导数与微分习题及答案
导数与微分练习题及解析
导数与微分练习题及解析在微积分学中，导数和微分是最基本的概念之一。
它们可以帮助我们研究函数的变化率和性质，广泛应用于物理、经济、工程等各个领域。
为了帮助你更好地理解导数和微分的概念，以下是一些练习题及其解析。
练习题1：求函数f(x) = x^2 + 3x + 2在x = 2处的导数和切线方程。
解析：首先，我们求函数f(x)的导数。
使用求导法则，对于多项式函数来说，可以将每一项的指数与系数相乘，并将指数减一，得到函数的导数。
f'(x) = 2x + 3接下来，我们计算x = 2处的导数值。
f'(2) = 2(2) + 3 = 7切线方程的一般形式为y = mx + b，其中m代表斜率，b代表截距。
根据导数的定义，导数即为切线的斜率。
所以切线的斜率为m = 7。
将切点的坐标代入切线方程，我们可以得到b的值。
2 = 7(2) + b2 = 14 + bb = -12最终的切线方程为y = 7x - 12。
练习题2：求函数f(x) = e^x * sin(x)的导数。
解析：考虑到函数f(x) = e^x * sin(x)是两个函数的乘积，我们可以使用乘积法则来求导。
乘积法则的公式为：(uv)' = u'v + uv'对于e^x和sin(x)两个函数，它们的导数分别为e^x和cos(x)。
根据乘积法则，我们可以将这两个导数与原函数进行组合，得到最终的导数为：f'(x) = (e^x * cos(x)) + (e^x * sin(x))练习题3：求函数f(x) = ln(x^2 + 1)的导数和微分。
解析：首先，我们求函数f(x)的导数。
根据链式法则，可以分别计算外函数和内函数的导数。
设内函数为u = x^2 + 1，则内函数的导数为du/dx = 2x。
外函数为f(u) = ln(u)，则外函数的导数为df/du = 1/u。
根据链式法则，函数f(x)的导数为：f'(x) = df/du * du/dx= (1/u) * (2x)= 2x / (x^2 + 1)接下来，我们计算函数f(x)的微分。
第三章 导数与微分 习题及答案
第三章 导数与微分同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim=--→xf x f x x ，则)0(f '= 。
2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。
3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则1=x dxdy = 。
4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。
5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。
6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。
7、已知x x y ln =，则)10(y = 。
8、已知2arcsin )(),2323(x x f x x f y ='+-=，则：0=x dxdy = 。
9、设1111ln22++-+=x x y ，则y '= 。
10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。
11、已知()xke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dyxd 。
二、选择1、设f 可微，则=---→1)1()2(lim1x f x f x （ ）A 、)1(-'-x fB 、)1(-'fC 、)1(f '-D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f x x f xx （ ）A 、41 B 、41- C 、1 D 、-1 3、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ ）A 、不连续B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 32+= Ｂ、x x y sin =Ｃ、21x x y +=Ｄ、x x y cos += ５、设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=（ ） Ａ、在0=x 处极限不存在 Ｂ、有跳跃间断点0=x Ｃ、在0=x 处右极限不存在 Ｄ、有可去间断点0=x６、设函数)(),(21x y x y 的弹性分别为)0(,≠b b a ，则函数)()(21x y x y y =的弹性为（ ） Ａ、b a - Ｂ、b aＣ、2112y by ay - Ｄ、以上都不对 ７、已知)(x f e y =，则y ''＝（ ）Ａ、)(x f e Ｂ、)]()([)(x f x f e x f ''+' Ｃ、)()(x f e x f '' Ｄ、)}()]({[2)(x f x f e x f ''+'８、设函数⎩⎨⎧≤+>+=11)ln()(2x bx x x a x f 在1=x 处可导。
高等数学第七版教材答案详解
高等数学第七版教材答案详解1. 课后习题答案1.1 第一章：函数与极限1.1.1 习题1解答1.1.2 习题2解答...1.2 第二章：导数与微分1.2.1 习题1解答1.2.2 习题2解答...1.3 第三章：微分中值定理与导数的应用1.3.1 习题1解答1.3.2 习题2解答...2. 课后思考题答案2.1 第一章：函数与极限2.1.1 思考题1解答2.1.2 思考题2解答...2.2 第二章：导数与微分2.2.1 思考题1解答2.2.2 思考题2解答...2.3 第三章：微分中值定理与导数的应用2.3.1 思考题1解答2.3.2 思考题2解答...3. 课后习题详解3.1 第一章：函数与极限3.1.1 习题1详解3.1.2 习题2详解...3.2 第二章：导数与微分3.2.1 习题1详解3.2.2 习题2详解...3.3 第三章：微分中值定理与导数的应用3.3.1 习题1详解3.3.2 习题2详解...在这篇文章中，我将给出《高等数学第七版》教材的习题答案和课后思考题答案的详细解析。
为了方便阅读，我将按章节划分答案，并提供习题和思考题的解答。
如果你在学习过程中遇到了困惑，希望这些答案能够帮助你更好地理解相关的数学概念和解题方法。
首先，我将给出每章节的课后习题答案。
在习题解答中，我将详细解释每个题目的解题思路和步骤，并给出最终答案。
你可以根据自己的需要，选择性地查看想要解答的习题。
接下来是课后思考题答案的解析。
这些思考题往往比较有挑战性，需要一定的思考和推导。
我将为每个思考题提供解答，希望能够帮助你在思考和解决问题时找到正确的方向。
最后，我将给出课后习题的详细解析。
在这一部分中，我将逐题逐题地分析解题思路，并给出详细的步骤和推导过程。
通过仔细研究这些解析，你可以更好地理解每个题目的解法，并且提高自己的解题能力。
总之，在这篇文章中，我将为你提供《高等数学第七版》教材的习题答案和课后思考题答案的详细解析。
导数与微分习题及答案
第二章 导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆02．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f '3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( )A ．1B ．0C ．-1D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( )A ．8B ．12C ．-6D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f eB ．()()x f e x f ''C ．()()()[]x f x f e x f '''D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'2 9．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( )A ．()x f ，()x g 都必须可导B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( ) A ．211x +- B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x + 14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( ) A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim 。
(完整版)第二章导数与微分(答案)
x 第二章导数与微分(一)f X 0 X f X 0Ix 0X3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的（A ）5. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a （ D ）C . a6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ） A . 1 B . 0 C .-1 D .不存在7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ）A . 8B . 12C . -6D . 68.设y e f x 且fx 二阶可导，则y （ D ）A . e f xB f X r e ff X££fX丄2x C . e f x f x D . ef x9.若 f x axe , x 0在x 0处可导，则a ， b 的值应为 b sin2x,(A ) A .左导数存在； B .右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ，当自变量x 由x 0改变到X ox 时，相应函数的改变量f x 0 x B .f x 0 x C . f x 0X f X 0 f X 。
x2 .设f x 在x o 处可，则limf X 0 B .X oC . f X 0D . 2 f X 0A .必要不充分条件B . 充分不必要条件C .充分必要条件既不充分也不必要条件4.设函数y f u 是可导的，且ux2，则 dy ( C )x 2 B . xf x 2C .2 22xf x D . x f xD .有定义10•若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处（A ）A •一定都没有导数B •—定都有导数C .恰有一个有导数D •至少一个有导数11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数，则Fxg x 在 x o 处(D )13 . y arctg 1，贝U yxA .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12.已知F xf g x ，在 X X 。
高等数学第二章导数试题及答案
第二章 导数一．导数与微分概念 1．导数的定义如果极限()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim 存在， 称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆， 则()()()000limx x x f x f x f x x --='→h x f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→或hx f h x f x f h ---='→)()(lim )(0000我们也引进单侧导数概念。
右导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='++→∆→+000000lim lim 0左导数：()()()()()xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='--→∆→-000000lim lim 0则有()x f 在点0x 处可导()x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。
切线方程：()()()000x x x f x f y -'=-法线方程：()()()0001x x x f x f y -'-=-()()00≠'x f 3．函数的可导性与连续性之间的关系如果函数()x f y =在点0x 处可导，则()x f 在点0x 处一定连续，反之不然，即函数()x f y =在点0x 处连续，却不一定在点0x 处可导。
例如，()x x f y ==，在00=x 处连续，却不可导。
4．微分的定义设函数()x f y =在点0x 处有增量x ∆时，如果函数的增量()()00x f x x f y -∆+=∆有下面的表达式()()x x x A y ∆+∆=∆00()0→∆x其中()0x A 为与x ∆无关，()x ∆0是0→∆x 时比x ∆高阶的无穷小。
导数与微分习题及答案
导数与微分习题及答案导数与微分习题及答案在数学学科中，导数与微分是非常重要的概念。
它们不仅在数学分析中有广泛的应用，还在物理、经济学等领域中起着重要的作用。
本文将为大家提供一些导数与微分的习题，并附上详细的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
1. 习题一：求函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 在点 x = 2 处的导数。
解答：根据导数的定义，我们有f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。
代入函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 和 x = 2，得到f'(2) = lim(h→0) [(2+h)^2 + 3(2+h) - 2 - (2^2 + 3(2) - 2)] / h。
化简后得到f'(2) = lim(h→0) [4h + h^2 + 6h] / h = lim(h→0) (h^2 + 10h) / h = lim(h→0) (h + 10) = 10。
因此，函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 在点 x = 2 处的导数为 10。
