01-3数的定点表示和浮点表示
数的定点表示和浮点表示
浮点表示法的应用场景
科学计算
浮点数适用于各种科学计算，如物理、化学、 生物等领域。
工程计算
浮点数适用于各种工程计算，如机械、电子、 航空航天等领域。
金融计算
虽然金融领域对精度要求较高，但有时也需 要使用浮点数进行计算。
图形处理
在计算机图形学中，浮点数用于表示像素的 颜色值、坐标值等。
03
定点数与浮点数的比较
浮点数在计算机中的应用
精确表示实数
浮点数表示法可以精确表示实数，包括非常大或非常小的 数值，以及非整数。
01
广泛的应用领域
浮点数表示法适用于各种领域，如科学 计算、工程计算、图形处理、音频处理 等。
02
03
运算效率较低
相对于定点数，浮点数的计算速度较 慢，因为需要进行更多的运算步骤来 处理小数点和指数部分。
定点数与浮点数在计算机中的优缺点比较
精度比较
浮点数具有更高的精度，可以表示更大范围和更多种类的实数，而定点数在表示实数时 可能存在精度损失。
运算速度比较
定点数的运算速度更快，因为其计算过程相对简单，适用于需要大量数学运算的场景； 而浮点数的运算速度较慢，因为需要进行更多的运算步骤。
存储空间比较
定点数表示法可以节省存储空间，因为不需要存储小数点和指数部分；而浮点数表示法 需要存储更多信息，包括指数和尾数等部分。
表示速度的比较
总结词
在某些情况下，定点数运算可能比浮点数运算更快。
详细描述
由于计算机内部表示和处理浮点数的方式较为复杂，所以在某些计算密集型任 务中，定点数运算可能会比浮点数运算更快。此外，对于一些特定的问题，使 用定点数表示和算法设计可能更高效。
04
定点数与浮点数的转换
什么是定点数,浮点数
C++中的浮点数有6种，分别是：
float：单精度，32位
unsigned float：单精度无符号，32位
double：双精度，64位
unsigned double：双精度无符号，64位
long double：高双精度，80位
unsigned long double：高双精度无符号，80位（嚯，应该是C++中最长的内置类型了吧！）然而不同的编译器对它们的支持也略有不同，据我所知，很多编译器都没有按照IEEE规定的标准80位支持后两种浮点数的，大多数编译器将它们视为double，或许还有极个别的编译器将它们视为128位？！对于128位的long double我也仅是听说过，没有求证，哪位高人知道这一细节烦劳告知。下面我仅以float（带符号，单精度，32位）类型的浮点数说明C++中的浮点数是如何在内存中表示的。先讲一下基础知识，纯小数的二进制表示。（纯小数就是没有整数部分的小数，讲给小学没好好学的人）
void TestDouble(double value)
...{
int count=0;
string x;
if (value>0)
...{
x+="0"; //判断符号
什么是定点数和浮点数
计算机中的数除了整数之外，还有小数。如何确定小数点的位置呢？通常有两种方法：
浮点数和定点数的区别
cloudseawang定点数与浮点数区别最近做HDR时，经常要用NV提供的16位纹理，它的说明书16位能达到24位的精度，就很奇怪？一直搞不懂浮点数的精度怎么算的？今天认真看了一下IEEE float point的标准，终于明白是什么了1. 什么是浮点数在计算机系统的发展过程中，曾经提出过多种方法表达实数。
典型的比如相对于浮点数的定点数（Fixed Point Number）。
在这种表达方式中，小数点固定的位于实数所有数字中间的某个位置。
货币的表达就可以使用这种方式，比如99.00 或者00.99 可以用于表达具有四位精度（Precision），小数点后有两位的货币值。
由于小数点位置固定，所以可以直接用四位数值来表达相应的数值。
SQL 中的NUMBER 数据类型就是利用定点数来定义的。
还有一种提议的表达方式为有理数表达方式，即用两个整数的比值来表达实数。
定点数表达法的缺点在于其形式过于僵硬，固定的小数点位置决定了固定位数的整数部分和小数部分，不利于同时表达特别大的数或者特别小的数。
最终，绝大多数现代的计算机系统采纳了所谓的浮点数表达方式。
这种表达方式利用科学计数法来表达实数，即用一个尾数（Mantissa ），一个基数（Base），一个指数（Exponent）以及一个表示正负的符号来表达实数。
