析因设计与分析
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a1
b1 b2
a2
拮抗作用
четверг, 9
一级交互效应: 两个因素间 二级交互效应：三个因素间 设计特点：在一个实验设计里，既可分析 因素的单独效应，又可分析其交互效应。
четверг, 9
三、实验设计方法
例：研究猪的性别和不同饲料（玉米、大豆粉 ）对体重增加的影响，试作析因分析。
A1：雌猪
两因素联合（共同）作用大于其单独作用之和
负交互作用（拮抗作用）：(a b0 ) (a 0 ) (b 0 )
两因素联合作用小于其单独作用之和
четверг, 9
45
43
b1
b2
41
39
37
35
33
31
29
27
25
a1
a2
协同作用
четверг, 9
45 43 41 39 37 35 33 31 29 27 25
A1 A1B1C1 A1B1C2 A1B2C1 A1B2C2
A2 A2B1C1 A2B1C2 A2B2C1 A2B2C2
2×2×2 =8种处理
четверг, 9
3×3析因试验举例
考察不同剂量考的松和党参对ATP酶活 力的作用。
A因素(考的松)
不用 低剂量 高剂量
不用 O B因素 低剂量 B1
高剂量 B2
A2
5.17+5.52=10.69(TA2B1)
5.12+4.20=9.32(TA2B2)
Leabharlann Baidu
如 :S(A S)B STS (A)B S(A S)S(B S)r1kT2AB CS(A S)S(B S)
r1k (T2A 1B 1T2A 1B2T2A2B 1T2A2B2)CS(A S)S(B S)
S ( A ) S B S B C S S ( A ) S ( B ) S ( C ) S ( A ) S S B ( A ) S S C ( B )S
четверг, 9
（二）计算过程
表3.9 不同饲料喂养猪的平均日增重量（kg)
A1B1C1 A1B1C2 A1B2C1 A1B2C2 A2B1C1 A2B1C2 A2B2C1 A2B2C2
2×2析因设计
B因素 A1
A因素 A2
B1
A1B1(a1b1=26)
A2B1(a2b1=30)
B2
A1B2(a1b2=36)
A2B2(a2b2=52)
AB=[( a2b2- a1b2)-(a2b1- a1b1)]/2= (16-4)/2=6
AB=[( a2b2- a2b1)-(a1b2- a1b1)]/2=(22-10)/2=6
(4)H0:性别因素的各水平的体重平均增长值的差异,独立于大豆因素,或者大 豆因素的体重平均增长值的差异独立于性别因素;
H1:两者不独立。 (5) H0:性别因素的各水平的体重平均增长值的差异,独立于玉米因素,或者 玉米因素的体重平均增长值的差异独立于性别因素;
H1:两者不独立 （6）略 （7） H0:三个因素的各水平的体重平均增长值的差异相互独立
четверг, 9
B
B1 (未用药) B2 (用药)
A
A1(未用药)
A2 (用药)
A1B1
A2B1
A1B2
A2B2
0,a,b,ab表示4个处理组A1B1,A2B1 ,A1B2,A2B2对应的总体均值
存在交互效应 (a b0 ) (a 0 ) (b 0 )
正交互效应（协同作用）： (a b0 ) (a 0 ) (b 0 )
析因设计 Factorial Design
析因设计方法的提出（意义）
例：在评价药物疗效时，除需知道A药和B 药各剂量的疗效外（主效应），还需知道 两种药同时使用的交互效应。 析因设计及相应的方差分析能分析药物 的单独效应、主效应和交互效应。
четверг, 9
2×2析因设计
2因素2水平全面组合
0.55 0.77 0.51 0.48 0.73 0.84 0.67 0.42 0.54 0.60 0.57 0.61 0.70 0.62 0.60 0.60 0.74 0.58 0.68 0.59 0.59 0.67 0.63 0.64 0.71 0.74 0.66 0.62 0.61 0.66 0.66 0.48 0.62 0.61 0.43 0.49 0.69 0.76 0.61 0.55 0.58 0.57 0.50 0.49 0.54 0.73 0.57 0.48 0.56 0.72 0.58 0.52 0.70 0.63 0.67 0.54 0.51 0.79 0.65 0.49 0.61 0.61 0.71 0.49