2. 习题二：求函数 g(x) = 2sin(x) + cos(x) 在点x = π/4 处的导数。
解答：同样地，我们可以利用导数的定义来求解。
根据定义，g'(x) = lim(h→0) [g(x+h) - g(x)] / h。
代入函数 g(x) = 2sin(x) + cos(x) 和x = π/4，得到g'(π/4) = lim(h→0) [2sin(π/4+h) + cos(π/4+h) - (2sin(π/4) + cos(π/4))] / h。
化简后得到g'(π/4) = lim(h→0) [2(sin(π/4)cos(h) + cos(π/4)sin(h)) + (cos(π/4)cos(h) -sin(π/4)sin(h))] / h。
第二章 导数与微分课后答案
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第二章导数与微分内容概要名称主要内容导数的定义00 0()() ()limxf x x f x f xx∆→+∆-'=∆00 0()() ()limhf x h f xf xh→+-'=()()()limx xf x f xf xx x→-'=-函数的求导法则(1)导数的四则运算法则错误！未找到引用源。
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.[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x'''⋅=+错误！未找到引用源。
.2()()()()()[](()0)()()u x u x v x u x v xv xv x v x''-'=≠(2)复合函数的求导法则(链式法则)dy dy dudx du dx=⋅隐函数的导数(1)求隐函数的导数时,只需将确定隐函数的方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dydx (2)对数求导法:对幂指函数()()v xy u x=,可以先在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量x求导,最后解出所求导数反函数的导数反函数的导数等于直接函数导数的倒数,即1()()f xyϕ'=',其中()x yϕ=为()y f x=的反函数高阶导数(1)直接法:利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次地连续求导(2)间接法:利用已知的高阶导数公式,通过导数的四则运算,变量代换等方法,间接求出指定的高阶导数(3)莱布尼茨公式()()nn k n k knkuv C u v-==∑课后习题全解习题2-1★ 1. 用定义求函数3y x =在1x =处的导数.知识点：函数在某点处导数的定义思路：按照三个步骤：(1)求增量；（2）算比值；（3）求极限 解：3323(1)133()()y x x x x ∆=+∆-=∆+∆+∆ 2210033()|lim lim(33())3x x x yx x xyy x x x =∆→∆→∆=+∆+∆∆∆'==+∆+∆=∆ ★ 2. 已知物体的运动规律2()st m =,求该物体在2()t s =时的速度.知识点：导数的定义思路： 根据导数的定义，按照三个步骤求导解: 2222000(2)(2)(2)24|lim lim lim 4t t t t s t s t t tv t t t=∆→∆→∆→+∆-+∆-∆+∆====∆∆∆ 3. 设0()f x '存在，试利用导数的定义求下列极限：知识点：导数的定义思路：利用导数的定义式)()()(lim0000x f hx f h x f h '=-+→求极限★(1)000()()lim x f x x f x x∆→-∆-∆解：0000000()()()()lim lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆--∆-'∆∆＝－＝－－★(2)000()()lim h f x h f x h h→+--解：00000000()()()()()()lim lim h h f x h f x h f x h f x f x f x h h h→→+--+-+--= 000000000()()()()lim lim ()()2()h h f x h f x f x h f x f x f x f x h h→→+---'''=+=+=- ★★ (3)000()()lim2x f x x f x x x∆→+∆--∆∆2解：00000000()()()()()(2)lim lim22x x f x x f x x f x x f x f x f x x x x ∆→∆→+∆--∆+∆-+--∆∆∆2＝000000000()()(2)()113lim lim ()()()2222x x f x x f x f x x f x f x f x f x x x ∆→∆→+∆--∆-'''+∆-∆＝＝+＝ ★★ 4.设()f x 在2x =处连续，且2()lim 22x f x x →=-，求(2)f '.知识点:导数和连续的定义思路: 关键求出(2)f ,再利用导数的定义 解: ()f x 在2x =处连续2(2)lim ()x f f x →∴=又22222()()()lim ()lim(2)lim(2)lim 0lim 0222x x x x x f x f x f x f x x x x x x →→→→→=-⋅=-⋅=⋅=---22(2)0()(2)()(2)limlim 222x x f f x f f x f x x →→∴=-'∴===-- ★ 5.给定抛物线22y x x =-+,求过点(1,2)的切线方程与法线方程.知识点：导数的几何意义思路：利用导数的几何意义得切线的斜率解:21y x '=- ∴切线的斜率1|2111x k y ='==-=∴切线的方程为21(1)y x -=-,即1y x =+法线方程为2(1)(1)y x -=--,即3y x =-+★ 6.求曲线x y e =在点(01)，处的切线方程和法线方程.知识点：导数的几何意义思路：利用导数的几何意义得切线的斜率 解: xy e '= ∴切线的斜率00|1x k y e ='===∴切线的方程为11(0)y x -=-,即1y x =+ 法线方程为11(0)1y x -=--,即1y x =-+★ 7.函数21,01()31,1x x f x x x ⎧+≤<=⎨-≤⎩在点1x =处是否可导?为什么?知识点：函数在某点可导的充要条件思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件判别解：11()(1)312(1)lim lim 311x x f x f x f x x +++→→---'===-- 211()(1)12(1)lim lim 211x x f x f x f x x ---→→-+-'===--(1)(1)f f +-''≠ ()f x ∴在1x =处不可导.★ 8.用导数的定义求,0()ln(1),0x x f x x x <⎧=⎨+≥⎩在0x =处的导数.知识点：函数在某点可导的充要条件思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件 解: 00()(0)ln(1)0(0)lim lim 100x x f x f x f x x +++→→-+-'===--00()(0)0(0)lim lim 100x x f x f x f x x ---→→--'===--(0)(0)f f +-''= (0)(0)(0)f f f+-'''∴===★★ 9.设sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩,求()f x '.知识点：分段函数的导数思路：分段函数在每一段内可以直接求导，但是在分段点处要利用导数的定义求导 解：当0x <时，()(sin )cos f x x x ''==当0x >时，()1f x x ''== 当0x=时，00()(0)(0)lim lim 10x x f x f xf x x+++→→-'===- _00()(0)sin (0)lim lim 10x x f x f xf x x--→→-'===-(0)1cos ,0()1,0f x x f x x '∴=<⎧'∴=⎨≥⎩ ★★ 10.试讨论函数21sin ,00,0x x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性与可导性. 知识点：函数在某点连续与可导的定义思路：利用函数在某点连续与可导的定义判断解: 201lim ()lim sin0(0)x x f x x f x→→=== ()y f x ∴=在0x =处连续.20001()s i n 01l i m l i m l i m [()s i n ]0x x x x y x x x xx∆→∆→∆→∆-∆∆==∆=∆∆∆ 21s i n y x x∴=在0x =处可导.★★ 11.设()x ϕ在x a =处连续, 22()()()f x x a x ϕ=-,求()f a '.知识点：函数在某点处导数的定义 思路：利用导数的定义求导数 解:()x ϕ在x a =处连续22lim ()()()()()()0()lim lim lim()()2()x ax a x a x a x a f x f a x a x f a x a x a a x a x aϕϕϕϕϕ→→→→∴=---'∴===+=--★★ 12.设不恒为零的奇函数()f x 在0x =处可导,试说明0x =为函数()f x x的何种间断点.知识点：导数以及间断点的定义思路：利用导数的定义求极限解:()f x 为奇函数 (0)(0)(0)f f f ∴=-=- (0)0f ∴= 又()f x 在0x =处可导 '0()(0)l i m (0)0x f x f f x →-∴=-即0()lim (0)x f x f x→'=∴()f x x在0x =处有极限. 0x ∴=为函数()f x x的可去间断点. ★★ 13.当物体的温度高于周围介质的温度时,物体就不断冷却,若物体的温度T 与时间t 的函数关系为()T T t =,应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度?知识点: 导数的定义思路: 导数反映的是函数的变化率,在t 时刻的冷却速度即为函数()T T t =对时间t 的导数 解:t 时刻该物体的温度为()T T t =,则t t +∆时刻物体的温度为()T T t t =+∆,∴物体在t 时刻的冷却速度0()()()lim()t T t t T t dTv t T t t dt∆→+∆-'===∆.★★★ 14.设函数()f x 在其定义域上可导,若()f x 是偶函数,证明()f x '是奇函数;若()f x 是奇函数,则()f x '是偶函数(即求导改变奇偶性).知识点：导数的定义思路：利用导数的定义求导数解:若()f x 为偶函数时, ()()f x f x -=000()()()()()limlim()()lim ()x x x f x x f x f x x f x f x x xf x x f x f x x∆→∆→-∆→-+∆---∆-'∴-=∆∆-∆-'=-∆＝＝-－()f x '∴为奇函数.若()f x 为奇函数时, ()()f x f x -=-000()()()()()limlim()()lim ()x x x f x x f x f x x f x f x x xf x x f x f x x∆→∆→-∆→-+∆----∆+'∴-=∆∆-∆-'=-∆＝＝()f x '∴ 为偶函数. 习题2-2★ 1. 计算下列函数的导数：知识点：基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数(1)35y x x =+;解: 5(35)(3)(5)32y x x x x x''''=+=+=+(2)2533x x y x e =-+;解: 22(533)(5)(3)(3)103ln 33xxxxxxy x e x e x e '''''=-+=-+=-+(3)2tan sec 1y x x =+-;解: 2(2tan sec 1)(2tan )(sec )(1)2sec sec tan y x x x x x x x '''''=+-=+-=+(4)sin cos y x x =⋅;解: 22(sin cos )(sin )cos sin (cos )cos sin cos 2y x x x x x x x x x ''''=⋅=+=-=(5)3ln y x x =;解: 3332321(ln )()ln (ln )3ln (3ln 1)y x x x x x x x x x x x x''''==+=+=+(6)cos x y e x =;解: (cos )()cos (cos )cos sin xxxxxy e x e x e x e x e x ''''==+=-(7)ln xy x=; 解:2221ln (ln )ln 1ln x xx x x x xx y x x x-''--'=== (8)(1)(2)(3)y x x x =---;解:(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)y x x x x x x x x x ''''=---+---+---(2)(3)(1)(3)(1)(2)x x x x x x =--+--+--(9)1sin 1cos t st+=+;解:22(1sin )(1cos )(1sin )(1cos )cos (1cos )(1sin )(sin )(1cos )(1cos )t t t t t t t t s t t ''++-+++-+-'==++ 21sin cos (1cos )t tt ++=+(10)3sin x x y x x a e =+;解：333(sin )()()sin (sin )()()x xxxxxy x x a e x x x x a e a e '''''''=+=+++21331sin cos ln 3x x x x x x x x a e a a e -=+++(11)2log ln 2y x x =+;解:22221(log )(ln 2)log (log )0log ln 2y x x x x x x x '''''=+=++=+(12)225341x x y x -+=-.解:222222(534)(1)(534)(1)'(1)x x x x x x y x ''-+---+-=-2222222(103)(1)(534)(2)3(61)(1)(1)x x x x x x x x x ----+-+==--★ 2.