比如123.45 用十进制科学计数法可以表达为1.2345 × 102 ，其中1.2345 为尾数，10 为基数，2 为指数。
浮点数利用指数达到了浮动小数点的效果，从而可以灵活地表达更大范围的实数。
提示: 尾数有时也称为有效数字（Significand）。
尾数实际上是有效数字的非正式说法。
同样的数值可以有多种浮点数表达方式，比如上面例子中的123.45 可以表达为12.345 ×101，0.12345 × 103 或者1.2345 × 102。
因为这种多样性，有必要对其加以规范化以达到统一表达的目标。
定点数和浮点数
定点数和浮点数 任何⼀个数均可以表⽰为：(N)R=±S×R±e R：基值。
计算机中常⽤的R可取2、8、10、16等。
S：尾数。
代表数N的有效数字。
计算机中⼀般表⽰为纯⼩数。
e：阶码（指数）。
代表数N的⼩数点的实际位置。
⼀般表⽰为纯整数。
⼀、定点数 定点数：约定计算机中所有数据的⼩数点位置均是相同的，⽽且是固定不变的，即阶码e的取值固定不变的机器数表⽰。
定点数的两种表⽰⽅法： 定点⼩数：e=0，表⽰纯⼩数，⼩数点在符号位与最⾼数值位之间。
定点整数：e=n，表⽰纯整数，⼩数点在最低有效数值位之后，在最低位的右边，不占位 【例】 (123.45)10 = 0.12345×103 = 12345×10-2 (11011.101)2 = 0.11011101×105 = 11011101×2-3⼆、浮点数 浮点数⽤类似(N)R=±S×R±e科学计数法来表达，⽐如1001.101的规范浮点数表达为1.001101×23 浮点数的⼩数点位置不是固定，⽽是可以浮动的，即e的取值可变。
利⽤改变e值达到了浮动⼩数点的效果，从⽽灵活地表达更⼤范围地实数。
因此在机器中必须将e表⽰出来。
浮点数的表⽰如图 尾数的位数决定了数据表⽰的精度，为带符号的纯⼩数。
阶码的位数决定了数据表⽰的范围，为带符号的纯整数。
三、浮点数的规格化 （1）如何尽可能多地保留有效数字？ （2）如何保证浮点表⽰地唯⼀？ 规格化思想：尽可能去掉尾数中的前置“0”，尽量使⼩数点后第⼀位为“1”。
对于⼆进制数，就是要满⾜：1/2≤|S|<1 【例】0.001001×25的规格化 0.001001×25规格化表⽰为：0.100100×23四、原码规格化 若[S]原=Sf.S1S2..Sn，规格化标志是：S1=1，即：[S]原=0.1xx...x 或 [S]原=1.1xx...x。
关于浮点数与定点数的理解
定点数与浮点数计算机处理的数值数据多数带有小数，小数点在计算机中通常有两种表示方法，一种是约定所有数值数据的小数点隐含在某一个固定位置上，称为定点表示法，简称定点数；另一种是小数点位置可以浮动，称为浮点表示法，简称浮点数。
1. 定点数表示法(fixed-point)所谓定点格式，即约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。
在计算机中通常采用两种简单的约定：将小数点的位置固定在数据的最高位之前，或者是固定在最低位之后。
一般常称前者为定点小数，后者为定点整数。
定点小数是纯小数，约定的小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。
若数据x 的形式为x = x0.x1x2…x n( 其中x0为符号位，x1～x n是数值的有效部分，也称为尾数，x1为最高有效位)，则在计算机中的表示形式为：一般说来，如果最末位x n = 1，前面各位都为0 ，则数的绝对值最小，即|x|mi n = 2-n。
如果各位均为1，则数的绝对值最大，即|x|ma x =1-2-n 。
所以定点小数的表示范围是：2- n ≤ | x| ≤ 1 - 2- n定点整数是纯整数，约定的小数点位置在有效数值部分最低位之后。
若数据x 的形式为x = x0x1x2…x n ( 其中x0为符号位，x1～x n是尾数，x n为最低有效位)，则在计算机中的表示形式为：定点整数的表示范围是：1≤ | x| ≤ 2n - 1当数据小于定点数能表示的最小值时，计算机将它们作0处理，称为下溢；大于定点数能表示的最大值时，计算机将无法表示，称为上溢，上溢和下溢统称为溢出。
计算机采用定点数表示时，对于既有整数又有小数的原始数据，需要设定一个比例因子，数据按其缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运算，运算结果，根据比例因子，还原成实际数值。