1.本例总方差分解为8个组成部分：
ST SS(A )S S(B )S S(C )S S(A S ) BS(A S )C S(B S )C S(A S )B S CES SB S SES 2.交互效应由因素的联合（共同）效应分解求得：
S(A S )B ST (S A)B S(A S ) S(B S )
0.55 0.77 0.51 0.48 0.73 0.84 0.67 0.42 0.54 0.60 0.57 0.61 0.70 0.62 0.60 0.60 0.74 0.58 0.68 0.59 0.59 0.67 0.63 0.64 0.71 0.74 0.66 0.62 0.61 0.66 0.66 0.48 0.62 0.61 0.43 0.49 0.69 0.76 0.61 0.55 0.58 0.57 0.50 0.49 0.54 0.73 0.57 0.48 0.56 0.72 0.58 0.52 0.70 0.63 0.67 0.54 0.51 0.79 0.65 0.49 0.61 0.61 0.71 0.49
C2=19.39
четверг, 9
A因素主效应
r为每组例数
J为B因素水 平数
K为C因素 水平数
SS(A)
1 rJK
Ai2
C
A12 A22 rJK
C
19.062 20.012 23.85010.0141 822
DF(A)=因素水平数－1=I-1=2-1=1 同理可得
I为A因素水 平数
S(B S )r1IK B i2CB 12 rIB 2 K 2C0.11D3F(B1 )=2-1=1
合计
Tg (ΣX)
4.81
5.38
4.58
4.29
5.17 5.52
5.12
4.20 39.07
ΣX2 2.9403 3.6764 2.6768 2.3257 3.3729 3.8540 3.2914 2.2410 24.3785
четверг, 9
第一步
总变异分离成组间变异和组内变异
方差来源 总变异(T) 组间变异(B) 组内变异(E)
DF N-1 G-1 N-G
SS
MS
ST SX2C
SS B1/rTk2C SSB/(G-1)
SST-SSB
SSE/(N-G)
G为处理组数， Tk(k=1,2,…,G)为各处理组观察值小计，r为各处理组例数， C=(ΣX)2/N
четверг, 9
第二步
r为每组例数
将组间变异分解出主效应项和交互效应项
Am=[(a2b2- a1b2)+(a2b1- a1b1)]/2=[16+4]/2=10 Bm=[(a1b2- a1b1)+( a2b2- a2b1)]/2 =[10+22]/2=16
четверг, 9
(三)交互效应
若一个因素的单独效应随另一个因素水平 的变化而变化，且变化的幅度超出随机波动的 范围时，称该两因素间存在交互效应。
C2 玉米
A1B2C1 A1B2C2
A2B2C1 A2B2C2
(二)将试验单位随机分配
32只雌猪随机分配到（1）～（4）组，随机数序号 1 ～8（1）组，9 ～16（2）组，17 ～24（3）组，25 ～ 32（4）组。32只雄猪随机分配到（5）～（8）组。
четверг, 9
三、实验结果与分析
（一）方差分析的基本思想
SSTAB-SS(A)-SS(B) SSTAB-SS(A)-SS(C) SSTAB-SS(B)-SS(C)
SS(AB)/dfab SS(AC)/dfab SS(BC)/dfab
MS(AB)/MSE MS(AC)/MSE MS(BC)/MSE
(I-1)(J-1) （K-1）
SS(ABC)=SSBSS(A)-SS(B)-SS(C)SS(AB)-SS(AC)SS(BC)
Tg (ΣX) 4.81 5.38 4.58 4.29 5.17 5.52 5.12 4.20 39.07 ΣX2 2.9403 3.6764 2.6768 2.3257 3.3729 3.8540 3.2914 2.2410 24.3785