计算下列函数在指定点处的导数:知识点：基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数(1)3333x y x =+-,求(0)y ';解:32233()()33(3)x y x x x '''=+=+-- 1(0)3y '∴=(2)2(31)x y e x x =-+,求(0)y '.解:222(31)(31)(23)(2)x x x x y e x x e x x e x e x x ''⎡⎤=-+=-++-=--⎣⎦20(0)(2)1(112)2x x y e x x ='∴=--=--=-★ 3.求曲线22sin y x x =+上横坐标为0x =的点处的切线方程与法线方程.知识点：导数的几何意义，基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数得切线的斜率解:2cos 2y x x '=+ ∴在0x =的点处切线的斜率0|2cos0202x k y ='==+=又当0x=时,0y = ∴在0x =的点处切线方程为2y x =，法线方程为12y x =-★ 4.写出曲线1y x x=-与x 轴交点处的切线方程.知识点：导数的几何意义，基本初等函数的导数和导数的四则运算法则 思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数得切线的斜率 解:211()1y x xx ''=-=+当0y =时，即10x x-= 解得1x =或1- ∴曲线与x 轴的交点为(1,0),(1,0)-∴点(1,0)处的切线的斜率为11|2x k y ='== ∴切线方程为2(1)y x =-，即22y x =- ∴点(1,0)-处的切线的斜率为21|2x k y =-'== ∴切线方程为2(1)y x =+，即22y x =+★ 5.求下列函数的导数:知识点：基本初等函数的导数以及复合函数的求导法则 思路：利用链式法则求复合函数的导数(1)cos(43)y x =-;解:[]cos(43)(43)sin(43)(3)3sin(43)y x x x x '''=-⋅-=---=-(2)23xy e -=;解:2223323()(3)6x x xy ee x xe ---'''==⋅-=-(3)22y a x =-;解:22222222()1(2)22a x x y x a xa xa x'-'==-=----(4)2tan()y x =;解:22222sec ()()2sec ()y x x x x ''=⋅=(5)arctan()x y e =;解:22()'1()1x xx xe e y e e '==++(6)arcsin(12)y x =-;解:22(12)11(12)x y x x x'-'==----(7)1arccosy x=;解:222211()111||11()1x x y x x x x''=-==--- (8)ln(sec tan )y x x =+;解:211(sec tan )(sec tan sec )sec sec tan sec tan y x x x x x x x x x x''=+=+=++(9)ln(csc cot )y x x =-.解:211(csc cot )(csc cot csc )csc csc cot csc cot y x x x x x x x x x x''=-=⋅-+=--★ 6.求下列函数的导数:知识点：导数的四则运算法则和复合函数的求导法则思路：利用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求导数(1)22(23)15y x x =++;解:222222(1645)(23)15(23)(15)15x x y x x x x x+'''=++++⋅+=+(2)ln ln y x x =+;解:1(ln )11()22ln 2ln x y x x x x x x '''=⋅+=+(3)1ln1x y x+=-;解:211(1)(1)111122()111(1)(1)x x x x x xxy x x xx x x⋅-+⋅+-+-''=⋅=⋅=+-+--⋅(4)ln tan2x y =; 解:21111(tan )sec csc 222sin tan tan 22x x y x x x x ''=⋅=⋅⋅== (5)ln ln y x =;解:11(ln )ln ln y x x x x''=⋅=(6)21arcsin y x x x =-+;解:22222221211(1)1211211x y x x x x x x xxx-''=-+⋅-+=-+⋅+=----(7)2(arcsin )2xy =;解:222arcsin 122arcsin(arcsin )2arcsin ()22221(2)4xx x x x y x x'''=⋅=⋅⋅=--(8)21ln y x =+;解:22222(1ln )2ln (ln )2ln (1)ln 21ln 21ln 21ln 1ln x x x x x x y xxxx x''+'====++++(9)arctanxy e =解:arctan arctan arctan arctan 22()11(arctan )11()22(1)x xxxx e y ex ee x x x x x '''=⋅=⋅=⋅⋅=+++(10)tan 210x x y =;解:tan 2tan 2210ln10(tan 2)10ln10[tan 2sec 2(2)]x xx x y x x x x x x '''=⋅⋅=+⋅ tan 2210ln10(tan 22sec 2)x xx x x =+(11)44ln 1xx e y e =+;解:44411[ln ln(1)]2ln(1)22x x x y e e x e =-+=-+ 4444411(1)2[2ln(1)]222211x x xx xe e y x e e e '+''∴=-+=-⋅=-++ (12)21sin xy e-=.解:222111sin sin sin 2111111(sin )(2sin )(sin )(2sin )(cos )()xxx y ee e x x x x x x---''''=⋅-=⋅-⋅=⋅-⋅⋅21sin 212sin xe x x-=★★ 7.设()f x 为可导函数,求dydx: 知识点：复合函数的导数思路：利用链式法则求复合函数的导数(1)3()y f x =;解:3323()()3()y f x x x f x ''''=⋅=(2)22(sin )(cos )y f x f x =+;解:222222(sin )(sin )(cos )(cos )sin 2[(sin )(cos )]y f x x f x x x f x f x '''''''=⋅+⋅=⋅- (3)1(arcsin )y f x=.解:2211111(arcsin )(arcsin )(arcsin )()11y f f x x xxx ''''=⋅=⋅⋅-- 211(arcsin )||1f x x x '=-⋅-★★ 8.设(1)x f x xe --=,且()f x 可导,求()f x '.知识点：抽象函数的导数思路：利用换元法求函数表达式，然后求导数 解:令1x t -=,则1x t =-(1)1()(1)(1)t t f t t e t e ---∴=-=- 1()(1)x f x x e -∴=- 1111()[(1)](1)(1)()x x x x f x x e x e x e xe ----''''∴=-=-+-=-★★ 9.设()f u 为可导函数，且5(3)f x x +=，求(3),()f x f x ''+.知识点：复合函数的导数思路：)3(+'x f 表示对)3(+x 的导数，)(x f '表示对x 的导数，注意求导的变量 解: 由5(3)f x x +=有 5(3)[(3)3]f x x +=+-44(3)5[(3)3]15f x x x '∴+=+-⋅=令3x t +=,则3x t =- 5()(3)f t t ∴=- 5()(3)f x x ∴=- 54(3)()5f x x x ''∴+==★★ 10.已知1()1xf x x=+，求()f x '. 知识点：抽象函数的导数思路：利用换元法求函数表达式，然后求导数解:令1t x =,则1x t= 11()111t f t t t∴==++ 1()1f x x ∴=+ 211()()1(1)f x x x ''∴==-++ ★★ 11.已知2()()fx x a ϕ=,且1()()ln f x f x a'=,证明()2()x x ϕϕ'=.知识点：复合函数的导数 思路：利用链式法则求导数 解:22()2()()ln [()]2ln ()()f x fx x aa f x a a f x f x ϕ'''=⋅⋅=⋅⋅由1()()ln f x f x a '=，得1()()ln f x f x a'⋅= 2()()22()f x x a x ϕϕ'∴== ★★ 12.设()f x 在(,)-∞+∞内可导,且22()(1)(1)F x f x f x =-+-,证明:(1)(1)F F ''=-知识点: 复合函数的导数思路: 利用链式法则求导解:由22()(1)(1)F x f x f x =-+-,有22()(1)2(1)(2)F x f x x f x x '''=-⋅+-⋅- (1)2(0)2(0)0F f f '''∴=-=(1)2(0)2(0)0F f f '''-=-+= (1)(1)F F ''∴=-★ 13.求下列函数的导数:知识点：复合函数的导数 思路：利用链式法则求导数(1)()y ch shx =;解:()()()y sh shx shx sh shx chx ''=⋅=⋅(2)chx y shx e =⋅;解:2()()()chxchx chx chx chx y shx eshx e shx chx e shx e shx e chx sh x '''=⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=+(3)(ln )y th x =;解:2211(ln )ln (ln )y x ch x x ch x ''=⋅=⋅ (4)32y sh x ch x =+;解:223()2()32y sh x shx chx chx sh x chx chx shx '''=⋅+⋅=⋅+⋅(5)2()x y arch e =;解:2224411[()]()211xx x x x y arch e e e e e '''==⋅=⋅--(6)2(1)y arsh x =+.解:22212(1)1(1)1(1)x y x x x ''=⋅+=++++习题2-3★ 1.求下列函数的二阶导数:知识点：高阶导数思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导(1)5342y x x x =++;解:425122y x x '=++ 32024y x x ''=+(2)32x y e -=;解:3232(32)3x x y ex e --''=⋅-= 32323(32)9x x y e x e --'''=⋅-=(3)sin y x x =;解:sin (sin )sin cos y x x x x x x x '''=+=+(sin )cos (cos )2cos sin y x x x x x x x x '''''=++=-(4)sin t y e t -=;解:()sin (sin )(cos sin )ttty e t e t e t t ---'''=+=-()(cos sin )(cos sin )2cos t t t y e t t e t t e t ---''''=-+-=-(5)21y x =-;解:222(1)211x x y xx'-'==---2222222231(1)1(1)11(1)(1)x x x x x x x x y x x x ''-------''=-=-=----(6)2ln(1)y x =-;解:222(1)211x xy x x '-'==--- 2222222(2)(1)2(1)2(1)(1)(1)x x x x x y x x ''---+''=-=---(7)tan y x =;解:2sec y x '= 22sec (sec )2sec tan y x x x x '''=⋅=(8)211y x =+; 解:22222(1)2(1)(1)x xy x x '-+'==-++2222222242423(2)(1)2[(1)]2(1)22(1)262(1)(1)(1)x x x x x x x x x y x x x ''+-⋅++-⋅+⋅-''=-=-=+++(9)2xy xe=.解:2222222()()(12)x x x x x y x ex e e xe x e x ''''=+=+=+222222222()(12)(12)2(12)42(32)x x x x x y e x e x xe x e x xe x ''''=+++=++⋅=+★ 2.设10()(31)f x x =+,求(0)f '''.知识点：高阶导数思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导 解:99()10(31)(31)30(31)f x x x x ''=+⋅+=+88()309(31)(31)810(31)f x x x x '''=⨯++=+77()8108(31)(31)19440(31)f x x x x ''''=⨯++=+ (0)19440f '''∴= ★ 3.已知物体的运动规律为sin s A t ω=(,A ω是常数),求物体运动的加速度,并验证:2220d s s dtω+=. 知识点：高阶导数思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导 解:cos s A t ωω'= 2sin s A t ωω''=222sin d s a A t dt ωω∴==- 22222sin sin 0d s s A t A t dtωωωωω∴+=-+=★ 4.验证函数12x x y C e C e λλ-=+(12,,C C λ是常数)满足关系式: 20y y λ''-=知识点：高阶导数思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导 解:12xx y C eC e λλλλ-'=- 2212x x y C e C e λλλλ-''=+2221212()()0x x x x y y C e C e C e C e λλλλλλλ--''∴-=+-+=★★ 5.设()g x '连续,且2()()()f x x a g x =-,求()f a ''.