-5） u (t )
④ 哈密顿函数沿最优轨线保持为常数
当 t f 固定时
H[x* (t), u* (t), (t)]
（5-6）
H[x* (t f ), u* (t f ), (t f )] const
x为* (为t) 为相应的最优轨线，则必存在非零常向量 及 n 维向量函数 (t) ，使得 x*(t), u*(t), t f * 和 (t) 满足如下必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
式中哈密顿函数
(t) H
x
H (x, ,u) T (t) f (x,u)
H (x, ,u) L(x,u) T (t) f (x,u)
② x(t) 及 (t)满足边界条件：
x(t0 ) x0
(t f ) 0
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x*(t), (t), u*(t)] min H[x*(t), (t), u(t)] u (t )
最优控制课件第3章
经典变分法局限性： 1、应用前提： a ）控制量 u(t)的取值无约束。 b ） f、L、Φ等函数对其自变量二次连续可微，要求哈密 尔顿函数关于控制变量的偏导数存在 。 2、实际控制要求：
a ）控制量u受不等式约束，如：M i (u ) 0 ，i=1,2,3……
b ）性能指标有时关于u并不可微，要求哈密尔顿函数 关于控制变量的偏导数不存在 。
一般:对于实际系统根据物理意义有最优解 极小值原理 有唯一解－－ 最优解
－－－－－－－－
－－－－－－－－
但是，对于线性系统可以证明极小值原理既是泛函取最小 值的必要条件，也是充分条件。
Optimal Control Theory
Dong Jie 2014. All rights reserved.
Date: File:
05.04.2015 OC_CH3.6
Optimal Control Theory & its Application
②在最优轨线上，与最优控制u*相对应的H函数取绝对极小 值，即 或 沿最优轨线
③H函数在最优轨线终点满足
Optimal Control Theory
Dong Jie 2014. All rights reserved.
Optimal Control Theory & its Application
取哈密尔顿函数为
则实现最优控制的必要条件是，最优控制u*、最优轨线x* 和最优协态矢量λ*满足下列关系式： ①沿最优轨线满足正则方程
当g中不含x时
Optimal Control Theory
Dong Jie 2014. All rights reserved.
第7章 极小值原理
−1≤ u ≤1
求最优控制和最优轨迹，使如下性能指标取得极小值。
T H = L(x,u,t) +λ f (x,u, t) 解：哈密尔顿函数为 − x1 +u = [λ λ2] 1 1 = λ (−x1 +u) +λ2x1 x1 & λ* = λ* −λ* 2 1 1 & = − ∂H −(∂g )T γ 协状态方程： λ & ∂x ∂x λ* = 0 2
m H[x*， *， ， ] = H[x*， *， *， ] in λ u t λ u t
u∈ U
∂H ∂g = −( )T γ ∂u ∂u
§7－1 极小值原理
3) H 函数在最优轨线终点处的值决定于
∂Φ T ∂N +µ =0 H + ∂t f ∂t f t =t f
J = x1(1 )
§7－1 极小值原理
* * 运用极小值原理： H[x*,u*, λ ] = m H[x*, u, λ ] in u≤ 1 * * * * = m {λ (u − x1 ) +λ2x1} in 1 u≤ 1 * * * * = −λ x1 +λ2x* + m {λ u} in 1 1 1 u≤ 1
求满足如下不等式约束条件
u ≤1
t ∈[0, t f ]
x0 = [x10 x20]T
tf
的控制 u(t) ，使系统自某一初始状态
转移到状态空间原点的时间最短。即使如下性能指标取极小值：
J = ∫ dt
0
§7－2 时间最优控制问题
哈密尔顿函数为：
H[x(t)， (t)， (t)] =1+λ (t)x2(t) +λ2(t)u(t) u λ 1
最优控制第2章 极小值原理
(1) 最优状态x*和最优协态 λ* 满足正则方程:
x&(t) =
∂H ∂λ
=
f [ x(t), u(t), t]
λ& = − ∂H
∂x
2015-03-24
10
(2) 在最优状态x*和最优控制u*上哈密顿函数取极小值：
H
(
x
*
(t ),
u
*
(t ),
λ*(t),
t)
=
min
u∈U
H[x
*
(t ),
u(t ),
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u
*
(t
)
=
⎧ −1, ⎪⎨−0.5λ2
(t
λ2 (t ), | λ2
)> (t)
2 |≤
2
(∗)
⎪⎩ 1, λ2 (t) < −2
由伴随方程 λ& = −∂H / ∂x 得到：
求解得到：
λ&1(t) = 0, λ&2 (t) = −λ1(t)
λ1(t) = c1, λ2 (t) = −c1t + c2 本例tf自由，因此H函数在最优终端时刻 t*f满足横截条件:
e t −1 H
=
λT
f
(.)
