概率统计作业答案

《概率统计》作业答案
1.
某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取3个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品不合格．假定每批产品中的次品最多不超过2
求（1（2）在一批产品能通过检查的条件下，这批产品没有次品的概率．
[解] （1）记A ={产品能通过检查}，
B i ={产品中有i 个次品} (i =0,1,2)，则
3.0)(,
4.0)(,3.0)(210===B P B P B P
941.0)|(,97.0)|(,1)|(3100
398
2310039910=====C C B A P C C B A P B A P
由全概率公式，得所求概率为
970.0)|()()(2
∑=≈=i i i B A P B P A P
（2）我们要求的概率是
309.0970
.03.01)()()|()()()|(0000≈⨯===
A P
B P B A P A P AB P A B P
2.
发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“·”及“-”。

由于通讯系统受到干扰,当发出信号“·”
时,收报台以概率0.8及0.2收到信号“·”及“-”；又当发出信号“-”时,收报台以概率0.9及0.1收到信号“-”及“·”。

求：
（1）收报台收到信号“·”的概率；
（2）当收报台收到信号“-”时，发报台确系发出信号“-”的概率。

[解] （1）记A ={收报台收到信号“·”}，B ={发报台发出信号“·”}，则
4.0)(,6.0)(==B P B P
9.0)|(,1.0)|(,2.0)|(,8.0)|(====B A P B A P B A P B A P
由全概率公式，收报台收到信号“·”的概率为
52.0)|()()|()()(=+=B A P B P B A P B P A P
（2）当收报台收到信号“-”时，发报台确系发出信号“-”的概率是
75.048
.04
.09.0)(1)()|()()()|(=⨯=-==
A P
B P B A P A P B A P A B P
3.
两台机床加工同样的零件 ，第一台出现废品的概率为 0.05，第二台出现废品的概率为
0.02，加工的零件混放在一起。

若第一台车床与第二台车床加工的零件数比例为5 : 4，求：
（1）任意从这些零件中取出一个恰为合格品的概率；
（2）任意从这些零件中取出一个，发现恰为合格品。

试问它为第二台车床加工的可能性有多大？
[解] i A =“ 所取的零件由第i 台机床加工” (i =1,2), B =“ 取出的零件为合格品”; 则
（1）由全概率公式，任意从这些零件中取出一个恰为合格品的概率是：
（2）由贝叶斯（Bayes ）公式知，所求概率为：
4.
用甲胎蛋白法普查肝癌，由过去的资料得到灵敏度（即癌症患者检测结果呈阳性的概率）是95%、特异度（即正常人检测结果呈阴性的概率）是90%。

又已知广州肝癌发病率为0.02%（1999年数据），即每一万广州人中有两人得肝癌。

假设某人的检验结果是阳性，试问：他应该沮丧到什么程度？
[解] 答案是令人惊讶的，他甚至应该保持谨慎乐观的态度。

为什么呢？我们来求一下他真的患有肝癌的（条件）概率。

令 A ={检验结果是阳性}，B ={他真的患病}，则
)
|()()|()()
|()()|(B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=
%19.0%)
901(%)02.01(%95%02.0%
95%02.0≈-⨯-+⨯⨯=
5.
设随机变量)4,4(~N X ，求：
（1）(210)P X -<≤；（2）(3)P X >； （3）确定d ，使得()0.9P X d >≥。

[解] （1）)3()3()2
4
1024242(
)102(-Φ-Φ=-≤-<--=≤<-X P X P 9973.0199865.021)3(2=-⨯=-Φ=
（2）6915.0)5.0()5.0(1)2
4
324(
)3(=Φ=-Φ-=->-=>X P X P （3）由)28.1(9.0)2
4()24(1)2424(
)(Φ=≥-Φ=-Φ-=->-=>d
d d X P d X P 得
28.12
4≥-d
，故 44.1≤d 6. 设随机变量~(1,4)X N ，求下列概率：
（1）( 1.6 5.8)P X -≤<；（2）(|| 4.56)P X ≥
[解] （1）)3.1()4.2()2
1
8.521216.1(
)8.56.1(-Φ-Φ=-≤-<--=<≤-X P X P 895.0)9032.01(9918.0=--=
（2）(|| 4.56)P X ≥)2
1
56.4212156.4(
1)56.456.4(1-≤-<---=<<--=X P X P 0402.09973.09625.02)78.2()78.1(2))78.2()78.1((1=--=Φ-Φ-=-Φ-Φ-=
7.
设连续随机变量X 的概率密度为：
2
()1A
f x x
=
+，x -∞<<∞ 求：（1）常数A ；（2）X 落在区间[0,1]内的概率。

[解] （1）由概率密度的性质，有
221
1()arctan 11A f x dx dx A dx A x A x x π∞
∞∞
∞
-∞
-∞
-∞-∞
=
====++⎰
⎰⎰，故 1
A π
=。