若比例因子选择不当，往往会使运算结果产生溢出或降低数据的有效精度。
用定点数进行运算处理的计算机被称为定点机。
2. 浮点数表示法(floating-point number)4与科学计数法相似，任意一个J进制数N，总可以写成N = J E × M式中M称为数N 的尾数(mantissa)，是一个纯小数；E为数N 的阶码(e x ponent)，是一个整数，J称为比例因子J E 的底数。
定点数和浮点数
例:设X=0.1101,Y=0.1011,求X•Y. 其中寄存器B=X ,Cd=4.流程图3.6
8位阶码为：（+9）补=0000 1001
24位尾数为：(+0.10 0000 0001)补
=0.100 0000 0010 0000 0000 0000
所求256.5的浮点表示格式为：
0000 1001 0100 0000 0010 0000 0000 0000
用16进制表示此结果则为：(09402000)16
3.2.3 定点数和浮点数 计算机中的两种表示方式
数值范围：一种数据类型所能表示的最大值和 最小值
数据精度：实数所能表示的有效数字位数。
数值范围和数据精度均与使用多少位二进制位
数以及编码方式有关。
计算机用数字表示正负，隐含规定小数点。 采用“定点”、“浮点”两种表示形式。
1
1. 数的定点表示方法
6
2. 求Y= -256.5 的第一种浮点表示格式
Y=-(256. 5)10 =-(100000000.1)2 =-0.1000000001 x2+9 8位阶码为：(+9)补=0000 1001 24位尾数为：(-0.10 0000 0001)补 =1.011 1111 1110 0000 0000 0000 所求-256.5的浮点表示格式为： 0000 1001 1011 1111 1110 0000 0000 0000 用16进制表示此结果则为：(09BFE000)16
数的定点表示和浮点表示
运算机处置的数值数据多数带有小数，小数点在运算机中通常有两种表示方式，一种是约定所有数值数据的小数点隐含在某一个固定位置上，称为定点表示法，简称定点数；另一种是小数点位置能够浮动，称为浮点表示法，简称浮点数。
1. 定点数表示法(fixed-point)所谓定点格式，即约定机械中所有数据的小数点位置是固定不变的。
在运算机中通常采用两种简单的约定：将小数点的位置固定在数据的最高位之前，或是固定在最低位以后。
一样常称前者为定点小数，后者为定点整数。
定点小数是纯小数，约定的小数点位置在符号位以后、有效数值部份最高位之前。
假设数据 x 的形式为 x = …xn ( 其中x0为符号位，x1～xn 是数值的有效部份，也称为尾数， x1为最高有效位 )，那么在运算机中的表示形式为：一样说来，若是最末位 xn = 1，前面列位都为 0 ，那么数的绝对值最小，即 |x|min = 2-n 。
若是列位均为 1，那么数的绝对值最大，即 |x|max =1-2-n 。
因此定点小数的表示范围是：2- n ≤ | x | ≤ 1 - 2- n定点整数是纯整数，约定的小数点位置在有效数值部份最低位以后。
假设数据 x 的形式为 x = x0 x1x2…xn ( 其中x0为符号位，x1～xn 是尾数， xn 为最低有效位 )，那么在运算机中的表示形式为：定点整数的表示范围是：1≤ | x | ≤ 2n - 1当数据小于定点数能表示的最小值时，运算机将它们作0处置，称为下溢；大于定点数能表示的最大值时，运算机将无法表示，称为上溢，上溢和下溢统称为溢出。
运算机采用定点数表示时，关于既有整数又有小数的原始数据，需要设定一个比例因子，数据按其缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运算，运算结果，依照比例因子，还原成实际数值。
假设比例因子选择不妥，往往会使运算结果产生溢出或降低数据的有效精度。
用定点数进行运算处置的运算机被称为定点机。
2. 浮点数表示法(floating-point number)与科学计数法相似，任意一个J进制数N，总能够写成N = J E ×M式中M称为数 N 的尾数(mantissa)，是一个纯小数；E 为数 N 的阶码(exponent)，是一个整数，J称为比例因子 J E 的底数。
定点数和浮点数课件
符号位
表示浮点数的正负，0表示正数，1 表示负数。
指数位
