《画法几何与阴影透视》课件第6章 曲线与曲面的投影

画法几何与阴影透视
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6.1.3 曲线的投影
（1）曲线投影的性质：
曲线的投影一般仍为曲线。在特殊情况下，当平面曲线所在的平面垂 直于某投影面时，它在该投影面上的投影仍为直线；
曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的投影相切； 二次曲线的投影一般仍为二次曲线，如圆和椭圆的投影一般为椭圆。
母线的上、下端点A、B 形成的纬圆，分别称作顶圆、 底圆，母线至轴线距离最近 的一点E所形成的纬圆，称作 颈圆。
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a′ 5′（ 9′）
3′（ 11′）
6′（8′） 4′（10′） 2′（12′）
7′
1′
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单叶双曲回转面的画法步骤
（a） 画出回转轴及直导线的两面投影； （b） 作出轮廓线顶圆和底圆的两面投影： （c） 作出若干素线及其转向轮廓线的投影。
画法几何与阴影透视 柱状面的画法
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6.2.5双曲抛物面的投影及其应用
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（1）双曲抛物面的形成
一直母线沿两交叉直导线连续运动，同时始终平 行于一导平面，其运动轨迹称为双曲抛物面。
（2）双曲抛物面的画法
①.画出两条直导线的两面投影；
②.作出直母线的两面投影：
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圆柱正螺旋柱状面应用举例
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螺旋扶手
螺旋楼梯
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画法几何与阴影透视
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h
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螺旋扶手（右旋）投影图画法
①.如同画正螺旋柱状面那样，画出螺旋楼梯 扶手的H投影和扶手顶面内外螺旋线上的各点 （暂不连螺旋线）。 ②.从内螺旋先3/4的各点下落扶手竖向厚度h； 从外螺旋后3/4的各点下落扶手竖向高度h。并 将这些点分别连接画内、外螺旋线。
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6 第 章 曲线与曲面的投影
6.1 曲线的投影及其应用举例
6.1.1 曲线的形成：
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曲线可以看成是一下三种方式形成： 不断改变方向的点的连续运动的轨迹，如图6.1（a）； 曲面与曲面或曲面与平面相交的交线，如图6.1（b）； 直线族或曲线族的包络线，如图6.1（c）。
若任意平面曲线绕同一平面的铅垂轴旋转，形成曲线旋转面。常见 的有圆球、圆环（将在曲面立体在讲述）。
颈圆—比相邻两侧纬圆都小的纬圆。赤道圆—比相邻两侧纬圆都大 的纬圆。
③、旋转面的特性
（a） 纬圆垂直于旋转面的轴线
（b）过轴线的平面与旋转面相交的两条素线与其对称，且相交所得的 两半曲面相等且关于截平面对称。
②、形成 直母线绕轴线（平行、相交、交叉）旋转而成。
纬圆—母线上各点旋转的轨迹圆。颈圆—母线上到轴线距离最近的点 形成的纬圆。顶圆—母线上最高点形成的纬圆。底圆—母线上最低点形 成的纬圆。
③、投影作图
单叶双曲回转面
形成 单叶双曲回转面是由直母线绕与它交叉的轴线旋转一周而形成的。 也可由双曲线绕其虚轴旋转而成。
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•1′-1′、2′-2′、3′-3′ 三根全可见（H投影中素线两端 点均在横中心线之前）
3′ 2′（4′） 1′（5′）
5
12′（6′）
b′6 11′（7′）
7
4 3
2
9 10 11
8
12a
7
1
6 54
2 3
1
11
b 12
•7′-7′、8′-8′、9′-9′三 根全不可见（H投影中素线两端 点均在横中心线之后）
（1）单叶双曲回转面的形成：当直母线AB（或 CD）绕与它交叉的轴线OO旋转一周而形成单叶双 曲回转面，单叶双曲回转面也可由双曲线MEN绕其 虚轴OO旋转一周而形成。
由于母线的每点回转的轨迹均是纬圆，母线的 任一位置都称为素线，所以 回转面是由一系列纬圆，或 一系列素线（此例既有直素 线，又有双曲线素线）所组 成。
δ S
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螺旋楼梯的画法（右旋）
①.如同画正螺旋柱状面那样，画出螺旋楼 梯的H投影和内外螺旋线上的各点（不画出 螺旋线）。