=
λ1(− x1
+
u)
+
λ2 x1
由极小值原理，最优控制应使哈密顿函数取极小值：
H ( x* , u* , λ* , t ) = min H[ x* , u, λ* , t] u∈U
= -m1≤uin≤1{λ1(− x1* + u) + λ2 x1* }
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现代控制理论课件-第六章 极小值原理
⑴ 满足正则方程
x*
k
1
H
x*
k
，u* k ，* k 1
k
1，k
f x* k ，u* k ，k
*
k
H
x*
k
，u* k ，* xk
k
1，k
⑵ 相对于最优控制，哈密尔顿函数达极小值，即
H x* k ，u* k ，* k 1，k H x* k ，uk ，* k 1，k
⑶ 及满足以下边界条件及横截条件
x*
0
x0，*
N
x* N ，N x N
同理，对不同的边界情况，只需选取相应的边界条 件及横截条件，条件1、2不变。当控制变量不受限 制时，则条件2与控制方程
等效。
H
x*
k ，u* k ，* uk
k
1，kபைடு நூலகம்
0
§ 6.3 极小值原理解最短时间控制问题
一般情况下，非线性受控系统的最短时间控制问题的 解析解是很困难的，本节只讨论线性定常受控系统的 最短时间控制问题。
比较上述极小值原理与变分法所得的结果，可以发现 两者的差别仅在⑵。 极小值原理的严格证明很复杂，下面的证明将重于物 理概念的阐述，尽量避免烦琐的数学推导。 设系统动态方程为：
xt f xt，ut，t
边界条件为：xt0 x0 ，为简单起见，假设终端时刻 t f
及终端状态 x t f 均为自由。控制变量 ut 受有界闭集 约束，即 utU
性能指标为：
J x
tf
，t f
tf t0
F
xt，ut，t dt
则使性能指标 J 达到极小的最优控制 u* t 及最优状态 轨线 x* t 必须满足以下条件：
5 最优控制-极小值原理
正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡） 正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡）情况
Bang-Bang控制原理 控制原理 是问题3 的时间最优控制, 设 u * ( t ) 是问题3-1的时间最优控制,
λ x* ( t )， ( t )
是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的, 是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的,则几乎所有 ),有下式成立 t ∈ t0 , t f (除去有限个开关时间),有下式成立 除去有限个开关时间),
在最优轨线末端哈密尔顿函数应满足的条件 (5)极值条件 极值条件
1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x * ( t ) , t u * ( t ) =
{1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x* ( t ) , t u * ( t )} min
u∈U
（50） ） （51） ） （52） ）
或者
H ( x * , u* , λ* , t ) ≤ H [ x * , u, λ* , t ]
哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律： 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律：
* * 在末值时刻 t f 是固定的情况 H (t ) = H (t f ) = const * *
3 极小值原理及其在快速控制中的应用
1 问题的提出 用变分法求解最优控制时， 用变分法求解最优控制时，认 不受限制。 为控制向量 u(t )不受限制。但是 实际的系统， 实际的系统，控制信号都是受到
u(t ) ∈ U ⊂ R r 某种限制的。 某种限制的。
因此， 因此，应用控制方程 ∂H = 0
第七章极小值原理与典型最优控_...