（2）由概率计算公式知，所求概率为
1
1
02
1111(01)arctan (1)44P X dx x x ππππ≤≤===⋅=+⎰
；
8.
设随机变量X 的分布函数为 ()arctan F x A B x =+，x -∞<<+∞。

（1） 求常数,A B ；(2) 求(||1)P X <；（3）求概率密度。

[解] （1）由0)(lim =-∞
→x F x 及1)(lim =+∞
→x F x ，得
0)2(=-
+πB A ， 1)2(=+π
B A 解得 π
1
,21==B A ；
（2）(||1)P X <))1arctan(()1arctan
()1()1(-+-+=--=B A B A F F 2
1))4(4(1=--⨯=πππ； （3）随机变量X 的概率密度为
)
1(1
)(arctan )()(2
x x B x F x f +='⨯='=π。

9.
设袋中有2个白球和3个黑球，每次从其中任取1个球，直至取到黑球为止，分别就 （1）不放回取球与（2）有放回取球两种情形 计算取球次数的数学期望、方差与标准差.
[解] 设X 与Y 分别表示情形（1）与（2）的取球次数，则不难知道，X 的概率分布表为：
又7.21.033.026.01)(2
2
2
2
=⨯+⨯+⨯=X E 故45.0)()()(2
2
=-=X E X E X D ，67.0)()(≈=X D X σ
而Y 的概率分布为：
6.0)4.0()(1⋅==-k k Y P ，1,2,3,k =，即)6.0(~G Y
从而356.01)(==Y E ，9106
.06.01)(2=-=Y D ，05.1)()(≈=Y D Y σ
10. 设随机变量],0[~πU X
，求随机变量函数X Y cos =的数学期望与方差.
[解] 随机变量],0[~πU X 的密度为
⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它。

,0;
0,1
)(ππ
x x f 则函数X Y cos =的数学期望与方差分别为
⎰∞
∞
-⋅==dx x f x X E Y E )(cos )(cos )(
0sin 1
cos 1
|0
==
=
⎰∞
π
ππ
π
x xdx ；
⎰∞
∞
-⋅==-=dx x f x X E Y E Y E Y D )(cos )(cos )()()(2222
2
1
))2sin(21(21))2cos(1(21cos 1
|000
2=+=+==
⎰⎰ππ
π
πππ
x x dx x xdx
11. 设随机变量2~(0,)X N σ，求随机变量函数||Y X =的数学期望与方差。

[解] （1）先求Y 的分布函数：)|(|)(y X P y F ≤=。

显然，当0y ≤时，()0F y =；
而当0y >时，⎰
⎰
-
--
==
≤≤-=y
x y
y
x dx e
dx e
y X y P y F 0
222
22
22221)()(σσσ
πσ
π
故||Y X =的概率密度为
⎪
⎩⎪⎨⎧≤>='=-0,
00
,22)()(2
2
2y y e y F y f y σσπ
（2）σπ
σπ
σπ
σ
πσ222
222222)(0
22
2
222
2
2==
=
=
⎰⎰⎰∞
-
∞
-
∞
-
x d e
dx xe
dy e
y
Y E x x y
2222)()()()(σ=+==X E X D X E Y E
故 22
2)2
1()()()(σπ
-=-=Y E Y E Y D
12. 某工厂有200台同类型的机器，每台机器工作时需要的电功率为10千瓦。

由于工艺等
原因，每台机器的实际工作时间只占全部工作时间的75%，各台机器是否工作是相互独立的。

求：
（1）任一时刻有140至160台机器正在工作的概率；
（2） 需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不小于0.95?
[解] 设事件A 表示机器工作，则可把200台机器是否工作视作200重贝努利试验。

设Y
表示任一时刻正在工作的机器数，则)75.0,200(~N Y . （1）由De Moivre -Laplace 中心极限定理知
)
5
.37150
1605.371505.37150140()160140(-≤-≤-=≤≤Y P Y P 8968.019484.021)63.1(2=-⨯=-Φ≈
（2）设任一时刻正在工作的机器数不超过m ，则题目要求
95.0)0(≥≤≤m Y P
即有 )5.24()5.37150
()5.371500()5.37150(
)0(-Φ--Φ≈-Φ--Φ≈≤≤m m m Y P )645.1()5
.37150(Φ≥-Φ≈m ，
故
645.15
.37150≥-m ，1.160≥m ，
取161=m ，即需要供应1610千瓦的电功率.
13. 设总体)(~p G X
，抽取样本12,,,n X X X 。