②.从内螺旋先3/4的各点下落梯板竖向厚 度δ；从外螺旋后3/4的各点下落梯板竖向 厚度δ。并将这些点分别连接，画出内外 螺旋线。
③. 按投影关系画出可见踢面（先1/2内螺 旋点及先1/4外螺旋点上升踢面高即1/12导 程，后1/2外螺旋点及后1/4内螺旋点上升 踢面高即1/12导程） 、踏面及梯轮廓线。
1
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6.1.2 曲线的分类
根据点的运动有无规律，曲线可分为规则曲线和不规则曲 线。规则曲线一般由可以列出其代数方程，且为单参数方程 ，如圆、椭圆、双曲线、抛物线、渐伸线、螺旋线等等。 根据曲线上各点的所属性，可以分成两类： （1）平面曲线：曲线上所有的点都属于同一平面的称为平面 曲线。如圆、椭圆、双曲线、抛物线等。 （2）空间曲线：曲线上任意连续四个点不属于同一平面的称 为空间曲线。如圆柱正螺旋线等。
③.作出该曲面上各素线的投影。
画法几何与阴影透视 a′
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双曲抛物面的画法（V面为导平面） d′
素线可见性判别
•观察判别
b′ c′
•交叉二直线可见 性判别
a
c
b
d
画法几何与阴影透视 ③.双曲抛物面的应用举例
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广东星海音乐厅
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6.2.6旋转单叶双曲面的投影及其应用
画法几何与阴影透视 锥状面的画法
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画法几何与阴影透视 ③.柱状面的应用举例
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6.2.4 柱状面的投影及其应用
（1）.柱状面的形成 ：一直母线沿两条曲导线连续运动，同时始终 平行于一导平面，这样形成的曲面称为柱状面
（2）柱状面投影的画法 ： ①.画出两条曲导线的两面投影； ②.作出直母线的两面投影： ③.作出该曲面上各素线的投影。
当一个动点沿着一直线等速移动， 而该直线同时绕与它平行的一轴线等速 旋转时，动点的轨迹就是一根圆柱螺旋 线。
（2）圆柱螺旋线的画法
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（2）圆柱螺旋线的画法
画法几何与阴影透视
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（3）螺旋线的展开
螺旋线展开后成为一直角三角形的斜边，它的两条 直角边的长度分别为πD和S。
10′（98′′）•4′-4′、5′-5′、6′-6′ 上部可见，下部不可见（H投影中素线与横中心线交 点分界）
8
•10′-10′、11′-11′、12′-12′上部不可见，下 部可见（H投影中素线与横中心线交点分界）
9
注：顶圆编号—底圆编号
素线H投影可见性
10
12条素线可见性相同，顶圆→颈圆切点，可见；颈圆 切点→顶圆，不可见；顶圆→底圆，可见。
③.画扶手顶面可见螺旋线。 扶手顶面先1/2 内螺旋点及后1/4内螺旋点连两段内螺旋线， 后1/2外螺旋点及先1/4外螺旋点连两段外螺旋 线。
④.判别可见性，加深图线，画扶手轮廓线， 完成全图。
轴线左侧底面可见，轴线右侧顶面可见；先 1/2扶手内侧面可见，后1/2扶手外侧面可见。 （建议加深顺序：底内螺旋线、底外螺旋线、 顶内螺旋线、顶外螺旋线、直轮廓线）
④.判别可见性，加深图线。
轴线右侧踢面可见，轴线左侧底面可见 ；先1/2梯内侧面可见，后1/2梯外侧面可 见；轴线右侧踏面积聚线均可见，轴线左 侧先1/4内侧和后1/4外侧踏面边线可见。
画法几何与阴影透视 螺旋楼梯(续)
δ S
δ S
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②.锥面的投影
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画法几何与阴影透视 ③.锥面的应用举例
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美国古根海姆博物馆
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6.2.3 锥状面的投影及其应用
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（1）锥状面的形成 ：一直母线沿一直导线和曲导线连续运动，同时始终
平行于一导平面，这样形成的曲面称为锥状面。
（2）锥状面的画法
①.画出一直导线和曲导线的两面投影； ②.作出直母线的两面投影： ③.作出该曲面上各素线的投影。
6.2.7螺旋面的投影及其应用
（1）圆柱正螺旋面的形成
当一直母线沿一条圆柱螺旋线及该圆柱螺旋线的 轴线滑动，并始终平行于与轴线垂直的导平面而形 成的曲面。是锥状面的特例。圆柱正螺旋面与一个 同轴的小圆柱相交，交线依然是一相同导程的圆柱 螺旋线。大小圆柱之间的圆柱正螺旋面是柱状面的 特例，又称正螺旋柱状面，其形成也可描述为两条 曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的直母线始终垂 直于圆柱轴线。