N T H (t f ) ( )v, t t f t f t f
N T (t f ) ( )v, t t f x x
13
极小值原理与变分学
区别在于极值条件不同 极小值原理的极值条件是 Hamilton 函数
x - n 维向量, f - n 维向量函数
u – m 维控制向量函数
容许控制
u Rm
- 是一给定的有界集合
假定终端时间 t f 满足 N[ x(t f ), t f ] 0
4
假设 f 对于 x , u 具有连续的偏导数
这种光滑性假定，对于任何分段连续的函数 u 保证了存在唯一的属于式（1）的容许轨线 x 可定义容许控制函数集合是这类分段连续的函数 并假定对于一个容许的 u 和给定的初始条件 ， x(t 0 ) 在所考虑的控制区域内，式（ 1）确定了一个唯一 的容许解
T
8
特性指标为
J [ x(t ), t ] t t
tf
t t f
0
(t )}dt {H [ x(t ),u(t ), (t ), t ] (t ) x
T t0
9
积分可得
J { [ x(t ), t ] (t ) x(t )
T
t t f t t0
H 0 u(t ) R 1 (t ) BT (t ) (t ) u
A(t ) x B(t )u x
x(t 0 ) x 0
(t f ) Sx(t f )
27
确定闭环控制
假设 则得
第04章：极小值原理及其应用
H U
存在，且
H 0 U
得出的
H 0 U
绝对极小，如图4-1（a）所示时， 即为条件（4-21）式。所以极小值原理可以解决变 分法所能解决的问题，还能解决变分法不能解决的 问题。如何应用条件（4-21）式，这是一个关键， 我们将用具体例子来说明。
4.3 最短时间控制问题
节省时间意味着提高生产率或先发制人取得军事 行动的胜利。所以人们很早就开始了对最短时间控 制的研究，这方面的研究结果很多，这里先就简单 的重积分系统的最短时间控制展开讨论。 在前面的绪论中列举了火车快速行驶问题。设火车质 量m=1，把运动方程写成状态方程形式，令 x1 x, x2 x 可化为下面的最短时间控制问题。
T H f |U U ( ) |U U X X
（4-10）
（4பைடு நூலகம்11）
T G (t f ) X (t f ) X (t f )
（4-12）
显然，方程（4-9）和（4-11）为共轭方程，立即 求得积分
1
t
当 U U U 时，
X (t ) X (t1 )
t
t1
f ( X ,U U , t )dt
两式相减可得这一段的 X (t )
X (t ) [ f ( X ,U U , t ) f ( X ,U , t )]dt （4-6） t
这时又有系统的状态方程为而状态变量的变分满足方程49引入变量及哈密顿函数410411412显然方程49和411为共轭方程立即求得积分即最终求得了由于的有限改变而引起的最优轨线的变化特别是末值状态的变化下面研究由引起的最优性能指标的改变由于故有414综合48412413和414等式可以建立与有限改变量之间的关已知中的任意时刻并以表示或用哈密顿函数的表达式410表示可得415于是定常系统末值型性能指标固定末端受约束情况下极小值原理得以证明
极小值原理
极小值原理极小值原理是微积分中的一个重要概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
极小值原理的核心思想是在给定条件下，某个函数在局部最小值点处的导数为零。
在这篇文档中，我们将深入探讨极小值原理的定义、应用和相关概念。
首先，我们来了解一下极小值原理的定义。
在数学中，给定一个函数f(x)，如果存在一个数a，使得在a的某个邻域内，对任意的x，都有f(a)≤f(x)，那么称f(a)是函数f(x)在该邻域内的一个极小值。
而极小值原理则指出，如果函数f(x)在点a处可导，并且在该点的导数为零，那么a可能是f(x)的极小值点。
极小值原理在实际问题中有着广泛的应用。
在物理学中，许多自然现象都可以通过极小值原理来进行描述和解释。
例如，光的传播路径往往是使光程取极小值的路径，这就是光的折射定律的基础。
在工程学中，极小值原理也被广泛应用于优化问题的求解，例如最优化设计和控制系统的设计等。
除了极小值原理的基本概念外，我们还需要了解一些相关的概念和定理。
例如，极值定理指出，如果函数f(x)在点a处可导，并且在该点的导数为零，那么a可能是f(x)的极值点。
