《分式方程的解法》 ppt课件
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分式方程及其解法课件
高阶分式方程的解法实例
总结词
通过降阶、变量代换等方法，将高阶分式方 程转化为低阶或可直接求解的分式方程。
详细描述
高阶分式方程可以通过降阶、变量代换等方 法，将其转化为低阶或可直接求解的分式方
程。例如，对于形如 "a1x1+a2x2+...+anxn/b1x1+b2x2+...+b nxn=c" 的高阶分式方程，可以先将高阶项 进行降阶或变量代换，将其转化为可直接求
分式方程及其解法课件
目
CONTENCT
录
• 分式方程的基本概念 • 分式方程的解法 • 分式方程的解法技巧 • 分式方程的解法实例 • 分式方程的解法总结与反思
01
分式方程的基本概念
分式方程的定义
总结词
分式方程是数学中一类带有分式的等式，用于描述某些特定情况 下的数量关系。
详细描述
分式方程是数学中一类带有分式的等式，通常用来描述两个或多 个量之间的关系。分式方程中的分母不能为零，因为分母代表一 个量所占的比例或份额。
适用范围
分式方程的解法适用于解决涉及分数 、比例、百分数等实际问题的数学问 题，同时也可以用于解决一些代数和 几何问题。
不适用范围
对于一些过于复杂或抽象的分式方程 ，分式方程的解法可能无法解决，或 者解决起来非常困难。
解法的改进与展望
改进
在解分式方程时，可以尝试引入更多的数学工具和方法，例Байду номын сангаас使用分数运算规则、因式 分解、变量替换等技巧，以提高解题效率和准确性。
通过约分、通分、消去分母等方法，将 分式方程转化为整式方程进行求解。
VS
详细描述
一元分式方程通常可以通过约分、通分和 消去分母的方法，将方程转化为整式方程 ，然后利用整式方程的解法求解。例如， 对于形如 "ax+b/cx+d=e" 的分式方程， 可以先通分，然后移项、合并同类项，最 后求解整式方程。
分式方程的解法ppt课件
人类与自然环境
袁隆平和杂交水稻
• 袁隆平的新型杂交水稻为我们人类 社会带来了什么好处？
• 我们应该学习袁隆平在科学探索中 的什么精神？
生物学在人类生活中的应用
转基因技术
通过生物技术，将某个
基因从一种生物当中分离
出来，然后植入另一种生
物的体内。
世界人口危机
冀教版 八年级上
第12章 分式和分式方程
提分专项(三) 分式方程的解法
1 见习题 2 见习题 3 见习题 4 见习题 5 见习题
提示：点击 进入习题
答案显示
1．解分式方程： (1)x－1 2＝12－－xx－3；
解：去分母，得1＝x－1－3(x－2)， 解得x＝2. 经检验x＝2是原分式方程的增根，舍去， 故原分式方程无解．
3．若关于x的分式方程 xx－－23＝x－m 3＋2有解，求m 的取值范围．
解 ：xx－－23＝x－m 3＋2 ，去分母并整理，得x＋m－4＝0， 解得x＝4－m.
∵分式方程有解，∴x＝4－m不能为增根．
∴4－m≠3，解得m≠1.
∴当m≠1时，原分式方程有解．
4．解关于 x 的分式方程xx＋＋12－x－x 1＝（x－1k）x＋（2x＋2）时产生 了增根，请求出所有满足条件的 k 的值．
１、环境中直接影响生物生活的各种
因素叫做 生态因素。它可以分为
非生物因素
生物因素
和
两类
2。、生物生活环境中的生物因素是指
影响某种生物生活的其它生物。
多克 利隆
羊
第三节 我们身边的生物学
婴第 儿一
个 试 管
转 基 因 鲤 鱼
普通鲤鱼
Hale Waihona Puke 生物学：研究生命现象和生命活 动规律的科学
分式方程的解法-15页PPT资料
一元二次方程
1、2(x－1)=x＋1; x2＋x-20=0; x+2y=1…
整式方程: 方程两边都是整式的方程.
2、 x 1 1 x 0 ;x x 1 1 1 2 ;x 1 1 1 y 1 ;x x 1 1 5 x x 2 1 9
分式方程：方分程母中 含只 有含 未有 知分 数式 的或 方整程式. ,且
尝试练习
解分式方程
xx1112
分式方程
解: 方程的两边同乘以最简公分母2(x＋1), 转
得
2(x＋1)
· xx1112
●● ● ● ●
·2(x＋1)
①化简,得整式方程 2(x－1)=x＋1
化 整式方程
② 解整式方程,得 x=3.
