角平分线经典题型
【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘 之角平分线问题(含答案)
【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘之角
平分线问题
一、证明题(共3道，每道40分)
1.已知，如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.
答案：∵BF是∠CBD的平分线∴FG=FI ∵CF是∠BCE的平分线∴FH=FI ∴FG=FH ∴点F在∠DAE的平分线上
解题思路：过F作FG⊥AD于点G，FH⊥AE于点H，FI⊥BC于点I，如图只要证明FG=FH即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
2.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，∠B=2∠C.求证：AC=AB+BD.
答案：∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠EAD 在△ABD和△AED中AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD ∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD=ED，∠B=∠AED ∵∠AED=∠B=2∠C ∴∠CDE=∠AED ﹣∠C=∠C ∴DE=CE ∴BD=CE ∵AC=AE+CE ∴AC=AB+BD
解题思路：在AC上截取AE=AB，连接DE，如图只要证明BD=CE即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
3.已知：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，AD⊥BE，垂足为点D.求证：∠BAD=∠DAE+∠C.
答案：∵BE平分∠ABC，AD⊥BE ∴△ABF为等腰三角形（三线合一）∴∠BAD=∠BFD ∵∠BFD 为△ACF的外角∴∠BFD=∠DAE+∠C ∴∠BAD=∠DAE+∠C
解题思路：延长AD与BC交于点F，如图只要证明∠BFD=∠BAD即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线。
人教版八年级上册第十二章全等三角形经典题型辅助线作法
全等三角形常见辅助线作法【例1】．已知：如图6，△BCE 、△ACD 分别是以BE 、AD 为斜边的直角三角形，且BE AD =，△CDE 是等边三角形．求证：△ABC 是等边三角形．【例2】、如图，已知BC > AB ，AD=DC 。
BD 平分∠ABC 。
求证：∠A+∠C=180°.一、线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。
1、倍长中线法【例. 3】如图，已知在△ABC 中，90C ︒∠=，30B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D . 求证：2BD CD =证明：延长DC 到E ，使得CE=CD,联结AE ∵∠ADE=60°∵∠C=90° ∴△ADE 为等边三角形 ∴AC ⊥CD ∴AD=DE ∵CD=CE ∵DB=DA∴AD=AE ∴BD=DE ∵∠B=30°∠C=90° ∴BD=2DC ∴∠BAC=60° ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=30°∴DB=DA ∠ADE=60°DCBADCB EA【例4.】 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。
求证：2AC AE =。
证明：延长AE 到点F,使得EF=AE 联结DF在△ABE 和△FDE 中 ∴∠ADC=∠ABD+∠BDABE =DE∵∠ABE=∠FDE∠AEB=∠FED ∴∠ADC=∠ADB+∠FDE AE=FE 即 ∠ADC = ∠ADF ∴△ABE ≌ △FDE （SAS ） 在△ADF 和△ADC 中 ∴AB=FD ∠ABE=∠FDE AD=AD ∵AB=DC ∠ADF = ∠ADC ∴ FD = DC DF =DC∵∠ADC=∠ABD+∠BAD ∴△ ADF ≌ ADC(SAS) ∵ADB BAD ∠=∠ ∴AF=AC ∴AC=2AE【变式练习】、 如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。
全等三角形经典题型辅助线
全等三角形常见辅助线作法【例1】．已知:如图6,△BCE 、△ACD 分别是以BE 、AD 为斜边的直角三角形,且BE AD =，△CDE 是等边三角形．求证：△ABC 是等边三角形．【例2】、如图，已知BC > AB ，AD=DC 。
BD 平分∠ABC 。
求证：∠A+∠C=180°.一、线段的数量关系： 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。
1、倍长中线法【例. 3】如图，已知在△ABC 中，90C ︒∠=，30B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D 。
求证：2BD CD =证明:延长DC 到E ，使得CE=CD ，联结AE ∵∠ADE=60°∵∠C=90° ∴△ADE 为等边三角形 ∴AC ⊥CD ∴AD=DE ∵CD=CE ∵DB=DA∴AD=AE ∴BD=DE ∵∠B=30°∠C=90° ∴BD=2DC ∴∠BAC=60° ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=30°∴DB=DA ∠ADE=60°DCBADCB EA【例 4.】 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。
求证:2AC AE =。
证明:延长AE 到点F,使得EF=AE 联结DF在△ABE 和△FDE 中 ∴∠ADC=∠ABD+∠BDA BE =DE ∵∠ABE=∠FDE∠AEB=∠FED ∴∠ADC=∠ADB+∠FDE AE=FE 即 ∠ADC = ∠ADF ∴△ABE ≌ △FDE （SAS ） 在△ADF 和△ADC 中 ∴AB=FD ∠ABE=∠FDE AD=AD ∵AB=DC ∠ADF = ∠ADC ∴ FD = DC DF =DC∵∠ADC=∠ABD+∠BAD ∴△ ADF ≌ ADC(SAS) ∵ADB BAD ∠=∠ ∴AF=AC ∴AC=2AE【变式练习】、 如图,△ABC 中,BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线"的辅助线包含的基本图形“八字型"和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。
角平分线定理题
一、选择题
1.根据角平分线定理，若一条射线是角的平分线，则它将这个角分为两个：
A.锐角
B.钝角
C.相等的小角（答案）
D.不等的小角
2.在三角形ABC中，若AD是∠BAC的平分线，那么：
A.AB = AC
B.BD = CD（答案）
C.∠B = ∠C
D.AD是BC的中线
3.角平分线定理表明，角的平分线上的点到这个角的两边的距离：
A.相等（答案）
B.不等
C.无法确定
D.与角的大小有关
4.在△PQR中，若RS是∠PQR的平分线，且RS交PQ于点S，那么下列哪个选项是正
确的？
A.PS = QS（答案）
B.∠PRS = ∠QRS
C.RS是△PQR的高
D.RS是△PQR的中线
5.根据角平分线的性质，在△XYZ中，若XY是∠XZY的平分线，那么：
A.XY平分∠XYZ
B.XY平分对边XZ
C.点Y到XZ两边的距离相等（答案）
D.XY是XZ的中垂线
6.在四边形ABCD中，若AC是对角∠BAD的平分线，那么：
A.AB = AD
B.BC = CD
C.点C到AB和AD的距离相等（答案）
D.AC是BD的中线
7.角平分线定理不适用于哪种情况？
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.圆形（答案）
8.在△MNO中，若MN是∠NMO的平分线，且MN交NO于点P，那么下列哪个选项
是错误的？
A.点P到MO和NO的距离相等
B.∠PMN = ∠PNM
C.MN是△MNO的高（答案）
D.MN将∠NMO分为两个相等的小角。
全等三角形经典题型整理
1. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B 、C 作过点A 的垂线BC 、CE ，垂足分别为D 、E ，若BD=3，CE=2，则DE= 2. 如图所示，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，D E ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 的面积是28cm 2,AB=20cm ，AC=8cm ，求DE 的长。
3. 如图，AD=BD ，A D ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点H ，则BH 与AC 相等吗？为什么？4. 如图所示，已知，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF=AC ，FD=CD ，求证：B E ⊥AC5. △DAC 、△EBC 均是等边三角形，AF 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，求证：（1）AE=BD （2）CM=CN（3）△CMN 为等边三角形 （4）MN ∥BC6. 已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 都是等边三角形，AN 交MC 于点E ，BM 交CN于点F（1） 求证：AN=BM（2） 求证：△CEF 为等边三角形（3） 将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）。
7. 如图所示，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，下列结论：①AE=CD ；②BF=BG ；③BH 平分∠AHD ；④∠AHC=60°；⑤△BFG 是等边三角形；⑥FG ∥AD ，其中正确的有（ ） A ．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 8. 已知：BD 、CE 是△ABC 的高，点F 在BD 上，BF=AC ，点G 在CEB B A B C图1A 图2MA G ⊥AF9. 如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG 求证：（1）AD=AG（2） AD 与AG 的位置关系如何10. 如图所示，已知在△AEC 中，∠E=90°，AD 平分∠EAC ，DF ⊥AC ，垂足为F ，DB=DC ，求证：BE=CF11. 已知：如图，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，且BD=CD求证：（1）△BDE ≌△CDF（2） 点D 在∠A 的平分线上12. 在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E （1）当直线MN 绕点C 旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE （2）当直线MN 绕点C 旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE（3）当直线MN 绕点C 旋转到图③的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系。
关于三角形角平分线的定理的题
关于三角形角平分线的定理的题一、选择题（每题5分，共30分）1. 在△ABC中，AD是角平分线，∠BAC = 80°，那么∠BAD的度数是（）A. 40°B. 30°C. 20°D. 10°解析：因为AD是角平分线，角平分线会把这个角分成相等的两部分，∠BAC = 80°，所以∠BAD=∠BAC÷2 = 80°÷2 = 40°，答案是A。
2. 已知△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC交BC于D，BD:DC = 3:2，点D到AB的距离是6，则BC的长是（）A. 10B. 15C. 20D. 25解析：因为AD平分∠BAC，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以点D到AC的距离也是6。
又因为BD:DC = 3:2，设DC = 2x，BD = 3x，点D到AB的距离等于DC的长度，所以2x = 6，x = 3，BC=BD + DC=3x+2x = 5x = 15，答案是B。
3. 在△ABC中，AB = AC，AD是角平分线，若AB = 5，BC = 6，则AD的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 6解析：因为AB = AC，AD是角平分线，所以AD⊥BC，BD =BC÷2 = 6÷2 = 3。
在直角三角形ABD中，根据勾股定理，AD = √(AB² - BD²)=√(5² - 3²)=4，答案是B。
4. 三角形角平分线定理中，三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
如果在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB = 8，AC = 6，BD = 4，则DC的长为（）A. 3B. 3.5C. 4D. 4.5解析：根据角平分线定理，AB/AC = BD/DC，即8/6 = 4/DC，8DC = 24，DC = 3，答案是A。
19.5 角的平分线
第19章几何证明§19.5 角的平分线学习目标1.通过学生探究发现角平分线性质定理，理解并掌握角平分线性质定理及其逆定理。
2.能够应用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题。
3.通过探索和证明，发展推理意识和能力；进一步提高观察、分析、解决问题的能力。
知识概要1.角平分线的性质定理性质定理：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
(说明：初中几何中规定，点到射线的距离是指这个点到这条射线所在的直线的距离)定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题。
角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线。
2.角平分线的判定定理逆定理：在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线。
由性质定理和逆定理可知，角的平分线可以看作是在这个角的内部(包括顶点)到角的两边距离相等的点的集合。
3.两定理使用时的注意事项必须有两个垂直条件，若缺少垂直条件，可考虑添加辅助线；图中有四条垂线段，要明确哪个角被平分，哪两条垂线段的长表示角平分线。
4.(拓展)三角形三条角平分线的定理：三角形三条角平分线相交于一点(三角形的内心)，并且这一点到三边的距离相等。
定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.经典题型精析(一)角平分线的性质定理对于证明与角平分线有关的线段(或角)相等问题，可以直接应用性质解决问题，省去证明三角形全等的步骤。
例1.已知：如图，PC PB 、分别是ABC ∆的外角平分线，AB PM ⊥，AC PN ⊥，点N M 、分别为垂足。
求证：(1)PN PM =； (2)PA 平分MAN ∠。
试一试：已知：如图，点D P 、在AOB ∠的平分线上，OB OA =，BD PM ⊥，AD PN ⊥，垂足分别是点N M 、. 求证：(1)ADO BDO ∠=∠； (2)PN PM =。
实用文库汇编之三角形 角平分线部分经典题型
*实用文库汇编之1．如图1所示，在△ABC中，∠A ＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D到BC的距离为________cm．*图1图22．如图2所示，在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则ΔABD的面积是（）A．mn31B．mn21C．mn D．2mn3．如图，在△ABC中，∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC∶DB＝3∶5，则点D到AB的距离是。
4．如图，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC、AC和AB 的垂线DE、DF和DG，垂足分别为E、F、G，则DE、DF、DG的关系是。
5．如图，已知AB∥CD，O为∠A、∠C的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则两平行线间AB、CD的距离等于。
6.AD是△BAC的角平分线，自D向AB、AC两边作垂线，垂足为E、F，那么下列结论中错误的是( )A、DE=DFB、AE=AFC、BD=CDD、∠ADE=∠ADF7．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）Ａ．三条中线的交点Ｂ．三条高的交点Ｃ．三条边的垂直平分线的交点Ｄ．三条角平分线的交点8.已知△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的角平分线交于O点，则∠BOC= 。
9.如图，已知相交直线AB和CD，及另一直线EF。
如果要在EF上找出与AB、CD距离相等的点，方法是，这样的点至少有个，最多有个。
第3题图DC BA10.如图所示，已知△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB =6 cm,则△DEB 的周长为( )。
A.9 cm B.5 cm C.6 cm D.不能确定11.如图，AB //CD ,CE 平分∠ACD ，若∠1=250，那么∠2的度数是 .12．如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP13．如图，已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠ABD ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD•相等吗？说明理由．14、如图所示，已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90° 求证：AB ＝AC ＋CD ．15、如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC,BD 平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180°D16、如图，∠ACB=90°,AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE. 求证：△ACD≌△CBE.17．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法）18．已知：OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN．19．已知：如图，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.求证：一点F必在∠DAE的平分线上．20．已知：如图，A、B、C、D四点在∠MON的边上，AB＝CD，P为∠MON内一点，并且△PAB的面积与△PCD的面积相等．求证：射线OP是∠MON的平分线．ABCDE21．如图，ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若△BCD与△BCA的面积比为3∶8，求△ADE与△BCA的面积之比．22．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB；（2）猜想AM与DM的位置关系如何？并证明你的结论．23．已知：如图，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF ＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．24．如图1所示：AM∥DN，AE、DE分别平分∠MAD和∠AND，并交于E点.过点E的直线分别交AM、DN于B、C.（1）如图2，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：_______________________________.（2）试证明你的猜想.（3）若点B、C分别位于点AD的两侧时，试写出AD、AB、CD之间的关系，并选择一个写出证明过程。
(完整版)角平分线经典题型
全等三角形与角平分线1、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF.2、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF （）A．大于EF B．小于EFC．等于EF D．与EF的大小无法比较3、（12分）如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠D＋∠B=180°，求证：AD＋AB=2AE．4、已知：如图，在四边形ABCD中，AB＞BC，BD平分．求证：AD=CD．5、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于O点，求证：AE＋CD=AC.6、在△ABC，∠C=90°，BC=16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD︰DB=3︰5，则D到AB的距离等于（）A．6cm B．7cmC．8cm D．9cm2、如图，D是△ABC的一个外角的平分线上一点，求证：AB＋AC<DB＋DC.7、如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：BF=CG.8、如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC 于E，与CD相交于点F．H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．(1)求证：BF=AC；(2)求证：CE=BF；(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．9、如图，已知∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，求证：∠BAP＋∠BCP=180°10、如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：11、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E.求证：BD=2CE.。
角平分线夹角
本讲我们主要分享“三类角平分线模型”的相关知识，主要包括：①三角形的两个内角的角平分线相交；②三角形的两个外角的角平分线相交；③三角形一个内角及一个外角的角平分线相交；而这些三角形的角平分线的经典考察题型，必须让学生掌握这些证明过程，同时至于其他未涉及内容我们将会在后续更新出来，也请大家持续关注~针对于文章中有什么问题也希望大家可以留言、评论指教交流~类型一推理方法：类型二推理方法：类型三推理方法：那么针对于以上的三类关于三角形的角平分线的相关模型结论我们又如何快速记忆呢？这个时候我们可以观察一下：①类型一：三角形内角的角平分线；②类型二：三角形外角的角平分线；③类型三：三角形一内一外的角平分线；紧接着我们联系三种模型的相关结论可以看出，不管是内外角的角平分线相交所形成的角（∠P），它的角度结论有一个一半的∠A，所以我们可以采用（内加外减，不内不外，不加不减）口诀的进行快速记忆.口诀含义：内加：如果是三角形的两个内角的角平分线相交所形成的的角度就是“90°+”一半的∠A；外减：如果是三角形的两个外角的角平分线相交所形成的的角度就是“90° -”一半的∠A；不内不外，不加不减：如果既不全是内角，也不全是外角，而是一个内角一个外角的角平分线相交，则既不“+”也不“-”90°，直接等于一半的∠A.1.内角平分线模型如图，△ABC中，点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，猜想∠P与∠A有怎样的大小关系？【公式应用】1.如图，在△ABC中，点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，若∠BAC=80°，则∠BOC=_________.若∠BOC=110°，则∠A=_________.2.如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠D1BC 与∠D1CB的角平分线交于点D2，……以此类推∠D2BC与∠D2CB的角平分线交于点D3，则∠BD3C的度数是_________.2.外角平分线模型如图，△ABC中，若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，∠P与∠A又有怎样的大小关系？【公式应用】1.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACB外角与内角∠ABC平分线交点，E是∠ABC，∠ACB外角平分线交点，若∠BOC=120°，则∠D=_________度．3.内角外角平分线模型如图，△ABC中，若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，∠P与∠A又有怎样的大小关系？【公式应用】1.如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD 的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2013为_________度．2.△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点．CM⊥OC，交BO延长线于点M．若∠A=70°，则∠M=_________度．3.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．（1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO 的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）（4）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB 的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）．（5）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=_________度．这是角平分线的三个公式，记之前可以自己试着推导一遍，这样更容易记牢。
初中数学《三角形中的经典模型》九大题型含解析