求：
（1） 样本均值X 的数学期望与方差；（2）样本方差2
S 的数学期望。

[解] 因为)(~p G X ，故21)(,1)(p
p X D p X E -==。

（1）p X E X E 1)()(=
=，21)()(np
p n X D X D -==； （2）22
1)()(p
p
X D S E -=
=。

14. 设总体~(40,25)X N 。

（1）抽取容量为36的样本，求样本均值X 在38与43之间的概率； （2）抽取样本容量n 多大时，才能使概率(|40|1)0.95P X -<≥？ （3）抽取样本容量n 多大时，才能使(||)0.5E X μ-≤？
[解] 设样本容量为n ，则 )1,0(~2540
N n
X u -=。

（1）此时36=n ，
)1,0(~36
2540
N X -，故所求概率为
)6.336
2540
4.2()4338(<-<
-=<<X P X P 9916.0)9918.01(99984.0)4.2()6.3(=--=-Φ-Φ=
(2) 95.01)5
(2)5|(|)1|40(|≥-Φ=<
=<-n
n u P X P , )96.1(975.0)5(
Φ=≥Φn ，96.15
≥n
，04.96≥n ，取97=n （3
）222
2
||||x x E u x dx xe
dx ∞
∞
-
-
-∞
=
=
=
⎰⎰，
5.050||25||≤==
-π
μn u E n X E ， 7.63200
≈≥
π
n ，故取64=n 。

15. 设总体~()X G p ，其中01p <<。

求未知参数p 的矩估计与最大似然估计，并说明
它们是否为无偏估计。

[解] 因为)(~p G X ，故p
X E 1
)(=
，故有矩法方程：p X 1=。

解之得p 的矩估计是X
p
1
ˆ=。

设样本观测值为12,,
,n x x x ，则似然函数为
n x n n
i x p p p p p L i )1(1
1)1()1()(-=--=-=∏
故 p n p x n p L ln )1ln()1()(ln +--=，
有似然方程:
01
11)1()(l n =+---=p
n p x n dp p L d ，
解之得p 的最大似然估计值是x p
1ˆ=，最大似然估计也是X
p 1
ˆ=。

因为p p
X E X E X E p
E ===≠=11
)(1)(1)1()ˆ(， 所以参数p 的矩估计和最大似然估计都不是无偏估计。

16. 设1112(,,,)n X X X θθ=和2212(,,,)n X X X θθ=是θ的两个相互独立的无偏估
计，且方差)ˆ(2
3)ˆ(12
θθD D =。

（1）试证明：对任意常数k ，12(1)k k θθθ=+-都是θ的无偏估计； （2）在所有这些无偏估计中，试求方差最小的无偏估计。

[解] （1）因为
1212()[(1)]()(1)()(1)E E k k kE k E k k θθθθθθθθ=+-=+-=+-=
所以，对任意常数k ，12(1)k k θ
θθ=+-都是θ的无偏估计。

（2）2
21212()[(1)]()(1)()D D k k k D k D θθθθθ=+-=+-
2
)ˆ()56)53(5(2)ˆ())1(32()ˆ()23)1((1212212
2
θθθD k D k k D k k +-=-+=-+= 故方差最小的无偏估计是
21ˆ
5
2ˆ53θθ+。

17. 假设考生成绩服从正态分布2(,)N μσ。

现随机抽取36人，算得平均成绩是66.5分，
标准差为15分。

试问在显著性水平α=0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均
成绩为70分？
[解] 设考生成绩服从正态分布),(~2σμN X
，依题意，要检验的假设是
70:00==μμH 01:μμ≠↔H
因为未知σ，所以应选取统计量
)1(~/0
0--=n t n
S X t H μ；在显著性水平05.0=α下
的拒绝域为}03.2)35()1(|{|025.02==->=t n t t R α。

计算统计量t 的观测值得：4.1|36
15705.66|
||
||0=-=-=n
s
x t μ 。

因为03.2||<t ，所以在显著性水平05.0=α下，没有充分理由拒绝原假设0H ，即没有充分理由认为这次考试全体考生的平均成绩不是70分。

18. 已知某种电子元件的平均寿命为3000小时。

采用新技术后抽查16个，测得电子元件
寿命的样本均值3100x =小时，样本标准差170s =小时。

设电子元件的寿命服从正态
分布，试问采用新技术后电子元件的平均寿命是否有显著提高？(取显著性水平05.0=α)
[解] 设电子元件的寿命),(~2σμN X
，依题意，要检验的假设是
00:3000H μμ==10:H μμ↔>
因为未知σ，所以应选取统计量
)1(~/0
0--=n t n
S X t H μ；在显著性水平05.0=α下
的拒绝域为}753.1)15()1({05.0==->=t n t t R α。

计算统计量t 的观测值得：35.216
1703000
31000≈-=
-=
n s
x t μ 。

因为753.1>t ，所以在显
著性水平05.0=α下，拒绝原假设0H ，接受备择假设1H ，即可认为采用新技术后电子元
件平均寿命显著提高。