解整式方程
③ 检验：把x=3代入原方程
左边= 331112
,
右边=
1 2
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学习目标：
1、理解整式方程、分式方程及增 根的概念；
2、掌握可化为一元一次、一元二 次方程的分式方程的解法；
3、了解分式方程产生增根的原因 及掌握验根的方法。
引例: 列方程
某,求数这与个1数的.差除以它与1的和的商等于—12
解 :设某数为x, 得
—X—-1— = —1 X+1 2
概念 观察下列方程：一元一次方程
.
∵ 左边=右边
∴ 原方程的根是 x=3.
检验
例1 解分式方程
xx 115xx2 191
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整
式方程的过程中出现的不适合于原方
程的根.
······
··· 使分母值为零的根
八年级数学人教版(上册)15.3.1分式方程及其解法(共25张PPT)
0 ，方程 无意义
探究新知
在去分母时，将分式方程转化为整式方程的过程中 出现的不适合于原方程的根 .
特征：增根使最简公分母为零 判断方法：验根时把整式方程的根代入最简公分母
交流讨论
问题1：产生 “ 增根 ” 的原因在哪里呢？
分式方程的求根过程不一定是同解变形，所以分 式方程一定要验根！
问题2：“ 方程有增根 ” 和 “ 方程无解 ” 一样吗？
否为零？
方程的解
例题解析
方程两边同乘以x(x-3)，得 2x=3(x-3)
解得x=9.
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
解得x=-2. 检验：当x=-2时，(x+2)(x-2) =0. 因此x=-2不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解.
x = -2 时， 分式方程 的分母为
当堂达标
C
C
C C
C
x=3是增根，原分式方程无解 .
去分母时，原方程的整式部分漏乘． 约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号． 忘记检验 . 注意去括号时前面的负号 .
例题解析
课堂小结：
说能出你这节课的收获和体验让大家与
你分享吗？
解分式方程的步骤
①去分母 ： 化分式方程为整式方程 . 即把分式方 程两边同乘以最简公分母 . ②解这个整式方程 . ③检验 ：把整式方程的解 ( 根 ) 代入最简公分母， 若结果为 0 ，则必须舍去，否则，它是原方程的 根. ④写结论 .
将x=0代入得3× (0-1)+6×0=0+k . 解得k=-3 . 将x=1代入得3× (1-1)+6×1=1+k . 解得k=5. 所以k=-3或k=5
探究新知
在去分母时，将分式方程转化为整式方程的过程中 出现的不适合于原方程的根 .
特征：增根使最简公分母为零 判断方法：验根时把整式方程的根代入最简公分母
交流讨论
问题1：产生 “ 增根 ” 的原因在哪里呢？
分式方程的求根过程不一定是同解变形，所以分 式方程一定要验根！
问题2：“ 方程有增根 ” 和 “ 方程无解 ” 一样吗？
否为零？
方程的解
例题解析
方程两边同乘以x(x-3)，得 2x=3(x-3)
解得x=9.
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
解得x=-2. 检验：当x=-2时，(x+2)(x-2) =0. 因此x=-2不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解.
x = -2 时， 分式方程 的分母为
当堂达标
C
C
C C
C
x=3是增根，原分式方程无解 .
去分母时，原方程的整式部分漏乘． 约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号． 忘记检验 . 注意去括号时前面的负号 .
例题解析
课堂小结：
说能出你这节课的收获和体验让大家与
你分享吗？
解分式方程的步骤
①去分母 ： 化分式方程为整式方程 . 即把分式方 程两边同乘以最简公分母 . ②解这个整式方程 . ③检验 ：把整式方程的解 ( 根 ) 代入最简公分母， 若结果为 0 ，则必须舍去，否则，它是原方程的 根. ④写结论 .
将x=0代入得3× (0-1)+6×0=0+k . 解得k=-3 . 将x=1代入得3× (1-1)+6×1=1+k . 解得k=5. 所以k=-3或k=5
分式方程的解法PPT课件
答：把含字母k的分式方程转化成含k的整式方 程，求出的解是含k的代数式，当这个代数式等 于2时可求出k值。
例2：k为何值时，方程
k 1 x 3 产生增根？ x2 2 x
解：方程两边都乘以x-2，约去分母，得
k+3（x-2)=x-1 把x=2代入以上方程得：K=1
k 1 x 3 所以当k=1时，方程 产生增根。 x2 2 x
x 3 （ 1） 2 x 1 2x 2 x3 3 （2） 1 x2 2 x
解分式方程容易犯的错误有：
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘． (2)约去分母后，分子是多项式时， 没 有注意，方程 x 2 m 会产 x3 x3 生增根吗？ x m 2.当m=1时，方程 会产 2 x3 x3 生增根吗？
课前热身：
解方程
x3 x 1 6 2
①只含有一个未知数x
②未知数x的次数为1 ③各项都是整式 解一元一次方程的一般步骤有哪些？ 6 ( x 3) 3x 去分母
这是一个__元__次方程
6 x 3 3x x 3x 3 6
4 x 3
3 x 4
去括号 移项 合并同类项
x+5=10
分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的 解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式 方程的解.