三角形中的经典模型【1A字模型 1【28字模型 3【3飞镖模型 6【4双垂直模型 9【5老鹰抓小鸡模型 15【6两内角角平分线模型 19【7两外角角平分线模型 21【8一内一外角角平分线模型 26【9三角形折叠模型 29知识点1：A字模型已知△ABC，AB至D，AC至E，∠1+∠2=∠A+180°【1A字模型1.(23-24八·全·专)如△ABC中∠A=65°，DE交AB于D，AC于E，∠BDE+∠CED=( )．A.180°B.215°C.235°D.245°【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出∠ADE+∠AED，根据平角的概念计算即可．【详解】解：∵∠A=65°，∴∠ADE+∠AED=180°-65°=115°，∴∠BDE+∠CED=360°-115°=245°，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．2.(23-24八年级·全国·专题练习)如图是某建筑工地上的人字架，若∠1=120°，那么∠3-∠2的度数为．【答案】60°【分析】根据平角的定义求出∠4，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．【详解】解：如图∵∠1+∠4=180°，∠1=120°，∴∠4=60°，∵∠3=∠2+∠4，∴∠3-∠2=∠4=60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．3.(23-24八年级·河北沧州·期中)琪琪在操作课上将三角形剪掉一个角后得到四边形ABCD，则下列判断错误的是()A.变成四边形后对角线增加了两条B.变成四边形后内角和增加了360°C.外角和没有发生变化D.若剪掉的角的度数是60°，则∠1+∠2=240°【答案】B【分析】本题考查了多边形的对角线，内角和与外角和，三角形内角和定理，解题的关键是【详解】解：A、三角形没有对角线，变成四边形后对角线为两条，即增加了两条，故正确，不合题意；B、三角形内角和为180°，变成四边形后内角和为360°，增加了180°，故错误，不合题意；C、任意多边形的外角和是360°，故正确，不合题意；D、若剪掉的角的度数是60°，则∠A+∠B=120°，则∠1+∠2=360°-120°=240°，故正确，不合题意；故选：B．4.(23-24·浙江杭州·二模)将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若∠1=130°，则∠2的度数为．【答案】40°/40度【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据平行线的性质可得∠FGH=∠1=130°，然后利用三角形外角的性质进行计算即可解答．【详解】解：如图：由题意得：AD∥BC，∴∠FGH=∠1=130°，∵∠FGH是△EFG的一个外角，∴∠FGH=∠2+∠E，∵∠E=90°，∴∠2=130°-90°=40°，故答案为：40°．知识点2：8字模型①已知AD，BC相交于O，则∠A+∠B=∠C+∠D②已知线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD，则∠P=12(∠B+∠D)【题型28字模型】5.(23-24八年级·浙江金华·期末)如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB与CD相交于点G，∠A=42°．(1)若∠ADC=60°，求∠AEP的度数；(2)若∠C=38°，求∠P的度数．【答案】(1)72°；(2)40°．【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠ADP=12∠ADC，然后利用三角形外角的性质即可得解；(2)根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．【详解】解：(1)∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF=12∠ADC，∵∠ADC=60°，∴∠ADP=30°，∴∠AEP=∠ADP+∠A=30°+42°=72°；(2)∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=12(38°+42°)=40°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．6.(23-24八年级·河南漯河·期末)如图，AB和CD相交于点O，∠A=∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是()A.∠B=∠DB.∠1=∠A+∠DC.∠2>∠DD.∠C=∠D【答案】D【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．【详解】∵∠A+∠AOD+∠D=180°，∠C+∠COB+∠B=180°，∠A=∠C，∠AOD=∠BOC，∴∠B=∠D，∵∠1=∠2=∠A+∠D，∴∠2>∠D，故选项A，B，C正确，故选D．【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．7.(23-24八年级·北京怀柔·期末)如图，在由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形中，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为( )．A.262°B.152°C.208°D.236°【答案】C【分析】如图标记∠1,∠2,∠3，然后利用三角形的外角性质得∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，∠2=∠A+∠C，再利用∠2,∠3互为邻补角，即可得答案．【详解】解：如下图标记∠1,∠2,∠3，∵∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，∵∠D=28°，∴∠3=∠B+∠F-28°，又∵∠2=∠A+∠C，∴∠2+∠3=∠A+∠C+∠B+∠F-28°，∵∠2+∠3=180°∴180°=∠A+∠C+∠B+∠F-28°，∴∠A+∠C+∠B+∠F=180°+28°=208°，故选C．【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键．8.(23-24八年级·全国·专题练习)如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．【答案】360°【分析】根据三角形内角和外角的性质可得：∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，再根据三角形内角和定理可得答案．【详解】解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2，∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°．【点睛】此题主要考查了三角形内角与外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．知识点3：飞镖模型①已知四边形ABCD，则∠C=∠A+∠B+∠D②已知四边形ABCD，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC，则∠O=12(∠A+∠C)【题型3飞镖模型】9.(23-24·河北秦皇岛·一模)如图，用铁丝折成一个四边形ABCD(点C在直线BD的上方)，且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD(填“增大”或“减小”)°．【答案】增大10【分析】利用三角形的外角性质先求得∠ABE+∠ADE=30°，根据角平分线的定义得到∠ABC+∠ADC= 60°，再利用三角形的外角性质求解即可．【详解】解：如图，连接AE并延长，连接AC并延长，∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°，∵∠BAD=70°，∴∠ABE+∠ADE=30°，∵BE，DE分别是∠ABC、∠ADC平分线，∴∠ABC+∠ADC=2(∠ABE+∠ADE)=60°，同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°，∴∠BCD增大了10°．故答案为：增大，10．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练运用题目中所给的结论是解题的关键．10.(23-24八年级·江苏苏州·阶段练习)在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，∠D=35°，∠E=72°，那么∠F=°．【答案】70【分析】延长BE、CF，交于点G，连接AG，根据三角形内角和定理和四边形的内角和为360°即可求解．【详解】解：延长BE、CF，交于点G，连接AG，如图，∴∠AGB=180°-∠B-∠BAG，∠AGC=180°-∠C-∠CAG，∴∠AGB+∠AGC=180°-∠B-∠BAG+180°-∠C-∠CAG=360°-∠B-∠C-∠BAC=253°，∴∠CGB=360°-∠AGB+∠AGC=107°．∵∠BED=72°，∴∠GED=108°，∴∠GFD=360°-∠GED-∠D-∠CGB=110°，∴∠CFD=70°．故答案为：70．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理．正确的作出辅助线是解题关键．11.(23-24八年级·全国·专题练习)如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．【答案】230°【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．【详解】解：如图∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案为：230°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．12.(23-24·河北邯郸·一模)嘉嘉在作业本上画了一个四边形，并标出部分数据(如图)，淇淇说，这四个数据中有一个是标错的；嘉嘉经过认真思考后，进行如下修改：若∠A，∠B，∠BCD保持不变，则将图中∠D(填“增大”或“减小”)度，淇淇说，“改得不错”．【答案】增大5【分析】连接BD，利用三角形的内角和计算即可．【详解】解：连接BD，∵∠CDB+∠CBD=180°-∠A-∠ABC-∠ADC∠CDB +∠CBD =180°-∠BCD∴∠A +∠ABC +∠ADC =∠BCD∵∠A =90°，∠ABC =25°，∠BCD =145°∴∠ADC =145°-25°-90°=30°∴30°-25°=5°故答案为：增大，5【点睛】本题主要考查三角形的内角和，添加辅助线利用三角形内角和计算是解决本题的关键．知识点4：双垂直模型已知∠B =∠D =∠ACE =90°.则∠BAC =∠DCE ，∠ACB =∠CED .【证明】∵∠B =∠D =∠ACE =90°；∴∠BAC +∠ACB =90°；又∠ECD +∠ACB =90°；∴∠BAC =∠DCE 同理,∠ACB +∠DCE =90°，且∠CED +∠DCE =90°；∴∠ACB =∠CED ，得证.【题型4双垂直模型】13.(23-24八年级·广东珠海·期末)如图1，AB ⊥BC 于点B ，CD ⊥BC 于点C ，点E 在线段BC 上，且AE ⊥DE ．(1)求证：∠EAB =∠CED ；(2)如图2，AF 、DF 分别平分∠BAE 和∠CDE ，则∠F 的度数是(直接写出答案即可)；(3)如图3，EH 平分∠CED ，EH 的反向延长线交∠BAE 的平分线AF 于点G ．求证：EG ⊥AF ．(提示：三角形内角和等于180°)【答案】(1)见解析；(2)45°；(3)见解析【分析】(1)利用同角的余角相等即可证明；(2)过点F 作FM ∥AB ，利用∠DFA =∠DFM +∠AFM =12∠CDE +12∠EAB =12(∠CDE +∠EAB )即可解决问题；(3)想办法证明∠EAG +∠AEG =90°即可解决问题.【详解】解：(1)∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴∠B =∠C =90°，∴∠BAE +∠AEB =90°，∵AE ⊥DE ，∴∠AED =90°，∴∠AEB +∠CED =90°，∴∠BAE =∠CED ．(2)解：答案为45°；过点F 作FM ∥AB ，如图，∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴∠B =∠C =90°，∴AB ∥CD ，∵∠C =90°，∴∠CED +∠CDE =90°，∵∠BAE =∠CED ，∴∠BAE +∠CDE =90°，∵AF 、DF 分别平分∠BAE 和∠CDE ，∴∠CDF =12∠CDE ，∠BAF =12∠BAE ，∴∠CDF +∠BAF =12(∠BAE +∠CDE )=45°，∵FM ∥AB ∥CD ，∴∠CDF =∠DFM ，∠BAF =∠AFM ，∴∠AFD =∠CDF +∠BAF =45°．(3)∵EH 平分∠CED ，∴∠CEH =12∠CED ，∴∠BEG =12∠CED ，∵AF 平分∠BAE ，∴∠BAG =12∠BAE ，∵∠BAE =∠CED ，∴∠BAG =∠BEG ，∵∠BAE +∠BEA =90°，∴∠BAG +∠GAE +∠AEB =90°，即∠GAE +∠AEB +∠BEG =90°，∴∠AGE =90°，∴EG ⊥AF ．【点睛】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．14.(23-24八年级·陕西西安·期末)如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ．(1)求证：AD⊥CF．(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)△ACF为等腰直角三角形；理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形性质和判定．(1)欲求证AD⊥CF，先证明∠CAG+∠ACG=90°，需证明∠CAG=∠BCF，利用三角形全等，易证．(2)要判断△ACF的形状，看其边有无关系．根据(1)的推导，易证CF=AF，从而判断其形状．【详解】(1)证明：在等腰直角△ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠BDE=45°，∵BF∥AC，∴∠CBF=180°-∠ACB=90°，∴∠BFD=45°=∠BDE，∴BF=DB，又∵D为BC的中点，∴CD=DB，即BF=CD，在△CBF和△ACD中，BF=CD∠CBF=∠ACD=90°CB=AC，∴△CBF≌△ACD(SAS)．∴∠BCF=∠CAD．∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°，即AD⊥CF．(2)解：△ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示，由(1)知：△CBF≌△ACD，∴CF=AD，∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，∴BE垂直平分DF，∴AF=AD，∵CF=AD，∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．15.(23-24八年级·山西晋中·期中)请把下面的证明过程补充完整如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，求证：CF=CE．证明：∵AE平分∠CAB(已知)，∴∠CAE=∠FAB(①)，∵∠ACE=90°(已知)，∴∠CAE+∠CEF=90°(②)，∵CD是△ABC的高(已知)，∴∠CDA=90°(三角形高的定义)，∴(③)，(直角三角形的两个锐角互余)，∴∠CEF=∠AFD(④)，∵∠CFE=∠AFD(⑤)，∴∠CFE=∠CEF(⑥)，∴CF=CE(⑦)．【答案】①角平分线的定义；②直角三角形的两锐角互余；③∠FAD+∠AFD=90°；④等角的余角相等；⑤对顶角相等；⑥等量代换；⑦等角对等边【分析】本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．根据角平分线的定义、直角三角形的性质、对顶角相等、等角对等边解答即可．【详解】证明：∵AE平分∠CAB(已知)，∴∠CAE=∠FAB(角平分线的定义)，∵∠ACE=90°(已知)，∴∠CAE+∠CEF=90°(直角三角形的两锐角互余)，∵CD是△ABC的高(已知)，∴∠CDA=90°(三角形高的定义)，∴∠FAD+∠AFD=90°(直角三角形的两锐角互余)，∴∠CEF=∠AFD(等角的余角相等)，∵∠CFE=∠AFD(对顶角相等)，∴∠CFE=∠CEF(等量代换)，∴CF=CE(等角对等边)．故答案为：角平分线的定义；直角三角形的两锐角互余；∠FAD+∠AFD=90°；等角的余角相等；对顶角相等；等量代换；等角对等边．16.(23-24八年级·江苏扬州·阶段练习)在Rt △ABC 中，∠CAB =90°，AB =AC ，点O 是BC 的中点，点P 是射线CB 上的一个动点(点P 不与点C 、O 、B 重合)，过点C 作CE ⊥AP 于点E ，过点B 作BF ⊥AP 于点F ，连接EO ，OF．(问题探究)如图1，当P 点在线段CO 上运动时，延长EO 交BF 于点G ．(1)求证：△AEC ≌△BFA ；(2)BG 与AF 的数量关系为：(直接写结论，不需说明理由)；(拓展延伸)(3)①如图2，当P 点在线段OB 上运动，EO 的延长线与BF 的延长线交于点G ，∠OFE 的大小是否变化？若不变，求出∠OFE 的度数；若变化，请说明理由；②当P 点在射线OB 上运动时，若AE =2，CE =6，直接写出△OEF 的面积，不需证明．【答案】(1)见解析；(2)BG =AF ；(3)①∠OFE 的大小不变，∠OFE =45°；②满足条件的△OEF 的面积为8或16【分析】(1)根据等角的余角相等得出∠CAE =∠ABF ，证明△AEC ≌△BFA AAS ；(2)证明△COE ≌△BOG AAS 得出CE =BG ，则CE =AF ，等量代换可得AF =BG ；(3)①证明△AEC ≌△BFA AAS ，进而证明∠CEO =∠BGO 证明△COE ≌△BOG AAS 得出∠EFO =12∠EFG =45°；②根据题意画出图形，分类讨论，根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】(1)证明：如图1中，∵CE ⊥AE ，BF ⊥AE ，∴∠AEC =∠BFA =∠CAB =90°，∴∠CAE +∠BAF =90°，∠BAF +∠ABF =90°，∴∠CAE =∠ABF ，在△AEC 和△BFA 中，∠AEC =∠BFA∠CAE =∠ABF AC =BA，∴△AEC ≌△BFA AAS ；(2)解：结论：BG =AF ．理由：∵CE ⊥AE ，BF ⊥AE ，∴CE ∥BG ，∴∠CEO =∠BGO ，∵O 是BC 的中点，∴OC =OB ，在△COE 和△BOG 中，∠CEO =∠BGO∠AOE =∠BOG OC =OB，∴△COE ≌△BOG AAS ，∴CE =BG ，∵△AEC ≌△BFA ，∴CE =AF ，∴AF =BG ．故答案为：BG =AF ．(3)解：①如图2中，结论：∠OFE 的大小不变，∠OFE =45°．理由：∵CE ⊥AE ，BF ⊥AE ，∴∠AEC =∠BFA =∠CAB =90°，∴∠CAE +∠BAF =90°，∠BAF +∠ABF =90°，∴∠CAE =∠ABF ，在△AEC 和△BFA 中，∠AEC =∠BFA∠CAE =∠ABF AC =BA，∴△AEC ≌△BFA AAS ；∴CE =AF ，AE =BF ，∵CE ⊥AE ，BF ⊥AE ，∴CE ∥BG ，∴∠CEO =∠BGO ，∵O 是BC 的中点，∴OC =OB ，在△COE 和△BOG 中，∠CEO =∠BGO∠AOE =∠BOG OC =OB，∴△COE ≌△BOG AAS ，∴CE =BG ，OE =OG ，∴AF =BG ，∴EF =FG ，根据△EFO ≌△GFO SSS 可得：∠EFO =∠GFO∴∠EFO =12∠EFG =45°；②如图2中，当AE =2，CE=6时，EF =FG =6-2=4，∴S △EOF =12S △EFC =12×12×4×4=4如图3中，当AE =2，CE =6时，EF =FG =6+2=8，∴S △EOF =12S △EFG =12×12×8×8=16综上所述，满足条件的△OEF 的面积为8或16．【点睛】本题考查了全等三角形的证明与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的动点问题以及三角形求面积的问题，正确掌握知识点是解题的关键．知识点5：老鹰抓小鸡模型如图，∠A+∠O=∠1+∠2；口诀：腋下两角之和等于上下两角之和【题型5老鹰抓小鸡模型】17.(23-24八年级·江苏扬州·阶段练习)如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=95°，则∠2的度数为()A.24°B.35°C.30°D.25°【答案】D【分析】根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC= 360°-120°=240°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，然后计算出∠1+∠2的度数，即可求得∠2的度数．【详解】∵∠A=60°，∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°，∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，∴∠1+∠2=240°-120°=120°，∵∠1=95°，∴∠2=120°-95°=25°，故选D．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，熟记定理及性质并准确识图是解题的关键．18.(23-24八年级·重庆渝北·阶段练习)如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B 点重合，若∠1+∠2=80°，则∠B的度数为．【答案】40°/40度【分析】由翻折的性质可知，∠B=∠B ，∠BED=∠B ED，∠BDE=∠B DE，由∠BED+∠B ED+∠1= 180°，∠BDE+∠B DE+∠2=180°，∠1+∠2=80°，可得∠BED+∠BDE=140°，根据∠B=180°-∠BED+∠BDE，计算求解即可．【详解】解：由翻折的性质可知，∠B=∠B ，∠BED=∠B ED，∠BDE=∠B DE，∵∠BED+∠B ED+∠1=180°，∠BDE+∠B DE+∠2=180°，∠1+∠2=80°，∴∠BED+∠BDE=140°，∴∠B=180°-∠BED+∠BDE=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．19.(23-24八年级·安徽铜陵·期中)如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1+∠2=120°，则∠BA′C的度数为()A.120°B.110°C.100°D.90°【答案】A【详解】由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE=∠A+∠AED、∠CED=∠A+∠ADE，据此得∠BDE+∠CED=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，推出∠1+∠2=2∠A得到∠A=60°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB=12(∠ABC+∠ACB)=90°-12∠A．利用∠BA'C=180°-(∠A'BC+∠A'CB)可得答案．解：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，∴∠BDE=∠A+∠AED，∠CED=∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED=2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2=2∠A，∵∠1+∠2=120°，∴∠A=60°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A )=90°-12∠A ．∴∠BA 'C =180°-(∠A 'BC +∠A 'CB )，=180°-90°-12∠A =90°+12∠A =90°+12×60°=120°．故选：A ．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．20.(23-24八年级·山东烟台·期中)折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC 中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2(或∠1-∠2)与∠A 的数量关系．(1)如图①，若∠A =80°，沿图中虚线DE 截去∠A ，则∠1+∠2=．(2)如图②，若∠A =80°，沿图中虚线DE 将∠A 翻折，使点A 落在BC 上的点A '处，则∠1+∠2=．(3)如图③，翻折后，点A 落在点A '处，若∠1+∠2=80°，求∠B +∠C 的度数(4)如图④，△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A '处，若∠1=80°，∠2=24°，求∠A 的度数．【答案】(1)260°(2)160°(3)∠B +∠C =140°(4)∠A =28°【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠B +∠C =180°-80°=100°，再由平角进行求解即可；(2)利用翻折的性质得出∠EDA '=∠ADE ，∠AED =∠DEA ',根据三角形内角和定理得出∠ADE +∠AED =100°，结合图形，由平角及各角之间的关系进行计算即可‘(3)连接AA ．根据三角形外角的性质得出∠1=∠DAA '+∠DA 'A ，∠2=∠EAA '+∠EA 'A ，然后利用各角之间的数量关系得出∠EAD =40°，再由三角形内角和定理即可求解；(4)设AB 与DA 交于点F ，根据三角形外角得出∠1=∠DFA +∠A ，∠DFA =∠A +∠2，再由折叠的性质得出∠A =∠A ，结合图形及各角之间的数量关系进行求解即可【详解】(1)解：∵∠A=80°，∴∠ADE+∠AED=180°-80°=100°，∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠AED=260°，故答案为：260°；(2)∵∠A=80°，∴∠ADE+∠AED=180°-80°=100°，∵翻折，∴∠EDA'=∠ADE，∠AED=∠DEA',∴∠ADA'+∠AEA'=2(∠ADE+∠AED)=200°，∴∠1+∠2=360°-(∠ADA'+∠AEA')=160°，故答案为：160°；(3)解：连接AA ．如图所示：∵∠1=∠DAA'+∠DA'A，∠2=∠EAA'+∠EA'A，∴∠1+∠2=∠DAA'+∠DA'A+∠EAA'+∠EA'A=∠EAD+∠EA'D，∵∠EAD=∠EA D，∴∠1+∠2=2∠EAD=80°，∴∠EAD=40°，∴∠B+∠C=180°-40°=140°．(4)解：如图，设AB与DA 交于点F，∵∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠A +∠2，由折叠可得，∠A=∠A ，∴∠1=∠A+∠A +∠2=2∠A+∠2，又∵∠1=80°，∠2=24°，∴80°=2∠A+24°，∴∠A=28°．【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及三角形外角的性质，平角的定义等，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．知识点6：两内角角平分线模型在△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I .则∠I =90°+12∠A【题型6两内角角平分线模型】21.(23-24八年级·河南信阳·开学考试)如图，AD ，CE 都是△ABC 的角平分线，且交于点O ，∠DAC =30°，∠ECA =35°，则∠ABO 的度数为．【答案】25°/25度【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线，利用角平分线的定义结合三角形内角和定理找出∠ABO 的度数是解题的关键．根据角平分线的定义可得出∠BAC =60°、∠ACB =70°，结合三角形内角和可得出∠ABC =50°，由三角形的三条角平分线交于一点，可得出BO 平分∠ABC ，进而可得出∠ABO 的度数，此题得解．【详解】解：∵AD 平分∠BAC ，CE 平分∠ACB ，∠DAC =30°，∠ECA =35°，∴∠BAC =2∠DAC =60°，∠ACB =2∠ECA =70°，∴∠ABC =180°-∠BAC -∠ACB =50°．∵△ABC 的三条角平分线交于一点，∴BO 平分∠ABC ，∴∠ABO =12∠ABC =25°．故答案为：25°．22.(23-24八年级·全国·课后作业)如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ，CF 相交于点G ，若∠A =66°，则∠BGC 的度数为．【答案】123°/123度【分析】本题考查角平分线和三角形内角和定理，熟练利用角平分线的性质和三角形内角和定理找出题目中角的等量关系是解答本题的关键．由角平分线的性质可知∠GBC =12∠ABC ，∠GCB =12∠ACB ，再由三角形内角和定理可知∠BGC =180°-∠GBC +∠GCB ，即可求解．【详解】∵∠A =66°，∴∠ABC +∠ACB =180°-∠A =114°，∵BE 和CF 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，∴∠GBC =12∠ABC ，∠GCB =12∠ACB ，∴∠BGC =180°-∠GBC +∠GCB =180°-12∠ABC +∠ACB =123°，故答案为：123°．23.(23-24八年级·河南信阳·开学考试)如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE ，BF 分别是∠BAC 和∠ABC 的角平分线，它们相交于点O ，∠AOB =125°．求∠CAD 的度数．【答案】∠CAD =20°．【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，以及余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出∠C =70°，从而求出答案．根据角平分线的性质，由∠AOB =125°，得到∠CAB +∠CBA =110°，然后得到∠C ，由余角的性质，即可求出答案．【详解】解：∵AE ，BF 分别是∠BAC 和∠ABC 的角平分线，∴∠OAB =12∠BAC ，∠OBA =12∠ABC ．∴∠CAB +∠CBA =2(∠OAB +∠OBA )=2180°-∠AOB∵∠AOB =125°，∴∠CAB +∠CBA =110°，∴∠C =70°．∵AD 是BC 边上的高∴∠ADC =90°，∴∠CAD =20°．24.(23-24八年级·山东烟台·期末)如图，在△ABC 中，∠A =90°，BE ，CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，且相交于F ，EG ∥BC ，CG ⊥EG 于点G ，则下列结论：①∠CEG =2∠DCA ；②∠DFE =130°；③∠EFC =12∠G ：④∠ADC =∠GCD ；⑤△EGC 是等腰直角三角形，其中正确的结论是()A.①③④⑤B.①②③④C.①②③D.①③④【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明∠ADC +∠ACD =90°，∠GCD +∠BCD =90°，即可判断④；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出∠BFC=135°，即可判断②③；根据现有条件无法推出⑤．【详解】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正确；∵∠A=90°，CG⊥EG，EG∥BC，∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，∴∠GCD+∠BCD=90°，又∵∠BCD=∠ACD，∴∠ADC=∠GDC，故④正确；∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠FBC=12∠ABC,∠FCB=12∠ACB，∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-12(∠ACB+∠ABC)=135°，∴∠EFC=180°-∠BFC=45°，∵CG⊥EG∴∠G=90°，∴∠EFC=12∠G，故③正确；∵∠BFC=135°，∴∠DFE=∠BFC=135°，故②错误；∵∠G=90°∴△EGC是直角三角形，根据现有条件，无法推出CG=CE，即无法得到△EGC是等腰直角三角形，故⑤错误；∴正确的有①③④，故选：D．知识点7：两外角角平分线模型在△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O.则∠O=90°-12∠A.【证明】∵BO是∠EBC平分线，∴∠2=12∠EBC，∵CO是∠FCB平分线，∴∠5=12∠FCB由△BCO中内角和定理可知：∠O=180°-∠2-∠5=180°-12∠EBC-12∠FCB=180°-12(180°-∠ABC)-12(180°-∠ACB)=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)=∠O=90°-12∠A【题型7两外角角平分线模型】25.(23-24八年级·全国·专题练习)如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC=．【答案】61°【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-58°=122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°-(∠BAC+∠BCA)=360°-122°=238°，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠ACF，∴∠EAC+∠ECA=12(∠DAC+∠ACF)=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-119°=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．26.(23-24八年级·河南郑州·阶段练习)如图，G是ΔAFE两外角平分线的交点，P是ΔABC的两外角平分线的交点，F，C在AN上，又B，E在AM上；如果∠FGE=66°，那么∠P=度．