另外，拉格朗日乘数法是一种利用极小值原理求解约束条件下极值的方法，它在优化问题中有着重要的应用。
在实际问题中，我们常常需要利用极小值原理来求解最优化问题。
例如，在工程设计中，我们希望找到一个函数的极小值点，以获得最优的设计方案。
而在物理学中，我们也需要利用极小值原理来描述和解释各种自然现象。
因此，深入理解和掌握极小值原理对于解决实际问题具有重要意义。
总之，极小值原理是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
通过深入学习和理解极小值原理，我们可以更好地解决实际问题，提高问题求解的效率和准确性。
希望本文对您对极小值原理有更深入的了解和认识，谢谢阅读！。
教材第3章极小值原理
（3—13） （3—14）
∫ δ J t f
=∂ ∂tf
⎢⎣⎡Φ + μ T N +
tf tf
+δ
tf
Ψdt
⎤ ⎥⎦
t=t f
δ
tf
=
⎡ ⎢ ⎢⎣
∂Φ ∂t f
+ ∂N T ∂t f
⎤ μ + Ψ⎥ δ t f
⎥⎦ t =t f
（3—15）
[ ] ∫ δ
Jx
=d
xT (t f
)∂ ∂x
Φ + μT N
dt
∫ δ
Jw
=
δ
wT
(t
f
)
∂Ψ ∂ w
t=t f
−
tf t0
δ
wT
d dt
∂Ψ ∂ w
dt
∫ δ
Jz
=δ
zT
(t f
)
∂Ψ ∂ z
t=t f
−
tf t0
δ
zT
d dt
∂Ψ ∂ z
dt
把式（3—15）～式（3—19）代入式（3—11）整理可得
（3—17） （3—18） （3—19）
δ J '=δ Jt f +δ Jx +δ Jw +δ Jz
x = f [x(t) , u(t) , t]
x(t) ∈ Rn
（3—44）
始端条件为
x(t0 ) = x0
终端约束为
（3—45）
N [x(t f ) , t f ] = 0 N ∈ Rm m ≤ n
控制约束为
，t f 待定
（3—46）
g[x(t) , u(t) , t] ≥ 0 u(t) ∈ Rr g ∈ Rl l ≤ r ≤ n
现代控制理论极小值原理
则使性能指标 J 达到极小的最优控制 u* t及最优状态轨线 x* t 必须满足以下条件：
⑴ 正则方程
x&* t H
a
(8-4)
&* t H
a
(8-5)
这里，H 为哈密尔顿函数， 为协态变量，其定义与在变分法中 相同。
⑵ 哈密尔顿函数对应最优控制时为极小值，即：
min
uU
H
x&*
t
，u
L.S.Pontryagin
第一节 连续系统的极小值原理
设连续系统动态方程为：
x&t f xt，ut，t
(8-1)
边界条件可以固定、自由或受轨线约束，控制变量 ut 属于m维 有界闭集U，即
性能指标为：
utU Rm
(8-2)
J x
tf
，t f
tf t0
F
xt，ut，t dt
(8-3)
T
x&
λ
dt
(8-17)
根据泛函存在极值的必要条件的结论可知，当 u t 不受限制时，
应满足
Ja 0
(8-18)
由于各个变量的变分是独立的，因此，必须同时满足
H x*，u*，λ*，t λ&* 0 x
(8-19)
H x*，u*，λ*，t x&* 0 λ
H x*，u*，λ*，t 0 u
均自由。经过同变分法中的类似推导，最后得
Ja
ห้องสมุดไป่ตู้
x t x
f ，t tf
f
tf
T x
tf
x
tf t f
，t
f
H
x
tf
，u
第八章 极小值原理
Ja
x t x
f ，t tf
f
tf
T x
tf
x
tf t f
，t
f
H
x
tf
，u
tf
，
tf
，t f t f
tf t0
H
x，u，λ，t
x
&T
x
H
x，u，λ，t
u
T
u
H
x，u，λ，t λ
*T tbiu*i t *T tbiui t
由此可得最优控制规律为
L.S.Pontryagin
第一节 连续系统的极小值原理
设连续系统动态方程为：
x&t f xt，ut，t
(8-1)
边界条件可以固定、自由或受轨线约束，控制变量 ut 属于m维 有界闭集U，即
性能指标为：
utU Rm
(8-2)
J x
tf
，t f
tf t0
F
xt，ut，t dt
(8-3)
J x
tf
，t f
tf t0
F
xt，ut，t dt
为极小。
(8-9)