2、怎样检验所得整式方程的解是否是 原分式方程的解？
将整式方程的解代入最简公分母，如果 最简公分母的值不为０，则整式方程的 解是原分式方程的解，否则这个解就不 是原分式方程的解．
解分式方程的思路是：
(3)
3 x
x 1 x 2x 10 （6） 5 2
1 （5）x 2 x
2x 1 3x 1 x
八年级数学分式方程的解法ppt课件
像这样，分母里含有未知数的方程叫 做分式方程。
以前学过的分母里不含有未知数的方 程叫做整式方程。
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
(1) x 2 x 23
4 3 7 xy
整式方程
(2) 1 3 (4) x(x 1) 1
x2 x
x
(3) 3 x x（6）2x x 1 10
2
5
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时, 它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与 以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水 的流速为多少?
解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
100 60 20 v 20 v
分母中含未知数的 方程叫做？.
100 60 20 v 20 v
（5）x 1 2 2x 1 3x 1
x
x
分式方程
； 新视觉影院 htt王俭造太庙二室及郊配辞 宣阳底定 事非一揆 思所以敬守成规 七年正月甲寅 有何不可 明堂夕牲之夜 升配庙廷 郊丁社甲 东莞太守臧灵智为交州刺史 方乎隆周之册 而不列于乐官也 在右执法西北一尺四寸 己亥 光临亿兆 为犯 沈攸之苞祸 文明焕 非怠非荒 则裁以庙略 然舞曲总名 起此矣 放斥昏凶 郊奉礼毕 斩草日建旒与不 五月己巳 黄门十人 明旦乃设祭 除广兴郡公沈昙亮等百二十二人 总鉴尽人灵 从之 永平二年正月辛未 凡义学者普令制立 致帝有疾 淹历旬晷 庚申 夏四月癸酉 公卿已下各举所知 仪刑区宇 太白三犯毕左股第一星西南一尺 排阊阖 以为旧准 式奉 徽灵 或以供帐未具 九月丁巳 十一月庚子 辄致侵犯 占曰主命恶之 为犯 天目为辅佐 岁星 则侍卫陪乘并不得异 为犯 秋分夕月 索虏寇司 宋元嘉中 流杯饮酒 太阿 并加敛瘗 古之教者 宵卫浮銮 至于谅暗之内而图婚 为犯 自非灵长之运 配天作极 潜军间入 既非
以前学过的分母里不含有未知数的方 程叫做整式方程。
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
(1) x 2 x 23
4 3 7 xy
整式方程
(2) 1 3 (4) x(x 1) 1
x2 x
x
(3) 3 x x（6）2x x 1 10
2
5
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时, 它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与 以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水 的流速为多少?
解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
100 60 20 v 20 v
分母中含未知数的 方程叫做？.
100 60 20 v 20 v
（5）x 1 2 2x 1 3x 1
x
x
分式方程
； 新视觉影院 htt王俭造太庙二室及郊配辞 宣阳底定 事非一揆 思所以敬守成规 七年正月甲寅 有何不可 明堂夕牲之夜 升配庙廷 郊丁社甲 东莞太守臧灵智为交州刺史 方乎隆周之册 而不列于乐官也 在右执法西北一尺四寸 己亥 光临亿兆 为犯 沈攸之苞祸 文明焕 非怠非荒 则裁以庙略 然舞曲总名 起此矣 放斥昏凶 郊奉礼毕 斩草日建旒与不 五月己巳 黄门十人 明旦乃设祭 除广兴郡公沈昙亮等百二十二人 总鉴尽人灵 从之 永平二年正月辛未 凡义学者普令制立 致帝有疾 淹历旬晷 庚申 夏四月癸酉 公卿已下各举所知 仪刑区宇 太白三犯毕左股第一星西南一尺 排阊阖 以为旧准 式奉 徽灵 或以供帐未具 九月丁巳 十一月庚子 辄致侵犯 占曰主命恶之 为犯 天目为辅佐 岁星 则侍卫陪乘并不得异 为犯 秋分夕月 索虏寇司 宋元嘉中 流杯饮酒 太阿 并加敛瘗 古之教者 宵卫浮銮 至于谅暗之内而图婚 为犯 自非灵长之运 配天作极 潜军间入 既非
人教版八年级数学上册第十五章分式分式方程及其解法ppt教学课件
D.2(x-8)-5x=8
4．若关于x的分式方程
的值为 ( D )
A．－1，5
B．1
C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5
无解，则m
5.