【答案】66【分析】利用角平分线的定义和三角形、四边形的内角和可求得：∠G=180°-12×[360°-(180°-∠A)]=90°-1 2∠A，∠P=180°-12×[360°-(180°-∠A)]=90°-12∠A，所以∠P=∠FGE=66°．【详解】解：因为G是△AFE两外角平分线的交点，∴∠FGE=180°-12×[360°-(180°-∠A)]=90°-12∠A，∵P是△ABC两外角平分线的交点，∴∠P=180°-12×[360°-(180°-∠A)]=90°-12∠A，∴∠P=∠FGE=66°．故答案为：66．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质和三角形外角的性质，结合图形熟练运用定理和性质进行求解是解题的关键．27.(23-24八年级·山东聊城·期末)如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D的度数为()A.25°B.30°C.40°D.50°【答案】C【分析】根据角平分线的定义和平角定义可得∠OCD=∠ACO+∠ACD=90°，根据外角的性质可得∠BOC =∠OCD+∠D，继而即可求解．【详解】解：∵CO平分∠ACB，CD平分∠ABC的外角，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACD=12∠ACF，∵∠ACB+∠ACF=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12∠ACB+∠ACF=90°，∴∠BOC=∠OCD+∠D，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故选择C．【点睛】本题考查角平分线的定义，平角定义，三角形的外角性质，解题的关键是根据角平分线定义和平角定义可得∠OCD=90°，根据外角的性质求得∠BOC=∠OCD+∠D．28.(23-24八年级·全国·课后作业)(分类讨论思想)△ABC的两外角平分线交于点F．(1)如图1，若∠A=30°，则∠BFC的度数为．(2)如图2，过点F作直线MN∥BC，分别交射线AB，AC于点M，N，若设∠MFB=α，∠NFC=β，则∠A与α+β的数量关系是．(3)在(2)的条件下，将直线MN绕点F转动．①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由．②当直线MN 与线段BC 有交点时，试问①中∠A 与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．【答案】(1)75°(2)α+β-12∠A =90°(3)①α+β-12∠A =90°，见解析；②不成立，β-α-12∠A =90°或α-β-12∠A =90°【分析】(1)由三角形内角和定理可得∠ACB +∠ABC =180°-∠A ，从而可得∠CBD +∠BCE =180°+∠A ，再由角平分线的定义可得∠CBF +∠BCF =90°+12∠A ，最后由三角形内角和定理可得∠BFC =90°-12∠A ，进行计算即可；(2)由(1)可得由(1)可得∠BFC =90°-12∠A ，再由α+∠BFC +β=180°代入进行计算即可；(3)①根据(1)中的结论∠BFC =90°-12∠A ，以及平角的定义，即可得到答案；②分两种情况进行讨论：根据(1)中的结论∠BFC =90°-12∠A ，以及平角的定义，即可得到答案．【详解】(1)解：∵∠A +∠ACB +∠ABC =180°，∴∠ACB +∠ABC =180°-∠A ，∵∠ACB +∠BCE =180°，∠ABC +∠CBD =180°，∴∠CBD +∠BCE=180°-∠ABC +180-∠ACB=360°-∠ABC +∠ACB=360°-180°-∠A=180°+∠A ，∵BF 和CF 分别是∠DBC 和∠BCE 的平分线，∴∠CBF =12∠CBD ，∠BCF =12∠BCE ，∴∠CBF +∠BCF ，=12∠CBD +12∠BCE =12∠CBD +∠BCE =12×180°+∠A =90°+12∠A ，∵∠BFC +∠CBF +∠BCF =180°，∴∠BFC =180°-∠CBF +∠BCF =180°-90°+12∠A =90°-12∠A =75°，故答案为：75°；(2)解：α+β-12∠A =90°，由(1)可得∠BFC =90°-12∠A ，∵α+∠BFC +β=180°，∴α+β+90°-12∠A =180°，即α+β-12∠A =90°．(3)解：①当直线MN 与线段BC 没有交点时，α+β-12∠A =90°，理由如下：∵∠BFC =90°-12∠A ，∠MFB +∠NFC +∠BFC =180°，∴α+β+90°-12∠A =180°，即α+β-12∠A =90°；②当直线MN 与线段BC 有交点时，①中∠A 与α，β之间的数量关系不成立，需分两种情况讨论：a ．如图1，当M 在线段AB 上，N 在射线AC 上时，β-α-12∠A =90°，，∵∠BFC =90°-12∠A ，∠BFC -∠MFB +∠NFC =180°，∴90°-12∠A -α+β=180°，即β-α-12∠A =90°，b ．如图2，当M 在射线AB 上，N 在线段AC 上时，α-β-12∠A =90°，，∵∠BFC =90°-12∠A ，∠BFC -∠NFC +∠MFB =180°，∴90°-12∠A -β+α=180°，即α-β-12∠A =90°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平角的定义等知识，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．知识点8：一内一外角角平分线模型已知△ABC 中，BP 、CP 分别是△ABC 的内角和外角的角平分线，且相交于点P .则∠P =12∠A【证明】∵BP 是∠ABC 平分线，∴∠3=12∠ABC ∵CP 是∠ACE 平分线，∴∠1=12∠ACE 由△ABC 外角定理可知：∠ACE =∠ABC +∠A 即：2∠1=2∠3+∠A ⋯⋯①对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+12∠A⋯⋯②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P⋯⋯③比较②③式子可知：∠P=12∠A.【题型8一内一外角角平分线模型】29.(23-24八年级·江苏泰州·期末)如图，点B、C分别在AM、AN上运动(不与A重合)，CD是∠BCN的平分线，CD的反向延长线交∠ABC的平分线于点P．知道下列哪个条件①∠ABC+∠ACB；②∠A；③∠NCD -∠ABP；④∠ABC的值，不能求∠P大小的是()A.①B.②C.③D.④【答案】D【分析】本题考查三角形外角的性质与内角和定理，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得∠P=∠NCD-∠ABP，可判断③，再利用三角形外角的性质得到∠A=∠NCB-∠ABC，等量代换可判断②，根据三角形内角和定理及等量代换可判断①和④，即可求解．【详解】解：∵CD是∠BCN的平分线，CD的反向延长线交∠ABC的平分线于点P，∴∠NCD=∠BCD，∠ABP=∠CBP，∵∠P=∠DCB-∠CBP，∴∠P=∠NCD-∠ABP，∴③能求出∠P的大小；∵∠A=∠NCB-∠ABC=2∠NCD-∠ABP，∠P=∠NCD-∠ABP∴∠P=12∠A，∴②能求出∠P的大小；∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∴∠A=180°-∠ABC+∠ACB∵∠P=12∠A，∴∠P=12180°-∠ABC+∠ACB=90°-12∠ABC+∠ACB，∴①能求出∠P的大小，④不能求出∠P的大小；故选：D．30.(23-24八年级·四川遂宁·开学考试)如图，点D为△ABC边BC的延长线上一点，若∠A:∠ABC=3:4，∠ACD=140°，∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，则∠M=度．【答案】30【分析】本题考查了三角形的外角定理，与角平分线有关的计算．解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，以及角平分线的定义．先根据∠A:∠ABC=3:4，∠ACD=140°，求出∠ABC=80°，进而得出∠CBM=12∠ABC=40°,∠CDM=12∠ACD=70°，最后根据三角形的外角定理即可解答．【详解】解：∵∠ACD=140°，∴∠A+∠ABC=140°∵∠A:∠ABC=3:4，∴∠ABC=140°×43+4=80°，∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACD，∴∠CBM=12∠ABC=40°,∠CDM=12∠ACD=70°，∴∠M=∠DCM-∠CBM=30°，故答案为：30．31.(23-24八年级·四川眉山·开学考试)如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分∠EAC、∠ABC和∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③DB平分∠ADC；④∠ADC=90°-∠ABD．其中正确的结论有．(填序号)【答案】①②④【分析】证明∠EAD=∠DAC，由三角形外角得∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，得出∠EAD =∠ABC，再由平行线的判定即可判断出①是否正确；由AD∥BC，得出∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，∠ABC=2∠ADB，进而可判断出②是否正确；假设DB平分∠ADC，推出与题干不符的结论，进而可判断出③是否正确，由∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，利用角的关系得∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，进而可判断出④是否正确；【详解】解：①∵AD平分△ABC的外角∠EAC，∴∠EAD=∠DAC，∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠EAD=∠ABC，∴AD∥BC，故①正确；②由(1)可知AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABC=2∠ADB，∵∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=2∠ADB，故②正确；③若DB 平分∠ADC ，∴∠ADB =∠CDB ，∵∠ADB =∠DBC =∠ABD ，∴∠ADB =∠DBC =∠ABD =∠CDB ，∴∠ABC =∠ADC ，与题干条件矛盾．故③错误.④在△ADC 中，∠ADC +∠CAD +∠ACD =180°，∵CD 平分△ABC 的外角∠ACF ，∴∠ACD =∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠ADC =∠DCF ，∠ADB =∠DBC ，∠CAD =∠ACB ，∴∠ACD =∠ADC ，∠CAD =∠ACB =∠ABC =2∠ABD ，∴∠ADC +∠CAD +∠ACD =∠ADC +2∠ABD +∠ADC =2∠ADC +2∠ABD =180°，∴∠ADC +∠ABD =90°，∴∠ADC =90°-∠ABD ，故④正确；故答案为：①②④【点睛】此题考查三角形的外角性质，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，解题关键在于掌握外角性质.32.(23-24八年级·河南开封·期末)如图，在△ABC 中，∠A =48°，△ABC 的内角∠ABC 与外角∠ACD 的平分线相交于点A 1，得到∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得到∠A 2；⋯⋯按此规律继续下去，∠A n -1BC 与∠A n -1CD 的平分线相交于点A n ，要使∠A n 的度数为整数，则n 的最大值为()A.3B.4C.5D.6【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和，三角形的外角定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．先根据外角和定理得出∠ACD =∠ABC +∠A ，再根据题意总结出规律，∠A n =12n ∠A 即可得到答案．【详解】解：∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，∴∠ACD =∠ABC +∠A ，∵△ABC 的内角∠ABC 与外角∠ACD 的平分线相交于点A 1，得到∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，∴∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CA =12∠ACD ，∴∠A 1=180°-∠A 1BC -∠A 1CB=180°-12∠ABC -(∠ACB +∠A 1CA )=180°-12∠ABC -∠ACB -12∠ACD =180°-12∠ABC -∠ACB -12(∠ABC +∠A )。
初中角平分线相关的经典题型
初中角平分线相关的经典题型什么是角平分线呢？角平分线指的是将一个角分成两个相等的角的线段。
在初中数学中，角平分线是一个非常常见的概念，并且在各类题型中经常被考察。
接下来，我们将介绍一些与初中角平分线相关的经典题型，帮助大家更好地理解和应用这一知识点。
题型一：已知角的两边长，求角平分线的长度和夹角大小。
在这种题型中，我们需要根据已知的角的两边长，求出角平分线的长度和夹角大小。
解题的关键是利用角平分线将一个角划分成两个相等的角，并应用三角函数的相关知识。
示例题：已知角ABC的两边AB和AC的长度分别为8cm和10cm，求角平分线BD的长度和角ABD的大小。
解析：首先，利用角平分线将角ABC分成了两个相等的角，即角ABD和角CBD。
然后，利用三角函数的正弦定理和余弦定理可以求解出角ABD和角CBD的大小。
最后，通过角ABD的大小，可以用正弦函数求出角平分线BD的长度。
题型二：已知角平分线的长度，求角的两边长和夹角大小。
在这种题型中，我们需要根据已知的角平分线的长度，求出角的两边长和夹角大小。
解题的关键是利用角平分线将一个角分成两个相等的角，并利用三角函数的相关知识解方程。
示例题：在三角形ABC中，角BAD是角BAC的平分线，已知角BAD 的长度为6cm，且角ABD的大小为60°，求角BAC的大小和边AC的长度。
解析：首先，利用已知条件可以得出角BAC可以由角ABD的大小得出，再由角BAC的大小，可以用三角函数求解出边AC的长度。
最后，应用角平分线的性质可以求出角CAD的大小。
题型三：利用角平分线性质求证题这类题型主要是利用角平分线的性质来进行证明。
我们需要根据已知条件，通过合理的推理和运用一些几何性质，来证明某些定理或者结论。
示例题：已知在三角形ABC中，角BAD是角BAC的平分线，证明：AB/BC=AD/DC。
解析：首先，利用角平分线的定义可以得出角BAD和角DAC的大小相等。
然后，通过角度相等和边的比值可以得出AB/BC=AD/DC的关系。
角平分线的性质(4种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(人教版)(解析版)
角平分线的性质（4种题型）【知识梳理】一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.二、角的平分线的逆定理角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D 、E 为圆心，大于DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C. （3）画射线OC.射线OC 即为所求. 【考点剖析】题型一：角平分线性质定理 例1.（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，点E 为BC 的中点，且AE 平分BAD ∠．求证：DE 是ADC ∠的平分线．【详解】证明：如图，过点E 作EF AD ⊥于点F ，∴90B Ð=°，AE 平分BAD ∠，∴BE EF =．∴点E 是BC 的中点，∴BE CE =，∴CE EF =．又∵90C ∠=︒，EF AD ⊥，∴DE 是ADC ∠的平分线．【变式1】（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，5AB =，2CD =，求ABD △的面积．12【答案】5【详解】解：作DE AB ⊥如图，∵AD 平分BAC ∠，90C ∠=︒，2CD =，∴=2CD DE =，1152522ABD S AB DE ∴=⨯⨯=⨯⨯=△．【变式2】（2023春·湖南常德·八年级统考期末）如图，点P 是ABC 的三个内角平分线的交点，若ABC 的周长为24cm ，面积为236cm ，则点P 到边BC 的距离是（ ）A ．8cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm【答案】B 【详解】解：过点P 作PD AB ⊥于，PE BC ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，如图，∵点P 是ABC 的内角平分线的交点，∴PE PF PD ==，又ABC 的周长为24cm ，面积为236cm ，∴()11112222ABC S AB PD BC PE AC PF PE AB BC AC =⋅+⋅+⋅=++，∴124363PE ⨯⨯=∴3cm PE =【变式3】（湖南省郴州市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点E ．如果8AC =，那么AD DE +=______．【答案】8【详解】解：∵在ABC 中，90ACB ∠=︒，BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，∴CD DE =，∵8AC =，∴8AD DE AD CD AC +=+==， 【变式4】（2023春·广东深圳·七年级统考期末）把两个同样大小的含30︒角的三角尺像如图所示那样放置，其中M 是AD 与BC 的交点，若4CM =，则点M 到AB 的距离为______．【答案】4【详解】解：由题意，得：90,30D C ABC DAB ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴,60MC AC CAB ⊥∠=︒，∴30MAC BAC MAB MAB ∠=∠−∠=︒=∠，∴AM 平分DAB ∠，过点M 作MN AB ⊥，交AB 于点N ，∴4MN MC ==．故答案为：4．【变式5】如图，P 为ABC 三条角平分线的交点，PH 、PN 、PM 分别垂直于BC 、AC 、AB ，垂足分别为H 、N 、M ．已知ABC 的周长为15cm ，3cm PH =，则ABC 的面积为______2cm ．【答案】22.5【详解】解：连接PM 、PN 、PH ，P 为ABC 三条角平分线的交点，PH 、PN 、PM 分别垂直于BC 、AC 、AB ，3cm PM PN PH ∴===，ABC ∴∆的面积ΔAPB =的面积ΔBPC +的面积ΔAPC +的面积111222AB PM BC PH AC PN =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 1()32AB BC AC =++⨯222.5(cm )=．七年级校考期末）如图，在ABC 中，【答案】(1)32︒ (2)6【详解】（1）解：∵40B ∠=︒，76C ∠=︒，∴180407664BAC ∠=︒−︒−︒=︒，∵AD 平分BAC ∠， ∴1322BAD BAC ∠=∠=︒；（2）如图，过点D 作DF AB ⊥于点F ，∵AD 平分BAC ∠，DE AC ⊥，∴DF DE =，∵2DE =，6AB =，∴2DF =， ∴ABD △的面积12662=⨯⨯=.题型二：角平分线性质定理及证明 ，且PMN 与OMN 的面积分别是【答案】(1)证明过程见详解(2)20OM ON +=【详解】（1）证明：如图所示，过P 作PC MN PD OA PE OB ⊥⊥⊥，，，∵MP 平分AMN ∠，NP 平分MNB ∠，∴PD PE =，PC PE =，∴PD PE =，∵PD AO PE BO ⊥⊥，，∴OP 平分AOB ∠．（2）解：如图所示，过P 作PC MN PD OA PE OB ⊥⊥⊥，，，连接OP ，∵18162PMN MN S MN PC ===△，，∴4PC =，由（1）可知4PD PE PC ===，∵1624PMN OMN S S ==△△，，∴40MONP S =四边形，即1122OPM ONP MONP S S S OM PD ON PE =+=+△△四边形，∴1140442222OM ON OM ON =⨯+⨯=+，∴20OM ON +=． 【变式1】（2022秋·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图，点E 是BC 的中点，AB BC DC BC ⊥⊥，，AE 平分BAD ∠．求证：(1)DE 平分ADC ∠；(2)AD AB CD +＝．【详解】（1）证明：如下图，过E 作EF AD ⊥于F ，∵AB BC ⊥，AE 平分BAD ∠，∴EB EF ＝，∵点E 是BC 的中点，∴EB EC ＝，∴EF EC ＝，∵DC BC EF AD ⊥⊥，，∴90EFD ECD ∠∠︒＝＝，在Rt EFD 和Rt ECD △中，EF EC ED ED =⎧⎨=⎩，∴Rt Rt HL EFD ECD ≌（），∴FDE CDE ∠∠＝，∴DE 平分ADC ∠；（2）解：由（1）知，Rt Rt EFD ECD ≌，∴FD CD ＝，在Rt AEF 和Rt AEB 中，EF EB AE AE =⎧⎨=⎩，∴Rt Rt HL AEF AEB ≌（），∴AF AB ＝，∵AD AF FD +＝，∴AD AB CD +＝．【变式2】（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，DE AB ⊥，于点E ，AD 平分CAB ∠，点F 在AC 上，BD DF =．求证：BE FC =．【详解】证明：∵AD 平分CAB ∠，90C ∠=︒，DE AB ⊥，∴DE DC =，90C DEB ∠=∠=︒，∴在Rt DEB ∆和Rt DCF ∆中，∵DE DC BD DF =⎧⎨=⎩，∴()HL DEB DCF ∆≅∆，∴BE FC =．(1)求证：BE ＝CD ；(2)判断点O 是否在∠BAC 的平分线上，并说明理由．（1）证明：BE 、CD 是ABC ∆的高，且相交于点O ，90∴∠=∠=︒BEC CDB ，在BDO ∆和CEO ∆中，90CDB BEC BOD COEBD CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BOD COE ∴∆≅∆(AAS)，OD OE ∴=，OB OC =，OD OC OE OB ∴+=+，即CD BE =；（2）解：点O 在BAC ∠的平分线上，理由如下： 连接AO ，如图所示：BE 、CD 是ABC ∆的高，且相交于点O ， 90ADC AEB ∴∠=∠=︒，由（1）得BE CD =，∴在ABE ∆和ACD ∆中，90ADC AEB CAD BAE CD BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACD ABE ∴∆≅∆(AAS)， AD AE ∴=，由（1）得OD OE =，∴在AOD ∆和AOE ∆中，90AD AE ADC AEB OD OE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，AOD AOE ∴∆≅∆(SAS)，DAO EAO ∴∠=∠， ∴点O 在BAC ∠的平分线上．题型三：角平分线的判定定理 例3.如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，AM 平分DAB ∠，求证：DM 平分ADC ∠．【详解】证明：如图：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ，AM 平分DAB ∠，MB AB ⊥，ME AD ⊥，ME MB =∴（角平分线上的点到角两边的距离相等），又MC MB =，ME MC ∴=，MC CD ⊥，ME AD ⊥，DM ∴平分ADC ∠（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．【详解】（1）证明：如图，过点E 作EF DA ⊥于点F ，∵90C ∠=︒，DE 平分ADC ∠，∴CE EF =，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，∴BE EF =，又∵90B Ð=°，EF DA ⊥，∴AE 平分DAB ∠．（2）解：∵EF DA ⊥，90C ∠=︒，∴EFD △和ECD 都为Rt △，又∵DE 平分ADC ∠，∴EC EF =，在Rt EFD 和Rt ECD △中，ED ED EC EF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EFD ECD △≌△， ∴EFD ECD S S =△△，CED FED ∠=∠，∵EF DA ⊥，90B Ð=°，∴EFA △和EBA △都为Rt △，又∵AE 平分DAB ∠，∴EF EB =，在Rt EFA △和Rt EBA △中，EA EA EF EB =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EFA EBA △≌△， ∴EFA EBA S S =△△，FEA BEA ∠=∠， ∴()111809022DEA DEF AEF CEF BEF ∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∵4AE =，3DE =， ∴1143622AED S AE DE =⋅=⨯⨯=△， ∴EFD ECD EFA EBA ABCD S S S S S =+++△△△△四边形EFD EFD EFA EFA S S S S =+++△△△△()2EFD EFA S S =+△△2AED S =△ 26=⨯12=．∴四边形ABCD 的面积为12． 【变式2】如图，在AOB 和COD △中，OA OB =，OC OD =（OA OC <），AOB COD α∠=∠=，直线AC ，BD 交于点M ，连接OM ．(1)求证：AC BD =；(2)用α表示AMB ∠的大小；(3)求证：OM 平分AMD ∠．【详解】（1）证明：AOB COD α∠=∠=，AOB BOC COD BOC ∴∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC 和BOD 中，OA OB AOC BODOC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AOC BOD ∴≌， ∴AC BD =，（2）解：由三角形的外角性质得：AMB OBD OAC AOB ∠+∠=∠+∠，由（1）得()SAS AOC BOD ≌△△，∴OAC OBD ∠=∠，AMB AOB α∴∠=∠=，（3）证明：作OG AM ⊥于G ，OH DM ⊥于H ，如图所示，则90OGA OHB ∠=∠=︒，在OAG △和OBH △中，OGA OHB OAC OBDOA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS OAG OBH ∴≌， OG OH ∴=，OG AM ⊥于G ，OH DM ⊥于H ，MO ∴平分AMD ∠，是ABC 的角平分线，且交于点(1)APB ∠=______．(2)求证：点P 在C ∠的平分线上．【详解】（1）解：证明：60C ∠=︒，AE ，BD 是ABC 的角平分线，12ABP ABC ∴∠=∠，12BAP BAC ∠=∠，11()(180)6022BAP ABP ABC BAC C ∴∠+∠=∠+∠=︒−∠=︒， 120APB ∴∠=︒；（2）如图，过P 作PF AB ⊥，PG AC ⊥，PH BC ⊥，AE ，BD 分别平分CAB ∠，CBA ∠，PF PG ∴=，PF PH =，PH PG ∴=，∴点P 在C ∠的平分线上；（3）如图，在AB 上取点M 使AM AD =，连接PM ，AE 是BAC ∠的平分线，PAM PAD ∴∠=∠， 在AMP 与ADP △中，AP AP PAM PADAM AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AMP ADP ∴≌， 18060APM APD APB ∴∠=∠=︒−∠=︒，180()60BPM APM APD ∴∠=︒−∠+∠=︒，60BPE APD ∠=∠=︒，BPM BPE ∴∠=∠，BD Q 是ABC ∠的角平分线，MBP EBP ∴∠=∠，在BPM △与BPE 中，MBP EBP BP BPBPE BPM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA BPM BPD ∴≌，BM BE ∴=， AB AM BM AD BE ∴=+=+． (1)如图1，连接AC BD ，，交点为G ，连接OG ，求证：①AC BD =；②OG 平分DGC ∠；(2)如图2，若90AOD BOC ∠=∠=︒，E 是CD 的中点，过点在同一条直线上．∴AOD AOB BOC AOB ∠+∠=∠+∠，∴AOB AOC ∠=∠，又∵OA OD =，OB OC =，∴()SAS DOB AOC V V ≌，∴AC BD =；②如图所示，过点O 作OH DB ⊥于点H ，OF AC ⊥于点F ，∵DOB AOC ≌，OH DB ⊥，OF AC ⊥∴OH OF =，∴点O 在DGC ∠的角平分线上，∴OG 是DGC ∠的角平分线，∴OG 平分DGC ∠；（2）证明：连接OE ，并延长到N ，使NE OE =，连接CN ，∵E 是CD 的中点，∴CE DE =，又∵CEN DEO ∠=∠，NE OE =，∴()SAS CEN DEO ∠V V ≌，∴NCE ODE ∠=∠，CN OD =，∴CN OD ∥，∴180OCN COD CN OA ∠+∠=︒=，，90AOD BOC ∠=∠=︒，180AOB COD ∴∠+∠=︒，OCN AOB ∴∠=∠，在ONC 和BAO 中，OC OB OCN AOBCN OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ONC BAO ∴≌， NOC ABO ∴∠=∠，OF AB ⊥，90ABO BOF ∴∠+∠=︒，90NOC BOF ∴∠+∠=︒，180NOC BOF BOC ∴∠+∠+∠=︒，∴点E O F ，，在同一条直线上．题型四：尺规作图—作角平分线 例4．（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）如图，已知ABC ，利用尺规，在AC 边上求作一点D ，使得ABD DBC ∠=∠.（保留作图痕迹，不写作法）【详解】解：如图点D 即为所求..【变式1】（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末）如图，Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AD 为BC 边上的高．(1)尺规作图，在AB 边上求作点P ，使得点P 到边BC 的距离等于AP （保留作图痕迹，不写做法）：(2)连接CP （P 为所求作的点）交AD 于点Q ，若30B ∠=︒，求AQC ∠的度数．