设对应于最优情况的性能指标为 J u* ，仅考虑由于 u* t 偏离 ut
时的性能指标为 J u ，则按最优的定义，下式必然成立
J u J u* J 0
设 u* t 偏离 ut 足够小 ut u* t ut
(8-10)
H x* t，u* t ，λ* t ，t c
t t0，t f
(8-31)
如果终端时刻 t f 自由，则
H x* t，u* t ，λ* t ，t 0
极小值原理——精选推荐
§ 7. 3 极小值原理极小值原理是前苏联数学家庞特里亚金首提. 是变分法的延伸和推广,亦称极大值原理是解决控制和状态受约束最优控制问题的有力工具. 极小值原理的一种表述及其应用(不证) 1. 极小值原理 定理7.3 设==00()[(),(),],()xt f x t u t t x t x ， 指标=+⎰0[(),(),]d [()]Tt J F x t u t t t S x T ，约束∈()()u t U 容许控制集，Hamilton 函数=+(,,,)[,,][,,]TH x u λt F x u t λf x u t ，则*()u t 是最优控制的必要条件是:*()u t 和相应的*()x t , *()λt 满足系统方程，∂=∂H x λ； (7.16)伴随方程，∂=-∂H λx； (7.17) 极值条件，******≤∈[,,,][,,,],,H x u λt H x u λt u u U ；(7.18)边界条件，∂=∂()()x T SλT x 。
(7.19)对(7.12)~(7.15’)，改变的只是极值条件和边界条件。
说明：1) 只有*()u t 才能使Hamilton 函数为全局最小(故名)若无控制约束, 则有∂∂=/0H u .2)边值条件自然含=00()x t x →确定状态和伴随向量. 3)非充要条件。
对线性系统，条件是充要的。
4)解题步骤类似§2中用变分法<1> 作Hamilton 函数→极值条件→待定u (t )； <2> 若伴随方程中无x ，则求出λ；<3>若待定最优控制中不含x →即已求得()u t ；(否则就要解规范方程组)，<4>求出,x J **(若要计算)。
2. 自由终端状态的最优控制举例例 7.5 求状态方程为==,(0)1xu x ， 指标为=⎰1min ()d J x t t ，控制约束为()[1,1]u t ∈-，的最优控制。
最优控制第六章极小值原理
以 w u，w * u*代入上式，便得
H x*, *,u,t H x*, *,u*,t
(35)
上式表明，如果哈密尔顿函数H看成 utU 的
函数，那么最优轨迹上与最优控制u*(t)相对应的
H将取绝对极小值(即最小值)。这是极小值原理的
一个重要结论。
定理 设系统状态方程为
xt0 x0
Nxt f ,t f 0
(48)
这就是著名的极小值原理。
下面对定理作些说明： 1) 定理的第一、第二个条件，即式(41)～式
(44)，普遍适用于求解各种类型的最优控制问题， 且与边界条件形式或终端时刻自由与否无关。其
中，第二个条件：min H x*, *,u,t H x*, *,u*,t uU
(45)
u u
3) H函数在最优轨迹终点处的值决定于
H
Φ
T
N
0
(46)
t f
t f tt f
4) 协态终值满足横截条件
t f
Φ
x
t
f
N T
x t f
tt f
(47)
5) 满足边界条件
J1
Ψ
x T
Ψ x
Φ t f
N T t f
tt f
t f
d xT
tf
Φ
x
N T x
Ψ x
t t
f
wT
Ψ w tt f
zT
Ψ z
tt f
09讲 最优控制-极小值-时间最短
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
1 u sgn x1 x2 x2 2
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最优控制——极小值原理 3. 连续系统极小值原理
x1 0 1 x1 t f 0 , 0 x t x2 0 1 f 2 u 1
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
双积分环节时间最优控制问题
min J tf 1 0 1 x1 0 x u x 2 0 0 x2 1
线性定常系统时间最优控制问题的提法