表示浮点数的指数部分，即小数点的 位置。
尾数位
表示浮点数的尾数部分，即小数点后 面的数字。
浮点数的范围和精度
范围
浮点数的范围取决于指数位的位 数和尾数位的位数，一般分为单 精度和双精度两种类型，单精度 范围较小，双精度范围较大。
精度
浮点数的精度取决于尾数位的位 数，位数越多，精度越高，能够 表示的数字越精确。
浮点数定义
浮点数是指小数点位置可以浮动的数 值表示方式，通常用于计算机内部运 算，其小数点位置可以根据需要移动。
浮点数的优点
浮点数的缺点
浮点数表示方式相对复杂，计算机内 部计算浮点数需要更多的时间和空间 资源，同时浮点数容易受到计算机内 部精度限制的影响。
浮点数表示方式的范围广泛，可以表 示非常大或非常小的数值，同时浮点 数精度高，能够准确表示小数。
具体实现可能会有所不同。
在定点数运算中，需要注意溢出、 舍入误差等问题。
一般来说，定点数运算的速度比 浮点数运算要快，因此在需要高 精度计算的情况下，定点数是一
种更好的选择。
2023
PART 03
浮点数的表示方法
REPORTING
浮点数的表示格式
IEEE 754标准
浮点数在计算机中采用IEEE 754标准 进行表示，包括符号位、指数位和尾 数位三个部分。
浮点数的运算规则
01
加减运算
浮点数的加减运算与普通加减运算类似，只需要对尾数位进行加减即可，
指数位不变。
02
乘除运算
浮点数的乘除运算需要将尾数位和指数位分开计算，然后组合得到结果。
乘法时尾数位需要左移一位，除法时尾数位需要右移一位。
组成原理总复习(附选择填空答案)
第一章1、通常划分计算机发展时代是以（ A ）为标准的。
A、所用的电子器件B、运算速度C、计算机结构D、所有语言2、微型计算机的发展是以（B）技术为标志。
A、操作系统B、微处理器C、磁盘D、软件3、目前，人们所说的个人计算机属于（D）。
A、巨型机B、中型机C、小型机D、微型机4、完整的计算机系统应包括（ D ）。
A、运算器、存储器、控制器B、外部设备和主机C、主机和实用程序D、配套的硬件设备和软件系统5、计算机系统中的存储系统是指（ D ）。
A、RAM存储器B、ROM存储器C、主存D、cache、主存和辅存6、冯·诺伊曼机工作方式的基本特点是（ B ）。
A、多指令流单数据流B、按地址访问并顺序执行指令C、堆栈操作D、存储器按内容选择地址7、下列（ D ）属于应用软件。
A、操作系统B、编译程序C、连接程序D、文本处理8、计算机的算术逻辑单元和控制单元合称为（ C ）。
A、ALUB、UPC、CPUD、CAD9、由0、1代码组成的语言，称为（ C ）。
A、汇编语言B、人工语言C、机器语言D、高级语言10、32位的个人计算机，一个字节（byte）由（ B ）位（bit）组成。
A、4B、8C、16D、3211、存储单元是指（ B ）。
A、存放一个字节的所有存储元集合B、存放一个存储字的所有存储元集合C、存放一个二进制信息位的存储元集合D、存放一条指令的存储元集合12、存储字是指（ A ）。
A、存放在一个存储单元中的二进制代码组合B、存放在一个存储单元中的二进制代码位数C、存储单元的个数D、机器指令的位数13、存储字长是指（B）A、存放在一个存储单元中的二进制代码组合B、存放在一个存储单元中的二进制代码位数C、存储单元的个数D、机器指令的位数14、计算机系统的层次结构通常分为微程序机器层、机器语言层、操作系统层、汇编语言机器层和高级语言机器层。
层次之间的依存关系为（ C ）A、上下层都无关B、上一层实现对下一层的功能扩展，而下一层与上一层无关C、上一层实现对下一层的功能扩展，而下一层是上一层的基础D、上一层与下一层无关，，而下一层是上一层的基础15、CPU组成中不包含（B）A、运算器B、存储器C、控制器D、寄存器16、下列选项中，描述浮点数操作速度指标的是（D）A、MIPSB、CPIC、IPCSD、MFLOPS17、计算机中，数据处理中心是（B ）A、主机B、运算器C、控制器D、I/O系统18、以下说法错误的是（C ）A、计算机的机器字长是指数据存储与运算的基本单位B、寄存器由触发器构成C、计算机中一个字的长度都是32位D、磁盘可以永久性存放数据和程序19、指令是指（A）A、发给计算机的一个个操作命令B、通常用于构成主存的集成电路C、计算机中一个部件D、完成操作功能的硬件20、（B）是程序运行时的存储位置，包括所需的数据。
浮点运算