【详解】（1）解：如图：点P 即为所求；作法：作ACB ∠的角平分线，与AB 的交点P 即为所求；理由：∵CP 是ACB ∠的角平分线，∴点P 到AC 的距离等于点P 到BC 的距离，∵90BAC ∠=︒，∴点P 到AC 的距离即为PA 的值，故点P 到边BC 的距离等于AP ．（2）解：如图：∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴180903060ACB ∠=︒−−︒=︒，又∵AD 为BC 边上的高，∴90ADC ∠=︒，∴180906030DAC ∠=︒−−︒=︒，由（1）可知CP 是ACB ∠的角平分线， ∴1302ACQ QCD ACB ∠=∠=∠=︒，∴1803030128001ACQ DAC AQC ∠−∠=︒−︒−︒=︒∠=︒−． 【变式2】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC OD =，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是AOB ∠的平分线．请写出OE 平分AOB ∠的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE 不一定必须是等边三角形，只需CE DE =即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB ∠的边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB ∠的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规．．．．．．．．．．在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【详解】解：（1）∵OC OD =，CE DE =，DE DE =，∴()SSS OCE ODE ≌，∴AOE BOE ∠=∠，∴OE 是AOB ∠的角平分线；故答案为：SSS（2）∵OM ON =，CM CN =，OC OC =，∴()SSS OCM OCN ≌，∴AOC BOC ∠=∠，∴OC 是AOB ∠的角平分线；（3）如图，点E 即为所求作的点；． 【变式3】（2023春·重庆九龙坡·七年级校考期末）如图，已知在ABC 中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ．（1）尺规作图：作ABC ∠的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ；（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）（2）在（1）的条件下，求证：AFE AEF ∠=∠．AD BC ⊥90ADB ∴∠=︒∴__________90BFD +∠=︒又BFD ∠=__________FBD ∴∠+__________90=︒90BAC ∠=︒ABF ∴∠+__________90=︒BF 平分ABC ∠ABF ∴∠=__________AFE AEF ∴∠=∠．【详解】（1）如图所示，（2）AD BC ⊥90ADB ∴∠=︒∴FBD ∠90BFD +∠=︒又BFD ∠=AEF ∠FBD ∴∠+AEF ∠90=︒90BAC ∠=︒ABF ∴∠+AFE ∠90=︒ BF 平分ABC ∠ABF ∴∠=FBD ∠AFE AEF ∴∠=∠．故答案为：FBD ∠；AEF ∠；AEF ∠；AFE ∠；FBD ∠．【过关检测】一、单选题 1．（2023春·四川泸州·八年级统考期末）如图，70AOB ∠=︒，点C 是AOB ∠内一点，CD OA ⊥于点D ，CE OB ⊥于点E ．且CD CE =，则DOC ∠的度数是（ ）A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒【答案】B【分析】根据角平分线的判定定理可得OC 平分AOB ∠，再计算角度．【详解】解：∵CD OA ⊥，CE OB ⊥，CD CE =，∴OC 平分AOB ∠， ∴1352DOC AOB ∠=∠=︒，故选C ．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上． 2．（陕西省榆林市高新区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）如图，在Rt ABC △中，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，过点D 作DE AB ⊥交AB 于点E ．若9cm CD =，则点D 到AB 的距离是（ ）A ．9cmB ．6cmC ．4.5cmD ．3cm【答案】A 【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可求解．【详解】∵BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，AC BC ⊥，∴9DC DE ==，∴点D 到AB 的距离是9cm ．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．3．（2023春·河南焦作·七年级校考期末）如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，3AD =，连接BD ，BD CD ⊥，ADB C ∠=∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 的长不可能是（ ）【答案】A【分析】根据余角的性质可得ABD CBD ∠=∠，即BD 平分ABC ∠，作DE BC ⊥于E ，则3AD DE ==，再根据垂线段最短即可得到答案．【详解】解：∵90A ∠=︒，BD CD ⊥，∴90,90ABD ADB CBD C ∠+∠=︒∠+∠=︒，∵ADB C ∠=∠，∴ABD CBD ∠=∠，即BD 平分ABC ∠，作DE BC ⊥于E ，则3AD DE ==，∵P 是BC 边上一动点，则DP DE ≥，即3DP ≥，∴DP 的长不可能是52；故选：A ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质和角平分线的性质，得出BD 平分ABC ∠是解题的关键．A ．12∠=∠且CM DM =B ．13∠=∠且CM DM =C ．12∠=∠且OD DM =D ．23∠∠=且OD DM =【答案】A 【分析】由作图过程可得：,OD OC CM DM ==，再结合DM DM =可得()SSS COM DOM ≌，由全等三角形的性质可得12∠=∠即可解答．【详解】解：由作图过程可得：,OD OC CM DM ==，∵DM DM =，∴()SSS COM DOM ≌．∴12∠=∠．∴A 选项符合题意；不能确定OC CM =,则13∠=∠不一定成立，故B 选项不符合题意；不能确定OD DM =,故C 选项不符合题意，OD CM ∥不一定成立，则23∠∠=不一定成立，故D 选项不符合题意．故选A ．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键． ，ABC 的面积为，则ABC 的周长为（ A ．4B ．6C ．24D ．12【答案】C 【分析】过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ，过点E 作EG AC ⊥，垂足为G ，根据角平分线的性质可得1EG EF ED ===，然后根据三角形的面积公式进行计算即可解答．【详解】解：过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ，过点E 作EG AC ⊥，垂足为G ，∵BE 平分ABC ∠，ED BC ⊥，EF AB ⊥，∴1EF ED ==，∵CE 平分ACB ∠，ED BC ⊥，EG AC ⊥，∴1ED EG ==，∴ABC 的面积ABE =的面积BEC +△的面积AEC +△的面积()11111122222AB EF BC ED AC EG AB BC AC =⋅+⋅+⋅=⨯⨯++=，∴24AB BC AC ++=，即ABC 的周长为24．故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．A ．3PD =B ．3PD <C ．3PD ≤ D ．3PD ≥【答案】D 【分析】根据角平分线的性质得到3PF =，再根据垂线段最短即可解答．【详解】解：过点P 作PE AB ⊥于点E ，过点P 作PF BC ⊥于点F ，∵点P 在ABC ∠的平分线上，∴PE PF =， ∵3PE =，∴3PF =，∴根据垂线段最短可知：3PD ≥，故选D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，掌握角平分线的性质是解题的关键． 八年级统考期末）如图，在ABC 中， A ．83 B ．43 【答案】D【分析】由题意可求DC 的长，由角平分线的性质可求解．【详解】解：如图，过点D 作DH AB ⊥，垂足为H ，∵143AC DC AC ==，，∴1DC =，∵BD 平分ABC ∠，90C DH AB =︒∠，⊥，∴1CD DH ==，∴点D 到AB 的距离等于1，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质是本题的关键．8．（2023春·湖南娄底·八年级统考期末）如图，三条公路把A ，B ，C 三个村庄连成一个三角形区域，现决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）A ．三角形三个内角的角平分线的交点B ．三角形三条边的垂直平分线的交点C ．三角形三条高的交点D ．三角形三条中线的交点【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处．故选：A ．【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．9．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）如图，OD 平分AOB ∠，DE AO ⊥于点E ，5DE =，F 是射线OB 上的任意一点，则DF 的长度不可能是（ ）【答案】A 【分析】过Ｄ点作DH OB ⊥于H ，根据角平分线的性质得5DH DE ==，再利用垂线段最短得到5DF ≥，然后对各个选项进行判断即可，【详解】过Ｄ点作DH OB ⊥于H ，OD 平分AOB ∠，DE OA ⊥，DH OB ⊥，5DH DE ∴==，DF DH ≥，5DF ∴≥，故选A【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了垂线段最短，掌握角平分线的性质是解题的关键． 10．（2023春·河南开封·七年级统考期末）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，则下列结论：①DE CD =；②AD 平分CDE ∠；③BAC BDE ∠=∠；④BE AC AB +=，其中正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】①根据角平分线的性质得出结论：DE CD =；②证明ACD AED △≌△，得AD 平分CDE ∠；③由四边形的内角和为360︒得180CDE BAC ∠+∠=︒，再由平角的定义可得结论是正确的；④由ACD AED ∆≅∆得AC AE =，再由AB AE BE =+，得出结论是正确的．【详解】解：①90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DE CD ∴=；所以此选项结论正确；②DE CD =，AD AD =，90ACD AED ∠=∠=︒，ACD AED ∴≌，ADC ADE ∴∠=∠，AD ∴平分CDE ∠，所以此选项结论正确；③90ACD AED ∠=∠=︒，3609090180CDE BAC ∴∠+∠=︒−︒−︒=︒，180BDE CDE ∠+∠=︒，BAC BDE ∴∠=∠，所以此选项结论正确；④ACD AED ≌，AC AE ∴=，AB AE BE =+，BE AC AB ∴+=，所以此选项结论正确；本题正确的结论有4个，故选D ．【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，同时运用角平分线的性质得出两条垂线段相等；本题难度不大，关键是根据HL 证明两直角三角形全等，根据等量代换得出线段的和，并结合四边形的内角和与平角的定义得出角的关系．二、填空题 七年级统考期末）如图，在ABC 中，ABC 的内部相交于点 【答案】5【分析】先根据尺规作图描述得出AD 为BAC ∠的角平分线，再根据角平分线的性质得到点D 到AB 的距离5DE =，进而求出三角形的面积．【详解】由作法得AD 平分BAC ∠，如图所示，过点D 作DE AB ⊥于E ，∵90ACB ∠=︒，根据角平分线的性质，得43DC DE ==，ABD ∴的面积114102233AB DE AB =⋅⋅=⨯⨯=． ∴5AB =，故答案为：5．【点睛】本题考查角平分线的性质，解决本题的关键是熟知角平分线的性质并灵活应用．【答案】2【分析】根据尺规作图可得BF 平分ABC ∠，再利用角平分线的性质定理可得出2DF CF ==，最后根据垂线段最短即可得出FH 的最小值是2．【详解】解：如图，过点F 作FD AB ⊥于D ．由作图可知，BF 平分ABC ∠，∵FC BC ⊥，FD AB ⊥，∴2DF CF ==．根据垂线段最短可知，FH 的最小值为DF 的长，即为2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，垂线段最短，解题的关键在于能够准确判断出BF 是ABC ∠的角平分线．13．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，E 为线段AC 上一点，连接DE ，且B CED ∠=∠．若16AB =，6CE =，则AE 的长为________．【答案】4【分析】过点D 作DF AB ⊥于点F ，由角平分线的性质得出DC DF =，证明DCE DFB ≌，得出BF CE =，求出AF ，由HL 证明Rt Rt ADC ADF ≌，得出AC AF =，即可求出结果．【详解】解：过点D 作DF AB ⊥于点F ，如图所示：∵90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，，∴DC DF =，在DCE △和DFB △中，90=BFD DCE B CEDDC DF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，∴()AAS DCE DFB ≌，∴6BF CE ==，∴10AF AB BF =−=，在Rt ADC 与Rt ADF 中，==DC DF AD AD ⎧⎨⎩，∴Rt Rt ADC ADF ≌，∴10AC AF ==，∴1064AE AC CE =−=−=．故答案为：4．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，根据HL 证明直角三角形的全等解答．【答案】30【分析】由作图可知OC 是AOB ∠的角平分线，根据角平分线的定义即可得到答案．【详解】解：由题意可知，OC 是AOB ∠的角平分线，∴11603022AOC AOB ∠=∠=⨯︒=︒．故答案为：30【点睛】此题考查角平分线的作图、角平分线相关计算，熟练掌握角平分线的作图是解题的关键．，则POD 的面积是【答案】6【分析】过点P 作PF OB ⊥交OB 于点F ，由作图可知OP 是AOB ∠的平分线，根据角平分线的性质得3PF PC ==，即可求得POD 的面积．【详解】解：如图，过点P 作PF OB ⊥交OB 于点F ，由作图可知，OP 是AOB ∠的平分线，∵PC OA ⊥，PF OB ⊥，∴3PF PC ==，∴POD 的面积为：162OD PF ⋅=，故答案为：6．【点睛】本题考查了尺规作角平分线以及角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．16．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，在锐角ABC 中，60BAC ∠=︒，BE 、CD 为ABC 的角平分线．且BE 、CD 交于点F ，连接AF ．有下列四个结论：①120BFC ∠=︒；②BD CE =；③BC BD CE =+；④FBD FEC FBC S S S +=△△△．其中结论正确的序号是__________ ．【答案】①③④【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理求出BFC ∠；在BC 上取BM BD =，证明()SAS DBF MBF ≌△△，再证明()ASA MCF ECF ≌△△；过点F 作FG AB ⊥于点G ，FH AC ⊥于点H ，FK BC ⊥于点K ，根据角平分线的性质和三角形面积公式分别对各个结论进行判断即可．【详解】解：∵ABC 的两条角平分线BE 和CD 交于点F ，60BAC ∠=︒，∴FBC FCB∠+∠()12ABC ACB =∠+∠()11802BAC ︒=−∠()1180602=⨯︒−︒60=︒， ∴()180********BFC FBC FCB ∠=︒−∠+∠=︒−︒=︒，故结论①正确； ∴18060BFD BFC CFE Ð=°-Ð=°=Ð，在BC 上取BM BD =，∵BE 平分ABC ∠，∴DBF MBF Ð=Ð，在DBF 和MBF V 中，BD BM DBF MBFBF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS DBF MBF ≌△△， ∴60BFD BFM ∠=∠=︒，∴1206060CFM BFC BFM ∠=∠−∠=︒−︒=︒，∴60CFM CFE ∠=∠=︒，∵CD 平分ACB ∠，∴MCF ECF ∠=∠，在MCF △和ECF △中，CFM CFE CF CFMCF ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ASA MCF ECF ≌△△， ∴CM CE =，∴BC BM CM BD CE =+=+，故结论③正确；∵没有条件得出点M 是BC 的中点，∴不能得出BD 与CE 一定相等，故结论②错误；过点F 作FG AB ⊥于点G ，FH AC ⊥于点H ，FK BC ⊥于点K ，∵BE 、CD 为ABC 的角平分线，∴FG FK =，FK FH =，∴FG FK FE ==， ∵12FBD S BD FG =⋅△，12FEC S EC FH =⋅△，12FBC S BC FK =⋅△，∴FBD FEC S S +△△1122BD FG EC FH =⋅+⋅ 1122BM FK MC FK =⋅+⋅ ()12BM MC FK =+⋅ 12BC FK =⋅FBC S =△，∴FBD FEC FBC S S S +=△△△，故结论④正确，∴结论正确的序号是①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的面积，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．三、解答题 17．（2023春·重庆江北·七年级统考期末）完成下面的解答过程，并填上适当的理由．已知：如图，DE BC ∥，BD 平分ABC ∠，EF 平分AED ∠．解： ∵DE BC ∥（已知）∴ABC AED ∠=∠（ ① ）．∵BD 平分ABC ∠，EF 平分∠∴112ABC ∠=∠，122AED ∠=∠【答案】两直线平行，同位角相等 2∠ 等量代换 同位角相等，两直线平行【分析】先分析角的位置关系，根据平行线的性质及判定定理，即可写出答案．【详解】证明：∵DE BC ∥（已知），∴ABC AED ∠=∠．∵BD 平分ABC ∠，EF 平分AED ∠，∴112ABC ∠=∠，122AED ∠=∠．∴12∠=∠（等量代换）．∴EF BD ∥（同位角相等，两直线平行）．故答案为：两直线平行，同位角相等 ； 2∠ ；等量代换 同位角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查平行线的性质（两直线平行，同位角相等），及平行线的判定方法（同位角相等，两直线平行）．牢记平行线的性质和判定方法是解题的关键．18．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，在AOB 和COD △中，OA OB =，OC OD =，OA OC <，36AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ．求证：(1)36AMB ∠=︒；(2)MO 平分AMD ∠．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）证明()SAS AOC BOD ≌△△，由三角形全等的性质得出OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OBD OAC AOB ∠+∠=∠+∠，可得出AMB ∠的度数；（2）作OG AC ⊥于G ，OH BD ⊥于H ，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG OH =，由角平分线的判定方法即可得证．【详解】（1）证明：∵36AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB BOC COD BOC ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC 和BOD 中，OA OB AOC BODOC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS AOC BOD ≌△△， ∴OAC OBD ∠=∠，∵AEB ∠是AOE △和BME 的外角∴AEB AMB OBD AOB OAC ∠=∠+∠=∠+∠，∴36AMB AOB ∠=∠=︒；（2）如图所示，作OG AC ⊥于G ，OH BD ⊥于H ，∴OG 是AOC 中AC 边上的高，OH 是BOD 中BD 边上的高，由（1）知：AOC BOD ≌，∴OG OH =，∴点O 在AMD ∠的平分线上，即MO 平分AMD ∠．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识．证明三角形全等是解题的关键． 七年级统考期末）如图，在ABC 中， (2)18【分析】（1）根据BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠得12DBC ABC ∠=∠，12DCB ACB ∠=∠，根据40ABC ∠=︒，70ACB ∠=︒得140202DBC ∠=⨯︒=︒，170352DCB ∠=⨯︒=︒，根据三角形内角和定理即可得；（2）过点D 作DF BC ⊥于点F ，根据BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，DF BC ⊥得DE DF =，根据4DE =得4DF =，即可得．【详解】（1）解：∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，∴12DBC ABC ∠=∠，12DCB ACB ∠=∠，∵40ABC ∠=︒，70ACB ∠=︒，∴140202DBC ∠=⨯︒=︒，170352DCB ∠=⨯︒=︒，∴在BCD △中，1802035125BDC ∠=︒−︒−︒=︒；（2）解：过点D 作DF BC ⊥于点F ，∵BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，DF BC ⊥，∴DE DF =，∵4DE =，∴4DF =，∵9BC =， ∴11S 941822BCD BC DF =⨯⨯=⨯⨯=△．【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形的面积，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 八年级假期作业）如图，在ABC 中， 【答案】6cm CD =，34B ∠=︒【分析】根据角平分线的性质可得CD DE =，28BAD CAD ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出B ∠的度数．【详解】解：∵ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，∴6cm CD DE ==，28BAD CAD ∠=∠=︒，∴256BAC CAD ∠=∠=︒，∴9034B CAD ∠=︒−∠=︒．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和直角三角形的两个锐角互余，属于基础题型，熟练掌握角平分线的点到一个角的两边距离相等是解题关键．21．（2023春·广西南宁·七年级南宁十四中校考期末）如图，已知ABC ．(1)尺规作图：作BAC ∠的角平分线交BC 于点G （不写作法，保留作图痕迹）；(2)如果6AB =，10AC =，ABG 的面积为18，求ACG 的面积．【答案】(1)见解析(2)30【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；（2）如图所示，过点G 作GE AB GF AC ⊥⊥，垂足分别为E 、F ，证明AEF AFG △≌△，得到EG FG =，根据面积法求出6EG FG ==，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：如图所示，过点G 作GE AB GF AC ⊥⊥，垂足分别为E 、F ，∴90AEG AFG ∠=∠=︒，∵AG 是BAC ∠的角平分线，∴EAG FAG ∠=∠，又∵AG AG =，∴()AAS AEF AFG △≌△，∴EG FG =；∵6AB =，ABG 的面积为18，∴1182AB EG ⋅=，即16182EG ⨯=，∴6EG =，∴6EG FG ==，∴111063022ACG S AC FG =⋅=⨯⨯=△．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积，角平分线的尺规作图，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 22．（2023春·山西太原·七年级统考期末）如图，在ABC 中，AD 是它的角平分线，DE AB ⊥于点,E DF AC ⊥于点F ，且BE CF =．线段BD 与CD 相等吗？说明理由．【答案】BD CD =，见解析【分析】根据角平分线的性质得出DE DF =，根据垂直定义得出90DEB DFC ∠=∠=︒，根据SAS 证明DFC △D E B ≌△，得出BD CD =即可．【详解】解：BD CD =；理由如下：∵AD 是BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴DE DF =，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴90DEB DFC ∠=∠=︒，又∵BE CF =，∴DFC △DE B ≌△， ∴BD CD =．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂线定义理解，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明DFC △DE B ≌△． 23．（重庆市大渡口区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）如图，AD BC ∥，180B BCD ∠+∠=︒．(1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点A 作BAD ∠的角平分线，交CD 于点F ，与BC 的延长线交于点E ；（不写做法，保留作图痕迹）(2)求证：CFE FEC ∠=∠．证明：∵AD BC ∥（已知），∴DAF FEC ∠=∠（①__________）． ∵AE 平分BAD ∠，∴②__________（角平分线的定义）． ∴BAE FEC ∠=∠（③__________）． ∵180B BCD ∠+∠=︒（已知）， ∴④__________（⑤__________）． ∴BAE CFE ∠=∠（两直线平行，同位角相等）． ∴CFE FEC ∠=∠（等量代换）． 【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用基本作图作BAD ∠的平分线即可；（2）先根据平行线的性质得到DAF FEC ∠=∠，再利用角平分线的定义得到BAE DAF ∠=∠，则BAE FEC ∠=∠，接着证明AB CD ∥得到BAE CFE ∠=∠，然后利用等量代换得到CFE FEC ∠=∠．【详解】（1）解：如图，BE 为所作；（2）证明：AD BC ∥（已知）， DAF FEC ∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）．AE 平分BAD ∠，BAE DAF ∴∠=∠（角平分线的定义），BAE FEC ∴∠=∠（等量代换）．180B BCD ∠+∠=︒（已知），AB CD ∴∥（同旁内角互补，两直线平行）．BAE CFE ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等）．CFE FEC ∴∠=∠（等量代换）．【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和平行线的判定与性质． 七年级校考阶段练习）如图，ABC 中， 若BCG 的面积为，则ABC 的面积为【答案】(1)120︒(2)3(3)6【分析】（1）根据作图方法可得BG 是ABC ∠的角平分线，则1302ABG ABC ==︒∠∠，再由三角形外角的性质可得120BGC A ABG =+=︒∠∠；（2）如图所示，过点G 作GD BC ⊥于D ，先求出3AG AC CG =−=，再证明ABG DBG △≌△，得到3DG AG ==，根据垂线段最短可知线段H G 的最小值为3；（3）证明BDG CDG △≌△，得到122BDG CDG BCG S S S ===△△△，进而求出2BDG ABG S S ==△△，则6ABC ABG CBG S S S =+=△△△．【详解】（1）解：由作图方法可知BG 是ABC ∠的角平分线， ∴1302ABG ABC ==︒∠∠，∵90A ∠=︒，∴120BGC A ABG =+=︒∠∠，故答案为：120︒；（2）解：如图所示，过点G 作GD BC ⊥于D ，∴90BAG BDG ==︒∠∠，∵96AC CG ==，，∴3AG AC CG =−=，∵BG 是ABC ∠的角平分线，∴ABG DBG ∠=∠，又∵BG BG =，∴()AAS ABG DBG △≌△，∴3DG AG ==，∵H 是边BC 上一动点，∴当点H 与点D 重合时，HG 最小，∴线段HG 的最小值为3， 故答案为：3；（3）解：∵BG 是ABC ∠的角平分线，∴30ABG DBG ==︒∠∠，∵9030C ABC ∠=︒−∠=︒，∴GBD C ∠=∠，又∵90DG DG BDG CDG ===︒，∠∠，∴()AAS BDG CDG △≌△， ∴122BDG CDG BCG S S S ===△△△，∵ABG DBG △≌△，∴2BDG ABG S S ==△△，∴6ABC ABG CBG S S S =+=△△△，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 七年级统考期末）ABC 中， (2)如图2，若ABC 是锐角三角形．过点FED ∠，EDB ∠与ABC ∠ (3)若ABC 是钝角三角形，其中FED ∠，EDB ∠与ABC ∠之间的数量关系．【答案】(1)45 (2)12BDE FED ABC ∠=∠+∠，证明见解析 (3)12ABC BDE DEF ∠=∠+∠【分析】（1）首先证明AED ABC ∠=∠得到DE BC ∥，得到EDB DBC ∠=∠，再根据角平分线的定义得到1452DBC ABC ∠=∠=︒，即可证明；（2）延长ED 、BC 交于G ，利用平行线的性质得FED G ∠=∠，再利用三角形外角的性质可得结论；（3）由（2）同理解决问题．【详解】（1）解：DE AB ∵⊥，90AED ∴∠=︒．90ABC ∠=︒，AED ABC ∴∠=∠．DE BC ∴∥．EDB DBC ∴∠=∠．BD Q 平分ABC ∠，1452DBC ABC ∴∠=∠=︒．45EDB ∴∠=︒．（2）如图，12BDE FED ABC ∠=∠+∠，理由如下：延长ED 、BC 交于G ，EF BC ∥，FED G ∴∠=∠，BD Q 平分ABC ∠，。