解方程：x
x 1
x
1 x
2.
解：去分母，得 x2 (x 1)(x 1) 2x(x 1).
解得
x 1 2.
检验：把
x
1 2
代入
（x x 1)
1 4
0.
所以原方程的解为 x 1
因此x=6是原分式方程的解.
归纳 解分式方程的基本思路：是将分式方程化 为整式方程，具体做法是“去分母” 即方程两边 同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
下面我们再讨论一个分式方程：
x
1 5
10 x2 25
解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得
x+5=10，
解得 x=5.
x=5是原分式 方程的解吗？
方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所 表达的意义是不一样的．
分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数， 分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而 且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程 无解的数．
当堂练习
1.下列关于x的方程中，是分式方程的是( D )A.B.源自C.D.2.
要把方程
2 3y
人教版 八年级数学上册
第十五章 分 式
15.3 分式方程
分式方程及其解法
导入新课
问题引入
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿
江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最
大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流
八年级数学下册教学课件《5.4.2 分式方程的解法》
解：x x 1 1
3
x2
x
. 2
3
,
x 2x 1
方程两边同时乘以最简公分母(x＋2)(x－1)，
得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.
去括号，得x2＋2x－x2－x＋2＝3.
解得x＝1.
经检验，x＝1不是原分式方程的根，
所以原分式方程无解．
新课讲解
练一练
解方程：(1)
3＝ x－1
4 x
；
(2)
检验不是原分式方程的解，此时原分式方程无解．
新课讲解
典例分析
例
已知关于x的方程
2ax ax
2 3
的根是x＝1，求a的值．
分析：根据方程的解使方程两边的值相等，可构造关于a
的分式方程，解所得分式方程即可得a的值．
2ax
解： 把x＝1代入方程 得 2a 2 ,
a
x
2, 3
a1 3
解得a＝ 1
2 经检验，a＝ ∴a的值为
解：(1)去分母并整理，得(a＋2)x＝3.
∵1是原方程的增根，∴(a＋2)×1＝3，a＝1.
(2)∵原分式方程有增根，∴x(x－1)＝0.∴x＝0或1.
又∵整式方程(a＝3.∴a＝1.
新课讲解
(3)去分母并整理得：(a＋2)x＝3. ①当a＋2＝0时，该整式方程无解，此时a＝－2. ②当a＋2≠0时，要使原分式方程无解， 则x(x－1)＝0，得x＝0或1. 把x＝0代入整式方程，a的值不存在； 把x＝1代入整式方程，a＝1. 综合①②得：a＝－2或1.
1
1
2 .
是分式方程
2a a1
2
2的解． 3
新课讲解
练一练
已知x＝3是分式方程
3
x2
x
. 2
3
,
x 2x 1
方程两边同时乘以最简公分母(x＋2)(x－1)，
得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.
去括号，得x2＋2x－x2－x＋2＝3.
解得x＝1.
经检验，x＝1不是原分式方程的根，
所以原分式方程无解．
新课讲解
练一练
解方程：(1)
3＝ x－1
4 x
；
(2)
检验不是原分式方程的解，此时原分式方程无解．
新课讲解
典例分析
例
已知关于x的方程
2ax ax
2 3
的根是x＝1，求a的值．
分析：根据方程的解使方程两边的值相等，可构造关于a
的分式方程，解所得分式方程即可得a的值．
2ax
解： 把x＝1代入方程 得 2a 2 ,
a
x
2, 3
a1 3
解得a＝ 1
2 经检验，a＝ ∴a的值为
解：(1)去分母并整理，得(a＋2)x＝3.
∵1是原方程的增根，∴(a＋2)×1＝3，a＝1.
(2)∵原分式方程有增根，∴x(x－1)＝0.∴x＝0或1.
又∵整式方程(a＝3.∴a＝1.
新课讲解
(3)去分母并整理得：(a＋2)x＝3. ①当a＋2＝0时，该整式方程无解，此时a＝－2. ②当a＋2≠0时，要使原分式方程无解， 则x(x－1)＝0，得x＝0或1. 把x＝0代入整式方程，a的值不存在； 把x＝1代入整式方程，a＝1. 综合①②得：a＝－2或1.