首先计算A.B.C三因素不同水平的合计值
A1=4.81+5.38+4.58+4.29=19.06 A2=5.17+5.52+5.12+4.20=20.01 B1=20.88 B2=18.19 C1=19.68
H1:三个因素的各水平的体重平均增长值的差异不独立 第(4)-（7）个假设就是检验因素的交互影响。
четверг, 9
1.计算总变异
S2 (XX)2 STS
n1
VT
S T S X 2 ( X ) 2 n 2 .3 4 7 3 .0 8 9 2 6 7 5 0 4 .527
C( X )2n3.0 927 6 42.8 351D 0T (V F T ) n 1 6 4 1 63
A2：雄猪
B1: 大豆加4%蛋粉
B2 : 大豆不加蛋粉
C1: 玉米加0.6%己氨酸 C2 : 玉米不加己氨酸
четверг, 9
(一)确定设计模型
本例三个因素，分别是2、2、2个水平， 大
用2×2×2析因设计
豆
雌雄
A
B1
C1
C2
A1 A1B1C1 A1B1C2
A2 A2B1C1 A2B1C2
B2
C1
S(C S )r1IJC i2CC 12rC I2J 2C0.00D1F(C3 )=2-1=1
четверг, 9
3.计算因素间的交互效应（AB、AC、BC、ABC)
表3.10 A、B交互效应计算副表
C1
A
B1
C2
C1 B2
C2
A1
4.81+5.38=10.19(TA1B1)
4.58+4.29=8.87(TA1B2)
A1 A1 B1 A1 B2
A2 A2 B1 A2 B2
четверг, 9
二、 析因设计的有关术语
➢ 单独效应（simple effects）： ➢ 主效应（main effects）： ➢ 交互作用（Interaction）：
卫生统计学教研室
четверг, 9
（一）单独效应 2×2析因设计
方差来源
DF
SS
MS
F
主效应 A B C
一级交互效应
I-1 J-1 K-1
rJ1KAi2 C
rI1KB2j C
1 rIJ
CK2
C
SS(A)/dfa SS(B)/dfb SS(C)/dfc
MS(A)/MSE MS(B)/MSE MS(C)/MSE
AB AC BC 二级交互效应 ABC
(I-1)(J-1) (I-1)(K-1) (J-1)(K-1)
B 因素
B1 B2
A因素
A1 A1B1(a1b1=26) A1B2(a1b2=36)
A2 A2B1(a2b1=30) A2B2(a2b2=52)
其它因素水平固定时，同一因素不同水平间效应的差别
B因素固定在1水平时，A因素的单独效应为4……
четверг, 9
（二）主效应
某一因素各水平单独效应的平均差别
SS(ABC)/dfAB MS(ABC)/MSE
C
четверг, 9
(1)H0:性别因素各水平的体重平均增长值相同; H1:性别因素各水平的体重平均增长值不相同;
(2)H0:大豆因素各水平的体重平均增长值相同; H1:大豆因素各水平的体重平均增长值不相同;
(3) H0:玉米因素各水平的体重平均增长值相同; H1:玉米因素各水平的体重平均增长值不相同;
SSB
1 r
Tg2 C
r为每组例数
1r (T12 T22 T32 T42 T52 T62 T72 T82）C
1(4.812 5.382 4.5824.202）23.8510 8
0.2123 DBF 817
четверг, 9
2.计算各因素的主效应（A.B.C)
表3.9 不同饲料喂养猪的平均日增重量（kg) A1B1C1 A1B1C2 A1B2C1 A1B2C2 A2B1C1 A2B1C2 A2B2C1 A2B2C2 合计
B因素
A因素
A1
A2
B1
A1 B1
A2 B1
B2
A1 B2
A2 B2
2×2=4种处理
четверг, 9
2×3析因设计
各因素各水平全面组合的设计
A
B
B1
B2
B3
A1
A1B1
A1B2
A1B3
A2
A2B1
A2B2
A2B3
2×3=6种处理
четверг, 9