角度计算的经典模型(八大题型)(解析版)-初中数学
角度计算的经典模型(八大题型)【题型01：双垂直模型】【题型02：A字模型】【题型03：8字模型】【题型04：飞镖模型】【题型05：风筝模型】【题型06：两内角角平分线模型】【题型07：两外角角平分线模型】【题型08：内外角平分线模型】【题型01：双垂直模型】【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.1.AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C=50°，求∠BHD．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AD是△ABC的高，∴∠BHD+∠HBD=90°，∵BE是△ABC的高，∴∠HBD+∠C=90°，∴∠BHD=∠C，∵∠C=50°，∴∠BHD=50°．2.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=60°，AD是BC边上的高，∠ACB的平分线CF交AD于点E．求∠AEC的度数．【答案】110°【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质．先根据三角形的内角和定理得到∠ACB 的度数，然后根据角平分线的定义得到∠ECD 的值，然后利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解题即可．【详解】解：∵在△ABC 中，∠BAC =80°，∠B =60°，∴∠ACB =180°-∠CAB =∠B =180°-80°-60°=40°，∵CF 是∠ACB 的平分线，∴∠ECD =12∠ACD =12×40°=20°，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADC =90°，∴∠AEC =∠ADC +∠ECD =90°+20°=110°．3.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 边上一点，BE 与AD 交于点F ，若∠ABC =45°，∠BAC =75°，∠BFD =60°，求∠BEC 的度数．【答案】90°【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出∠C ，然后求出∠DBF ，进而得出答案．【详解】∵∠ABC =45°,∠BAC =75°，∴∠C =180°-45°-75°=60°．∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =90°．∵∠BFD =60°，∴∠DBF =90°-60°=30°，∴∠BEC =180°-∠EBC -∠C =180°-60°-30°=90°．【题型02：A 字模型】图1【条件】图1中三种情况【结论】∠1=∠2【证明】略图2【结论】∠1+∠2=∠3+∠4【证明】根据内角和定理，∠1+∠2+∠A=∠3+∠4+∠A=180°∴∠1+∠2=∠3+∠4图3【结论】∠1+∠2=180°+∠A【证明】∠1+∠2=(∠AED+∠A)+(∠ADE+∠A)=180°+∠A4.探索归纳：(1)如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2=270°．(2)如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=220°．(3)如图2，根据(1)与(2)的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是180°+∠A．(4)如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2=360°-(∠A+∠B)=360°-90°=270°．∴∠1+∠2等于270°．故答案为：270°；(2)∠1+∠2=180°+40°=220°，故答案是：220°；(3)∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2=180°+∠A；故答案为：180°+∠A；(4)∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF∴∠1+∠2=360°-2(∠AFE+∠AEF)又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A．5.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E．若∠A=70°，∠BDC=100°，则∠BED的度数为()A.120°B.130°C.140°D.150°【答案】A【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识．求出∠EBD，∠EDB，再利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：∵∠A+∠ABD=∠BDC，∠A=70°，∠BDC=100°，∴∠ABD=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，又∵DE∥BC，∴∠BDE=∠CBD=30°，∴∠BED=180°-∠ABD-∠BDE=120°．故选：A．6.如图，已知：AD∥EF，∠CAD+∠DEF=180°．(1)证明：AC∥DE；(2)若AC平分∠BAD，∠ADC=35°，∠ACD=∠ADE+45°．求∠G的度数．【答案】(1)见解析(2)∠G=50°【分析】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．(1)由平行线的性质可得∠DEF+∠ADG=180°,由∠CAD+∠DEF=180°可得∠CAD=∠ADG,即可证明；(2)首先利用已知条件可以去求出∠BAC=∠ADE=50°，然后利用三角形的外角求出∠BDG,解答即可．【详解】(1)证明：∵AD∥EF，∴∠DEF+∠ADG=180°．∵∠CAD+∠DEF=180°．∴∠CAD=∠ADG．∴AC∥DE；(2)解：∵AC是∠BAD的平分线，且AC∥DE，∴∠BAC=∠CAD，∠CAD=∠ADE，∴∠BAC=∠ADE，∵∠ACD=∠ADE+45°，∠ACD=∠B+∠BAC，∴∠B=45°，∵∠ADC=35°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADC=180°-45°-35°=100°．∵AC是∠BAD的平分线，∠BAD=50°，∴∠CAD=∠ADE=12∴∠G=∠BAD-∠ADE=100°-50°=50°．7.在△ABC中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C DE，对折叠后产生的夹角进行探究：(1)如图(1)把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和；(2)如图(2)把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和；(3)如图(3)把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系．【答案】(1)60°(2)50°(3)∠2-∠1=2∠C【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质．(1)根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE，∠2=180°-2∠CED，再根据三角形内角和定理比可求出答案；(2)连接DG，将∠ADG+∠AGD作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；(3)将∠2看作180°-2∠CED，∠1看作2∠CDE-180°，再根据三角形内角和定理求解，即可解题．【详解】(1)解：由折叠性质可知：∠CDC =2∠CDE，∠CEC =2∠CED，∵∠C=30°，∴∠1+∠2=180°-2∠CDE+180°-2∠CED=360°-2∠CDE+∠CED=360°-2180°-∠C=2∠C=60°；(2)解：连接DG，∵∠A=80°，∴∠1+∠2=180°-∠C -∠ADG+∠AGD=180°-30°-180°-80°=50°；(3)解：∠2-∠1=180°【题型03：8字模型】【条件】AE、BD相交于点C【结论】∠A +∠B =∠D +∠E .8.(1)已知：如图(1)的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A +∠B =∠C +∠D ．(2)如图(2)，AP ，CP 分别平分∠BAD ，∠BCD ，若∠ABC =36°，∠ADC =16°．求∠P 的度数．(3)如图(3)，直线AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的数量关系是；(4)如图(4)，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的数量关系是．【答案】(1)见解析；(2)26°；(3)∠P =90°+12∠B +∠D ；(4)∠P =180°-12∠B +∠D 【分析】(1)根据三角形的内角和等于180°和对顶角的性质即可得证；(2)设∠BAP =∠P AD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，x +∠ABC =y +∠P x +∠P =y +∠ADC 解方程即可得到答案；(3)根据直线AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，得到∠P AB =∠P AD =12∠BAD ，∠PCB =∠PCE =12∠PCD 从而可以得到180°-2∠P AB +∠PCB +∠D =∠B ，再根据∠P +∠P AD =∠PCD +∠D ，∠BAD +∠B =∠BCD +∠D 得到∠P -∠B =∠P AD +∠PCB =∠P AB +∠PCB 即可求解；(4)连接PB ，PD ,求得∠APC +∠ABC +∠PCB +∠P AB =360°，∠APC +∠ADC +∠PCD +∠P AD =360°，再根据∠PCE +∠PCD =180°，∠P AB +∠P AF =180°，∠FAP =∠P AO ，∠PCE =∠PCB ，即可求解．【详解】解：(1)如图.∵∠A +∠B +∠AOB =180°，∠C +∠D +∠COD =180°，∴∠A +∠B +∠AOB =∠C +∠D +∠COD ．∵∠AOB =∠COD ，∴∠A +∠B =∠C +∠D ；(2)如图.∵AP ，CP 分别平分∠BAD ，∠BCD ，设∠BAP =∠P AD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，则有x +∠ABC =y +∠P x +∠P =y +∠ADC ，∴∠ABC -∠P =∠P -∠ADC ，∴∠P =12∠ABC +∠ADC =1236°+16° =26°(3)如图.∵直线AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∴∠P AB =∠P AD =12∠BAD ，∠PCB =∠PCE =12∠BCE ，∴2∠P AB +∠B =180°-2∠PCB +∠D ，∴180°-2∠P AB +∠PCB +∠D =∠B∵∠P +∠P AD =∠PCD +∠D ，∠BAD +∠B =∠BCD +∠D∴∠P +∠P AD -∠BAD -∠B =∠PCD -∠BCD∴∠P -∠P AB -∠B =∠PCB ,∴∠P -∠B =∠P AB +∠PCB∴180°-2∠P -∠B +∠D =∠B ，即∠P =90°+12∠B +∠D ．(4)连接PB ，PD∵直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∴∠FAP =∠P AO ，∠PCE =∠PCB ，∵∠APB +∠PBA +∠P AB =180°，∠PCB +∠PBC +∠BPC =180°∴∠APC +∠ABC +∠PCB +∠P AB =360°同理得到：∠APC +∠ADC +∠PCD +∠P AD =360°∴2∠APC +∠ABC +∠ADC +∠PCB +∠P AB +∠PCD +∠P AD =720°∴2∠APC +∠ABC +∠ADC +∠PCE +∠P AB +∠PCD +∠P AF =720°∵∠PCE +∠PCD =180°，∠P AB +∠P AF =180°∴2∠APC +∠ABC +∠ADC =360°，∴∠APC =180°-12∠ABC +∠ADC 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9.如图，∠1=60°，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =()A.240°B.280°C.360°D.540°【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B 与∠C 的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可．【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A +∠E ，∠2=∠F +∠D ，∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，∴∠2+∠3=120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，∵∠B+∠C=120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．故选A．【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起．10.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=．【答案】900°【分析】根据多边形的内角和，可得答案．【详解】解：连EF，GI，如图∵6边形ABCDEFK的内角和=(6-2)×180°=720°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=720°-(∠1+∠2)，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+(∠1+∠2)=720°，∵∠1+∠2=∠3+∠4，∠5+∠6+∠H=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F∠H+(∠3+∠4)=900°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F(∠3+∠4)+∠5+∠6+∠H=720°+180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=900°，故答案为：900°．【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n-2)×180°(n≥3的整数)．11.如图，已知AB∥CD,∠B=∠D，CD与AE相交于F．(1)求证：AD∥BC；(2)若∠B=50°，AE平分∠BAD，求∠DFE的度数．【答案】(1)见解析；(2)115°．【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算：(1)AB∥CD，得到∠B=∠DCE，推出∠D=∠DCE，即可得证；(2)平行线的性质求出∠BAD的度数，角平分线求出∠DAE=65°，再利用三角形的外角求解即可．【详解】(1)证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠DCE，∵∠B=∠D，∴∠D=∠DCE，∴AD∥BC，(2)∵AD∥BC，∴∠BAD=180°-∠B=180°-50°=130°，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=65°，∵∠D=∠B=50°，∴∠DFE=∠D+∠EAD=50°+65°=115°．12.已知：如图，FE∥OC,AC和BD相交于点O，F是OD上一点，且∠1=∠A．(1)求证：AB∥DC；(2)若∠B=30°,∠1=65°，求∠OFE的度数．【答案】(1)见解析(2)95°【分析】本题考查了平行线的性质和判定，三角形外角的性质的应用：(1)根据平行线的性质和已知得出∠A=∠C，根据平行线的判定推出即可；(2)根据平行线的性质求出∠D，根据三角形的外角性质推出即可．【详解】(1)证明：∵FE∥OC，∴∠1=∠C，∵∠1=∠A，∴∠A=∠C，∴AB∥DC；(2)解：∵AB∥DC，∴∠D=∠B，∵∠B=30°，∴∠D=30°，∵∠OFE是△DEF的外角，∴∠OFE=∠D+∠2，∵∠1=65°，∴∠OFE=30°+65°=95°．13.如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB与CD相交于点G，∠A=42°．(1)若∠ADC=60°，求∠AEP的度数；(2)若∠C=38°，求∠P的度数．【答案】(1)72°；(2)40°．【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠ADP=12∠ADC，然后利用三角形外角的性质即可得解；(2)根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．【详解】解：(1)∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF=12∠ADC，∵∠ADC=60°，∴∠ADP=30°，∴∠AEP=∠ADP+∠A=30°+42°=72°；(2)∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=12(38°+42°)=40°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．【题型04：飞镖模型】图1图2图3【条件】四边形ABPC如图1所示【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.14.探究与发现：如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图(1)观察“规形图(1)”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；(2)请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=40°，则∠ABX+∠ACX=50°．②如图(3)，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)如图(1)，∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，理由是：过点A、D作射线AF，∵∠FDC=∠DAC+∠C，∠BDF=∠B+∠BAD，∴∠FDC+∠BDF=∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；(2)①如图(2)，∵∠X=90°，由(1)知：∠A+∠ABX+∠ACX=∠X=90°，∵∠A=40°，∴∠ABX+∠ACX=50°，故答案为：50；②如图(3)，∵∠A=40°，∠DBE=130°，∴∠ADE+∠AEB=130°-40°=90°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC=12∠ADB，∠AEC=12∠AEB，∴∠ADC+∠AEC=12∠ADB+∠AEB=45°，∴∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=40°+45°=85°．15.一个零件的形状如图，按要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，检验工人量得∠CDB=148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，延长CD交AB于E，∵∠A=90°，∠C=21°，∴∠1=∠A+∠C=90°+21°=111°，∵∠B=32°，∴∠BDC=∠B+∠1=32°+111°=143°．又∵∠BDC=148°，∴这个零件不合格．16.附加题：如图，试说明：①∠BDC>∠A；②∠BDC=∠B+∠C+∠A．如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？【答案】见试题解答内容【解答】解：①延长BD交AC于E，则∠BDC>∠DEC，而∠DEC>∠A，所以∠BDC>∠A；②由∠BDC=∠C+∠DEC，而∠DEC=∠A+∠B，所以∠BDC=∠A+∠B+∠C．如果点D在线段BC的另一侧，如图所示：结论：①∠BDC与∠A无法比较大小；②∠BDC=360°-(∠A+∠B+∠C)，17.如图，△ABC中，∠A=30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D=40°，则∠C为()A.20°B.15°C.30°D.25°【答案】A【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠D=40°，∴∠ABD=180°-∠D-∠DEB=50°，∵∠ABD=∠A+∠C，∠A=30°，∴∠C=∠ABD-∠A=50°-30°=20°．故选：A．18.如图，点E在BC上，ED⊥AC于F，交BA的延长线于D，已知∠D=30°，∠C=20°，则∠B的度数是()A.20°B.30°C.40°D.50°【答案】C【解答】解：∵ED⊥AC，∠D=30°，∠C=20°，又∵∠DEC=∠B+∠D，∴∠C+∠DEC=∠C+∠D+∠B=90°，∴∠B=40°．故选：C．19.如图，已知在△ABC中，∠A=40°，现将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过点B,C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD=( )．A.90°B.60°C.50°D.40°【答案】C【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴∠ABD+∠ACD=40°-90°=50°故选C．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．20.如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．【答案】230°【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．【详解】解：如图∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案为：230°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．【题型05：风筝模型】21.如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．(1)如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为③(只填序号)，并说明理由；①∠DAE=∠1②∠DAE=2∠1③∠1=2∠DAE(2)如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．【答案】(1)③，理由详见解答过程．(2)∠1+∠2=2∠DAE．【解答】解：(1)由题意得：∠DAE=∠DA′E．∵∠1=∠EAD+∠EA′D=2∠DAE．故答案为：③．(2)∠1+∠2=2∠DAE，理由如下：如图2，连接AA′．由题意知：∠EAD=∠EA′D．∵∠1=∠A′AE+∠AA′E，∠2=∠A′AD+∠AA′D，∴∠1+∠2=∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D=∠EAD+∠EA′D=2∠EAD．22.如图，在△ABC中，∠C=40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是()A.40°B.80°C.90°D.140°【答案】B【解答】解：由折叠的性质得：∠D=∠C=40°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠D，则∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+80°，则∠1-∠2=80°．故选：B．23.将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．(1)如果A′落在四边形BCDE的内部(如图1)，∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．(2)如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是2∠A=∠2．(3)如果A′落在四边形BCDE的外部(如图2)，这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)图1中，2∠A=∠1+∠2，理由是：∵延DE折叠A和A′重合，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∵∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠1+∠2=180°+180°-2(∠AED+∠ADE)，∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A；(2)2∠A=∠2，如图∠2=∠A+∠EA′D=2∠A，故答案为：2∠A=∠2；(3)如图2，2∠A=∠2-∠1，理由是：∵延DE折叠A和A′重合，∴∠A=∠A′，∵∠DME=∠A′+∠1，∠2=∠A+∠DME，∴∠2=∠A+∠A′+∠1，即2∠A=∠2-∠1．【题型06：两内角角平分线模型】双内角平分线模型【条件】BP 、CP 分别为∠ABC 、∠ACB 的角平分线.【结论】∠P =90°+12∠A .24.如图1，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动(不与点O 重合)，AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，BC 延长线交OM 于点G ．(1)若∠MON =60°，则∠ACG =；(直接写出答案)(2)若∠MON =n °，求出∠ACG 的度数；(用含n 的代数式表示)(3)如图2，若∠MON =80°，过点C 作CF ∥OA 交AB 于点F ，求∠BGO 与∠ACF 的数量关系．【答案】(1)60°；(2)90°-12n °；(3)∠BGO -∠ACF =50°【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠BAO +∠ABO ，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案；(2)仿照(1)的解法解答；(3)根据平行线的性质得到∠ACF =∠CAG ，根据(2)的结论解答．【详解】解：(1)∵∠MON =60°，∴∠BAO +∠ABO =120°，∵AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，∴∠CBA =12∠ABO ，∠CAB =12∠BAO ，∴∠CBA +∠CAB =12(∠ABO +∠BAO )=60°，∴∠ACG =∠CBA +∠CAB =60°，故答案为：60°；(2)∵∠MON =n °，∴∠BAO +∠ABO =180°-n °，∵AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，∴∠CBA =12∠ABO ，∠CAB =12∠BAO ，∴∠CBA+∠CAB=12(∠ABO+∠BAO)=90°-12n°，∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=90°-12n°；(3)∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAG，∴∠BGO-∠ACF=∠BGO-∠CAG=∠ACG，由(2)得：∠ACG=90°-12×80°=50°．∴∠BGO-∠ACF=50°．【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．25.如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF交于点G，若∠BDC=140°，∠BGC=100°，则∠A=()A.80°B.75°C.60°D.45°【答案】C【分析】连接BC,先求解∠DBC+∠DCB,再求解∠GBC+∠GCB,可得∠GBD+∠GCD,再利用角平分线的定义可得：∠ABD+∠ACD,从而可得：∠ABC+∠ACB,再利用三角形的内角和定理可得∠A的大小.【详解】解：连接BC,∵∠BDC=140°,∴∠DBC+∠DCB=180°-140°=40°,∵∠BGC=100°,∴∠GBC+∠GCB=180°-100°=80°,∴∠GBD+∠GCD=∠GBC+∠GCB-∠DBC-∠DCB=40°,∵BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，∴∠ABD+∠ACD=2(∠GBD+∠GCD)=80°,∴∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB=80°+40°=120°,∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=60°.故选：C.【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.26.如图，在△ABC中，已知∠A=70°，∠ABC、∠ACB的平分线OB、OC相交于点O，则∠BOC的度数为．