知识点: 导数的定义思路: 因为()g x ''不一定存在,不能直接求二阶导数,要利用导数的定义求解:2()2()()()()f x x a g x x a g x ''=-+- ()0f a '∴=又()g x ' 连续,但()g x '不一定存在 lim ()()x ag x g a →''∴=()()()()limlim lim[2()()()]2()x ax a x a f x f a f x f a g x x a g x g a x ax a →→→'''-'''∴===+-=-- ★★ 6.若()f x ''存在,求下列函数的二阶导数22:d ydx.知识点: 高阶导数,复合函数的求导法则 思路: 利用链式法则求导 (1)3();y f x =解:32()3y f x x ''=⋅ 32323436()3()36()9()y xf x x f x x xf x x f x ''''''''∴=+⋅=+ (2)ln[()]y f x =.解:()()f x y f x ''= 22()()[()][()]f x f x f x y f x '''⋅-''∴= ★★★ 7.已知2,0()ln(1),0ax bx c x f x x x ⎧++<=⎨+≥⎩在0x =处有二阶导数,试确定参数,,a b c 的值.知识点：可导与连续的定义，以及可导与连续的关系思路：由已知条件得方程组，联立方程组求解解: ()f x 在0x =处有二阶导数 ()f x ∴在0x =处连续，且()f x '在0x =处连续从而有0lim ()(0)x f x f -→=，即2lim ()0x ax bx c -→++= 0c ∴= 又 ()f x 在0x =处可导 (0)(0)f f +-''∴=而0()(0)ln(1)(0)lim lim 10x x f x f x f x x+++→→-+'===-2_00()(0)(0)lim lim 0x x f x f ax bxf b x x--→→-+'===-1b ∴=，且(0)(0)1f f +-''==21,01(),011,0ax x f x x x x +<⎧⎪⎪'∴=>⎨+⎪=⎪⎩ 又()f x 在0x =处二阶可导 (0)(0)f f +-''''∴=而 0011()(0)1(0)lim lim 1x x f x f x f x x+++→→-''-+''===- 00()(0)(21)1(0)lim lim 2x x f x f ax f a x x---→→''-+-''===21a ∴=-，即12a =-8.求下列函数所指定阶的导数:知识点：高阶导数思路: 利用已知的高阶导数公式和莱布尼茨公式求高阶导数★ (1)cos ,x y e x =求(4)y ;解:(4)4(sin )6(cos )4sin (cos )x x x x ye e x e x e x x =+-+-++-★★ (2)ln y x x =,求()n y ;解:()()(1)(ln )(ln )n n n yx x n x -=+121(1)!(2)!(1)(1)n n n n n n x n x x-----=-+⋅- ★★ (3)2132y x x =-+,求()n y ; 解:21113221y x x x x ==--+-- ()()()1111!!()()(1)(1)21(2)(1)n n n n nn n n n y x x x x ++∴=-=-------★★ (4)44sin cos y x x =+,求()n y .解:44222222131sin cos (sin cos )2sin cos 1sin 2cos 4244y x x x x x x x x =+=+-=-=+ ()()11(cos 4)4cos(4)42n n n y x x n π-∴==+⋅ ★★★ 9.作变量代换ln x t =,简化方程2220xd y dy ye dx dx-+=. 知识点: 高阶导数思路: 利用链式法则求导解: 1dy dy dx dy dt dx dt t dx =⋅= dy dy t dt dt ∴=又22222211111()()()d y d dy d dy dy d dy dy d y dx dt dt dt dt t dx t dx t dt dx t dx t dx dt ===-+=-+⋅ 22211dy d yt dt t dx =-+ 22222d y d y dy t t dx dt dt ∴=+代入方程得22220d y t yt dt += 即 220d y y dt+= 习题2-41.求下列方程所确定的隐函数y 的导数dy dx :知识点: 隐函数的导数思路: 方程两边同时对自变量x 求导,凡遇到含有因变量y 的项时,把y 当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dy dx★(1)x y xy e +=;解:方程两边同时对x 求导,得 (1)x yy xy e y +''+=+解得x yx yy e y e x++-'=-★ (28)2sin()0xy y π-=;解:方程两边同时对x 求导,得 2cos()20y xy y yy ππ''+-⋅=解得22cos()yy y y xππ'=-★ (3)350xy e y x +-=;解:方程两边同时对x 求导,得 2()350xye y xy y y ''⋅++-=解得253xyxy ye y xe y -'=+★ (4)1y y xe =+;解:方程两边同时对x 求导,得 yyy e xe y ''=+解得1yye y xe '=-★ (5)22arctanln yx y x=+.解:方程两边同时对x 求导,得22222222221x yy y x yx y x y x y x'+'-+=++ 即y xy x yy ''-+=+ 解得x y y x y +'=-2.求下列方程所确定的隐函数y 的导数22d ydx :知识点: 隐函数的导数,高阶导数思路: 方程两边同时对自变量x 求导,凡遇到含有因变量y 的项时,把y 当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dydx,再对一阶导数利用导数四则运算法则和复合函数求导法则求导★★ (1)222222b x a y a b +=解:方程两边同时对x 求导,得 22220b x a yy '+= 解得2'2b xy a y=-22222222242222322323b y xy b a y b x b a b b y a y a a y a a y a y'-+''∴=-⋅=-⋅=-⋅=- ★★ (2)sinln()y x y =+;解: 方程两边同时对x 求导,得 1cos (1)y y y x y ''⋅=++ 解得1()cos 1y x y y '=+- ''2''23(1)cos ()(sin )()cos ()sin [()cos 1][()cos 1]y y x y y y x y y x y yy x y y x y y +++-⋅+-+∴=-=-+-+- ★★ (3)tan()y x y =+.解: 方程两边同时对x 求导,得 2sec ()(1)y x y y ''=++解得222sec ()11sec ()1sec ()1x y y x y x y -+'==--+-+-221cot ()csc ()x y x y =--+=-+ 232csc ()cot ()x y x y =-++3.用对数求导法则求下列函数的导数:知识点: 对数求导法思路: 在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量x 求导,最后解出所求导数★ (1)2tan (1)x y x =+;解:等式两边同时取对数,得 2ln tan ln(1)y x x =+等式两边同时对x 求导,得22212sec ln(1)tan 1x y x x x y x '=++⋅+2tan 2222tan (1)[sec ln(1)]1xx xy xx x x '∴=++++★★ (2)533322x x y x --=+解: 等式两边同时取对数,得111ln ln(3)ln(32)ln(2)532y x x x =-+--+等式两边同时对x 求导,得11(3)1(32)1(2)5333222x x x y y x x x '''--+'=⋅+⋅-⋅--+ 53332111[]5(3)322(2)2x x y x x x x --'∴=+---++ ★★ (3)452(3)(1)x x y x +-=+解:等式两边同时取对数,得1ln ln(2)4ln(3)5ln(1)2y x x x =++--+等式两边同时对x 求导,得111452231y y x x x '=⋅--+-+ 452(3)145[](1)2(2)31x x y x x x x +-'∴=--++-+★ 4.设函数()y y x =由方程1y y xe -=确定,求(0)y ',并求曲线上其横坐标0x =处点的切线方程与法线方程.知识点:隐函数导数和导数的几何意义思路: 方程两边同时对自变量x 求导,凡遇到含有因变量y 的项时,把y 当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dy dx解: 方程两边同时对x 求导,得 0yyy e xe y ''--= 解得 1yye y xe '=-当0x =时,1y = ∴在0x =处切线的斜率(0)k y e '==0x ∴=处的切线方程为1y ex -=,即1y ex =+法线方程为11y x e -=-,即11y x e=-+★★ 5.求曲线2ln(1)arctan x t y t ⎧=+⎨=⎩在1t =对应点处的切线方程和法线方程.知识点: 参数方程表示的函数的导数思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求导解:22111221dy t t dx t t +==+ 11|2t dy dx =∴= 当1t=时,ln 2,4x y π==∴ 在1t =对应点处的切线方程为1(ln 2)42y x π-=-, 即11ln 2224y x π=-+ 法线方程为2(ln 2)4y x π-=--, 即22ln 24y x π=-++6.求下列参数方程所确定的函数的导数dydx:知识点: 参数方程表示的函数的导数思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求导★ (1) 23x at y bt⎧=⎨=⎩; 解:23322t t y dy bt bt dx x at a '==='★ (2) sin cos t tx e t y e t⎧=⎨=⎩; 解:cos sin cos sin sin cos sin cos t t t t t t y dy e t e t t t dx x e t e t t t '--==='++★ (3) 22cos sin x t y t ⎧=⎨=⎩. 解:2sin cos 12cos sin t t y dy t t dx x t t'===-'- 7.求下列参数方程所确定的函数的导数dy dx: 知识点: 参数方程表示的函数的导数思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求一阶导数,再将t 看作中间变量利用复合函数求导法则求二阶导数,★★ (1) 32ttx e y e -⎧=⎨=⎩;解: 22233t t t t t y dy e e dx x e '===-'-22223222414()()()33339t t t tt d y d d dt e e e e dx dx dt dx e -=-=-=-⋅-= ★★ (2) 231x t y t t⎧=-⎨=-⎩;解:22131322t t y dy t t dx x t t'--===-'-22222223131362131()()22424d y d t d t d t t t d x d x t d t t d x t t t----+∴=-=-=-⋅=-- ★★ (3) 2ln(1)arctan x t y t t ⎧=+⎨=-⎩.解: 22111221t t y dy t t t dx x t-'+==='+ 2222111()()22224d y d t d t dt t t dx dx dt dx t t ++===⋅= ★★ 8.落在平静水面上的石头,产生同心波纹,若最外一圈波半径的增大率总是6/2m ,问在2s 末扰动水面面积的增大率为多少?知识点: 导数的定义思路: 导数反映的函数的变化率,列出函数求导解:设最外一圈波半径为r ,则水面面积2s r π=∴扰动水面面积的增大率22ds rdr dr r dt dt dtππ== (*) 在2t s =时,6212r m =⨯=. 6/drm s dt=代入(*)式得22126144(/)dsm s dtππ=⨯⨯=★★ 9.一长为5米得梯子斜靠在墙上.如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑离墙壁,试求梯子与墙的夹角为3π时,该夹角的增加率.知识点: 导数的定义思路: 导数反映的函数的变化率,列出函数求导 解:设梯子下端离墙面的距离为L ,则0.5L t =设梯子与墙的夹角为α,则0.5sin 5510L t t α=== arcsin 10t α∴= 当3πα=时,535sin32L π==,即530.52t = 53t ∴=∴当3πα=时,夹角α的增加率为5321110|51()10t d dtt α===- ★★ 10.在中午十二点整甲船以6公里/小时的速率向东行驶,乙船在甲船之北16公里处,以8公里/小时的速率向南行驶,问下午一点整两船相距的速率为多少?知识点: 导数的定义思路: 导数反映的函数的变化率,列出函数求导解:在十二点后t 小时甲船行驶的路程6s t =甲(km),乙船行驶的路程为8s t =乙(km)当02t≤≤时,甲乙两船的距离2222(16)(168)3664(2)s t t t t =+-=+-甲乙∴当1t =时,甲乙两船相距的速率122256200| 2.823664(2)t ds tdt t t =-+==-+-甲乙km/h习题2-5★ 1.已知13-=x y ，在点2=x 处计算当x ∆分别为1，0.1，0.01时的y ∆及dy 之值.知识点：函数增量以及函数微分的定义思路：利用函数增量以及函数微风的定义计算即可解：8)2()2()2(3-∆+=-∆+=∆x f x f y dx dx f dy x 12)2(|2='==)1(当1=∆x 时，19833=-=∆y12112=⨯=dy(2) 当1.0=∆x 时，261.18)1.2(3=-=∆y 2.11.012=⨯=dy(3) 当01.0=∆x 时，120601.08)01.2(3=-=∆y 12.001.012=⨯=dy★ 2.