定积分不等式证明方法

f x dx 表示由曲线 y f x ,x
b a b a
轴及直线
x a , x b 所围成的曲边梯形的面积的相反数.
（3） 如果连续函数 f x 正负不定, 则
f x dx 表示由曲线 y f x ,x 轴及直
线 xa , xb 所 围 成 的 一 些 小 曲 边 梯 形 的 面 积 的 代 数 和 , 有
a c a
性质 5
d
[1]
若
f x 在 a, b 上可积,且 f x 0 , c, d a, b ,则
b
f x dx f x dx .
c a
性质 6
[1]
若
f x 在 a, b 上可积, x a, b ,则
b
b a i f a ,即 n
定积分
f x dx 为一序列和的极限,这样我们可由一些序列和的不等式得到积分不
[3]
等式,下面首先给出著名的 Jensen 不等式 ,即 设 f x 为 a , b 上 的 连 续 下 凸 函 数 , 证 明 对 于 任 意 xi a, b 和 i 0 , （i=1,2,……,n）,
1.2 利用泰勒公式
定理 1
[2]
（泰勒定理）
若函数 f x 在 a , b 上存在直至 n 阶的连续导函数,在 x, x0 a, b ,至少存在一点 a, b ,
a, b 内存在{n+1}阶导函数,则对任意给定的
使得
f x f x0 f ' x0 x x0
f n x0 n!
f '' x0 2!
f
n 1
x x0
2
……
+
x x0
n

x x n1 . 0 n 1!
上式称为泰勒公式, 该方法一般适用于被积函数二阶可导,或二阶以上可导,又已知最高阶导数的符号 的情形. 证明思路:写出 f 的泰勒展开式,再由定积分性质做适当放缩.
2小结
• 本文介绍的定积分不等式证明的八种方法 中,利用定积分性质证明,利用积分中值定理 证明和利用函数单调性证明是我们最基本 也是最经常用到的证明方法;Schwarz不等 式和Jensen不等式是两个非常重要的不等 式.在求证定积分不等式时,首先要理清题意 ,找出题设条件和所要求证的不等式之间的 联系和结合点,然后再根据每种证明方法所 适用条件选择最适合,最简练的方法进行证 明,这也是解题的关键.

i 1
n
i
1 ,成立
n n f i xi i f xi . i 1 i 1
由 Jensen 不等式给出其相应的积分不等式.
1.8 利用二重积分
我们知道重积分可以化为累次积分,即两次定积分,特别当重积分的积分区域为矩 形 D a, b c, d 时,被积函数为 F x, y f x g y 时,重积分可以表示为两定 积分的乘积,即
1.1 利用定积分性质
定积分有一些基本的不等式,在证明积分不等式时会经常用到. 性质 1
[1]
1正文
若
f x 在 a, b 上可积,且 f x 0 ,则 f x dx 0 .
b a
性质 2
b
[1]
若
f x , g x 在 a, b 上可积,且 f x g x ,则
b a
该方法一般适用于被积函数
b
明思路:1） 适当放缩. 定理 3
f x g x dx f g x dx ;2）一般取 g 为具体函数，通过 f 做不等式的
a
[2]
.
该方法一般适用于被积函数
b
f x g x 中, g x 可积,而 g x 单调情形.证明思路:1）
f x dx s s
b a 1
2
s3 s4
1.6 利用积分重要不等式
定理 4
[2]
（Schwarz 不等式）
b f x g x dx b f 2 x dx b g 2 x dx . a a a
从积分 Schwarz 不等式可知,该方法一般适用于被积函数为 f x 与基本初等函数 的复合函数,且不等式中涉及函数平方 f
1.5 利用图解法和积分的几何意义
根据定积分的定义,定积分

b
a
： f x dx 表示以下几何意义 【4】
（1）如果连续函数 f x 0 ,则
f x dx 表示由曲线 y f x ,x
b a
轴及直线
x a , x b 所围成的曲边梯形的面积.
（2）如果连续函数 f x 0 ,则

b
a
f x dx f x .

'
性质 7
[1]
若
f x 在 a, b 上可导,则 f ' x dx f b f a .
a
在定积分不等式的证明中,利用定积分不等式的性质来直接证明是这类不等 式证明题中最基本,也是最常用的方法,它适用于简单的,显而易见的定积分不等 式中.在使用时应该注意选择与题意最匹配的性质,以免走弯路.
2
2
x 的积分的情形.利用该法解题关键为根据
Schwarz 不等式找合适的 f x 与 g x .
1.7 利用序列不等式
由 定 积 分 的 定 义 , 若
f x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在
a, b
可
积
,
则
有

b
a
1 n f x dx l i m n n i 1
b a
b
f x g x dx f a g x dx f b g x dx ;2）一般取 g 为具体函数，利用 f 的
a a

单调性得证.
1.4 利用函数的单调性
当已知被积函数 f x 在所给区间上连续,并没有告知可导时,通常用此法比较方 便,主要利用辅助函数的单调性证明,辅助函数的做法只需将结论中的积分上限（下限） 换成变量 x,移项使不等式一端为 0,另一端即为所做的函数. 用函数的单调性证明积分不等式,关键是要建立一个适当的函数,
1.3 利用积分中值定理
定理 2
[2]
{积分第一中值定理}
若函数
f
在
a, b 上连续,
则至少存在一点
a, b ,使得

b
a
f x dx f ' b a
f x g x 中， f x 与 g x 均连续,且 g x 不变号情形.证
b
f x dx g x dx .
a a
性质 3
[1]
若
f x 在 a, b 上可积,则 f x dx f x dx .
b b a a
性质 4
c
[1]
若
f x 在 a, b 上可积, c a, b ,则
b b
f x dx f x dx f x dx .
f x g y dxdy f x dx g y dy ,
b b a a D
又因为定积分与积分变量无关,所以有 .
f x dx g x dx f x g y dxdy .
b b a a D
因此,当涉及两定积分的乘积的不等式时,可考虑把定积分乘积化为一个重积分;或 题设条件中告知被积函数严格增加（减少）并没有指明是否可导,且积分区间相同时, 可将命题化为差式利用变量的对称性化为二重积分来进行证明.
定积分不等式证明的若干方法 xxx
xxx大学数学与应用数学专业 2007级本科1班
指导老师:xxx
选题目的及研究意义
该选题目的旨在介绍有关定积分不等式证明的若干方 法，主要介绍了：利用定积分性质证明、利用泰勒公式证明、 利用积分中值定理证明、利用函数的单调性证明、利用图解 法和积分的几何意义证明、利用积分重要不等式证明、利用 序列不等式证明、利用重积分证明等八种求证方法。定积分 不等式证明既是《数学分析》这门课学习的重难点之一，同 时也是工科及理科研究生入学考试中常出现的一类试题。本 文列举了若干定积分不等式证明的范例，归纳总结出了定积 分不等式证明的常用方法。这将使我们对定积分不等式证明 这类题有了全面系统的了解，从而帮助我们在做这类题时能 得心应手的选择更适当、简练的方法进行求证，同时也使我 们加深了对《数学分析》这门基础课程的理解，进而去学好 这门课程。