（2）圆柱正螺旋面的画法
a.圆柱正螺旋面（锥状） b.圆柱正螺旋面（柱状）
（3）圆柱正螺旋面的应用
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圆柱正螺旋面（锥状）的画法
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圆柱正螺旋面（柱状）的画法 •作出直母线的两面投影； •画出两条曲导线（圆柱螺旋线）；
•作出该曲面上各素线的投影。
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单叶双曲面投影图（续）
素线V投影可见性
三条兰色全可见；三条紫色 全不可见；三条棕色上部可 见，下部不可见；三条绿色 上部不可见，下部可见。
素线H投影可见性
12条素线可见性相同，顶圆 →颈圆切点，可见；颈圆切 点→顶圆，不可见；顶圆→ 底圆，可见。
a′
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b′ a
b
画法几何与阴影透视
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6.2.2 非回转直线曲面
（1）柱面 ①.柱面的形成 一直母线沿一条曲导线连续运动，
并始终平行于一直导线而形成的曲面称为柱面。 ②.柱面的投影
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画法几何与阴影透视 ③ 柱面的应用举例
菲律宾国际机场
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（2）锥面
①.锥面的形成一直母线沿一条曲导线连续运动， 并始终通过一定点而形成的曲面称为锥面。
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6.2 曲面的投影及其应用举例
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（1）、曲面的形成 曲面可视为一条动线在空间运动的轨迹。 母线—形成曲面的动线，曲线或直线。 导点、导线、导面—控制母线运动规律的点、线、面。导线可以是 直线或曲线。导面可以是平面或曲面。 素线—母线在曲面的任一位置。 （2）、曲面的分类 母线作规则运动形成规则曲面，作不规则运动形成不规则曲面。
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（2）圆的投影：
例1 投影面垂直面上圆的投影
d′
a′（ b′）
V
BO
c′
C
α X
b
αc o
D P
A
d H
a
正垂面上圆的投影示意图
a1 11 c1
X
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d1
o1
21
b1
d′
（b′）
a′
o′
c′
1′ （2′）
α
b 2
c
od
1a
正垂面上圆的投影图
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6.1.4 圆柱螺旋线的投影 （1） 圆柱螺旋线的形成
曲面
旋转曲面
直线面 可展曲面（如圆柱面、圆锥面） 不可展曲面（如单叶双曲面）
曲线面 — 不可展曲面（如圆球面）
非旋转曲面
可展曲面（如柱面、锥面） 直线面
不可展曲面（如双曲抛物面）
曲线面 — 不可展曲面（如自由曲面）
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6.2.1 基本曲面的投影
（1）直线迴转曲面
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①、定义 直母线绕轴线旋转而成的曲面称为直线旋转面。
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直母线AB绕平行的轴 线OO旋转形成圆柱面
直母线SA绕相交的轴 线SO旋转形成圆锥面
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直母线AB绕交叉的轴线 OO旋转形成单叶双曲面
AO
S
O源自文库
A
O B
O
B
A
O
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（2）曲线旋转面
①、定义
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曲母线绕轴线旋转而成的曲面称为曲线旋转面。
②、形成
3′ 2′（4′） 1′（5′）
5
12′（6′）
b′6 11′（7′）
7
9′ 10′（8′）
4 3
2
9
10 11
8
8
12a
7
1
9
6
2
5
3
4
10
1
11
b 12
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a′ 5′（ 9′）
3′（ 11′）
6′（8′） 4′（10′） 2′（12′）
7′
1′
单叶双曲面投影图的画法 素线V投影可见性