初中数学竞赛中的轴对称

M

O

D C B

A 21°46°O

E

D

C B A 4

3

21

K

J

I H G F E

D C B A 初中数学竞赛中的“轴对称”

陆 腾 宇

（江苏省常熟市昆承中学，215500）

许多数学问题所涉及的对象具有对称性，轴对称是常见的形式之一．我们利用轴对称的性质，在探求几何最值、解决生活实际问题等方面有着奇妙的作用． 1 利用轴对称计算角的度数

例1 如图，在ABC V 中，44BAC BCA ∠=∠=︒，M 为ABC V 形内一点，使得30MCA ∠=︒,16MAC ∠=︒．求BMC ∠的度数．

（2005，北京市中学生数学竞赛（初二））

解 由44BAC BCA ∠=∠=︒，得AB AC =，92ABC ∠=︒．

作BD AC ⊥于D ，延长CM 交BD 于点O ，连结OA ． 易知BD 是ABC V 的对称轴． 所以30OAC MCA ∠=∠=︒，

443014BAO BAC OAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，

301614OAM OAC MAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．

所以BAO MAO ∠=∠．

又9060AOD OAD COD ∠=︒-∠=︒=∠,所以120AOM AOB ∠=︒=∠． 又OA OA =，所以ABO V ≌AMO V ． 故OB OM =．

由于120BOM ∠=︒，从而30OMB OBM ∠=∠=︒． 因此，180150BMC OMB ∠=︒-∠=︒．

例2 如图，在ABC V 中，46ABC ∠=︒，D 是BC 边上的一点，DC AB =，21DAB ∠=︒．试求CAD ∠的度数．

解 作ABD V 关于AD 的轴对称图形AED V ， 则21EAD ∠=︒，AE AB =，所以DE BD =．

易知214667ADC ∠=︒+︒=︒．

故18067113ADE ADB ∠=∠=︒-︒=︒， 1136746CDE ∠=︒-︒=︒． 连结CE ，因为DC AB =，所以CDE V ≌ABD V ≌AED V ．

设O 为AE 与DC 的交点，则672188AOC ADC DAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒．因为46ODE OED ∠=∠=︒，于是OD OE =． 又DC AE =，则46AO CO OCA OAC =⇒∠=∠=︒． 所以，67DAC DAE EAC ∠=∠+∠=︒． 2 利用轴对称求线段的长度、证明线段相等

例3 如图，在矩形ABCD 中，已知对角线长为2，且1234∠=∠=∠=∠，则四边形EFGH 的周长为（ ）

A

． B ．4 C

． D ．6

（2010，四川省初中数学联赛（初二））

解 如图，根据轴对称的性质，IJK V 的斜边是四边形EFGH 的周长． 而直角边分别是矩形边长的两倍，又矩形

对角线与矩形两边构成直角三角形，因此四边 形EFGH 的周长是矩形对角线长的2倍．

例4 如图，在ABC V 的边AB 、AC 上 分别取点Q 、P ，使得1

2

PBC QCB A ∠=∠=∠． 求证：BQ CP =．

证明：因为12

PBC QCB A ∠=∠=∠．

则11()()22

BQC CPB A ACB A A ACB A ∠+∠=∠+∠-∠+∠+∠-∠

I

K H G F

E

D

C

A N

M R

Q

P

O

B A

l

s

B a

A b

180A B C =∠+∠+∠=︒．

作点P 关于BC 的对称点'P ，连结'BP 、'CP ． 于是'180BQC BP C ∠+∠=︒，'PC P C =． 所以B 、'P 、C 、Q 四点共圆．

于是'P BC PBC QCB ∠=∠=∠，则'//BP CQ ． 故'BQ P C =（夹在平行弦间）． 因此，BQ CP =．

3 利用轴对称求图形的面积

例4 如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，I 是A ∠、B ∠的平分线AD 与BE 的交点．已知ABI V 的面积为12．则四边形ABDE 的面积等于 ．

（2004，北京市中学生数学竞赛（初二））

解 分别作点E 、D 关于AD 、BE 的对称点F 、G ， 则点F 、G 在AB 上，连结IF 、IG ．

易知1901352

AIB C ∠=︒+∠=︒．

由轴对称的性质知，IF IE =，ID IG =， 45AIE AIF BID BIG ∠=∠=∠=∠=︒． 所以135454545FIG AIB AIF BIG BID ∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒=∠．

作D H BE ⊥于H ，GK IF ⊥于K ．易证IDH V ≌IGK V ．所以GK DH =． 故

11

22

IE DH IF GK ⨯=⨯，即IDE IGF S S =V V ． 因此224AIB ABDE S S ==V 四形．

例5 在四边形ABCD 中，30AB =，48AD =，14BC =，40CD =，90ABD BDC ∠+∠=︒．求四边形ABCD 的面积． 解 如图，有'ABD A BD S S =V V ，'30A D AB ==， '48A B AD ==，'A DB ABD ∠=∠，

于是有''90A DC A DB BDC ABD BDC ∠=∠+∠=∠+∠=︒

．

故，在Rt 'A DC V 中，'50A C ==． 在'A BC V 中，2222'14482500BC A B +=+= 2250'A C ==．

所以'90A BC ∠=︒．

因此，'''11=4814+3040=93622

A BC A DC ABCD A BCD S S S S =+=⨯⨯⨯⨯V V 四形四形．

4 利用轴对称探求几何最值

例6 如图，45AOB ∠=︒，P 为角内一点，10PO =，两边上各有点Q 、R （均不同于O ），则PQR V 的周长的最小值为 ．

（2001年第12届“五羊杯”邀请赛试题）

解 分别作P 关于OA 、OB 的对称点M 、N ， 连结MN 交OA 、OB 于Q 、R ，则△PQR 即为符合 条件的三角形．

如图，由轴对称的性质知10OP OM ON ===， 而290MON AOB ∠=∠

=︒，

所以△ABC 的周长MN ==．

例7 河岸l 同侧的两个居民小区A 、B 到河岸的距离分别为a m 、b m （即图1中所示'AA a =m ，'BB b =m ），''A B c =m ．现

欲在河岸边建一个长度为s m 的绿化带CD （宽度不计），使C 到小区A 的距离与D 到小区B 的距离之和最小． （1）在图2中画出绿化带的位置，并写出画图过程； （2）求AC BD +的最小值．

（2006，第20届江苏省初中数学竞赛）