2×2×2析因设计
B1 A
C1
C2
B2
C1
C2
b1 b2
a2
拮抗作用
четверг, 9
一级交互效应: 两个因素间 二级交互效应：三个因素间 设计特点：在一个实验设计里，既可分析 因素的单独效应，又可分析其交互效应。
четверг, 9
三、实验设计方法
例：研究猪的性别和不同饲料（玉米、大豆粉 ）对体重增加的影响，试作析因分析。
A1：雌猪
两因素联合（共同）作用大于其单独作用之和
负交互作用（拮抗作用）：(a b0 ) (a 0 ) (b 0 )
两因素联合作用小于其单独作用之和
четверг, 9
45
43
b1
b2
41
39
37
35
33
31
29
27
25
a1
a2
协同作用
четверг, 9
45 43 41 39 37 35 33 31 29 27 25
A1 A1B1C1 A1B1C2 A1B2C1 A1B2C2
A2 A2B1C1 A2B1C2 A2B2C1 A2B2C2
2×2×2 =8种处理
четверг, 9
3×3析因试验举例
考察不同剂量考的松和党参对ATP酶活 力的作用。
A因素(考的松)
不用 低剂量 高剂量
不用 O B因素 低剂量 B1
高剂量 B2
A2
5.17+5.52=10.69(TA2B1)
5.12+4.20=9.32(TA2B2)
Leabharlann Baidu
如 :S(A S)B STS (A)B S(A S)S(B S)r1kT2AB CS(A S)S(B S)
r1k (T2A 1B 1T2A 1B2T2A2B 1T2A2B2)CS(A S)S(B S)
S ( A ) S B S B C S S ( A ) S ( B ) S ( C ) S ( A ) S S B ( A ) S S C ( B )S
четверг, 9
（二）计算过程
表3.9 不同饲料喂养猪的平均日增重量（kg)
A1B1C1 A1B1C2 A1B2C1 A1B2C2 A2B1C1 A2B1C2 A2B2C1 A2B2C2
2×2析因设计
B因素 A1
A因素 A2
B1
A1B1(a1b1=26)
A2B1(a2b1=30)
B2
A1B2(a1b2=36)
A2B2(a2b2=52)
AB=[( a2b2- a1b2)-(a2b1- a1b1)]/2= (16-4)/2=6
AB=[( a2b2- a2b1)-(a1b2- a1b1)]/2=(22-10)/2=6
(4)H0:性别因素的各水平的体重平均增长值的差异,独立于大豆因素,或者大 豆因素的体重平均增长值的差异独立于性别因素;
H1:两者不独立。 (5) H0:性别因素的各水平的体重平均增长值的差异,独立于玉米因素,或者 玉米因素的体重平均增长值的差异独立于性别因素;
H1:两者不独立 （6）略 （7） H0:三个因素的各水平的体重平均增长值的差异相互独立
четверг, 9
B
B1 (未用药) B2 (用药)
A
A1(未用药)
A2 (用药)
A1B1
A2B1
A1B2
A2B2
0,a,b,ab表示4个处理组A1B1,A2B1 ,A1B2,A2B2对应的总体均值
存在交互效应 (a b0 ) (a 0 ) (b 0 )
正交互效应（协同作用）： (a b0 ) (a 0 ) (b 0 )
析因设计 Factorial Design
析因设计方法的提出（意义）
例：在评价药物疗效时，除需知道A药和B 药各剂量的疗效外（主效应），还需知道 两种药同时使用的交互效应。 析因设计及相应的方差分析能分析药物 的单独效应、主效应和交互效应。
четверг, 9
2×2析因设计
2因素2水平全面组合
0.55 0.77 0.51 0.48 0.73 0.84 0.67 0.42 0.54 0.60 0.57 0.61 0.70 0.62 0.60 0.60 0.74 0.58 0.68 0.59 0.59 0.67 0.63 0.64 0.71 0.74 0.66 0.62 0.61 0.66 0.66 0.48 0.62 0.61 0.43 0.49 0.69 0.76 0.61 0.55 0.58 0.57 0.50 0.49 0.54 0.73 0.57 0.48 0.56 0.72 0.58 0.52 0.70 0.63 0.67 0.54 0.51 0.79 0.65 0.49 0.61 0.61 0.71 0.49