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极小值的应用
极小值的应用随着数学的发展，极小值成为了一种非常重要的数学概念。
在数学中，极小值是指函数的局部最小值，也就是在这个点附近有比它更小的值，但是在这个点处，函数已经无法再继续往下降了。
极小值有着广泛的应用，例如在优化问题、统计学、物理学、经济学等领域都能够发挥作用。
本文将从应用层面探讨极小值的一些应用。
一、优化问题在优化问题中，极小值的概念非常重要。
例如，如果我们希望找到一条最短的路径来连接两个点，那么我们就需要通过计算路径的长度来获得最短路径。
在这个过程中，我们需要找到一个函数的极小值，也就是路径长度的最小值。
极小值的应用还包括最大化和最小化问题，这些都需要找到函数的最大值或者最小值。
二、统计学在统计学中，极小值也有着广泛的应用。
例如，在研究股票市场波动性的时候，我们需要找到股票价格的波动最小值，以此为依据来做出正确的决策。
此外，极小值还可以用来描述一个数据集的某种特性，例如数据的平均值、中位数等。
三、物理学在物理学中，极小值同样有着广泛的应用。
例如，在量子力学中，最小作用量原理是一个非常重要的原理。
作用量的最小值被视为路径的可能性最大值，因此在量子力学中，作用量的极小值可以用来描述粒子的运动。
四、经济学在经济学中，极小值同样有着重要的应用。
例如，在微观经济学中，生产和消费的决策都是基于成本和收益的比较。
因此，理论上，生产者和消费者都应该在成本最小化或者效益最大化的情况下作出决策。
通过找到函数的极小值，我们可以更好地把握市场变化规律，做好决策。
总之，极小值的应用非常广泛，不仅在数学中，而且在其他学科领域也都有着重要的应用。
极小值的概念不仅可以用来解决最大和最小问题，还可以用来描述物理现象、经济决策等等。
通过掌握极小值的基本概念和应用，我们可以更好地理解各个领域的实际问题，并且通过数学方法来解决这些问题。
最优控制--极大值原理
将 X * ,U* 代入J可得:
J = ∫ [ X *(t) +U*(t)]dt = 8.64
* 0
1
例2: m J (u) = in
1 1 2 2 ∫0 (x +u )dt 2
x = −x + u x(0) =10
求
•
0
u*a)对U没
约
b) |u| ≤ 0.3 解:a) λ(1) = 0
1 2 1 2 H = x + u + λ(−x + u) 2 2 ∂H =0 ∂u U* = −λ ∂H • = −x + λ λ =− x(0) =10 ∂x • λ(1) = 0 x = −x + u = −x − λ
X t 2) t0 , X (t0 ) = X0 给定， (t f )自由， f 未给定，
∂φ |t f 确定t f 边界条件： X (t0 ) = X0 , λ(t f ) = ∂X
3)
X (t0 ) = X0
:
∂φ Htf + =0 ∂t f
t0 , t f 已知， (t0 ) = X0给定,末端受约束 g[ X (t f ), t f ] = 0 X
1−ts
λ(ts ) = e
所以
−1 =1, ts = 0.307
1 0.5
U* (t) =
0 ≤t < 0.307
0.307 ≤t ≤1
x(t) −1
x(t) =
•
0 ≤t < 0.307
x(t) − 0.5 0.307 ≤t ≤1
c1et +1
0 ≤t < 0.307
x(t) =
c2et + 0.5 0.307 ≤t ≤1
极小值原理
综上可得： c 最优控制为u (0) x ( 0) 1 2c c c * u (1) x(1) x(0) 1 c 1 2c 最优轨迹为x* (0) x0
*ห้องสมุดไป่ตู้
1 c x (1) x(0) 1 2c 1 1 x* (2) x(1) x(0) 1 c 1 2c
2）求 (t )以确定u的切换点 H 由协态方程 (1 )得＋＝－ ，其解为＝－ ＋Ce t 1 1 x 当t f 1时 (t f ) (1) 0, C e, 故切换点：令 1, 得t 1 ln 2 0.307
二、补充说明
1、式H [ x* (t ), u * (t ), * (t ), t ] H [ x* (t ), u (t ), * (t ), t ] 说明当u (t )和u (t )都从容许的有界集中取 值时，