简介当我们用不同的电脑计算圆周率时，会发现一台电脑的计算较另一台来讲结果更加精确。
或者我们在进行枪战游戏的时候，当一粒子弹击中墙壁时，墙上剥落下一块墙皮，同样的场面在一台电脑上的表现可能会非常的呆板、做作；而在另外一台电脑上就会非常生动形象，甚至与我们在现实中看到的所差无几。
这都是浮点运算能力的差异导致的。
定点与浮点大学计算机基础中已经了解过计算机的实数表示方法可分为两种即定点与浮点1、定点数：定点数指小数点在数中的位置是固定不变的，通常有定点整数和定点小数。
在对小数点位置作出选择之后，运算中的所有数均应统一为定点整数或定点小数，在运算中不再考虑小数问题。
（1）定义：数据中小数点位置固定不变的数（2）种类：定点整数（3）小数点在符号位与有效位之间。
注：定点数受字长的限制，超出范围会有溢出。
2、浮点数：浮点数的表示形式有点像科学计数法（*.*****×10^***），它的表示形式是0.*****×10^***，在计算机中的形式为 .***** e ±***），其中前面的星号代表定点小数，也就是整数部分为0的纯小数，后面的指数部分是定点整数。
利用这样的形式就能表示出任意一个整数和小数，例如1024就能表示成0.1024×10^4，也就是 .1024e+004，3.1415926就能表示成0.31415926×10^1，也就是 .31415926e+001，这就是浮点数。
浮点数进行的运算就是浮点运算。
注：其浮点数的精度由尾数决定，数的表示范围由阶码决定。
浮点数，这个复杂点，有三种格式单精度：_31_30________23_22___________0符号指数有效数双精度：_63_62__________52_51__________________0符号指数有效数扩展精度数：_79_78____________64_63___________________0符号指数有效数3、定点数与浮点数区别定点表示法运算直观，但数的表示范围较小，不同的数运算时要考虑比例因子的选取，以防止溢出。
计算机组成原理第02章 计算机中的信息表示
2.1 数值型数据的表示方法
2.1.2 带符号数的表示 2. 补码表示法 ⑴ 补码定义 ·通式 [X]补=M+X (mod M) 数X对模M 的补 数称作其补码 X>0， 作为正常溢出量可以舍去。 若X>0，则模 M 作为正常溢出量可以舍去。 因而正数的补码就是其本身， 因而正数的补码就是其本身，形式上与原码 相同。 相同。
2.1 数值型数据的表示方法
2.1.3 数的定点表示与浮点表示 2. 浮点表示法 浮点数格式(原理性) ⑴ 浮点数格式(原理性) N =±RE×M 其中： 其中： N ：真值 RE ：比例因子 E ：阶码 R ：阶码的底 M ：尾数 一般采取规格化的约定 一般采取规格化 规格化的约定
Ef Em
…
E2 E1 Mf M1 M2
2.1 数值型数据的表示方法
2.1.3 数的定点表示与浮点表示 ⑵ 带符号定点整数 设代码序列为： ……X 设代码序列为：XnXn-1……X1X0 ，Xn为符号位
原码 典型值 真值 最大正数 非零最小正数
2n-1 1
补码 真值
2n-1 1 -2n -1
代码序列
01…… ……11 …… 00…… ……01 ……
第2章 计算机中的信息表示
重点：定点、浮点数的表示； 重点：定点、浮点数的表示；操作码扩展技 术；指令系统的设计 难点：浮点数的IEEE754格式表示， 难点：浮点数的IEEE754格式表示，定点和 IEEE754格式表示 浮点数的表示范围，浮点数的规格化问题， 浮点数的表示范围，浮点数的规格化问题， 操作码扩展技术，指令系统的设计 操作码扩展技术，
2.1 数值型数据的表示方法
2.1.2 带符号数的表示 3. 反码表示法 若定点小数的反码序列为X ·若定点小数的反码序列为X0.X1X2……Xn,则 X X 1>X≥0 [X]反= 0>X≥2-2-n+X 0>X≥-1 若定点整数的反码序列为X ·若定点整数的反码序列为XnXn-1……X1X0,则 X X 2n>X≥0 [X]反= 0>X≥2n+1-1+X 0>X≥-2n
计算机组成原理机器数的定点与浮点、非数值数据的编码表示和数据校验码 (1)
13:41
11
§2.3 机器数的定点与浮点表示
2）精度 所谓精度是指一个数所含有效数值位的位数。 一般来说机器字长越长，它所表示的数的有效位数就越多， 精度就越高：对于字长相同的定点数与浮点数来说，浮点 数虽然扩大了数的表示范围，但这正是以损失精度为代价 的，也就是数轴上各点的排列更稀疏了。