将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：知识点：微分形式的不变性思路：利用du u f dy )('=求函数微分(1)xdx d 5)(=解：xdx x d 2)(2= xdx c x d 5)25(2=+∴(2)xdx d ωsin )(=解：xdx x d ωωωsin )(cos -= x d xc xd ωωωs i n )c o s 1(=+-∴ (3)dx xd +=21)(解：dx x x d +=+21))2(ln( dx xc xd +=++∴21))2(ln( (4)dx e d x 2)(-=解：dx e ed x x222)(---= dx e c e d x x 22)21(--=+-∴(5)dx x d 1)(=解：dx xx d 21)(=dx xc xd 1)2(=+∴ (6)xdx d 2sec )(2=解：xdx x d 2sec 2)2(tan 2= x d xc xd 2se c )2t a n 21(2=+∴ 3.求下列函数的微分：知识点：基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，复合函数的导数，以及微分的定义 思路：利用dx x f dy )('=求函数微分★ (1)x x y 2ln +=解：x x y 11+=' dx xx dy )11(+=∴★（2）x x y 2sin =解：x x x y 2cos 22sin +=' dx x x x dy )2cos 22(sin +=∴★ (3)22x y x e =解: 22222()()2(1)xx x y x ex e x x e '''=+=+ 22(1)x dy x x e dx ∴=+★ (4)3ln 1y x =-解:3233(1)32(1)1x x y x x '-'==--- 2332(1)x dy dx x ∴=-- ★ (5)2()x x y e e -=+解:222()()2()xxxxxx y e e e e ee ---'=+-=- 222()x x dy e e dx -∴=-★ (6)y x x=-解:()2124x x x y x xx x x'--'==--214x dy dx x x x-∴=-★ (7)221arctan1x y x -=+解:2224221()21111()1x x x y x x x -'+'==--+++ 421x dy dx x =-+ ★★ (8)21cos()x x x y a a arc a =+-解:2222(1)()ln arccos()1[]211x x xx xxxa a y a a a a a a'-'=++----2222ln ln ln cos()ln cos()11x x xx xx xxa a a a a a arc a a a arc a a a =--=---22ln cos()1x x xa a dy arc a dx a ∴=--★★ 4.求方程2()ln()y x x y x y -=--所确定的函数()y y x =的微分dy .知识点: 微分的四则运算法则和微分形式的不变性 思路: 方程两边同时求微分,再解出dy解:方程两边同时求微分, (2)()ln()()(ln())d y x d x y x y x y d x y -=--+--即2()ln()()dx dydy dx dx dy x y x y x y--=--+-⋅-化简得2ln()3ln()x y dy dx x y +-=+-★★ 5.求由方程22cos()xy x y =所确定的函数y 的微分.知识点: 微分的四则运算法则和微分形式的不变性 思路: 方程两边同时求微分,再解出dy解:方程两边同时求微分,得22(cos())()d xy d x y = 即sin()()2()xy dydx xdy xy dx xdy -+=+化简得222sin()sin()2xy y xy dy dx x xy x y +=-+★★ 6.当||x 较小时,证明下列近似公式:知识点: 微分的应用思路: 当||x 较小时,()(0)(0)f x f f x '≈+(1)sin x x ≈解:当||x 较小时,()(0)(0)f x f f x '≈+sin sin0cos0x x x ∴≈+⋅= 即sin x x ≈(2)1x e x ≈+ 解:00x e e e x ≈+ 即1xe x ≈+ (3)11n x x n+≈+解: 11111(10)(10)nnn x x n -+≈+++⋅ 即111n x x n+≈+⋅★★ 7.计算下列格式的近似值:知识点: 微分的应用思路: 当||x 较小时,00()()()f x f x f x x '≈+ (1)1001.002解: 令100(),f x x =则991001()100f x x -'=取01,0.002,x x =∆=得10011.002(1)(1)10.002 1.00002100f f x '≈+∆=+⨯= (2) 0cos29解:令()cos f x x =,则()sin f x x '=-取0306x π==,1180x π∆=-=-,得3cos 29cos(sin )()661802360ππππ≈+-⋅-=+(3) arcsin0.5002解:令()arcsin f x x =,则21()1f x x'=-取00.5,0.0002x x =∆=,得213arcsin 0.5002arcsin 0.50.0002675001(0.5)π≈+⨯=+-。
导数与微分练习题及习题详细解答
第二章 导数与微分练习题及习题详细解答练习题2.11．已知质点作直线运动的方程为23s t =+，求该质点在5t =时的瞬时速度．解 由引例2.1可知，质点在任意时刻的瞬时速度d 2d sv t t==．代入5t =，得10v =． 2．求曲线cos y x =在点π(6处的切线方程和法线方程． 解 由导数的几何意义知，曲线cos y x =在π(6点切线的斜率 ππ661(cos )(sin )2x x k x x =='==-=-，所以，切线方程为1π()226y x -=--，即612π=0x y +-．法线方程为π2()6y x =-，即1262π=0x y -+． 3．讨论函数32,0()31,013,1x f x x x x x ⎧≤⎪=+<≤⎨⎪+>⎩在0x =和1=x 处的连续性与可导性．解 在0x =处，0lim ()lim 22x x f x --→→==，0lim ()lim (31)1x x f x x ++→→=+=， 由于0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，所以不连续，根据可导与连续的关系知，也不可导． 在1x =处，11lim ()lim(31)4x x f x x --→→=+=，311lim ()lim(3)4x x f x x ++→→=+=，(1)4f =， 所以连续．又00(1)(1)3(1)lim lim 3x x f x f xf x x---∆→∆→+∆-∆'===∆∆， 2300(1)(1)33()()(1)lim lim 3x x f x f x x x f x x+++∆→∆→+∆-∆+∆+∆'===∆∆，所以可导．4．已知函数()f x 在点0x 处可导，且0()f x A '=，求下列极限：000(5)()(1)limx f x x f x x ∆→-∆-∆； 000(2)()(2)lim h f x h f x h →+-解 （1）000000(5)()(5)()55()55limlim x x f x x f x f x x f x f x A x x ∆→∆→-∆--∆-'=-=-=-∆-∆;(2)000000(2)()(2)()22()22limlim h h f x h f x f x h f x f x A h h →→+-+-'===．5．求抛物线2y x =上平行于直线43y x =-+的切线方程．解 由于切线平行于43y x =-+，所以斜率为4k =-．又2k y x '==，所以2x =-．对应于抛物线上的点为(2,4)-，所以切线方程为44(2)y x -=-+，即440x y ++=．练习题2.21．求下列函数的导数：（1）100(21)y x =-； （2）22e xxy +=；（3）sin(3π)y x =+； （4）2cos y x =； （5）2e sin x y x =； （6）2ln(1)y x =+； （7）tan 2y x =； （8）cot 3y x =； （9）arctan(31)y x =+； （10）arcsin(41)y x =+． 解 （1）9999100(21)(21)200(21)y x x x ''=--=-； （2）22222e (2)e (41)xxxxy x x x ++''=+=+；（3）cos(3π)(3π)3cos(3π)y x x x ''=+⋅+=+； （4）2cos (cos )2sin cos sin 2y x x x x x ''=⋅=-=-；（5）22222(e )sin e (sin )2e sin e cos e (2sin cos )xxxxxy x x x x x x '''=+=+=+； （6）22212(1)11x y x x x''=⋅+=++； （7）22sec 2(2)2sec 2y x x x ''=⋅=； （8）22csc 3(3)3csc 3y x x x ''=-⋅=-；（9）2213(31)1(31)1(31)y x x x ''=⋅+=++++；（10）(41)y x ''=+=2．设y =d d y x ．解对于y =[]1ln ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)3y x x x x =+++-+-+ 两边对x 求导，得111111()31234y y x x x x '=+--++++ 所以1111()1234y x x x x '=+--++++ 3．求曲线31x ty t =+⎧⎨=⎩上，点(1,0)处的切线方程． 解 点(1,0)对应参数t 的值为0． 设k 为曲线上对应(1,0)点的切线斜率，则32000d ()30d (1)1t t t y t t k x t ==='===='+，于是，所求切线方程为0y =，即x 轴．4．求由方程3330y x xy --=所确定的隐函数的导数d d y x． 解 方程两边对x 求导，可得22333()0y y x y xy ''--+=由上式解出y '，便得隐函数的导数为22x yy y x+'=-（20y x -≠）． 练习题2.31．求下列函数的微分：（1）22sin 34y x x x =+-+； （2）2ln y x x x =-； （3）2(arccos )1y x =-； （4）arctan y x x =； （5）ln tan 2x y =； （6）sin ln 57xy x x x x=++-； （7）1cos 2xy -=； （8）3(e e )x x y -=+．解 （1）22d (sin 34)d (2sin 23)d y x x x x x x x '=+-+=+-； （2）2d (ln )d (ln 12)d y x x x x x x x '=-=+-； （3）2d ((arccos )1)d y x x x '=-=；（4）2d (arctan )d (arctan )d 1xy x x x x x x '==++； （5）2111d (ln tan )d sec d d csc d 222sin tan 2x x y x x x x x x x '==⋅⋅==；（6）2sin cos sin d (ln 57)d (ln 6)d x x x xy x x x x x x x x-'=++-=++； （7）11cos cos d (2)d 2ln 2sec tan d xxy x x x x --'==-⋅；（8）32d (e e )d 3(e e )(e e )d x x x x x xy x x ---'⎡⎤=+=+-⎣⎦． 2．填空． （1）23d d()x x =（2）21d d()1x x =+ （3）2cos2d d()x x = （4）21d d()x x= 解 （1）3x C +； （2）arctan x C +； （3）sin 2x C +； （4）1C x-+． 3解=()f x =064x =，1x ∆=．因为000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆，()f x ''==所以1188.062516=≈=+=．4．半径为10m 的圆盘，当半径改变1cm 时，其面积大约改变多少？解 圆盘面积函数为2S πR =，并取0R 10m =，R 1cm 0.01m ∆==．因为 S 2πR '= 所以面积改变量2S dS 2πR R 2π100.010.2π0.628m ∆≈=⋅∆=⨯⨯=≈．习题二1．如果函数()f x 在点0x 可导，求：（1）000()()limh f x h f x h →--； （2）000()()lim h f x h f x h hαβ→+--．解 （1）0000000()()()()limlim ()h h f x h f x f x h f x f x h h →-→----'=-=--； （2）00000000()()()()()()lim lim h h f x h f x h f x h f x f x f x h h hαβαβ→→+--+-+--=0000000()()()()limlim ()()h h f x h f x f x h f x f x h hαβαβαβαβ→→+---'=+=+-2．求函数3y x =在点(2,8)处的切线方程和法线方程． 解 由导数的几何意义，得3222()312x x k x x =='===切，112k =-法． 所以，切线方程为812(2)y x -=-即12160x y --=．法线方程为18(2)12y x -=--即12980x y +-=．3．设2, 1(), 1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，试确定,a b 的值，使()f x 在1x =处可导．解 若()f x 在1x =处可导，则必在1x =处连续．1lim ()1x f x -→=，1lim ()x f x a b +→=+， 11lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a b +=． 又2111()(1)1(1)limlim lim(1)211x x x f x f x f x x x ----→→→--'===+=--， 111()(1)1(1)(1)lim lim lim 111x x x f x f ax b a x f a x x x ++-+→→→-+--'====--- 所以 2a =，1b =-． 4．