【答案】125°【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ABC +∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠OBC +∠OCB ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.【详解】在△ABC 中,∠ABC +∠ACB =180°-∠A =180°-70°=110°，∵∠ABC 与∠ACB 的角平分线BO ,CO 相交于点O ，∴∠OBC +∠OCB =12∠ABC +∠ACB =12×110°=55°，在△BOC 中,∠BOC =180°-(∠OBC +∠OCB )=180°-55°=125°，故答案为:125°.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键.27.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ．(1)若∠ABC +∠ACB =130°，求∠BPC 的度数．(2)当∠A 为多少度时，∠BPC =3∠A ？【答案】(1)115°；(2)∠A =36°【分析】(1)根据角平分线的定义，求得∠PBC ，∠PCB ，再根据三角形内角和定理即可求得∠BPC ；(2)根据(1)的方法求得∠BPC ，再结合条件∠BPC =3∠A ，解方程即可求得∠A ．【详解】(1)∵PB 平分∠ABC ，PC 平分∠ACB ，∴∠PBC =12∠ABC ,∠PCB =12∠ACB ，∵∠ABC +∠ACB =130°，∴∠PBC +∠PCB =12(∠ABC +∠ACB )=65°，∴∠BPC =180°-(∠PBC +∠PCB )=180°-65°=115°，(2)∵PB 平分∠ABC ，PC 平分∠ACB ，∴∠PBC =12∠ABC ,∠PCB =12∠ACB ，∴∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB)，∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∴∠PBC+∠PCB=90°-12∠A，∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-90°-12∠A=90°+12∠A∵∠BPC=3∠A∴3∠A=90°+12∠A，∴∠A=36°．【点睛】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．【题型07：两外角角平分线模型】双外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线.【结论】∠P=90°-12∠A.28.如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．(1)如果∠A=70°，求∠BPC的度数；(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．(3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．【答案】(1)125°(2)∠Q=90°-12∠A(3)∠A的度数是45°或60°或120°或135°【分析】(1)在△ABC中，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根据角平分线的定义得出∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，求出∠PBC+∠PCB=55°，再在△BPC中，根据三角形内角和定理求出即可；(2)根据三角形外角性质得出∠MBC=∠ACB+∠A，∠NCB=∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A，根据角平分线的定义得出QBC=12∠MBC，∠QCB=12∠NCB，求出∠QBC+∠QCB=90°+12∠A，根据三角形内角和定理求出即可；(3)根据角平分线的定义得出∠ACF=2∠BCF，∠ABC=2∠EBC，根据三角形外角性质得出∠ECF=∠EBC+∠E，求出∠A=2∠E，求出∠EBQ=90°，分为四种情况：①∠EBQ=3∠E=90°，②∠EBQ=3∠Q，③∠Q=3∠E，④∠E=3∠Q，再求出答案即可【详解】(1)∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=55°，∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=125°；(2)∵∠MBC=∠ACB+∠A，∠NCB=∠ABC+∠A，∴∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A，∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，∴∠QBC=12∠MBC，∠QCB=12∠NCB，∴∠QBC+∠QCB=12(∠MBC+∠NCB)=12(180°+∠A)=90°+12∠A，∴∠Q=180°-(∠QBC+∠QCB)=180°-90°+12∠A=90°-12∠A；(3)∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF=2∠BCF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC，∵∠ECF=∠EBC+∠E，∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠BC+2∠E，∵∠ACF=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠E，即∠E=12∠A，∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+12∠MBC=12(∠ABC+∠A+∠ACB) =90°，如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：①∠EBQ=3∠E=90°，则∠E=30°，∠A=2∠E=60°；②∠EBQ=3∠Q，则∠Q=30°，∠E=60°，∠A=2∠E=120°；③∠Q=3∠E，则∠E=22.5°，∠A=2∠E=45°；④∠E=3∠Q，则∠E=67.5°，∠A=2∠E=135°，综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键．29.如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC=．【答案】61°【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-58°=122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°-(∠BAC+∠BCA)=360°-122°=238°，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠ACF，∴∠EAC+∠ECA=12(∠DAC+∠ACF)=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-119°=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．30.如图，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，∴∠OBC=12(∠A+∠ACB)，∠OCB=12(∠A+∠ABC)，∴∠OBC +∠OCB =12(∠A +∠ACB +∠ABC +∠A )，∵∠A +∠ACB +∠ABC =180°，∴∠OBC +∠OCB =90°+12∠A ，在△OBC 中，∠BOC =180°-(∠OBC +∠OCB )=180°-(90°+12∠A )=90°-12∠A ，∵∠A =40°，∴∠BOC =90°-12×40°=90°-20°=70°．【题型08：内外角平分线模型】内外角平分线模型【条件】BP 、CP 分别为∠ABC 、∠ACE 的角平分线【结论】∠P =12∠A 【典例8】(1)如图1，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，求证：∠P =90°+12∠A ；(2)如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分外角∠ACE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)证明过程见解答；(2)∠P =12∠A ．【解答】(1)证明：∵A +∠ABC +∠ACB =180°，∴∠ABC +∠ACB =180°-∠A ，∵BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，∴∠PCB =12∠ACB ，∠PBC =12∠ABC ，∴∠P =180°-(∠PCB +∠PBC )=180°-12(∠ACB +∠ABC )=180°-12(180°-∠A )=90°+12∠A ；(2)猜想：∠P=12∠A证明：∵∠ACE=∠A+∠ABC，∴∠A=∠ACE-∠ABC，∵∠PCE=∠P+∠PBC，∴∠P=∠PCE-∠PBC，又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCE=12∠ACE，∴∠P=12∠ACE-12∠ABC=12(∠ACE-∠ABC)=12∠A．31.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，BO的延长线交外角∠ACD的角平分线于点E．以下结论：①∠1=2∠2；②∠BOC=3∠2；③∠BOC=90°+∠2；④∠BOC=90°+∠1．其中正确的结论有(填序号)．【答案】①③/③①【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1=2∠2，∠BOC=90°+12∠1，∠BOC=90°+∠2，即可得出答案．【详解】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2=∠DCE-∠DBE=12∠ACD-∠ABC=12∠1，即∠1=2∠2，故①正确；∵BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC=180°-∠OBC+∠OCB=180°-12∠ABC+∠ACB=180°-12180°-∠1=90°+12∠1，故④错误；∵CO平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACE=12ACD，∴∠OCE =12∠ACB +∠ACD =12×180°=90°，∵∠BOC 是△COE 的外角，∴∠BOC =∠OCE +∠2=90°+∠2，故②错误、③正确；综上，正确的有①③．故答案为：①③．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．32.如图，在△ABC 中，∠A =α，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得A 2；⋯；∠A 2019BC 与∠A 2019CD 的平分线相交于点A 2020，得∠A 2020，则∠A 2020=．【答案】α22020【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得∠A 1=12∠A ，同理得∠A 2=12∠A 1=α22；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，∠A =α，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1∴∠A 1=180°-12∠ABC -∠ACB -12∠ACD ∵∠ACD =∠A +∠ABC∴∠A 1=180°-∠ABC -∠ACB -12∠A ∵∠A +∠ABC +∠ACB =180°∴∠A 1=12∠A 同理，得∠A 2=12∠A 1=12×12∠A =α22；∠A 3=12∠A 2=12×12×12∠A =α23；∠A 4=12∠A 3=12×12×12×12∠A =α24；⋯∠A n =12∠A n -1=α2n ∴∠A 2020=α22020故答案为：α22020．【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解．33.【初步认识】(1)如图1，BM 平分∠ABC ，CM 平分外角∠ACD ，若∠A =80°，则∠M =°．【变式探究】(2)已知ABCD 为四边形，E 为边AB 延长线上一点，如图2，∠ADC =110°，∠BCD =120°，∠DAB 和∠CBE 的平分线交于点F ，则∠F =°．【继续探索】(3)已知ABCD 为四边形，E 为边AB 延长线上一点，如图3，∠ADC =α，∠BCD =β，且α+β>180°，∠DAB 和∠CBE 的平分线交于点F ，求∠F 与α、β之间的数量关系，并说明理由；【终极挑战】(4)如果将(3)中的条件α+β>180°改为α+β<180°，再分别作∠DAB 和∠CBE 的平分线，且两平分线所在的直线交于点F ，那么∠F 与α、β又有怎样的数量关系？请直接写出结论．(不用说明理由)【答案】(1)40；(2)25；(3)∠F =12α+12β-90°，理由见解析；(4)∠F =90°-12α-12β【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是：(1)利用角平分线定义和三角形外交的性质可探究出∠M =12∠A ，即可求解；(2)延长AD 、BC 相交于G ，先求出∠G 的度数，然后同(1)得出∠F =12∠G ，即可求解；(3)类似(2)探究即可；(4)延长DA ，CB 相交于G ，延长BA ，先求出∠G =180°-α-β，再判断AF 平分∠NAG ，FB 平分∠ABG ，然后同(1)得出∠F =12∠G ，即可求解．【详解】解：∵BM 平分∠ABC ，CM 平分外角∠ACD ，∴∠MBC =12∠ABC ，∠MCD =12∠ACD ，∵∠A =∠ACD -∠ABC ，∠M =∠MCD -∠MBD ，∴∠M =12∠ACD -12∠ABC =12∠A ，∵∠A =80°，∴∠M =40°，故答案为：40；(2)延长AD 、BC 相交于G ，∵∠ADC =110°，∠BCD =120°，∴∠GDC =70°，∠GCD =60°，∴∠G =50°，同(1)可证∠F =12∠G ，∴∠F =25°，故答案为：25；(3)∠F =12α+12β-90°理由：延长AD 、BC 相交于G ，∵∠ADC =α，∠BCD =β，∴∠GDC =180°-α，∠GCD =180°-β，∴∠G =α+β-180°，由(2)知∠F =12∠G ，∴∠F =12α+12β-90°；(4)∠F =90°-12α-12β理由：延长DA ，CB 相交于G ，延长BA ，∵∠ADC =α，∠BCD =β，α+β<180°，∴∠G =180°-α-β，∵AM 平分∠DAB ，∴∠DAM =∠BAM ，∵∠NAF =∠MAB ，∠GAF =∠DAM ，∴∠NAF =∠GAF ，∴AF 平分∠NAG ，同理FB 平分∠ABG ，同(1)可证∠F =12∠G ，∴∠F =12∠G =90°-12α-12β．。
初三数学角平分线试题
初三数学角平分线试题1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等【答案】对【解析】根据角平分线的性质即可判断.角的平分线上的点到角的两边的距离相等，本题正确.【考点】角平分线的性质点评：熟练掌握基本图形的性质是学好图形问题的基础，因而此类问题在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.2.如图，∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=，则PE=___.【答案】1【解析】由∠BAC=60°，AP平分∠BAC可得∠DAP=30°，即可得到AP=2DP，根据AD=可得PD的长，再根据角平分线的性质即可求得结果.∵∠BAC=60°，AP平分∠BAC∴∠DAP=30°∵PD⊥AB∴AP=2DP∵AD=∴DP=1∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC∴PE=DP=1.【考点】角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质点评：含30°角的直角三角形的性质是平面图形中一个非常重要的性质，在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般，需多加关注.3.已知，如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________度.【答案】90【解析】由CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE可得OC平分∠AOB，即可求得结果.∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE∴OC平分∠AOB∵∠AOB=60°∴∠COD=30°∴∠COD+∠AOB=90°.【考点】角平分线的判定点评：本题是角平分线的性质的基础应用题，在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.4.下列命题中是真命题的是A．有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B．相等的角是对顶角C．余角相等的角互余D．两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等【答案】A【解析】根据平面图形的基本概念依次分析各项即可判断.A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等，是真命题，本选项正确；B.直角都相等，但不一定是对顶角，C.余角相等的角相等，D.两直线平行，同位角相等，故错误，均不是真命题.【考点】平面图形的基本概念点评：此类题目综合性强，知识点多，在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，难度不大，需多加关注.5.在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个【答案】对【解析】根据三角形的性质结合角平分线的性质即可判断.在同一平面内，到三角形三边距离相等的点是三角形三条内角平分线的交点，只有一个，故本题正确.【考点】角平分线的性质点评：平面图形的基本概念中的关键字词学生往往容易忽视，因而此类问题是学生的易错点，在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.6.在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个【答案】错【解析】根据三角形的性质结合角平分线的性质即可判断.在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点可能是三角形三条内角平分线的交点，也可能是任两个外角平分线的交点，不止一个，故本题错误.【考点】角平分线的性质点评：平面图形的基本概念中的关键字词学生往往容易忽视，因而此类问题是学生的易错点，在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.7.三角形三条角平分线交于一点【答案】对【解析】根据三角形的角平分线的性质即可判断，若动手操作则更为直观.三角形三条角平分线交于一点，本题正确.【考点】角平分线的性质点评：熟练掌握基本图形的性质是学好图形问题的基础，因而此类问题在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.8.如图，点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD________________PF.【答案】=，=【解析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可判断.∵点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，∴PD=PE=PF.【考点】角平分线的性质点评：此类问题知识点独立，在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.9.利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点.【答案】三个内角平分线交点【解析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可判断.△ABC内部距三边距离相等的点是三个内角平分线交点.【考点】角平分线的性质点评：此类问题知识点独立，在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.10.在图△ABC所在平面中，找到距三边所在直线距离相等的点.【答案】如图所示：【解析】（1）以B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交AB、BC于D、E两点，（2）再分别以D、E为圆心，以大于DE为半径画圆，两圆相交于F，连接BF，则BF即为∠B的平分线；同理作∠A的平分线，两平分线相交于点G1，则点G1即为所求；同理作出△ABC相邻外角的平分线分别交于G1，G2，G3，综上，满足题意的点有四个，如图所示：【考点】角平分线的性质的应用点评：本题是角平分线的性质的基础应用题，是常见的作图题，在中考中比较常见，一般与垂直平分线同时出现，难度不大，需熟练掌握.。
角平分线专项练习30题(有答案)ok
角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD平分∠BAC，求证：点D在AB的垂直平分线上．2．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，求证：∠BPC=90°+∠BAC．3．如图已知：BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，BD、CE交于F，且CF=FB，求证：AF平分∠BAC．4．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC．5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，DE=DC．求证：BC=AB+AE．6．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．7．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F．（1）求证：△ACF∽△ABE；（2）若AC=6cm，AF=3cm，AB=10cm，求出AE的长度．8．如图，CD∥AB，∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，且E在AD上，CE交BA的延长线于F点．（1）BE与CF互相垂直吗？若垂直，请说明理由；（2）若CD=3，AB=4，求BC的长．9．如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，∠2=65°，（1）求证：AB∥CD；（2）在（1）的条件下，求∠AEM的度数．10．如图，AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，垂足分别为B、C，E为线段AB上一点，（1）用尺规在射线AN上找一点F，使△CDF与△BDE全等（保留作图痕迹）；（2）若BE=3，请写出此时线段AE与AF的数量关系，并说明理由．11．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，（1）分别作出D到BA、BC的距离DE、DF；（2）求证：∠A+∠C=180°．12．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F，求证：BE=FC．13．如图，四边形AOBC中，AC=BC，∠A+∠OBC=180°，CD⊥OA于D．（1）求证：OC平分∠AOB；（2）若OD=3DA=6，求OB的长．14．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠DAB内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，求证：CE=CF．15．如图，已知：在四边形ABCD中，过C作CE⊥AB于E，并且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°，（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=3BE=9，求AD的长；（3）△ABC和△ACD的面积分别为36和24，求△BCE的面积．16．如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．17．如图，AE平分∠BAC，BD=DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM=CN．18．如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，求证：AP平分∠HAD．19．如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB、AC于E、F两点．求证：AD⊥EF．（2）若∠MON=80°，求∠PAB的度数．21．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．（1）求证：∠PCB+∠BAP=180°；（2）若BC=12cm，AB=6cm，PA=5cm，求BP的长．22．如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC与E，PF∥AC交BC与F．求证：D 到PE的距离与D到PF的距离相等．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．证明：BE=CF；（提示：连接线段BD、CD）25．如图，已知∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，DE过O点，且DE∥BC，求∠BOC的度数．26．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．27．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．（2）ED=BC+BD．29．如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求证：MD=AM．30．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，M为OP上任一点，连接CM、DM，则有CM与DM相等，试说明你的理由．参考答案：1．证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴CD=DE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE（HL），∴AE=AC，∵AB=2AC，∴BE=AB﹣AE=2AC﹣AE=AE，∴点D在AB的垂直平分线上．2．证明：连接AP，且延长至G，∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，∴点P是△ABC三角平分线的交点，∴AP平分∠BAC，∴∠CAG=∠BAG=∠BAC，∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∴∠ACP=∠ACB，∠ABP=∠ABC，∴∠CPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠BC），∴∠BPC=∠CPG+∠BPG=（∠BAC+∠ACB）+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC+（180°﹣∠BAC）=90°+∠BAC．3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠CDF=∠BEF=90°，在△CDF与△BEF中，，∴DF=EF，又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴AF平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）4．解：方法一：连接BC，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠CFB=∠BEC=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△BCF和△CBE中∵∴△BCF≌△CBE（AAS），∴BF=CE，在△BFD和△CED中∵，∴△BFD≌△CED（AAS），∴DF=DE，∴AD平分∠BAC．方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE=AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD=∠EAD，所以AD平分∠BAC．5．解：∵∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，∴AE=DE，∵BE是公共边，∴△BDE≌△BAE（HL），∴BD=BA，AE=DE=DC，∴BC=BD+DC=AB+AE6．（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．7．（1）证明：∵∠ACB=90°，∠CDB=90°，∴∠ACD=90°﹣∠DCB，∠B=90°﹣∠DCB，∴∠ACD=∠B，（2分）∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠EAB，（3分）∴△ACF∽△ABE；（7分）（2）解：∵△ACF∽△ABE，∴，（9分）∴AE===5cm8．解：（1）垂直．∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，∴∠EBC+∠ECB=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=90°，∴∠CEB=90°，∴BE与CF互相垂直．（2）∵∠CEB=90°，∴∠FEB=90°，在△FBE和△CBE中，∵，∴△FBE≌△CBE（ASA），∴BF=BC，EF=EC，∵CD∥AB，∴∠DCE=∠AFE，∵∠FEA=∠CED，∴△DCE≌△AFE，∴DC=AF，∵CD=3，AB=4，BF=AF+AB，∴BF=BC=7．9．（1）证明：∵∠1+∠2+∠FEG=180°，∵∠1=50°，∠2=65°，∴∠FEG=65°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠FEG=130°，∴∠BEF+∠1=180°，∴AB∥CD．（2）∵∠AEM=∠BEF，∵∠BEF=130°，∴∠AEM=130°，答：∠AEM的度数是130°10．