13:41
13:41
10
§2.3 机器数的定点与浮点表示
三、 定点数和浮点数比较
定点数据表示简单，省硬件；浮点数据表示较麻烦， 价格较贵。从以下几个方面来比较它们性能上的主要差距。 1）数值的表示范围 假设定点数和浮点数的字长相同，浮点表示法所能表示的 数值范围将远远大于定点表示法，但是此范围指的只是数 的上下限，它们之间是一些不连续的点，而不是—段连续 的区间。 对于定点数而言，各个点在数轴上的分布是均匀的； 而对于浮点数而言，各个点在数轴上的分布是不均匀的。 越靠近数轴的原点，两个相邻的浮点数之间的距离就越近。
13:41 8
§2.3 机器数的定点与浮点表示
4．浮点数的表示范围
尾数部分给出有效数字的位数，决定了浮点数的表示 精度，尾数占的位数越大，浮点数的表示精度就越高； 阶码部分指明小数点在数据中的位置，决定了浮点 数的表示范围，阶码占的位数越大，浮点数的表示范围 就越大; 通常希望数据表示的范围越大越好、精度越高越好， 但是由于计算机的存储字长是一定的，不能两者兼顾。
• --------在取回这样的浮点数到运算器执行运算时，必须先恢 复该隐藏位。
13:41
7
§2.3 机器数的定点与浮点表示
4. 浮点数的表示范围(阶码用移码表示，尾数用补码表示）
Es，E1 … Em ； Ms . M1 … Mn
2.4 定点数和浮点数的表示方法
明德
浮点数在计算机中的表示格式：
博学
日新
笃行
用定点小数表示，给出有 效数字的位数决定了浮点 数的表示精度
表达指数部分
用整数形式表示，指明小数 点在数据中的位置决定浮点 数的表示范围
河南科技大学
浮点数的表示范围
明德
博学
日新
笃行
假设尾数和阶码均用补码表示，阶码的位数为k+1位，尾数的位数为 n+1位
河南科技大学
浮点数的规格化
明德
博学
日新
笃行
3. 浮点数的规格化： 存储在计算机中的浮点数以及运算结果的浮点数都应为规
格化数,如果尾数不是规格化数,要用移位方法把它变为规格化数, 这种处理过程,称为规格化。
河南科技大学
IEEE754标准
明德
博学
日新
笃行
IEEE754标准定义了四种浮点数的基本格式：单精度格式、 双精度格式、扩展精度格式。
（11001.001）2=（25.125）10
河南科技大学
1111111+110=10000101 该数的单精度数的存浮点数格式即为：
0 10000101 10010001000000000000000 表示成十六进制数：42C88000H
日新
笃行
河南科技大学
IEEE754标准
明德
博学
日新
笃行
例2. 将单精度浮点数C1C90000H转换成十进制数。
解：1）将十六进制数转换成二进制数
C1C90000H=11000001110010010000000000000000
符号位S=1，阶码=10000011
尾数=10010010000000000000000
定点与浮点
例：X＝1011 X＝-1011
则X反＝01011 则X反＝1 1 0 1 1原 取反 1 0 1 0 0
反码的特点：0的表示不唯一，+0补=00000
-0补=11111，运算不方便； 也能化减为加，但不常用。
只要了解。
2.1.3 数的定点表示与浮点表示
在计算机中如何表示小数点的位置，就分为定点和浮点两种。 数据中小数点的位置固定不变的称为定点数。
不同进位计数制间的转换
——十进制→ R 进制
信息的表示与存储
2.十进制小数转换成R进制小数
“ 乘 R 取整” 法，例如： 高位 0.3125×2 0.625 ×2 0.25 ×2 0.5 ×2 所以 0.312510 = = 0 .625 = 1 .25 = 0 .5 = 1 .0 0.01012
二、各种进位制间的转换
——十进制→ R 进制
信息的表示与存储
1.十进制整数转换成R进制的整数
“ 除R取余” 法，例1：