求下列各函数的导数：（1）231251y x x x =-++； （2）2sin y x x =； （3）1cos y x x =+； （4）1ln 1ln xy x-=+．解 （1）23413(251)45y x x x x x''=-++=++；（2）22(sin )2sin cos y x x x x x x ''==+； （3）221(cos )sin 1()cos (cos )(cos )x x x y x x x x x x '+-''==-=+++；（4）21ln (1ln )(1ln )(1ln )(1ln )()1ln (1ln )x x x x x y x x ''--+--+''==++ 2211(1ln )(1ln )2(1ln )(1ln )x x x x x x x -+--==-++ ． 5．求下列函数的导数：（1）36()y x x =-； （2）y =；（3）2sin (21)y x =-； （4）21sin y x x=； （5）ln1xy x=-； （6）[]ln ln(ln )y x =； （7）ln(y x =； （8）arcsin 2x y x =+解 （1）3533526()()6()(31)y x x x x x x x ''=--=--；（2）322(1)y x -'==-； （3）2sin(21)cos(21)(21)2sin(42)y x x x x ''=-⋅-⋅-=-； （4）22221111111()sin(sin )2sin cos ()2sin cos y x x x x x x x x x x x x'''=+=+⋅-=-； （5）lnln ln(1)1x y x x x ==---，∴1111(1)y x x x x -'=-=--； （6）[]{}[]1ln ln(ln )ln(ln )(ln )ln ln(ln )y x x x x x x ''''=⋅⋅=；（7）((1y x ''==+=;（8）1arcsin22x y '=++arcsin arcsin 22x x=+=．6．若以310cm /s 的速率给一个球形气球充气，那么当气球半径为2cm 时，它的表面积增加的有多快？解 设气球的体积为V ,半径为R ，表面积为S ，则34π3V R =，24πS R =． d d d d d d V V R t R t =⋅，d d d d d d S S Rt R t =⋅， 2d d d d dV 12d 8πd d d d dt 4πd S S V R V R t R t V R R t ∴=⋅⋅=⋅⋅=, 将3d 10cm /s d V t =，2cm R =代入得，2d 10cm /s d St=．7．求下列函数的高阶导数：（1）2sin 2y x x =，求y '''； （2）y =5x y =''． 解 （1）Q 22sin 22cos2y x x x x '=+，22sin 24cos24cos24sin 2y x x x x x x x ''=++-22sin 28cos 24sin 2x x x x x =+-，∴24cos28cos216sin 28sin 28cos2y x x x x x x x x '''=+---212cos 224sin 28cos 2x x x x x =--．（2）Q 2y '==y ''==23222(24)(16)x x x -=-，∴5x y =''1027=． 8．求由下列方程所确定的隐函数的导数： （1）3330y x xy +-=； （2）arctan ln yx=． 解 （1）方程两边对x 求导，得22333()0y y x y xy ''+-+=，从中解出y '，得22y x y y x-'=-． （2）方程两边对x 求导，得2222112221()xy y x yy y x x y x''-+⋅=⋅++， 从中解出y '，得x yy x y+'=-． 9．用对数求导法求下列各函数的导数：（1）y =； （2）cos (sin )x y x = (s i n 0)x >．解 （1）方程两边取对数，得11ln ln(23)ln(6)ln(1)43y x x x =++--+，两边对x 求导，得1211234(6)3(1)y y x x x '=+-+-+， 即211[234(6)3(1)y x x x '=+-+-+ （2）方程两边取对数，得cos ln ln(sin )cos lnsin x y x x x ==⋅两边对x 求导，得11sin ln sin cos cos sin y x x x x y x'=-⋅+⋅⋅ sin lnsin cos cot x x x x =-⋅+⋅，即cos (sin )(sin lnsin cos cot )x y x x x x x '=-⋅+⋅．10．求由下列各参数方程所确定的函数()y y x =的导数：（1）33cos sin x a t y b t ⎧=⎪⎨=⎪⎩； （2）e cos e sin tt x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求π2d d t y x =． 解 （1）22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d yy b t t bt t x x a t t a t===--；（2）Q d d e (sin cos )sin cos d d d e (cos sin )cos sin d t t yy t t t tt x x t t t t t++===--， ∴π2d d t y x =π2sin cos 101cos sin 01t t tt t=++===---． 11．求下列函数的微分： （1）ln sin2x y =； （2）1arctan 1x y x+=-； （3）e 0x yxy -=； （4）24ln y y x +=．解 （1）111d (lnsin )d (cos )d cot d 22222sin 2x x xy x x x x '==⋅⋅=； （2）2221(1)(1)1d d d 1(1)11()1x x y x x x x x x-++=⋅=+-++- （3）方程两边同时取微分，得d(e )d()0x yxy -=，2d de (d d )0x yy x x yy x x y y-⋅-+=， 整理得22d d xy y y x x xy-=+．（4）方程两边同时取微分，得312d d 4d y y y x x y+=， 整理得324d d 21x yy x y =+．12．利用微分求近似值：（1）sin3030︒'； （2解 （1）设()sin f x x =，则0π306x ︒==，π30360x '∆==，()cos f x x '=．11 / 11 000sin3030()()()f x x f x f x x ︒''=+∆≈+∆πππsincos 0.507666360=+⋅≈ （2）设()f x =064x =，1x ∆=，561()6f x x -'=．000()()()f x x f x f x x '=+∆≈+∆5611(64)12 2.00526192-⋅=+≈ 13．已知单摆的振动周期2T =2980cm/s g =，l 为摆长（单位为cm ），设原摆长为20cm ，为使周期T 增大0.05s ，摆长约需加长多少？解由2T =224πgT l =，02T =0.05s T ∆=，22πgT l '=． 所以027d 0.050.050.05 2.23cm 2ππgT l l l T '∆≈=⋅∆=⋅===≈， 即摆长约需加长2.23cm ．。
导数与微分测试题
由于 f ( x + 5) = f (5) , 所以 f (6) = f (1) = 0 , f ′(6) = f ′(1) = 2 .
故所求切线方程为 y = 2( x − 6) .
测 验题
(第一、二章 ) 第一、
每题3分 一、填空题 (每题 分，共12分) 每题 分
f (1 + sin x ) − 3 f (1 − sin x ) 即 lim x →0 sin x
f (1 − sin x ) − f (1) f (1 + sin x ) − f (1) = lim +3 x →0 sin x − sin x
= f ′(1) + 3 f ′(1) = 4 f ′(1) = 8 .
二、设曲线 y = x n 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点 为 (ξ n ,0), 求 lim f (ξ n ).
n→ ∞
1 c 满足关系式： 三、设 f ( x ) 满足关系式：af ( x ) + bf ( ) = (| a |≠| b |) . x x 求 f ′( x ) . x −1 ( x + 1)2 ; | x |≤ 1 四、设 f ( x ) = 4 | x |> 1 | x | −1 .
易知 , f ( x ) 在 | x |= 1 处连续 . 在 x = −1 处 ， f ( x ) − f ( −1) − x −1 = −1 , ′ (−1) = lim− f− − = lim− x → −1 x → −1 x − ( −1) x +1
f +′ (−1) = lim f ( x ) − f ( −1) − x → −1+ x − ( −1)
导数与微分真题答案及解析
导数与微分真题答案及解析一、基础概念在微积分中，导数与微分是非常重要的概念。
导数描述了函数在某一点的变化率，而微分则描述了函数在某一点附近的局部变化情况。
了解导数与微分的概念对于解决数学问题至关重要，下面就是一些导数与微分的真题及其答案解析。
二、导数计算真题1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数。
解析：根据导数的定义，可以使用求导法则来计算导数。
对于多项式函数f(x) = ax^n + bx^m + cx^l + ...，其导数可以通过对每一项求导后再相加的方式得到。
根据此法则，对于f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求导后得到f'(x) = 6x - 2。
2. 求函数f(x) = sin(2x)的导数。
解析：根据导数的链式法则，对于复合函数f(g(x))，其导数可以通过对外层函数求导后再乘以内层函数的导数得到。
对于f(x) = sin(2x)，将外层函数设为f(u) = sin(u)，内层函数设为g(x) = 2x，则f'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = cos(2x) * 2 = 2cos(2x)。
三、微分计算真题1. 求函数f(x) = e^x的微分。
解析：对于指数函数f(x) = e^x，其微分可以通过导数乘以微小变化量dx的方式得到。
由于f'(x) = e^x，所以微分df = f'(x) * dx = e^x * dx。
2. 求函数f(x) = ln(x)的微分。
解析：对于对数函数f(x) = ln(x)，其微分可以通过导数除以x的方式得到。
由于f'(x) = 1/x，所以微分df = f'(x) / x = 1 / (x * dx)。
四、综合计算真题1. 求函数f(x) = (x^2 + 1) / (x - 1)在点x = 2处的导数和微分。
解析：首先，求导数。
利用求导法则，对于f(x) = (x^2 + 1) / (x - 1)，可以通过分子分母求导再计算商的导数的方式来求得导数。
导数与微分习题及答案
第二章导数与微分(A)1 .设函数y 二f x ，当自变量x 由x 0改变到x 0 * e x 时，相应函数的改变量 y =()A. f x 0 ： =x B . fx^_x C . f x 0 ： =x f x 0D . f x 0 x2. 设f(x )在 x 处可，则曲区弋ix °)= () A. - f x oB . f -X 。
C . f x oD . 2f x o3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设函数y = f u 是可导的，且u =x 2，则dy=()dxA. f x 2B . xf x 2C . 2xf x 2D . x 2f x 25. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a () A .左导数存在；B .右导数存在；C .左右导数都存在D .有定义6 . f(x)=x-2在点x=2处的导数是() A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y =2x 3 -5x 2 • 4x -5在点2,-1处切线斜率等于()A . 8B . 12C . -6D . 68. 设y=e f 卜且f(x 二阶可导，则y"=() A . e f (x ) B . e f *)f "(x ) C . e f (x )〔f "(x f "(x jD . e f (x X 【f *(x 9 + f*(x 》e axx < 09. 若f"〔b+sin2x, x，0在x=°处可导'则a，b的值应为()717118.210. 若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F X 二 f X g X , G X A f X — g X 在 x ° 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .恰有一个有导数D .至少一个有导数11. 函数fx 与g X 在X o 处都没有导数，则Fx 二fx^gx , G x i= f x -g x 在 X o 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12. 已知F x 二f !g x 1,在x 二X 。
高等数学题库第02章(导数与微分)
