苏教版高中数学必修二两条直线的平行与垂直教案

普通高中课程标准实验教科书—数学必修Ⅱ[苏教版]

两条直线的平行与垂直（2）

教学目标

（1）掌握两条直线垂直的判定方法，并会根据直线方程判断两条直线是否垂直；

（2）理解两条直线垂直条件的推导过程，注意解几思想的渗透和表述的规范性，培养学生的探索和概括能力． 教学重点、难点

掌握两条直线垂直的判定方法及分类讨论． 教学过程

一、问题情境

1．复习：两条直线平行的判断方法：（可结合作业对斜截式方程和一般式方程进行归纳） 2．问题：两条直线平行的位置关系可用斜率来刻画，那么能否用它来刻画两条直线垂直的位置关系呢？ 二、建构数学

1．两条直线垂直的判断方法： 若12l l ⊥（12,l l 都不与x 轴垂直）

轴），设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则

12,ST PQ

k k PS QR -==， 由于Rt PST Rt PQR ∆∆:，∴

ST QR

PS PQ

= ∴12

1

k k =-，即121k k ⋅=-，反过来，若121k k ⋅=-2．结论：（1）当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么它们的斜率的乘积等于1-，反之，如果它们的斜率的乘积等于1-，那么它们互相垂直，即：

12l l ⊥⇔121k k ⋅=-（12,k k 均存在）

（2）若两条直线12,l l 中的一条斜率不存在，则另一条斜率为0时，12l l ⊥ 三、数学运用 1．例题：

例1．（1）已知四点(5,3),(10,6),(3,4),(6,11)A B C D --，求证：AB CD ⊥． （2）已知直线1l 的斜率为134

k =，直线2l 经过点2

(3,2),(0,1)A a B a -+，且12l l ⊥， 求实数a 的值．

解：（1）由斜率公式得：63311(4)5

,1055633

AB CD k k ---=

===----， 则1AB CD k k ⋅=-， ∴AB CD ⊥．

（2）∵12l l ⊥，∴121k k ⋅=-，即231(2)

1403a a

+--⨯

=--，解得1a =或3a =， 1

l 2

∴当1a =或3a =时，12l l ⊥．

例2．已知三角形的三个顶点为(2,4),(1,2),(2,3)A B C --，求BC 边上的高AD 所在的直线方程．

解：直线BC 的斜率为3(2)5

213

BC k --==---， ∵AD

⊥∴3

5

AD k =

，根据点斜式，得到所求直线的方程为 3

4(2)5

y x -=-， 即35140x y -+=

练习：求过点(2,1)A ，且与直线

0102=-+y x 垂直的直线l 说明：一般地，与直线0=++C By Ax 垂直的直线的方程可设为0=+-m Ay Bx ，其中m 待定．

例3．在路边安装路灯，路宽23m ，灯杆长2.5m ，且与灯柱成120o

角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高h 为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到0.01m ）

解：记灯柱顶端为B ，灯罩顶为A ，灯管为AB ，灯罩轴线与道路中线交于点C ．以灯柱底端O 为原点，灯柱OB 为y 点B 的坐标为(0,)h ，点C 的坐标为(11.5,0)， ∵120OBA ∠=o ，∴直线BA 的倾斜角为30o

， 则点A 的坐标为（2.5cos30, 2.5sin 30h +o

o

）， 即（ 1.25h +），CA BA ⊥Q ∴1CA BA k k =-

1

tan 30=-=o

得CA 的方程为( 1.25)y h x -+=-，

Q 灯罩轴线CA 过点(11.5,0)C ，∴( 1.25)h -+=-，

解得 14.92()h m ≈ 答：灯柱高h 约为14.92m ． 2．练习：

（1）已知两直线0742:1=+-y x l ，2:250l x y +-=，求证：21l l ⊥． （2）以(1,1),(2,1),(1,4)A B C --为顶点的三角形是 （ ）

（A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形

（3）过原点作直线l 的垂线，若垂足为(2,3)-，则直线l 的方程是 ．

（4）若直线03)1()2(=--++y a x a 与02)32()1(=+++-y a x a 互相垂直， 则实数a 的值为 ．

四、回顾小结：

1．两直线垂直的判定条件；

2．与直线0=++C By Ax 垂直的直线的方程可设为0=+-m Ay Bx ，其中m 待定． 五、课外作业：

课本第87页第1（2）、2、6、11（2）题 补充：

1．已知直线l 的方程为01243=-+y x ，求直线'

l 的方程，使'

l 与l 垂直且'

l 与坐标轴围成的三角形面积为6．

2．已知直线12:220,:10l x ay a l ax y a +--=+--=，（1）若12//l l ，试求a 的值， （2）若12l l ⊥，试求a 的值．