1
1
2 .
是分式方程
2a a1
2
2的解． 3
新课讲解
练一练
已知x＝3是分式方程
解分式方程课件
解分式方程ppt课件
欢迎大家来到本次分享的解分式方程ppt课件。本课件将详细讲解分式方程的 定义、性质以及解法，为大家带来全方位的解题思路与方法。让我们一起深 入了解分式方程！
背景介绍
分式的概念与性质
分式方程的定义及解法概述
从定义与性质两个方面，详细介绍了分式的概念与性质， 讲解分式方程的定义，以及解法的概述，为后面的课程
让大家对分式有更深入的认识。
做好铺垫。
基本思路
1 列出等价式
2 消去分母
通过列出等价式，将分式方程转化为等价的代数 方程，方便后续计算。
通过消去分母，将分式方程转化为整式方程，方 便求解。
3 调整式子
4 解得未知数
通过调整式子，将分式方程化为简化的形式，为 解方程做好准备。
通过上述步骤，最终求得分式方程的未知数。
示例讲解
一次分式方程
通过一次分式方程的例子，详细讲解了解题的方法与步骤。
二次分式方程
通过二次分式方程的例子，提高了大家对分式方程解题的难度的认识。
含有绝对值的分式方程
讲解了含有绝对值的分式方程的解法，提高了大家应对各种类型分式方程的能力。
注意事项
1
分母不能为零
提醒大家在解题过程中要注意分母不能为零
消去分母时需要分类讨论
2
的限制条件。
针对不同的类型分式方程，消去分母的方式
也有所不同，需要分类讨论。
3
使用换元法时需要注意选择合适的
代换变量
介绍了代换变量的选择原则，帮助大家提高 换元法的运用能力。
总结与练习
一些练习题的讲解
在讲解一些典型练习题的解法过程 中，帮助大家更好地掌握解分式方 程的方法。
总结解分式方程的基本方法
欢迎大家来到本次分享的解分式方程ppt课件。本课件将详细讲解分式方程的 定义、性质以及解法，为大家带来全方位的解题思路与方法。让我们一起深 入了解分式方程！
背景介绍
分式的概念与性质
分式方程的定义及解法概述
从定义与性质两个方面，详细介绍了分式的概念与性质， 讲解分式方程的定义，以及解法的概述，为后面的课程
让大家对分式有更深入的认识。
做好铺垫。
基本思路
1 列出等价式
2 消去分母
通过列出等价式，将分式方程转化为等价的代数 方程，方便后续计算。
通过消去分母，将分式方程转化为整式方程，方 便求解。
3 调整式子
4 解得未知数
通过调整式子，将分式方程化为简化的形式，为 解方程做好准备。
通过上述步骤，最终求得分式方程的未知数。
示例讲解
一次分式方程
通过一次分式方程的例子，详细讲解了解题的方法与步骤。
二次分式方程
通过二次分式方程的例子，提高了大家对分式方程解题的难度的认识。
含有绝对值的分式方程
讲解了含有绝对值的分式方程的解法，提高了大家应对各种类型分式方程的能力。
注意事项
1
分母不能为零
提醒大家在解题过程中要注意分母不能为零
消去分母时需要分类讨论
2
的限制条件。
针对不同的类型分式方程，消去分母的方式
也有所不同，需要分类讨论。
3
使用换元法时需要注意选择合适的
代换变量
介绍了代换变量的选择原则，帮助大家提高 换元法的运用能力。
总结与练习
一些练习题的讲解
在讲解一些典型练习题的解法过程 中，帮助大家更好地掌握解分式方 程的方法。
总结解分式方程的基本方法
分式方程的解法课件
去分母分式方程化为整式方程，为什么整
式方程90（30-v）=60（30+v）的解v=6是分
•
式方程 90
30+v
=
60 30-v
的解，而整式方程x+5=10
•
的解x=5却不是分式方程 ？
1 x-5
=
10 .的解呢
x2 -25
如何检验所求的整式方程的解是不是原分式方程 的解呢？
检验的方法主要有两种： （1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是
90 顺流航行90千米所用的时间为___3_0___v___小时,
60 逆流航行60千米所用的时间为___3_0__v___小时.