解：（1）以D为圆心，DE为半径交AN于F1或F2，如图，∵AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，∴DB=DC，∵DE=DF，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）；（2）∵DB=DC，DA=DA，∴Rt△DBA≌Rt△DCA（HL）；∴AB=AC，∵Rt△CDF≌Rt△BDE，∴BE=CF，∴当F点在F1时，AF=AE；当F点在F2时，AF2=AC+CF2=AB+CF2=AE+BE+BE，∴AF﹣AE=2BE=6．11．解：（1）如图所示：．（2）证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△DEA和Rt△DFC中∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL），∴∠C=∠EAD，∵∠BAD+∠EAD=180°，∴∠BAD+∠C=180°12．证明：过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，∵△ABC中，∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠C=∠ABD，∵点E在∠BAC的平分线上，∴GE=DE，∵EF∥DC且BD⊥AC于D，FH⊥AC于D∴ED=FH，∴GE=FH，在△BEG与△CFH中，，∴△BEG≌△CFH（AAS），∴BE=CF．13．证：（1）作CE⊥OB于E，∵∠A+∠OBC=180°，∠OBC+∠CBE=180°∴∠A=∠CBE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS），∴CD=CE，∴OC平分∠AOB．（2）∵OD=3DA=6，∴AD=BE=2，在Rt△ODC和Rt△OEC中∵∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），∴OE=OD=6，∴OB=OE﹣BE=4．14．证明：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，∴CE=CF15．解：（1）作CF⊥AD的延长线于F，∴∠F=90°．∵CE⊥AB，∴∠CEA=∠CEB=90°，∴∠F=∠CEA=∠CEB．∵∠ADC+∠CDF=180°，且∠ABC+∠ADC=180°∴∠CDF=∠B．在△CDF和△CEB中，∴△CDF≌△CEB（AAS），∴CF=CE．∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴AC平分∠BAD；（2）在Rt△CAF和Rt△CAE中，∴Rt△CAF≌Rt△CAE（HL），∴AF=AE．∵△CDF≌△CEB，∴DF=EB．∵3BE=9，∴BE=3，∴DF=3．∵AD=AF﹣DF，∴AD=AE﹣DF．∵AE=9，∴AD=9﹣3=6；（3）∵△CAF≌△CAE，△CDF≌△CEB，∴S△CAF=S△CAE，S△CDF=S△CEB．．设△BCE的面积为x，则△CDF的面积为x，由题意，得24+x=36﹣x，∴x=6，答：△BCE的面积为6．16．证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，∵E为BC边的中点，∴BE=CE，∵在△BEF和CEQ中，∴△BEF≌△CEQ，∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，∴∠G=∠GFA，∴∠GFA=∠BFE，∵∠BFE=∠Q（已证），∴∠G=∠Q，∴CQ=CG，∵CQ=BF，∴BF=CG．17．证明：连接BE、EC，∵BD=DC，DE⊥BC∵BE=EC．∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，EM=EN，∠EMB=∠ENC=90°．在Rt△BME和Rt△CNE中，∵BE=EC，EM=EN，∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL）∴BM=CN．18．证明：过P作PF⊥BE于F，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PH=PF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．又∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，∴PF=PD（角平分线上的点到角的两边距离相等）．∴PD=PH（等量代换）．∴AP平分∠HAD（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．19．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF，∴AD⊥EF三线合一）20．（1）证明：∵∠PAB=∠PBA，∴PA=PB，∵PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴OP平分∠MON（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（2）解：∵∠MON=80°，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴∠APB=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∵∠PAB=∠PBA，∴∠PAB=（180°﹣100°）=40°21．证明：（1）如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC，∴PE=PF，在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠PAE+∠PAB=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°；（2）∵△APE≌△CPF，∴AE=FC，∵BC=12cm，AB=6cm，∴AE=×（12﹣6）=3cm，BE=AB+AE=6+3=9cm，在Rt△PAE中，PE==4cm，在Rt△PBE中，PB==cm．22．证明：∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，∵△ABC中，AD是它的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EPD=∠DPF，即DP平分∠EPF，∴D到PE的距离与D到PF的距离相等23．证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF．24．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDE是直角三角形，∵，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线25．解：∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ACB+∠ABC）=50°；∴∠BOC=180°﹣50°=130°26．证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD27．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，∴5﹣x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．28．证明：（1）由三角形的外角性质，∠BAD+∠ABD=∠1+∠EDC，∵∠1=90°﹣∠EDC，∴∠BAD+90°=90°﹣∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，延长DB至F，使BF=BD，则AB垂直平分DF，∴∠BAD=∠DAF，AD=AF，∴∠DAF=∠EDC，∠2=∠F，在△ADF中，∠F+∠DAF=∠1+∠EDC，∴∠1=∠F，∴∠1=∠2；（2）在△AED和△ACF中，，∴△AED≌△ACF（ASA），∴ED=CF，∵CF=BC+BF=BC+DB，∴ED=BC+BD．29．证明：如图，连接CM，设AB、CD相交于点E，则CM是斜边上的中线，MC=MB=AM，∴∠MCB=∠B，∵CD平分∠ACB，∠C=90°，∴∠BCD=×90°=45°，∴∠MCD=∠MCB﹣45°=∠B﹣45°，又∵∠DEM=∠BEC=180°﹣∠B﹣45°=135°﹣∠B，∴∠D=90°﹣∠DEM=∠B﹣45°，∴∠D=∠MCD，∴MD=MC，∴MD=AM．30．解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，∴PC=PD，∵OM是公共边，∴△POC≌△POD（HL），∴OC=OD，∴△COM≌△DOM（SAS），∴CM=DM。
三角形中的八大经典模型(解析版)
三角形中的八大经典模型【八大题型】【题型1A字模型】【题型28字模型】【题型3双垂直模型】【题型4飞镖模型】【题型5风筝模型】【题型6两内角角平分线模型】【题型7两外角角平分线模型】【题型8内外角角平分线模型】【知识点1A字模型】【条件】△ADE与△ABC.【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C.【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证.【题型1A字模型】1(2023春·湖北荆门·八年级校联考期末)如图，在△ABC中，∠C=70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2 =()A.360ºB.250ºC.180ºD.140º【答案】B【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=110°，进而利用四边形内角和定理得出答案．【详解】解：∵△ABC中，∠C=70°，∴∠A+∠B=180°-∠C，∴∠1+∠2=360°-110°=250°，故选：B．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，根据题意得出∠A+∠B的度数是解题关键．1.(2023春·八年级单元测试)如图所示，∠DAE的两边上各有一点B,C，连接BC，求证∠DBC+∠ECB=180°+∠A．【答案】见解析【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可．【解析】解：∵∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC．又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．2.(2023春•常州期中)如图，△ABC中，∠B=68°，∠A比∠C大28°，点D、E分别在AB、BC上．连接DE，∠DEB=42°．(1)求∠A的度数；(2)判断DE与AC之间的位置关系，并说明理由．【答案】(1)设∠C的度数为x，根据三角形的内角和列出方程解答即可；(2)根据平行线的判定解答即可．【解析】解：(1)设∠C的度数为x°，则∠A的度数为(x+28)°，△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∠B=68°，可得：x+x+28+68=180，解得：x=42，所以∠C=42°，∠A=70°，(2)∵∠DEB=42°，∠C=42°，∴∠DEB=∠C，∴DE∥AC．3.(2023春·江苏泰州·八年级校联考期中)如图，已知∠A=40°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数为．【答案】280°【分析】根据三角形的内角和定理分别求得∠1+∠2，∠3+∠4，就可求得最后结果．【解析】∵∠A=40°，∴∠1+∠2=∠3+∠4=180°-∠A=140°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°，故答案为280°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的运用，熟练掌握三角形内角和为180度是解题的关键．【知识点28字模型】【条件】AD、BC相交于点O.【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和)【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证.【题型28字模型】1(2015-2016学年北京市怀柔区八年级上学期期末数学试卷(带解析))如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为()A.62°B.152°C.208°D.236°【答案】C【详解】∵如图可知∠BED=∠F+∠B，∠CGE=∠C+∠A，又∵∠BED=∠D+∠EGD，∴∠F+∠B=∠D+∠EGD，又∵∠CGE+∠EGD=180°，∴∠C+∠A+∠F+∠B-∠D=180°，又∵∠D=28°，∴∠A+∠B+∠C+∠F=180°+28°=208°，故选C．点睛：本题主要考查了三角形内角和定理即三角形外角与内角的关系，解答本题的关键是求出∠C+∠A +∠F+∠B-∠D=180°，此题难度不大．1.(2013-2014学年初中数学苏教版八年级上册第一章练习卷(带解析))如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．【答案】90°；65°【分析】由ΔABC≅ΔADE，可得∠DAE=∠BAC=12(∠EAB-∠CAD)，根据三角形外角性质可得∠DFB=∠FAB+∠B，因为∠FAB=∠FAC+∠CAB，即可求得∠DFB的度数；根据三角形内角和定理可得∠DGB=∠DFB-∠D，即可得∠DGB的度数．【解析】解：∵ΔABC≅ΔADE，∴∠DAE=∠BAC=12(∠EAB-∠CAD)=12(120°-10°)=55°．∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°．综上所述：∠DFB=90°，∠DGB=65°．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，解题的关键是找到相应等量关系的角，做题时要结合图形进行思考．2.(2023·河北·统考中考真题)下图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应(填“增加”或“减少”)度．【答案】减少10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．【解析】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．3.(2023春·八年级期末)(1)如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；(2)如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；(3)如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．【答案】(1)360°；(2)720°；(3)540°【分析】(1)连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B+∠C=∠BAD+∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和，(2)与(1)方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，(3)使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和．【解析】解：(1)如图①，连接AD，由三角形的内角和定理得，∠B+∠C=∠BAD+∠CDA，∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=∠BAF+∠BAD+∠CDA+∠D+∠E+∠F即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=360°，(2)如图②，由(1)方法可得：∠BAH+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G+∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，∴∠BAH+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G+∠H=(6-2)×180°=720°，(3)如图③，根据(1)的方法得，∠F+∠G=∠GAE+∠FEA，∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，∴∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G=(5-2)×180°=540°，【点睛】本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键．【知识点3双垂直模型】【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证.【题型3双垂直模型】1(2023春·广东珠海·八年级校联考期末)如图1，线段AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．(1)求证：∠EAB=∠CED；(2)如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于点H，EH的反向延长线交AF于点G．①求证EG⊥AF；②求∠F的度数．【提示：三角形内角和等于180度】【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②45°．【分析】(1)利用同角的余角相等即可证明；(2)①想办法证明∠EAG+∠AEG=90°即可解决问题；②利用∠DFA=∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12(∠CDE+∠EAB)即可解决问题.【详解】(1)∵AB⊥BC，∴∠EAB+∠AEB=90°，∵AE⊥ED，∴∠CED+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠CED．(2)①∵AF平分∠BAE，∴∠EAG=12∠EAB，∵EH平分∠DEC，∴∠HED=12∠CED，∵∠EAB=∠CED，∴∠HED=∠EAG，∴∠HED+∠AEG=90°，∴∠EAG+∠AEG=90°，∴∠EGA=90°，∴EG⊥AF．②作FM∥CD，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥CD，∴FM∥AB，∴∠DFM=∠CDF=12∠CDE，∠AFM=∠FAB=12∠EAB，∵∠CDE+∠CED=90°，∴∠CDE+∠EAB=90°，∴∠DFA=∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12(∠CDE+∠EAB)=45°．【点睛】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．1.(2023春·江苏泰州·八年级校考期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，求证：∠CFE=∠CEF 请在以下的解题过程中的括号里填推理的理由．证明：∵AE平分∠CAB(已知)∴∠CAE=∠FAB()∵∠ACE=90°(已知)∴∠CAE+∠CEF=90°()∵CD是△ABC的高(已知)∴∠FDA=90°(三角形高的定义)∴∠FAB+∠AFD=90°(直角三角形的两锐角互余)∴∠CEF=∠AFD()∵∠CFE=∠AFD()∴∠CFE=∠CEF()【答案】角平分线的定义；直角三角形的两锐角互余；等角的余角相等；对顶角相等；等量代换【分析】根据角平分线的定义得到∠CAE=∠FAB，根据直角三角形两锐角互余得到∠CAE+∠CEF= 90°，∠FAB+∠AFD=90°，再利用等角的余角相等得到∠CEF=∠AFD，最后利用等量代换可得结果．【解析】解：证明：∵AE平分∠CAB(已知)∴∠CAE=∠FAB(角平分线的定义)∵∠ACE=90°(已知)∴∠CAE+∠CEF=90°(直角三角形的两锐角互余)∵CD是△ABC的高(已知)∴∠FDA=90°(三角形高的定义)∴∠FAB+∠AFD=90°(直角三角形的两锐角互余)∴∠CEF=∠AFD(等角的余角相等)∵∠CFE=∠AFD(对顶角相等)∴∠CFE=∠CEF(等量代换)故答案为：角平分线的定义；直角三角形的两锐角互余；等角的余角相等；对顶角相等；等量代换【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，余角的性质，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键，此题难度不大．2.(2023春·山东青岛·八年级山东省青岛第五十九中学校考期中)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于点G．(1)判断△DBF的形状，并说明理由．(2)求证：AD⊥CF．【答案】(1)△DBF是等腰直角三角形，理由见解析；(2)证明见解析．【分析】(1)利用等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，证明∠CBA=∠CAB=45°，再利用BF∥AC得到∠ABF=∠CAB=45°，进一步得∠CBA+∠ABF=90°，利用DE⊥AB证明∠BDF=45°即可证明△DBF是等腰直角三角形；(2)欲求证AD⊥CF，先证明∠CAG+∠ACG=90°，需证明∠CAG=∠BCF，只要证明三角形全等，即可．【解析】(1)解：△DBF是等腰直角三角形，理由如下：∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵BF∥AC，∴∠ABF=∠CAB=45°，∴∠CBA+∠ABF=90°，即∠DBF=90°，∵DE⊥AB，∠CBA=45°，∴∠BDF=45°，∴∠BFD=45°，∴△DBF是等腰直角三角形．(2)证明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°．又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∴∠BDE=45°．又∵BF∥AC，∴∠CBF=90°．∴∠BFD=45°=∠BDE．∴BF=DB．又∵D为BC的中点，∴CD=DB．∴BF=CD．在△CBF和△ACD中，BF=CD∠CBF=∠ACD CB=AC∴△CBF≌△ACD(SAS)．∴∠BCF=∠CAD．又∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°．∴∠AGC=90°，即AD⊥CF．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、垂直的定义、等腰三角形的性质以及判定是解题的关键．3.(2023春·山东济南·八年级济南育英中学校联考期中)如图，△ABC中，∠B=90°，点D在射线BC上运动，DE⊥AD交射线AC于点E．(1)如图1，若∠BAC=60°，当AD平分∠BAC时，求∠EDC的度数；(2)如图2，当点D在线段BC上时，①判断∠EDC与∠BAD的数量关系并说明理由；②作EF⊥BC于F，∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G，随着点D的运动，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由；(3)如图3，当点D在BC的延长线上时，作EF⊥BD于F，∠BAD的角平分线和∠DEF的角平分线的反向延长线相交于点G，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由．【答案】(1)30°；(2)①∠EDC=∠BAD，理由见解析；②∠G的度数不变，理由见解析；(3)不变，45°.【分析】(1)先求出∠ACB=30°，再利用角平分线得出∠DAC=30°，即可得出∠ADC=120°即可得出结论；(2)①利用直角三角形的两锐角互余和等角的余角相等即可得出结论； ②先利用①的结论得出∠BAD+∠DEF=90°，进而得出∠DAG+∠DEG=45°，最后利用三角形的内角和即可得出结论；(3)利用三角形的外角和三角形的内角和即可得出结论．【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC=60°，∴∠ACB=30°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=12∠BAC=30°，∴∠ADC=120°，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=30°；(2)①相等，在Rt△ABD中，∠BAD+∠ADB=90°，∵∠ADE=90°，∴∠EDC+∠ADB=90°，∴∠EDC=∠BAD；②∠G的度数不变，理由：∵EF⊥BC，∴∠EDF+∠DEF=90°，∵∠ADB+∠EDF=90°，∴∠ADB=∠DEF，∵∠BAD+∠ADB=90°，∴∠BAD+∠DEF=90°，∵∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G，∴∠DAG=12∠BAD，∠DEG=12∠DEF，∴∠DAG+∠DEG=12(∠BAD+∠DEF)=45°，∵∠DAE+∠DEA=90°，∴∠GAE+∠GEA=90°+45°=135°，∴∠G=45°；(3)∠G的度数不变化，理由：如图3，∵AD⊥DE，∴∠ADB+∠BDE=90°，∵EF⊥BD，∴∠DEF+∠BDE=90°，∴∠ADB=∠DEF，∵EM是∠DEF的角平分线，∴∠DEM=12∠DEF=12∠ADB，∵AG平分∠BAD，∴∠DAG=12∠BAD，延长DE交AG于N，∴∠AEN=∠ADE+∠DAE=90°+∠DAE，∴∠ENG=∠AEN+∠EAG=90°+∠DAE+∠EAG=90°+∠DAG=90°+12∠BAD，∴∠G=180°-(∠ENG+∠GEN)=180°-(∠ENG+∠DEM)，=180°-90°+12∠BAD+12∠ADB，=90°-12(∠BAD+∠ADB)=45°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形的内角和和外角的性质，解(1)的关键是求出∠ADC=120°，解(2)的关键是求出∠DAG+∠DEG=45°，解(3)的关键是利用三角形的外角的性质．【知识点4飞镖模型】【条件】四边形ABDC如上左图所示.【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和)【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明.【题型4飞镖模型】1(2023春·江苏镇江·八年级统考期中)在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°，那么∠F的度数是( )．A.72°B.70°C.65°D.60°【答案】B【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出∠BOC,再利用邻补角的性质求出∠DEO，再根据四边形的内角和求出∠DFO，根据邻补角的性质即可求出∠DFC的度数．【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，∵∠OAB+∠B+∠AOB=180°,∴∠AOB=180°-∠B-∠OAB,同理得∠AOC=180°-∠OAC-∠C,∵∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°,∴∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=360°-(180°-∠B-∠OAB)-(180°-∠OAC-∠C)=∠B+∠C+∠BAC=107°,∵∠BED=72°,∴∠DEO=180°-∠BED=108°,∴∠DFO=360°-∠D-∠DEO-∠EOF=360°-35°-108°-107°=110°,∴∠DFC=180°-∠DFO=180°-110°=70°,故选：B．【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补．1.(2023春·八年级期末)如图，已知在△ABC中，∠A=40°，现将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过点B,C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD=( )．A.90°B.60°C.50°D.40°【答案】C【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．【解析】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴∠ABD+∠ACD=40°-90°=50°故选C．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．2.(2023·全国·八年级假期作业)如图所示，已知四边形ABDC，求证∠BDC=∠A+∠B+∠C．【答案】见解析【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果；方法2作射线AD，根据三角形的外角性质得到∠3=∠B+∠1，∠4=∠C+∠2，两式相加即可得到结论；方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论．【解析】方法1如图所示，连接BC.在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即∠A+∠ABD+∠1+∠ACD+∠2=180°.在△BCD中，∵∠BDC+∠1+∠2=180°，∴∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD；方法2如图所示，连接AD并延长.∵∠3是△ABD的外角，∴∠3=∠1+∠ABD.同理，∠4=∠2+∠ACD.∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠ABD+∠ACD.即∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD.方法3如图所示，延长BD，交AC于点E.∵∠DEC是△ABE的外角，∴∠DEC=∠A+∠ABD.∵∠BDC是△DEC的外角，∴∠BDC=∠DEC+∠ACD.∴∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD.【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理．3.(2023春·福建南平·八年级统考期中)如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．【答案】【答案】230°【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F= 115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．