线性代数课件--ch-1-3 拉普拉斯定理 行列式的乘法公式

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它们的代数余子式分别是：
5 A1 ( 1 )
(1 2 ) (1 2 )
6 5 1
6 5 1
0 6 65 ， 5
0 6 19 ， 5
1 0
1
A 2 ( 1)
(1 2 ) (1 3 )
0 0
0 A 3 ( 1)
(1 2 ) ( 2 3 )
0 0 0 a b c d
2
2 2
a

2
b
2
c
2
d
2 4

， 所以
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D a

b c d
2
2
2 2
．
由于 知，
4
D 中主对角线上的元素都是 a ，按行列式的定义
d
a 这 项 前 面 的 符 号 为 正 ， 因 此c a b
b 2 a 2 d 2 c2 D a b c d D c d a b d
0 0 0 b12 b 22

0 0

a nn 0 0 1

0 b1 n b2 n b nn
bn1 bn 2 一 方 面 ， 由 拉 普 拉 斯 定 理 ， D D1 D 2 ．

另 一 方 面 ， 将 第 n 1 行 的 a 11 倍 ， 第 n 2 行 的 a 12 倍 ，
a D a b b a a b b a b
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b a b b a a
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n 2 行 n 2 行
继续这样进行，最后可得
a D b a b b a
b n行 n行 a
0 0 6 5 1
0 0 0. 6 5
D 的 前 二 行 中 ， 所 有 二 阶 子 式 共 有 10 个 ， 但 其 中 只 有
N1
5 1
6 5
19 ， N 2
5 1
0 6
30 ， N 3
6 5
0 6
36 ．
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a D
2
b a d c
c d a b
DD
T

b c d
c b b c
a d
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a b c d 0 0 0
2
2
2
2 2 2
0 a b c d 0 0
2 2 2 2
0 0 a b c d 0
2 2 2 2
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．
2
c
b
a
本节完．
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定理 2 证明
作 一 个2n 阶 行 列 式
a11 a 21 D a n1 1 0 0
a12 a 22 an2 0 1 0

a1 n a2n
0 0 0 b11 b 21
n

a b
b a
(a b ) ．
2 2 n
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两个特例情形：
a11 a1n an1 ann c11 c1n 0 0 0 0 a11 a1n b11 b1m an1 ann bm1 bmm
，第 2 n 行 的 a 1 n 倍 都 加 到 第 一 行 ， 得
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0 a 21 D a n1 1 0 0
再依次将第 倍 ， ，第
0 a 22 an2 0 1 0

0 a 2n
c 11 0 0 b11 b 21 b n1
D
．
称对行列式 D 应用拉普拉斯定理为将行列式
D
按某
k 个行展开．
假如把行换成列，则称将行列式
D
按某
k
个列展开．
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例 2 计算五阶行列式
5 1 D 0 0 0
解 在 三个不为零，它们是：
6 5 1 0 0
0 6 5 1 0

a1n b11

b1m
a n1
a nn bm1

bmm
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定 理 2(行 列 式 乘 法 公 式 )
设
a 11 D1 a 21 a n1
a 12 a 22 an2

a1n a2n
，
b11 D2 b 21 bn1
N ，称为行列式 D 的一个 k 阶子式．
在
D 中划去这
k 行 k 列后余下的元素按原来相应位置
组成的n k 阶行列式 M ，称为子式 N 的余子式．
称 ( 1)
( i1 i 2 i k ) ( j1 j 2 j k )
M 为 N 的代数余子式．
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，
n行
解
先 按 第 n ， n 1行 展 开 ， 得
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a D a b b a b a b b a
b n 1 行 n 1 行 a
再 将 上 式 右 边 的 2 n 2 阶 行 列 式 ， 按 第 n 1 ，n 行 展 开 ， 得
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0 0 D 0 1 0 0
c11 c 21 c n1 c12 c 22 cn 2
0 0 0 0 1 0


0 0
c11 c 21 c n1 b11 b 21 bn1
第三节
定 义 1 在
拉普拉斯定理
n 阶行列式
行列式的乘法公式
i1 , i 2 , , i k
D 中 任 取 k 行 (第
行 ) k 列 (第
j1 , j 2 , , j k 列 ) ， 1 k n . 位 于 这 些 行 和 列 的
交叉点上的元素按原来相应的位置组成一个 k 阶行列式
c12 c 22 cn 2 b12 b 22 bn 2

c1 n c2 n

0 0 0 1

c nn b1 n b2 n
用拉普拉斯 定理

c1 n c2 n

b nn
1 0 1 0 0 0 1
结束
( 1)
(1 2 n ) ( n 1 n 2 n n )
证明
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例 4 试计算下列行列式的平方，从而求出 D ．
a D b c d
b a d c
T
c d a b
d c
.
b a
解 首先，根据行列式的性质，D
D ， 其次，
d a b a d c c d a b d c b a
6 5 1
0 6 0． 5
0 0
根据拉普拉斯定理，得
D N 1 A1 N 2 A 2 N 3 A 3 665 ．
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例 3 计算
2n 阶 行 列 式
a D b
其中行列式中空白处元素均为零．
b a b b a a n行
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例 1 在四阶行列式
1 D 0 0 0
2 1 0 0
1 2 2 1
4 1 1 3
2 0 4 1 2．
选定第一、三行，第二、四列得出一个二阶子式 N
N 的余子式为 M
0 0
2 1
0．
N 的 代 数 余 子 式 为 ( 1)
( 1 3 ) ( 2 4 )
0 0
C

c nn
证毕．
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c1 n c2n c nn
，
b12 b 22 bn 2

b1 n b2 n

c11
a nn
c12 c 22 cn 2

b nn
则
D1 D 2 C
c 21 c n1
其中
c ij a i 1 b1 j a i 2 b 2 j a in b nj ， i , j 1, 2 , , n ．
c 12 0 0 b12 b 22 bn2

c1n 0

a nn 0 0 1

0 b1 n b2n


b nn
n 1 行 的 a k 1 ( k 2 ,3 , , n ) 倍 ， 第 n 2 行 的 a k 2 2 n 行 的 a kn 倍 加 到 第 k 行 ， 就 得
M M 0．
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定 理 1（ 拉 普 拉 斯 定 理 ） 设 在 行 列 式
D
中任意取定
k (1 k n 1) 行 ． 由 这 k 行 元 素 所 组 成 的 一 切 k 阶 子
式与它们相应代数余子式的乘积之和等于行列式
b11 b1m
cm1 cmn bm1 bmm
0 0 b11 bm1 0 0 b1m bmm a11 a n1 c11 cm1 a1n a nn c1m c mn
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a11 ( 1)
mn