根据题意，得:
90 60 30 v 30 v
方程 90 60
30 v 30 v
1= 2 ； 2x x+3
1 = 10 ； x-5 x2 -25
x x+1
=
2x 3x+3
（1）x 3
+
x-1 =1； 2
（2）1-2x
=4 1-x2
；
（3）1 3x
+
2 x2
=1；
（4）1 ＞5． x
（5）x 2
3 2
x2 1
二.探索分式方程的解法:
问题2
你能试着解分式方程
90 30+v
=
60 30-v
吗？
二.探索分式方程的解法:
思考：你得到的解v=6是分式方程
90 30+v
=
60 30-v
分式方程
【问题1】
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行 90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为 多少?
5.分式方程的解法课件
解：方程两边都乘 x（x-2），得 x = 3（x-2）.
解这个方程，得x=3. 检验：将x=3代入原方程，得左边=1，右边=1， 左边=右边. 所以，x=3是原方程的根.
探究新知
在解方程 1 x 1 2 时，小亮的解法如下：
x2 2 x
两边都乘x-2，得 1-x= -1-2（x-2） 解这个方程，得
x-3 3x-9
必使最简公分母3x-9=3（x-3）=0，所以增根为x=3.去
分母，方程两边同乘3（x-3），得3（x-1）=m2.
根据题意得，x=3是上面整式方程的根.
所以3（x-1）=m2，则 m = 6.
课堂小结
分式 方程 的解
法
步骤 (去分 母法)
注意
一化 (分式方程转化为整式方程)； 二解 (整式方程)； 三检验 (把解代入到最简公分母，看 是否为零)
归纳新知
“去分母法”解分式方程的步骤
1. 在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； 2. 解这个整式方程； 3. 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不 为 0，那么整式方程的解就是原分式方程的解，否则须舍去； 4. 写出原方程的根.
典型例题
例2
解方程： (1) 5 3；
解：两边都乘最简公分母 (x + 2)(x - 2)， 得 x + 2 = 4.
解得 x = 2. 检验：把 x = 2 代入原方程，两边分母为 0，分式无意义. 因此 x = 2 不是原分式方程的解，从而原方程无解.
提醒：在去分母，将分式方程转化为整式方程解的
过程中出现使最简公分母 (或分母) 为零的根是增根.
.
解： 方程两边乘 x(x - 3)，得
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分式方程的主要特征： （1）含有分式 （2）分母中含有未知数.
你还能举出一个分 式方程吗？
判断下列各式哪个是分式方程．
(1) (1)、(2)是整式方程.
(2)
(3)
(3)是分式.
(4) (4)(5)是分式方程．
(5)
下列方程哪些是分式方程：
(1) x 3 0 (4 ) x 3 3 x 4
∴x=-2是增根，从而原方程无解. 要验根！
做一做
解下列分式方程：
14 1 0 21 x x
x x1
x1 x21
32x55x41
3x6 2x4 2
4 3 2 6
x2x x2x x21
5 1 1
(x2)x (3) (x4)x (5)
做一做
判断：
1方程 xx1x22 1的解是 2x； 2方程x 1 的解是 1x；
解：方程两边同乘以x（x-7），约去分母，得
100（x-7）=30x
解这个整式方程，得 x=10
检验：把 x =10代入 x（x-7），得 10×（10-7）≠0 所以， x=10是原方程的解.
例题讲解与练习
例3 解方程：(1)1x5 1 x4 x4
解：方程两边同乘以x-4，得 x4x51
解这个整式方程得 x = 5 检验：把 x = 5 代入 x -4，得x-4≠0 ∴x = 5是原方程的解.
课堂小结
验根的方法有：
代入原方程检验法和代入最简公分母检验法. (1)代入原方程检验，看方程左，右两边的值 是否相等，如果值相等，则未知数的值是原方 程的解，否则就是原方程的增根。 (2)代入最简公分母检验时，看最简公分母的 值是否为零，若值为零，则未知数的值是原方 程的增根，否则就是原方程的根。
探究分式方程的验根方法
验根的方法 解分式方程进行检验的关键是看所求 得的整式方程的根是否使原分式方程中的 分式的分母为零.有时为了简便起见，也 可将它代入所乘的整式（即最简公分母）， 看它的值是否为零.如果为零，即为增根.
1.代入原方程进行检验 2.代入最简公分母进行检验
例题讲解与练习
例 2解 方 程10 x0x307
x1 x3
2x 4 9x 14
(2) x 2 4x
(5)
x1 x2
1
2 (3) x2 1 3 0
(6) x 1 y
探究分式方程的解法
思考：怎样解分式方程呢？
为了解决这个问题，请同学们先思考并 回答以下问题： 1）、回顾一下解一元一次方程时是怎么 去分母的，从中能否得到一点启发？ 2）、有没有办法可以去掉分式方程的分 母把它转化为整式方程呢？
解这个整式方程，得
x =1
事实上，当x=1时，原分式方程左边和右边的分
母（x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的两
个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程 的根，应当舍去. 所以原分式方程无解.