【解析】【详解】解：如图∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案为：230°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．【知识点5风筝模型】【条件】四边形ABPC，分别延长AB、AC于点D、E，如上左图所示.【结论】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.【证明】如上右图，连接AP，则：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得证.【题型5风筝模型】1(2023春·重庆渝北·八年级校考期中)如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2= 80°,则∠B的度数为()A.20°B.30°C.40°D.50°【答案】C【分析】由折叠的性质可知∠BED=∠B'ED,∠BDE=∠B'DE,再利用平角的定义可求出∠BED+∠BDE的度数，进而利用三角形内角和可求∠B的度数.【详解】由折叠的性质可知∠BED=∠B'ED,∠BDE=∠B'DE∵∠1+∠BED+∠B'ED=180°,∠2+∠BDE+∠B'DE=180°∴∠BED+∠BDE=12(360°-∠1-∠2)=12×(360°-80°)=140°∴∠B=180°-(∠BED+∠BDE)=180°-140°=40°故选C【点睛】本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键.1.(2023春·八年级期末)如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=55°，∠1=95°，则∠2的度数为( )．A.14°B.15°C.28°D.30°【答案】B【分析】根据三角形内角和定理和平角定义证得∠FEB+∠EFC=360°-125°=235°，再根据折叠性质得出∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=235°，进而求得∠1+∠2=110°即可求解．【解析】解：∵∠A=55°，∴∠AEF+∠AFE=180°-55°=125°，∴∠FEB+∠EFC=360°-125°=235°，由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=235°，∴∠1+∠2=235°-125°=110°，∵∠1=95°，∴∠2=110°-95°=15°，故选：B．【点睛】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理、平角定义，熟练掌握折叠性质是解答的关键．2.(2023春·八年级期末)如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°,∠B=75°，将∠C沿DE翻折，使点C落在△ABC外的点C 处．若∠1=20°，则∠2的度数为．【答案】100°【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据折叠的性质求出∠C'，根据三角形的外角的性质计算，得到答案．【解析】解：∵∠A=65°，∠B=75°，∴∠C=180°-65°-75°=40°，由折叠的性质可知，∠C'=∠C=40°，∴∠3=∠1+∠C'=60°，∴∠2=∠C+∠3=100°，故答案是：100°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．3.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C=120°，则∠1+∠2的度数为()A.90°B.100°C.110°D.120°【答案】D【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．【解析】解：如图，连接AA '，∵A 'B 平分∠ABC ，A 'C 平分∠ACB ，∴∠A 'BC =12∠ABC ，∠A 'CB =12∠ACB ，∵∠BA 'C =120°，∴∠A 'BC +∠A 'CB =180°-120°=60°，∴∠ABC +∠ACB =120°，∴∠BAC =180°-120°=60°，∵沿DE 折叠，∴∠DAA '=∠DA 'A ，∠EAA '=∠EA 'A ，∵∠1=∠DAA '+∠DA 'A =2∠DAA '，∠2=∠EAA '+∠EA 'A =2∠EAA '，∴∠1+∠2=2∠DAA '+2∠EAA '=2∠BAC =2×60°=120°，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型．【知识点6两内角角平分线模型】【条件】△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I .【结论】∠I =90°+12∠A 【证明】∵BI 是∠ABC 平分线，∴∠2=12∠ABC ∵CI 是∠ACB 平分线，∴∠3=12∠ACB 由A →B →I →C →A 的飞镖模型可知：∠I =∠A +∠2+∠3=∠A +12∠ABC +12∠ACB =∠A +12(180°−∠A )=90°+12∠A .【题型6两内角角平分线模型】1(2023春·江苏苏州·八年级期中)直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动．(1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．(2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠CED的度数．(3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及反向延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，则∠ABO的度数为(直接写答案)【答案】(1)不发生变化，∠AEB=135°；(2)不发生变化，∠CED=67.5°；(3)60°或45°【分析】(1)根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线得出∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；(2)延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE=112.5°，进而得出结论；(3)由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．【详解】解：(1)∠AEB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，∴∠BAE+∠ABE=12(∠OAB+∠ABO)=45°，∴∠AEB=135°；(2)∠CED的大小不变．延长AD、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠PAB +∠MBA =270°，∵AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，∴∠BAD =12∠BAP ，∠ABC =12∠ABM ，∴∠BAD +∠ABC =12(∠PAB +∠ABM )=135°，∴∠F =45°，∴∠FDC +∠FCD =135°，∴∠CDA +∠DCB =225°，∵DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，∴∠CDE +∠DCE =112.5°，∴∠CED =67.5°；(3)∵∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E ，∴∠EAO =12∠BAO ，∠EOQ =12∠BOQ ，∴∠E =∠EOQ -∠EAO =12(∠BOQ -∠BAO )=12∠ABO ，∵AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线，∴∠EAF =90°．在△AEF 中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：①∠EAF =3∠E ，∠E =30°，∠ABO =60°；②∠EAF =3∠F ，∠E =60°，∠ABO =120°(舍弃)；③∠F =3∠E ，∠E =22.5°，∠ABO =45°；④∠E =3∠F ，∠E =67.5°，∠ABO =135°(舍弃)．∴∠ABO 为60°或45°．故答案为：60°或45°．【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．1.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，BE 平分∠ABD ，CF 平分∠ACD ，BE 与CF 交于点G ，若∠BDC =140°，∠BGC =100°，则∠A =()A.80°B.75°C.60°D.45°【答案】C【分析】连接BC,先求解∠DBC+∠DCB, 再求解∠GBC+∠GCB, 可得∠GBD+∠GCD, 再利用角平分线的定义可得：∠ABD+∠ACD, 从而可得：∠ABC+∠ACB, 再利用三角形的内角和定理可得∠A的大小.【解析】解：连接BC, ∵∠BDC=140°,∴∠DBC+∠DCB=180°-140°=40°,∵∠BGC=100°,∴∠GBC+∠GCB=180°-100°=80°,∴∠GBD+∠GCD=∠GBC+∠GCB-∠DBC-∠DCB=40°,∵BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，∴∠ABD+∠ACD=2(∠GBD+∠GCD)=80°,∴∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB=80°+40°=120°,∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=60°.故选：C.【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.2.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC=130°，则∠D=【答案】40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【解析】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ACO=12∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12(∠ACB+∠ACE)=12×180°=90°，∵∠BOC=130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．3.(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校联考期末)如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动(不与点O重合)，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．(1)若∠MON=60°，则∠ACG=；(直接写出答案)(2)若∠MON=n°，求出∠ACG的度数；(用含n的代数式表示)(3)如图2，若∠MON=80°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系．【答案】(1)60°；(2)90°-12n°；(3)∠BGO-∠ACF=50°【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠BAO+∠ABO，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案；(2)仿照(1)的解法解答；(3)根据平行线的性质得到∠ACF=∠CAG，根据(2)的结论解答．【解析】解：(1)∵∠MON=60°，∴∠BAO+∠ABO=120°，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=12∠BAO，∴∠CBA+∠CAB=12(∠ABO+∠BAO)=60°，∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=60°，故答案为：60°；(2)∵∠MON=n°，∴∠BAO+∠ABO=180°-n°，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=12∠BAO，∴∠CBA+∠CAB=12(∠ABO+∠BAO)=90°-12n°，∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=90°-12n°；(3)∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAG，∴∠BGO -∠ACF =∠BGO -∠CAG =∠ACG ，由(2)得：∠ACG =90°-12×80°=50°．∴∠BGO -∠ACF =50°．【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．【知识点7两外角角平分线模型】【条件】△ABC 中，BI 、CI 分别是△ABC 的外角的角平分线，且相交于点O .【结论】∠O =90°−12∠A .【证明】∵BO 是∠EBC 平分线，∴∠2=12∠EBC ，∵CO 是∠FCB 平分线，∴∠5=12∠FCB 由△BCO 中内角和定理可知：∠O =180°-∠2-∠5=180°-12∠EBC -12∠FCB =180°-12(180°−∠ABC )-12(180°−∠ACB )=12(∠ABC +∠ACB )=12(180°−∠A )=∠O =90°−12∠A 【题型7两外角角平分线模型】1(2023春·江苏·八年级专题练习)【问题背景】(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A +∠B =∠C +∠D ；【简单应用】(2)如图2，AP 、CP 分别平分∠BAD ．∠BCD ，若∠ABC =46°，∠ADC =26°，求∠P 的度数；【问题探究】(3)如图3，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，若∠ABC =36°，∠ADC =16°，请猜想∠P 的度数，并说明理由．【拓展延伸】(4) ①在图4中，若设∠C =α，∠B =β，∠CAP =13∠CAB ，∠CDP =13∠CDB ，试问∠P 与∠C 、∠B 之间的数量关系为：(用α、β表示∠P )；②在图5中，AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的关系，直接写出结论．【答案】(1)见解析；(2)36°；(3)26°，理由见解析；(4)①∠P=2α+β3②∠P=180°+∠B+∠D2【分析】(1)根据三角形内角和定理即可证明；(2)直接利用(1)中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可；(3)由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+(180°-∠1)=∠D+(180°-∠3)，∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题．(4)①同法利用(1)种的结论列出方程即可解决问题．②同法利用(1)种的结论列出方程即可解决问题．【详解】(1)在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．∵∠AEB=∠CED，∴∠A+∠B=∠C+∠D；(2)由(1)得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，∴∠1+∠B+∠4+∠D=∠3+∠P+∠2+∠P．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，∴∠P=36°．(3)∠P=26°，理由是：如图3：∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3．∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB=∠B+∠4，∴∠P+∠1=∠B+∠4．∵∠P+(180°-∠2)=∠D+(180°-∠3)，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=12(∠B+∠D)=12×(36°+16°)=26°．(4)①设∠CAP=m，∠CDP=n，则∠CAB=3m，，∠CDB=3n，∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，∵∠C=α，∠B=β，∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，∴α-∠P=n-m，∠P-β=2n-2m=2(n-m)，∴2α+β=3∠P∴∠P=2α+β3．故答案为：∠P=2α+β3．②设∠BAP=x，∠PCE=y，则∠PAO=x，∠PCB=y．∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，∴x+∠P=180°-y+∠D，∠B+2x=180°-2y+∠D，∴∠P=180°+∠B+∠D2．故答案为：∠P=180°+∠B+∠D2．【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考几何问题，属于中考常考题型．1.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，五边形ABCDE在∠BCD,∠EDC处的外角分别是∠FCD,∠GDC,CP,DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P．若∠A=160°,∠B=80°,∠E=90°，则∠CPD=．【答案】105°【分析】根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，根据题意求出∠BCD+∠CDE的度数，从而求出∠PCD+∠PDC的度数，运用三角形内角和定理即可求出∠CPD的度数．【解析】解：∵∠A=160°，∠B=80°，∠E=90°，∴∠BCD+∠CDE=(5-2)×180°-160°-80°-90°=210°，∴∠PCD+∠PDC=12(180°×2-210°)=75°，在△CPD中，∠CPD=180°-(∠PCD+∠PDC)=180°-75°=105°，故答案为：105°．【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，三角形内角和定理，以及外角的平分线，根据已知条件求出∠BCD+∠CDE的度数是解题的关键．2.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，点P是ΔABC的外角∠BCE和∠CBF的角平分线交点，延长BP交AC于G，请写出∠A和∠CPG的数量关系.【答案】∠CPG=90°+12∠A【分析】先根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可用含∠A的式子表示出∠CBP和∠BCP的和，再利用三角形外角的性质即可得到∠A和∠CPG的数量关系.【解析】解：∵∠ACB+∠ABC=180°-∠A,∴∠ECB+∠FBC=180°×2-(180°-∠A)=180°+∠A,∵点P是ΔABC的外角∠BCE和∠CBF的角平分线交点，∴∠CBP+∠BCP=12(180°+∠A)=90°+12∠A，又∵∠CPG=∠CBP+∠BCP，∴∠CPG=90°+12∠A.【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角和的性质及角平分线的性质.熟练应用三角形外角的性质是解题的关键.3.(2023春·八年级期末)如图1，△ABC的外角平分线交于点F．(1)若∠A=40°，则∠F的度数为；(2)如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M，N，若设∠MFB=α，∠NFC=β，则∠A 与α+β的数量关系是；(3)在(2)的条件下，将直线MN绕点F转动．①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由；②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．【答案】(1)70°(2)α+β-12∠A=90° (3)①见解析 ②不成立；β-α-12∠A=90°或α-β-12∠A=90°【分析】(1)根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠F的度数；(2)根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BFC的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠A与α+β的数量关系；(3)①根据(2)中的结论∠BFC =90°-12∠A ，以及平角的定义，即可得到∠A 与α，β之间的数量关系；②分两种情况进行讨论，根据(2)中的结论∠BFC =90°-12∠A ，以及平角的定义，即可得到∠A 与α，β之间的数量关系．【解析】解：(1)如图1，∵∠A =40°，∴∠ABC +∠ACB =140°，∴∠DBC +∠ECB =360°-140°=220°，又∵△ABC 的外角平分线交于点F ，∴∠FBC +∠FCB =12(∠DBC +∠ECB )=12×220°=110°，∴△BCF 中，∠F =180°-110°=70°，故答案为：70°；(2)如图2，∵∠ABC +∠ACB =180°-∠A ，∴∠DBC +∠ECB =360°-(180°-∠A )=180°+∠A ，又∵△ABC 的外角平分线交于点F ，∴∠FBC +∠FCB =12(∠DBC +∠ECB )=12×(180°+∠A )=90°+12∠A ，∴△BCF 中，∠BFC =180°-90°+12∠A =90°-12∠A ，又∵∠MFB =α，∠NFC =β，MN ∥BC ，∴∠FBC =α，∠FCB =β，∵△BCF 中，∠FBC +∠FCB +∠BFC =180°，∴α+β+90°-12∠A =180°，即α+β-12∠A =90°，故答案为：α+β-12∠A =90°；(3)①α+β-12∠A =90°，理由如下：如图3，由(2)可得，∠BFC =90°-12∠A ，∵∠MFB +∠NFC +∠BFC =180°，∴α+β+90°-12∠A =180°，即α+β-12∠A =90°，②当直线MN 与线段BC 有交点时，①中∠A 与α，β之间的数量关系不成立．分两种情况：如图4，当M 在线段AB 上，N 在AC 延长线上时，由(2)可得，∠BFC =90°-12∠A ，∵∠BFC -∠MFB +∠NFC =180°，∴90°-12∠A -α+β=180°，即β-α-12∠A =90°；如图5，当M 在AB 的延长线上，N 在线段AC 上时，由(2)可得，∠BFC =90°-12∠A ，∵∠BFC -∠NFC +∠MFB =180°，∴90°-12∠A -β+α=180°，即α-β-12∠A =90°；综上所述，∠A 与α，β之间的数量关系为β-α-12∠A =90°或α-β-12∠A =90°．【点睛】此题主要考查三角形的角度求解与证明，解题的关键是根据题意分情况作图．【知识点8内外角角平分线模型】【条件】△ABC 中，BP 、CP 分别是△ABC 的内角和外角的角平分线，且相交于点P .【结论】∠P =12∠A 【证明】∵BP 是∠ABC 平分线，∴∠3=12∠ABC ∵CP 是∠ACE 平分线，∴∠1=12∠ACE 由△ABC 外角定理可知：∠ACE =∠ABC +∠A 即：2∠1=2∠3+∠A ⋯⋯①对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+12∠A ⋯⋯②又在△BPC 中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ⋯⋯③比较②③式子可知：∠P =12∠A .12(∠ABC +∠ACB )=12(180°−∠A )=∠O =90°−12∠A .【题型8内外角角平分线模型】1(2023春·八年级期末)如图，BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是∠A 1BD 的平分线，CA 2是∠A 1CD 的平分线，BA 3是∠A 2BD 的平分线，CA 3是∠A 2CD 的平分线，⋯⋯以此类推，若∠A =α，则∠A 2020=．【答案】α22020【分析】根据角平分线的定义可得∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，整理即可得解∠A 1=12∠A ，同理求出∠A 2，∠A 3，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．【详解】∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∴∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，又∵∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，∴12(∠A +∠ABC )=12∠ABC +∠A 1，∴∠A 1=12∠A ，∵∠A =α．∠A 1=12∠A =12α，同理可得∠A 2=12∠A 1=122α，根据规律推导，∴∠A 2020=α22020，故答案为α22020．【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键． 1.(2023春·八年级期末)如图，已知△ABC 的两条高BD 、CE 交于点F ，∠ABC 的平分线与。
湘教版：角平分线的性质与判定(经典题型)
角平分线的性质与判定1、角平分线：把一个角为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点一、角平分线的性质定理例1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝11cm，BD＝7cm，那么点D 到直线AB的距离是cm．变式1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（）A．2B．2.5C．3D．4二：角平分线的性质定理的逆定理例1．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分∠BAC．三、常见题型（一）利用角平分线的性质求线段长度例1．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：△DBE的周长等于AB．变式1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足是点E，AC＝DE+BD．（1）求∠BAD的度数；（2）若△DBE的周长为4cm，则AB＝．变式2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC 上，且BD＝DF．（1）求证：CF＝EB；（2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由．（二）利用角平分线的性质求角度问题例1．如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，P A＝PC．求证：∠PCB+∠BAP＝180°．变式1.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD、AB、AD间？直接写出结果（三）利用角平分线解决与面积有关的问题例1.如图，BD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为60，AB＝15，BC＝9，求△ABD的面积．变式1 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是多少？(四)角平分线性质定理的逆定理应用例1.如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF求证：AD平分∠BAC．变式1.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．(五)角平分线性质定理的实际应用例1.已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：（1）可选择的地点有几处？（2）你能画出塔台的位置吗？变式1．如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）并证明你的观点．。
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全等三角形与角平分线
1、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF.
2、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF （）
A．大于EF B．小于EF
C．等于EF D．与EF的大小无法比较
3、（12分）如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠D＋∠B=180°，求证：AD＋AB=2AE．
4、已知：如图，在四边形ABCD中，AB＞BC，BD平分．求证：AD=CD．
5、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于O点，求证：AE＋CD=AC.
6、在△ABC，∠C=90°，BC=16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD︰DB=3︰5，则D到AB的距离等于（）
A．6cm B．7cm
C．8cm D．9cm
2、如图，D是△ABC的一个外角的平分线上一点，求证：AB＋AC<DB＋DC.
7、如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：BF=CG.
8、如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC 于E，与CD相交于点F．H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．(1)
求证：BF=AC；(2)求证：CE=BF；
(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．
9、如图，已知∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，求证：∠BAP＋∠BCP=180°
10、如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：
11、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E.
求证：BD=2CE.。