2 2 68 余 数 34 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄0 低位 2 17 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 0 2 8 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 1 2 4 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 0 2 2 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 0 2 1 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 0 0 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 1 高位 所以 6810＝10001002
则X原＝01011 则X原＝1 0 1 0 1补 取反 1 0 1 0 加1 +1 1 1 0 1 1原 = -1011真值
又例：-1的补码为8位二进制表示则为11111111 取反10000000 加1 +1 10000001原
3、根据补码求真值练习 ：P56第8题 X补＝1.1010 则X原＝1.1 0 1 0补 取反 1.0 1 0 1 加1 +1 1.0 1 1 0原 所以X真值= -0.0110
浮点数表示方法总结
1.关于浮点数的问题 浮点数的一般格式：格式（1） 格式（2）注意：（1）一般浮点数尾数采用纯小数（隐含位为0）来表示，即尾数M 与定点小数表示方法相同，由于尾数的符号位决定整个浮点数的符号，故有时采用格式（2）的形式；（2）当尾数真值为0（不论阶码何值），或阶码的值比能在机器中表示的最小值还小，计算机把该浮点数看成零值，称为机器零，即浮点数表示不了真值绝对值很接近0的数，只能看成0处理； （3）尾数通常用原码或补码表示，阶码一般用移码或补码表示，如无特别说明，采用课本44页移码表示方法。
浮点数表示范围：⨯最大阶码最大正数=最大正尾数2⨯最小阶码最小正数=最小正尾数2⨯最小阶码最大负数=最大负尾数2⨯最大阶码最小负数=最小负尾数2那么给定一浮点数的表示形式，包括符号、阶码、尾数各占位数及其采用哪种机器码表示，如求其能表示最大负数，转化为求这种表示形式的能表示的最大负尾数，最小阶码。
浮点数规格化表示：为了提高数据的表示精度，当浮点数尾数的真值不为 0 时，满足条件112≤≤尾数真值，称为一般浮点数的规格化表示。
如没特别说明，指的是一般的非规格化浮点数。
注意规格化浮点数与一般浮点数一样，隐含位也是0，仅仅对尾数真值加上这一约束条件而已。
对于不同码制，特征如下： （1）尾数原码表示： （采用形式（1），按照尾数数值位为n 位）①尾数>0时，其尾数部分形式尾数符号1位尾数数值n 位01XXXXXXXXXXXXXXXXXX称为规格化最大：尾数部分0111…11，真值为12n--；最小：尾数部分0100…00，真值为12； ②尾数<0时，其尾数部分形式尾数符号1位尾数数值n 位11XXXXXXXXXXXXXXXXXX称为规格化最大：尾数部分1100…00，真值为12-； 最小：尾数部分1111…11，真值为(12)n---；阶码符号尾数符号数值阶码符号尾数符号0（2）尾数补码表示：（采用形式（1），按照尾数数值位为n位）①尾数>0时，其尾数部分形式尾数符号1位尾数数值n位01XXXXXXXXXXXXXXXXXX称为规格化最大：尾数部分0111…11，真值为12n--；最小：尾数部分0100…00，真值为1 2；②尾数<0时，其尾数部分形式尾数符号1位尾数数值n位10XXXXXXXXXXXXXXXXXX称为规格化（注意：某些书上对此含糊其辞，参考清华（郑纬民：计算机系统结构）与上交大的书，以此为准！）最大：尾数部分1011…11，真值为1(2) 2n--+；最小：尾数部分1000…00，真值为-1；关于IEEE745浮点数：表示形式数值1位（1）IEEE754浮点数短浮点数和长浮点数尾数隐含位为1，临时浮点数没有隐含位，注意阶码的偏置值与一般浮点数不同，对于单精度和双精度数(1) 1.2sm Em-=-⨯⨯偏置值表示真值；短浮点数和长浮点数尾数采用隐含位为1称之为规格化的IEEE短浮点数与长浮点数（注意区别一般的规格化浮点数）。
2-3 数的定点表示与浮点表示
浮点数阶码的移码表示法
对于偏置值为2n的移码具有以下特点： (1) 在移码中，最高位为“0”表示负数，最高
位为“1”表示正数，这与原码、补码以及反码的符 号位取值正好相反。
(2) 移码全为0时，它所对应的真值最小；全为1 时，它所对应的真值最大。因此，移码的大小直观 地反映了真值的大小，这将有助于两个浮点数进行 阶码的大小比较。