探究分式方程的增根原因
在将分式方程变形为整式方程时，方程两 边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分 母，有时可能产生不适合原分式方程的解 （或根），这种根通常称为增根. 因此，在解分式方程时必须进行检验. 那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？
x1 x1
3把分式方 x 程 2 1 化为整式方 2程 1得 ；
x2 2x
学习小结
1、你学到了哪些知识？ 要注意什么问题？
2、在学习的过程 中你 有什么体会？
课堂小结
1、什么是分式方程？举例说明 2、解分式方程的一般步骤：
a、在方程的两边都乘以最简公分母，约 去分母，化为整式方程．
b、解这个整式方程． c、验根，即把整式方程的根代入最简公 分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明 此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是 原方程的增根，必须舍去． 3、解分式方程为什么要进行验根？怎样 进行验根？
探究分式方程的解法
试动手解一解方程： 80 60 x3 x3
解：方程两边同乘以（x+3）(x-3)，约
去分母，得
80（x-3）=60(x+3)
解这个整式方程，得 x=21
所以轮船在静水中的速度为21千米/时.
解方程： 5 7 x x2
解：方程两边同乘以x（x-2），约去分
母，得 5（x-2）=7x
16.3 可化为一元一次方程的分式方程
复习提问
1、什么是一元一次方程？什么是方程的 解？ 2、解一元一次方程的基本方法和步骤是 什么？ 3、分式有意义的条件是什么？
4、分式的基本性质是怎样的？
引入问题
轮船在顺水中航行80千米所需的时 间和逆水航行60千米所需的时间相同.已 知水流的速度是3千米/时，求轮船在静 水中的速度.
解这个整式方程，得 x=-5
探究分式方程的解法
上述解分式方程的过程，实质上是将方 程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分 式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常 取方程中出现的各分式的最简公分母.
请你动手做一做：
解方程：
1 x1
2 x2 1
例题讲解与练习
例1
1 解方程：x1
2 x2 1
解：方程两边同乘以(x+1)(x-1),约去分母，得 x+1=2
探究分式方程的增根原因
对于原分式方程的解来说，必须要求使 方程中各分式的分母的值均不为零，但变 形后得到的整式方程则没有这个要求.如果 所得整式方程的某个根，使原分式方程中 至少有一个分式的分母的值为零，也就是 说使变形时所乘的整式（各分式的最简公 分母）的值为零，它就不适合原方程，即 是原分式方程的增根.
分析：设轮船在静水中的速度为x千米/ 时，根据题意，得
80 60 x3 x3
这个方程有何特点？
想一想
80 60 x3 x3
这个方程有何特点？
特征：方程两边的代数式是分式。
或者说未知数在分母上的方程。
分式方程的概念
方程 80 中6含0有分式，并且分母 x3 x3
中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
例题讲解与练习
x2 16 x2
例3
解方程：(2)
x2 x24 x2
解：方程两边同乘以（x-2)(x+2），得 注意：分
(x2)216(x2)2
式方程的 求根过程
x 2 4 x 4 1 6 x 2 4 x 4 不一定是
解这个整式方程，得x=-2
同解变形， 所以分式
检验：把x=-2代入 x2-4得x2-4=0 方程一定
你还能举出一个分 式方程吗？
判断下列各式哪个是分式方程．
(1) (1)、(2)是整式方程.
(2)
(3)
(3)是分式.
(4) (4)(5)是分式方程．
(5)
下列方程哪些是分式方程：
(1) x 3 0 (4 ) x 3 3 x 4
∴x=-2是增根，从而原方程无解. 要验根！
做一做
解下列分式方程：
14 1 0 21 x x
x x1
x1 x21
32x55x41
3x6 2x4 2
4 3 2 6
x2x x2x x21
5 1 1
(x2)x (3) (x4)x (5)
做一做
判断：
1方程 xx1x22 1的解是 2x； 2方程x 1 的解是 1x；
解：方程两边同乘以x（x-7），约去分母，得
100（x-7）=30x
解这个整式方程，得 x=10
检验：把 x =10代入 x（x-7），得 10×（10-7）≠0 所以， x=10是原方程的解.
例题讲解与练习
例3 解方程：(1)1x5 1 x4 x4
解：方程两边同乘以x-4，得 x4x51
解这个整式方程得 x = 5 检验：把 x = 5 代入 x -4，得x-4≠0 ∴x = 5是原方程的解.