1.本例总方差分解为8个组成部分：
ST SS(A )S S(B )S S(C )S S(A S ) BS(A S )C S(B S )C S(A S )B S CES SB S SES 2.交互效应由因素的联合（共同）效应分解求得：
S(A S )B ST (S A)B S(A S ) S(B S )
0.55 0.77 0.51 0.48 0.73 0.84 0.67 0.42 0.54 0.60 0.57 0.61 0.70 0.62 0.60 0.60 0.74 0.58 0.68 0.59 0.59 0.67 0.63 0.64 0.71 0.74 0.66 0.62 0.61 0.66 0.66 0.48 0.62 0.61 0.43 0.49 0.69 0.76 0.61 0.55 0.58 0.57 0.50 0.49 0.54 0.73 0.57 0.48 0.56 0.72 0.58 0.52 0.70 0.63 0.67 0.54 0.51 0.79 0.65 0.49 0.61 0.61 0.71 0.49
C2=19.39
четверг, 9
A因素主效应
r为每组例数
J为B因素水 平数
K为C因素 水平数
SS(A)
1 rJK
Ai2
C
A12 A22 rJK
C
19.062 20.012 23.85010.0141 822
DF(A)=因素水平数－1=I-1=2-1=1 同理可得
I为A因素水 平数
S(B S )r1IK B i2CB 12 rIB 2 K 2C0.11D3F(B1 )=2-1=1
合计
Tg (ΣX)
4.81
5.38
4.58
4.29
5.17 5.52
5.12
4.20 39.07
ΣX2 2.9403 3.6764 2.6768 2.3257 3.3729 3.8540 3.2914 2.2410 24.3785
четверг, 9
第一步
总变异分离成组间变异和组内变异
方差来源 总变异(T) 组间变异(B) 组内变异(E)
DF N-1 G-1 N-G
SS
MS
ST SX2C
SS B1/rTk2C SSB/(G-1)
SST-SSB
SSE/(N-G)
G为处理组数， Tk(k=1,2,…,G)为各处理组观察值小计，r为各处理组例数， C=(ΣX)2/N
четверг, 9
第二步
r为每组例数
将组间变异分解出主效应项和交互效应项
Am=[(a2b2- a1b2)+(a2b1- a1b1)]/2=[16+4]/2=10 Bm=[(a1b2- a1b1)+( a2b2- a2b1)]/2 =[10+22]/2=16
четверг, 9
(三)交互效应
若一个因素的单独效应随另一个因素水平 的变化而变化，且变化的幅度超出随机波动的 范围时，称该两因素间存在交互效应。
C2 玉米
A1B2C1 A1B2C2
A2B2C1 A2B2C2
(二)将试验单位随机分配
32只雌猪随机分配到（1）～（4）组，随机数序号 1 ～8（1）组，9 ～16（2）组，17 ～24（3）组，25 ～ 32（4）组。32只雄猪随机分配到（5）～（8）组。
четверг, 9
三、实验结果与分析
（一）方差分析的基本思想
SSTAB-SS(A)-SS(B) SSTAB-SS(A)-SS(C) SSTAB-SS(B)-SS(C)
SS(AB)/dfab SS(AC)/dfab SS(BC)/dfab
MS(AB)/MSE MS(AC)/MSE MS(BC)/MSE
(I-1)(J-1) （K-1）
SS(ABC)=SSBSS(A)-SS(B)-SS(C)SS(AB)-SS(AC)SS(BC)
Tg (ΣX) 4.81 5.38 4.58 4.29 5.17 5.52 5.12 4.20 39.07 ΣX2 2.9403 3.6764 2.6768 2.3257 3.3729 3.8540 3.2914 2.2410 24.3785