第二章 导数与微分习题一一、选择题1.设)(x f 在a x =处可导,则=+--→hh a f h a f h )()(lim( )A.)(2'a fB. )('a fC. )(2'a f -D.0 2.设0)0(=f ,则下述所论极限存在,则=→xx f x )(lim( ) A. )0(f B. )0('f C. )('x f D.03.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000,1arctan )(x x xx x f ，,则)(x f 在点0=x 处( ) A.间断 B.连续,但不可导 C.可导 D.可导且2)0('π=f4.在3=x 处可导,则常数a 和b 的一组值为( )A.6和9B.-6和-9C.6和-9D.-6和95.已知)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,且!3)('=k f ,则=k ( ) A.4 B.3 C.2 D.16. 设)(x f 是偶函数,且在0=x 处可导,则)0('f =( ) A.1 B.-1 C.0 D.以上都不对7.设曲线21x e y -=与直线1-=x 的焦点为p ,则曲线在点p 处的切线方程是( ) A.022=+-y x B. 012=++y x C. 032=-+y x D. 032=+-y x8. 已知曲线L 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==2sin cos ty tx ,则曲线L 上3π=t 出法线方程是( ) A. 0142=+-y x B. 0124=--y x C. 0342=-+y x D. 0324=-+y x 二.填空题1.设函数)()()(22x g a x x f -=,其中)(x g 在点a x =处连续=)('a f .2.设函数)(x f 在()+∞∞-,可导,)1()1()(22x f x f x F -+-=,则=)1('F .3.设x x x f +=sin )(ln ,则=)('x f .4.设)0(1>=x xy x ,则='y . 5.设x z x y ∙=2,则=dy .6.设π<<x 0,则=∙+)cot 1(x x d )(cot x d7.已知)(2)(x fa x =ϕ,且)(2)('x x ϕϕ=,则=)('x f .8.)(2b x f y +=,则=''y .9.设)(x y y =由y y x =+)(ϕ确定，若)('y ϕ存在且1)('≠y ϕ，则=dxdy. 三．下列各题中均假定)(0'x f 存在，按照导数定义，求出下列各题中的A 值（ ） （1）=∆-∆-→∆x x f x x f x )()(lim 000A（2）=→xx f x )(limA 设存在且)0(,0)0('f f = （3）=-+→hx f h x f h )()3(lim000A（4）=--+→hh x f h x f h )()2(lim000A四.设函数()⎩⎨⎧>+≤+=2212x b x x ax x f 在2=x 处可导,求常数a 和b 的值.五.设函数()⎩⎨⎧≥-<=0202x bx x ae x f x 在点0=x 处可导,求常数a 和b 的值.习题二一、选择题1. 2)('=a f ,则=--+→xx a f x a f x )()(lim0( ) A.2 B.-2 C.4 D.-42.设函数)(x f 和)(x g 在0=x 处可导,0)0()0(==g f ,且0)0('≠g ,则=→)()(limx g x f x ( )A.)0()0(''g fB. )()(''x g x f C. )0()0('g f D. )()('x g x f3.下列函数中,在0=x 处既连续又可导的是( ) A.x xx f =)( B. ⎩⎨⎧≤>-=0sin 0,1)(x x x x x f ， C. ⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(0,)(x x x x x f ， D.x y sin =4.满足)()()('''b f a f b a f +=+的函数)(x f =( ) A.2x B.3x C.x e D.x ln5.设)100()4)(3)(2)(1()(++-+-=x x x x x x x f ,则=)1('f ( ) A.!101 B.100!101-C. !100-D. 99!100 6.设a 是实数,函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-∙-=101,11c o s )1(1)(x x x x x f a ，则)(x f 在1=x 处可导时,必有( )A.1-≤aB.01<<-aC.10<≤aD.1≥a7.若)(x f 的一阶导数与二阶导数都存在,且均不等于零,其反函数为)(y x ϕ=,则=)(''y ϕ( )A.)(1''x f B.[]2''')()(x f x f C. []2''')()(x f x f - D. []3''')()(x f x f - 二.填空题1.若对任意实数x ,函数)(x f 满足)()(x f x f -=-,且0)(0'≠=-k x f , 则=)(0'x f .2.已知)(x f e y =,其中f 二阶可导,则=''y .3.设xx x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛11,则=)('x f .4.设抛物线2ax y =与曲线x y ln =相切,则a = .5.设)1ln(2-+=x x y ,则='y .6.设曲线ax x y +=3与曲线c bx y +=2在点()0,1-处相切,其中c b a ,,为常数, 则a = ,b = , c = . 三.求下列函数的一阶导数:1.2ln 222+-=a x x y2.211xx y -+=3.21ln xxy += 4.x x y 2ln +=5.()x x y 32cos 3sin ∙=6.x y arcsin ln 3=7.x x y 2sec arctan ∙=8.xxx y tan 1sin +=9.()22sin sin xxy = 10.xx y ln 2=11.()x x y ln arcsin = 12.()x x y cos cos -=习题三一、选择题1.下列函数中,在0=x 处不可导的是( ) A.x y sin = B. x y cos = C.2ln =y D.x y =2. 下列函数中,在0=x 处可导的是( )A. x y ln =B. x y cos =C. x y sin =D. ⎩⎨⎧≥<=00,2x x x x y ，3.若函数⎩⎨⎧≥-<=0,0,)(2x bx a x e x f x 在0=x 处可导,则b a 、的值必为( )A.1-==b aB. 2,1=-=b aC. 2,1-==b aD. 2==b a4.设函数)(x f 在1=x 处可导,且21)1()31(lim=∆-∆-→∆x f x f x ,则=)1('f ( )A.31B. 61C. 61- D. 31- 5.曲线x e x y +=在0=x 处的切线方程是( )A.012=+-y xB. 022=+-y xC. 01=+-y xD. 02=+-y x 6.曲线1213123+++=bx x x y 在点(0,1)处的切线与x 轴交点的坐标是( ) A.(-1,0) B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,61 C.(1,0) D. ⎪⎭⎫⎝⎛0,617.设xey 2sin =,则=dy ( )A.)(sin 2x d e xB. )(sin 2sin 2x d e x C. )(sin 2sin 2sin x xd e x∙ D. )(sin 2sin x d e x8．若函数)(x f y =有21)(0'=x f ，则当0→∆x 时，)(x f 在点0x 处的微分是（ ） A.与x ∆等价的无穷小量 B.与x ∆同阶,但不等价的无穷小量 C.比x ∆高阶的无穷小量 D. 比x ∆低阶的无穷小量 二.填空题1设函数)(x f 在2=x 处可导,且2)1('=f ,则=+-+→h nh f mh f h )2()2(lim0 。
导数微分练习题专升本
导数微分练习题专升本### 导数微分练习题#### 一、基础导数题1. 求导函数：设 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，求 \( f'(x) \)。
2. 复合函数求导：若 \( g(x) = (2x^3 - x)^4 \)，求 \( g'(x) \)。
3. 隐函数求导：给定 \( xy^2 - x^3 + y = 6 \)，求 \( y' \)。
4. 参数方程求导：设 \( x = t^2 \)，\( y = t^3 \)，求\( \frac{dy}{dx} \)。
5. 高阶导数：若 \( f(x) = x^3 \)，求 \( f'''(x) \)。
#### 二、导数的应用6. 切线问题：已知 \( f(x) = x^2 \)，求在 \( x = 1 \) 处的切线方程。
7. 单调性：判断函数 \( g(x) = \ln(x) \) 在 \( x > 0 \) 时的单调性。
8. 极值问题：求函数 \( h(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 的极值点。
9. 凹凸性：判断函数 \( k(x) = -x^4 + 4x^3 - 3x^2 \) 的凹凸性。
10. 函数的增长速度：比较 \( f(x) = e^x \) 和 \( g(x) = x^2 \) 在 \( x \) 趋于无穷大时的增长速度。
#### 三、微分练习题11. 一阶微分：设 \( z = x^2y + xy^2 \)，求 \( dz \)。
12. 隐函数微分：若 \( x^2 + y^2 = 4 \)，求 \( dy \)。
13. 参数方程微分：给定 \( x = e^{\theta} \)，\( y =e^{2\theta} \)，求 \( dy \)。
14. 函数的线性近似：使用 \( f(x) = \sin(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的线性近似来估计 \( \sin(0.1) \)。
导数和微分练习题(答案版)
1. 13arctan )1()(2+--=x x x x f ,求f’(1) 2. 设1lim )()1()1(2+++=--∞>-x n x n n e b ax e x x f 是区间),(+∞-∞内是可导函数，试确定常数a,b 3. 设f(x)是周期为2的周期函数，且在点x=1处连续，22cos ]3)(ln[lim 1=+>-xx f x π,求曲线y=f(x)在(-1,f(-1))处的切线方程。
4. 设函数在),(+∞-∞内有定义，对任意的x,y 都有)()()(x f e y f e y x f y x +=+,e f =)0(',求f （x ）的表达式5. 设函数0,)(;0,)()(==≠-=-x a x f x x e x x f xϕ,其中的)(x ϕ具有二阶导数，且1)0(',1)0(-==ϕϕ1) 确定常数a 的值，使得f （x ）在x=0时连续2) 求f’(x);3) 讨论f’(x)在区间),(+∞-∞内的连续性6. 设函数)()()(x g x f x F =，如果f(x)在x 0点可导，g （x ）在x 0点连续不可导，证明：F(x)在x 0点可导⇔f(x 0)=07. 设曲线y=f(x)与曲线y e y x =-++)14tan(π在（1,0）处有公切线. 1）求公切线方程2）计算极限)1(lim +∞>-n n nf n 8. 设f(x)是周期为3的连续函数，在点x=0的某一邻域内恒有x x x f x f 2tan 6)tan 1(2)tan 1(+=--+,已知f(x)在点x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(10.f(10))处的切线方程。
9. 设函数f(x)在x ≤x 0时具有二阶导数，00200,)()()(;),()(x x c x x b x x a x F x x x f x F >+-+-=≤=,试确定常数a ，b ，c ，使得F(x)在x 0处二阶可导。
(完整版)第二章导数与微分(答案)
第二章 导数与微分(一)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( C )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim( A )A ．()0x f '-B ．()0x f -'C ．()0x f 'D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( A ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy( C ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( D )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( D ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( A ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( D )A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'29．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( A )A ．2=a ，1=bB ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( A )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( D )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数 12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( A ) A ．()x f ，()x g 都必须可导 B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( A )A ．211x +-B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x +14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( A )A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( B )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在 16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim()a f '。
高等数学教材题目大全及答案
高等数学教材题目大全及答案一、导数与微分1. 求以下函数的导数，并给出导数的定义：a) f(x) = 3x^2 + 5x - 2b) g(x) = 4/x + 3√x答案：a) f'(x) = 6x + 5b) g'(x) = -4/x^2 + 3/(2√x)2. 对函数f(x) = 2sin(3x)求其微分，并解释微分的几何意义。