数的定点表示与 浮点表示
定点表示法
在计算机中，数的表示形式有很多种，其中定 点数是最简单最常见的一种表示形式，定点数的算 术运算也是计算机中最基本的运算。
定点表示法
在定点表示法中约定：所有数据的小数点位置 固定不变。通常，把小数点固定在有效数位的最前 面或末尾，这就形成了两类定点数：定点小数和定 点整数。
实用浮点数举例
隐含的“1”是一位整数（即位权为20）。在浮 点格式中表示出来的23位尾数是纯小数，用原码表 示。例如，(12)10=(1100)2，将它规格化后结果为 1.1×23，其中整数部分的“1”将不存储在23位尾 数内。
实用浮点数举例
对于短浮点数，偏置值为127（7FH）；长浮 点数，偏移量为1023（3FFH）。存储浮点数阶码部 分之前，偏置值要先加到阶码真值上。例如，阶码 真值为3，在短浮点数中，移码表示的阶码为 127+3=130（82H）；长浮点数中，为1023+3=1026 （402H）。
定点表示法
在定点表示法中，参加运算的数以及运算的结 果都必须保证落在该定点数所能表示的数值范围内， 如结果大于最大正数和小于绝对值最大的负数，统 称为“溢出”。这时计算机将暂时中止运算操作， 而进行溢出处理。
浮点表示法
在科学计算中，计算机处理的数往往是混合数， 如果要将这些数变为上述约定的两种定点数形式， 就必须在运算前设定一个比例因子，把原始的数缩 小成定点小数或扩大成定点整数。另外在运算中常 常会遇到非常大或非常小的数值，如果用同样的比 例因子来处理的话，很难兼顾数值范围和运算精度 的要求。因此，在计算机中引入了浮点数据表示3种形式的浮点数，短浮点 数又称为单精度浮点数，长浮点数又称为双精度浮 点数，它们都采用隐含尾数最高数位的方法，这样 ，无形中又增加了一位尾数。临时浮点数又称为扩 展精度浮点数，它没有隐含位。
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1 1 符 号
1
0
1
1
0
1
数值位(n位)
2-n |N| 1－2－n
纯小数
小数点 1 1 符 号 1 0 1 1 0 1
1 |N| 2n
数值位(n位) 小数点
纯整数
定点机中，一切参加运算的数及最后结果， 都不能超出其域范围，否则会出现错误结果。
若运算数(或结果)小于2－n (或1) 则计算机
作0处理；若大于1－2－n (或2n )。机器作溢出处 理，迫使机器停止运行或转入出错处理程序。
1.3.2 数的浮点表示
受机器数位的限制，定点数的数域
较小。若既要能表示较小的数，又能表 示很大的数，定点表示不适合了，应采 用浮点表示的数。
浮点数表示法 先以十进制数为例：
N = 25.0 = 100×25.0 = 101×2 . 5 = 102×0 . 25
指数部 尾数部 分10J 分S
浮点数由两部分组成：N = 10J×S
其中：S为数N的尾数，即它的符号和有 效数位。指数10 J ，其中10为十进制数的基数， J为其指数(或称J为N的阶)，10J决定小数点浮 动的位置。J为正数小数点左移。反之右移。
类此，二进制浮点数的表示形式为：
N = 2J × S 此中，J若以二进制代码表示，则J称N的阶 码。
1.3.3 浮点数与定点数的比较
• 浮点数的表示范围比定点数大 • 浮点数的运算精度比定点数高 • 浮点数的运算比定点数复杂。
(要分阶码和尾数两部分进行运算)
小型机－－采用定点数
大、中型机－－采用浮点数
欢迎进入1.4学习。
1.3
数的定点表示与浮点表示
数的定点表示 数的浮点表示 浮点数与定点数的比较
1.3
数的定点表示与浮点表示
所谓定点与浮点，是指一个数小数点的 位置是固定不变的还是浮动的。
1.3.1 数的定点表示
小数点的位置固定不变，在机器中，通
常默认固定在符号位与数值位的最高位之间； 或默认在数值位最低位之后，如下图：
例 N = 1010. = 20×1010 = 24 ×0.1010 = 2100× 0.1010 = 2101 × 0.01010 规格浮点数 非规格化浮点数
浮点机中，数的格式Leabharlann 下图。010
0
1
0
1
0
阶 阶码 尾 尾数(含符号与有效数位) 符 符 (用以识别尾数) 调整J的大小总可使得尾数的最高位为1， 此格式的浮点数称为规格化浮点数，反之称为 非规格化浮点数。规格化浮点数有利于提高运 算精度，避免有效数字丢失。