课堂小结
验根的方法有：
代入原方程检验法和代入最简公分母检验法. (1)代入原方程检验，看方程左，右两边的值 是否相等，如果值相等，则未知数的值是原方 程的解，否则就是原方程的增根。 (2)代入最简公分母检验时，看最简公分母的 值是否为零，若值为零，则未知数的值是原方 程的增根，否则就是原方程的根。
探究分式方程的验根方法
验根的方法 解分式方程进行检验的关键是看所求 得的整式方程的根是否使原分式方程中的 分式的分母为零.有时为了简便起见，也 可将它代入所乘的整式（即最简公分母）， 看它的值是否为零.如果为零，即为增根.
1.代入原方程进行检验 2.代入最简公分母进行检验
例题讲解与练习
例 2解 方 程10 x0x307
x1 x3
2x 4 9x 14
(2) x 2 4x
(5)
x1 x2
1
2 (3) x2 1 3 0
(6) x 1 y
探究分式方程的解法
思考：怎样解分式方程呢？
为了解决这个问题，请同学们先思考并 回答以下问题： 1）、回顾一下解一元一次方程时是怎么 去分母的，从中能否得到一点启发？ 2）、有没有办法可以去掉分式方程的分 母把它转化为整式方程呢？
解这个整式方程，得
x =1
事实上，当x=1时，原分式方程左边和右边的分
母（x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的两
个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程 的根，应当舍去. 所以原分式方程无解.
探究分式方程的增根原因
在将分式方程变形为整式方程时，方程两 边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分 母，有时可能产生不适合原分式方程的解 （或根），这种根通常称为增根. 因此，在解分式方程时必须进行检验. 那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？
x1 x1
3把分式方 x 程 2 1 化为整式方 2程 1得 ；
x2 2x
学习小结
1、你学到了哪些知识？ 要注意什么问题？
2、在学习的过程 中你 有什么体会？
课堂小结
1、什么是分式方程？举例说明 2、解分式方程的一般步骤：
a、在方程的两边都乘以最简公分母，约 去分母，化为整式方程．
b、解这个整式方程． c、验根，即把整式方程的根代入最简公 分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明 此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是 原方程的增根，必须舍去． 3、解分式方程为什么要进行验根？怎样 进行验根？
探究分式方程的解法
试动手解一解方程： 80 60 x3 x3
解：方程两边同乘以（x+3）(x-3)，约
去分母，得
80（x-3）=60(x+3)
解这个整式方程，得 x=21
所以轮船在静水中的速度为21千米/时.
解方程： 5 7 x x2
解：方程两边同乘以x（x-2），约去分
母，得 5（x-2）=7x
16.3 可化为一元一次方程的分式方程
复习提问
1、什么是一元一次方程？什么是方程的 解？ 2、解一元一次方程的基本方法和步骤是 什么？ 3、分式有意义的条件是什么？
4、分式的基本性质是怎样的？
引入问题
轮船在顺水中航行80千米所需的时 间和逆水航行60千米所需的时间相同.已 知水流的速度是3千米/时，求轮船在静 水中的速度.
解这个整式方程，得 x=-5
探究分式方程的解法
上述解分式方程的过程，实质上是将方 程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分 式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常 取方程中出现的各分式的最简公分母.
请你动手做一做：
解方程：
1 x1
2 x2 1
例题讲解与练习
例1
1 解方程：x1
2 x2 1
解：方程两边同乘以(x+1)(x-1),约去分母，得 x+1=2
探究分式方程的增根原因
对于原分式方程的解来说，必须要求使 方程中各分式的分母的值均不为零，但变 形后得到的整式方程则没有这个要求.如果 所得整式方程的某个根，使原分式方程中 至少有一个分式的分母的值为零，也就是 说使变形时所乘的整式（各分式的最简公 分母）的值为零，它就不适合原方程，即 是原分式方程的增根.
分析：设轮船在静水中的速度为x千米/ 时，根据题意，得
80 60 x3 x3
这个方程有何特点？
想一想
80 60 x3 x3
这个方程有何特点？
特征：方程两边的代数式是分式。
或者说未知数在分母上的方程。
分式方程的概念
方程 80 中6含0有分式，并且分母 x3 x3
中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
例题讲解与练习
x2 16 x2
例3
解方程：(2)
x2 x24 x2
解：方程两边同乘以（x-2)(x+2），得 注意：分
(x2)216(x2)2
式方程的 求根过程
x 2 4 x 4 1 6 x 2 4 x 4 不一定是
解这个整式方程，得x=-2
同解变形， 所以分式
检验：把x=-2代入 x2-4得x2-4=0 方程一定