首先计算A.B.C三因素不同水平的合计值
A1=4.81+5.38+4.58+4.29=19.06 A2=5.17+5.52+5.12+4.20=20.01 B1=20.88 B2=18.19 C1=19.68
H1:三个因素的各水平的体重平均增长值的差异不独立 第(4)-（7）个假设就是检验因素的交互影响。
четверг, 9
1.计算总变异
S2 (XX)2 STS
n1
VT
S T S X 2 ( X ) 2 n 2 .3 4 7 3 .0 8 9 2 6 7 5 0 4 .527
C( X )2n3.0 927 6 42.8 351D 0T (V F T ) n 1 6 4 1 63
A2：雄猪
B1: 大豆加4%蛋粉
B2 : 大豆不加蛋粉
C1: 玉米加0.6%己氨酸 C2 : 玉米不加己氨酸
четверг, 9
(一)确定设计模型
本例三个因素，分别是2、2、2个水平， 大
用2×2×2析因设计
豆
雌雄
A
B1
C1
C2
A1 A1B1C1 A1B1C2
A2 A2B1C1 A2B1C2
B2
C1
S(C S )r1IJC i2CC 12rC I2J 2C0.00D1F(C3 )=2-1=1
четверг, 9
3.计算因素间的交互效应（AB、AC、BC、ABC)
表3.10 A、B交互效应计算副表
C1
A
B1
C2
C1 B2
C2
A1
4.81+5.38=10.19(TA1B1)
4.58+4.29=8.87(TA1B2)
A1 A1 B1 A1 B2
A2 A2 B1 A2 B2
четверг, 9
二、 析因设计的有关术语
➢ 单独效应（simple effects）： ➢ 主效应（main effects）： ➢ 交互作用（Interaction）：
卫生统计学教研室
четверг, 9
（一）单独效应 2×2析因设计
方差来源
DF
SS
MS
F
主效应 A B C
一级交互效应
I-1 J-1 K-1
rJ1KAi2 C
rI1KB2j C
1 rIJ
CK2
C
SS(A)/dfa SS(B)/dfb SS(C)/dfc
MS(A)/MSE MS(B)/MSE MS(C)/MSE
AB AC BC 二级交互效应 ABC
(I-1)(J-1) (I-1)(K-1) (J-1)(K-1)
B 因素
B1 B2
A因素
A1 A1B1(a1b1=26) A1B2(a1b2=36)
A2 A2B1(a2b1=30) A2B2(a2b2=52)
其它因素水平固定时，同一因素不同水平间效应的差别
B因素固定在1水平时，A因素的单独效应为4……
четверг, 9
（二）主效应
某一因素各水平单独效应的平均差别
SS(ABC)/dfAB MS(ABC)/MSE
C
четверг, 9
(1)H0:性别因素各水平的体重平均增长值相同; H1:性别因素各水平的体重平均增长值不相同;
(2)H0:大豆因素各水平的体重平均增长值相同; H1:大豆因素各水平的体重平均增长值不相同;
(3) H0:玉米因素各水平的体重平均增长值相同; H1:玉米因素各水平的体重平均增长值不相同;
SSB
1 r
Tg2 C
r为每组例数
1r (T12 T22 T32 T42 T52 T62 T72 T82）C
1(4.812 5.382 4.5824.202）23.8510 8
0.2123 DBF 817
четверг, 9
2.计算各因素的主效应（A.B.C)
表3.9 不同饲料喂养猪的平均日增重量（kg) A1B1C1 A1B1C2 A1B2C1 A1B2C2 A2B1C1 A2B1C2 A2B2C1 A2B2C2 合计
B因素
A因素
A1
A2
B1
A1 B1
A2 B1
B2
A1 B2
A2 B2
2×2=4种处理
четверг, 9
2×3析因设计
各因素各水平全面组合的设计
A
B
B1
B2
B3
A1
A1B1
A1B2
A1B3
A2
A2B1
A2B2
A2B3
2×3=6种处理
четверг, 9
2×2×2析因设计
B1 A
C1
C2
B2
C1
C2