答案：f'(x) = 6cos(3x)微分的几何意义是函数在某一点处的切线斜率，即函数的瞬时变化率。
二、定积分与不定积分1. 求下列定积分的值：a) ∫(0 to π/2) sinx dxb) ∫(2 to 5) (3x^2 + 2x - 1) dx答案：a) ∫(0 to π/2) sinx dx = 1b) ∫(2 to 5) (3x^2 + 2x - 1) dx = 85/32. 计算下列不定积分：a) ∫(3x^2 + 4x - 2) dxb) ∫e^x sinx dx答案：a) ∫(3x^2 + 4x - 2) dx = x^3 + 2x^2 - 2x + Cb) ∫e^x sinx dx = (e^x sinx) - (e^x cosx) + C三、级数与收敛性1. 判断以下级数的收敛性：a) ∑(n = 1 to ∞) (1/n^2)b) ∑(n = 1 to ∞) (2^n/n!)答案：a) 收敛，为π^2/6b) 收敛，为e^22. 求以下级数的和：a) ∑(n = 1 to ∞) (1/n)b) ∑(n = 0 to ∞) (3^n/5^n)答案：a) 发散（调和级数）b) ∑(n = 0 to ∞) (3^n/5^n) = 1/(1 - 3/5) = 5/2四、空间解析几何1. 求过点A(1, 2, 3)和B(3, 4, 5)的直线方程，并求其与平面x + 2y + z = 6的交点。
答案：直线方程为 (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(2, 2, 2)交点为 (3, 1, 2)2. 求点P(1, -2, 3)关于平面2x + y - z = 4的对称点P'的坐标。
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第二章 导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆02．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f '3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( )A ．1B ．0C ．-1D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( )A ．8B ．12C ．-6D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f eB ．()()x f e x f ''C ．()()()[]x f x f e x f '''D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'2 9．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( )A ．()x f ，()x g 都必须可导B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( ) A ．211x +- B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x + 14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( ) A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim 。
17．函数1+=x y 导数不存在的点 。
18．设函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22sin πx x f ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛'4πf 。
19．设函数()x y y =由方程0=+-y x e e xy 所确定，则()=0'y 。
20．曲线x y ln =在点()1,e P 处的切线方程 。
21．若()()⎩⎨⎧+=+==t y t t x x f 1ln 22，则==0t dx dy 。
22．若函数()x x e y x sin cos +=，则=dy 。
23．若()x f 可导，()[]{}x f f f y =，则='y 。
24．曲线()()531225+=+x y 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛-51,0处的切线方程是 。
25．讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性：(1)x y sin =；(2) ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin x x x x y 26．已知()⎩⎨⎧≥<=0,0,sin x x x x x f ，求()x f '。
27．设1ln 44+=x xe e y ，求y '及0='x y 。
28．设()()xf x e e f y =且()x f '存在，求dx dy 。
29．已知1111ln 33++-+=x x y ，求y '。
30．已知x x x y +=，求y '。
31．设7777++=x x y ，求2=x dy 。
32．设()()54132x x x y +-+=，求y '。
33．设()2x f y =若()x f '存在，求22dxy d 。
(B)1．设函数()x f 在点0可导，且()00=f ，则()=→xx f x 0lim ( ) A ．()x f ' B ．()0f ' C ．不存在 D ．∞2．若()30-='x f ，则()()=∆∆+-∆+→∆xx x f x x f x 3lim 000 ( ) A ．-3 B ．6 C ．-9 D ．-123．若函数()x f 在点a 可导，则()()=+-→hh a f a f h 32lim0( ) A ．()a f '-32 B ．()a f '-23 C ．()a f '32 D ．()a f '23 4．设()⎩⎨⎧≤>+-=1,11,222x x x x x f 则()x f 在1=x 处( ) A ．不连续 B ．连续，但不可导C ．连续，且有一阶导数D ．有任意阶导数5．函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-+=0,210,11x x x x x f 在0=x 处( ) A ．不连续 B ．连续不可导C ．连续且仅有一阶导数D ．连续且有二阶导数6．要使函数()⎪⎩⎪⎨⎧≠==0,00,1sin x x x x x f n 在0=x 处的导函数连续，则n 应取何值？ ( )A ．0=nB ．1=nC ．2=nD ．3≥n7．设函数()x f 有连续的二阶导数，且()00=f ，()10='f ，()20-=''f ，则极限()20lim xx x f x -→等于( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．-18．设()x f 在0=x 的某领域内有定义，()00=f ，且当0→x 时，()x f 与x 为等价无穷小量，则( )A ．()00='fB ．()10='fC ．()0f '不存在D ．不能断定()0f '的存在性9．设()x f 为奇函数，且()20='x f ，则()=-'0x f ( )A ．-2B ．21C ．2D ．21- 10．设函数()()()()()4321----=x x x x x x f ，则()='0f ( )A ．0B ．24C ．36D ．4811．已知0→x 时，()()0f x f -是x 的等价无穷小量，则()()=--→hh f f h 200lim0 ( )A ．-2B ．-1C ．2D ．不存在12．若()x f 在0x 可导，则()x f 在0x 处( )A ．必可导B ．连续但不一定可导C ．一定不可导D ．不连续13．若()u f 可导，且()x e f y -=sin ，则=dy 。
14．设()x y 是由方程x y y =-sin ε(10<<ε，ε常数)所定义的函数，则=''y 。
15．若()x f 在a x =处可导，则()()=--+→hmh a f nh a f h 0lim 。
16．若ϕ为二阶可微函数，则()[]2ln x y ϕ=的()=''x y 。
17．已知()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,sin 12x x x x x f 则()='0f ，=⎪⎭⎫ ⎝⎛'2πf 。
18．已知()()⎩⎨⎧+=-=t t t a y t t t a x sin cos cos sin ，则==π43t dy dx 。
==π4322t dy x d 。
19．若112-=x y ，则()=5y 。
20．若()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,12x x x arctg x x f ，则()='0f ，()='x f ，()=+→xx f x 0lim 。
21．已知()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,10,122x x x e x f x ，求()x f '。
22．设()()()x g a x x f 22-=，其中()x g 在a x =处连续，求()a f '。
23．如果()x f 为偶函数，且()0f '存在，证明()00='f 。
24．设()x f 对任意的实数1x 、2x 有()()()2121x f x f x x f =+，且()10='f ，试证()()x f x f ='。
25．已知21ln x xarctgx y +-=，求y '。
26．已知x x y sin 21sin 2arcsin ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛<2πx ，求y '。
27．设()x x x a a a y arccos 12-+=，求dy 。
28．设x e x x y -=1sin ，求y '。
29．设⎩⎨⎧-==t t t y t x cos sin cos ln ，求dx dy ，322π=t dx y d 。
30．函数()x y y =由方程22ln y x x y arctg +=确定，求dxdy 。
(C)1．可微的周期函数其导数( )A ．一定仍是周期函数，且周期相同B ．一定仍是周期函数，但周期不一定相同C ．一定不是周期函数D ．不一定是周期函数2．若()x f 为()l l ,-内的可导奇函数，则()x f '( )A ．必有()l l ,-内的奇函数B ．必为()l l ,-内的偶函数C ．必为()l l ,-内的非奇非偶函数D ．可能为奇函数，也可能为偶函数3．设()xx x f n 1sin =(0≠x )且()00=f ，则()x f 在0=x 处 ( )A ．令当()()001sin lim lim 00===→→f xx x f n x x 时才可微 B ．在任何条件下都可微 C ．当且仅当2>n 时才可微D ．因为x1sin 在0=x 处无定义，所以不可微 4．设()()()x a x x f ϕ-=，而()x ϕ在a x =处连续但不可导，则()x f 在a x =处( )A ．连续但不可导B ．可能可导，也可能不可导C ．仅有一阶导数D ．可能有二阶导数5．若()x f 为可微分函数，当0→∆x 时，则在点x 处的dy y -∆是关于x ∆的( )A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．低价无穷小D ．不可比较6．函数()x f y =在某点处有增量2.0=∆x ，对应的函数增量的主部等于0.8，则()='x f ( )A ．4B ．0.16C ．4D ．1.67．()()()2121ln cos 1lim 20=-+--+-→x x e d x c x b atgx ，其中022≠+c a ，则必有( )A ．d b 4=B ．d b 4-=C ．c a 4=D ．c a 4-=8．设()()21ln lim 220=+-+→x bx ax x x ，则( ) A ．1=a ，25-=b B ．0=a ，2-=b C ．0=a ，25-=b D ．1=a ，2=b 9．设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1,1,3223x x x x x f 则()x f 在点1=x 处的( )A ．左、右导数都存在B ．左导数存在，但右导数不存在C ．左导数不存在，但右导数存在D ．左、右导数都不存在10．设()x f 在()+∞∞-,内可导，且对任意1x ，2x ，当21x x >时，都有()()21x f x f >，则( )A ．对任意x ，()0>'x fB ．对任意x ，()0≤-'x fC ．函数()x f -单调增加D ．函数()x f --单调增加11．设()x f 可导，()()()x x f x F sin 1+=，若使()x F 在0=x 处可导，则必有( )A ．()00=fB ．()00='fC ．()()000='+f fD ．()()000='-f f12．设当0→x 时，()12++-bx ax e x 是比2x 高阶的无穷小，则( )A ．21=a ，1=b B ．1=a ，1=b C ．21=a ，1=b D ．1-=a ，1=b 13．设函数()x f 在区间()δδ,-内有定义，若当()δδ,-∈x 时，恒有()2x x f ≤，则0=x 是()x f 的( )A ．间断点B ．连续而不可导点C ．可导的点，且()00='fD ．可导的点，且()00≠'f14．设0→x 时，x tgx e e -与n x 是同阶无穷小，则n 为( )A ．1B ．2C ．3D ．415．函数()()x x x x x f ---=322不可导点的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．016．已知函数()x y y =在任意点x 处的增量α++∆=∆21x x y y 且当0→∆x 时，α是x ∆的高阶无穷小，()π=0y ，则()=1y ( )A ．π2B ．πC ．4πe D ．4ππe 17．设()()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,0,cos 12x x g x x x x f 其中()x g 是有界函数，则()x f 在0=x 处( ) A ．极限不存在 B ．极限存在，但不连续C ．连续，但不可导D ．可导。