高考数学秒杀必备： 涂色问题的常见解法及策略
数学选修2-3-涂色问题
涂色问题解题通法定理1(直线型结构）：用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(2)n n ≥个区域组成的直线型结构图涂色，则总的不同涂法有()11n mn L m m -=-种.证明：由分步计数原理按序号逐个涂色即可。
定理2（星型结构):用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(2)n n ≥个区域组成的星型结构图涂色，则总的不同涂法有()11n mn S m m -=-种.证明:由分步计数原理按序号逐个涂色即可。
定理3（环形结构）：用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(3)n n ≥个区域组成的环形结构图涂色，则总的不同涂法有()()()111nnm n R m m =-+--种。
证明：1m m m n n n R R L -+=(m n L 中头尾不同的涂法数为mn R ，头尾相同时，头尾看作一个区域，涂法数为1m n R -),即()111n m mn n R R m m --+=-，∴()()1111n n mmn n R m R m --⎡⎤--=---⎣⎦，求通项即可 或()()1221mmmn n n R m R m R --=-+-定理4(全连通型结构)：用()m m n ≥种颜色给由n 个区域组成的全连通型结构图(任何两个区域都连通，如图）涂色，则总的不同涂法有m nn m T A =种.证明：任何两个区域都连通，所以颜色各不相同。
方法应用例1。
将三种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植一种作物，不同的种植方法有 种。
(以数字作答)答:结构抽象如右图，涂法数为：()()515132255333122148642L L C ---=⨯--⨯⨯-=-=例2.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)。
现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种。
（以数字作答）答：结构抽象如右图，涂法数为:()()()55354431311120R ⎡⎤⨯=⨯-+--=⎣⎦(先涂中间）例3。
排列组合问题之涂色问题（四个方面）
排列组合问题之涂色问题（四个方面）
1区域涂色问题
1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法。
2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数。
3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论。
从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数。
4、根据相间区域使用颜色分类讨论。
5、用数列递推公式解决扇形区域涂色问题。
2点涂色问题
3线段涂色问题
方法：㈠根据共用了多少颜色分类讨论。
㈡根据相对线段是否同色分类讨论。
解决线段涂色问题，要特别注意对各条线段依次涂色。
4面涂色问题。
涂色问题的解题思路2
涂色问题的解题思路我们在解排列、组合问题时，会经常遇到一类有n种颜色给m个区域涂色问题。
解这类问题，容易产生错误，现介绍求解决这类问题的一般思路。
一、直线型例1，用四种不同的颜色，给图1中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同颜色，共有多少种不同的涂色方法？图1 图2分析：如果把每个区域分开，相邻的区域用线段连接，便得如图2的直线型。
思路一：直接给各个区域涂色，涂区域1有14C种方法，涂区域2时，由于要与区域1不同色，故只有13C种方法，同理涂区域3和4均有13C种方法，所以共有涂色方法13131314CCCC=108（种）。
思路二：按选取颜色多少来分类：用四种颜色有44A种方法；用三种颜色，则必有两个区域同色，只可能是区域1与3，1与4，2与4同色，同色“捆绑”有13C种方法，而四色选三色有34C种方法，故有331334ACC种方法；同理用两种颜色有221224ACC种方法；由于至少要用两种颜色，故共有涂色方法10822122433133444=++ACCACCA种。
小结：比较这两种思路，对于直线型，思路一会较容易一些。
二、环型例2，用四种不同的颜色，给图3中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同颜色，共有多少种不同的涂色方法？图3 图4分析：将图3分拆，即得图4的环型，此类题若按例1直线型中思路1来解得7212131314=CCCC（种），这个结论是错误的。
事实上区域4与2、3均相邻，这是与例1的区别所在，故在给区域4涂色时，需考虑区域2、3的色同与不同，因此对于环型，应分类研究。
思路一：按区域2、3的颜色同与不同可分两类：若区域2、3同色，则有131314CCC=36（种）；若区域2、3不同色则有12121314CCCC=48（种），故共有131314CCC+12121314CCCC=84（种）。
思路二：按所选取的颜色多少来分类：选4种颜色时，有44A种涂法；选3种颜色时，有331234ACC种涂法；选2种颜色时，有2224AC种涂法，因为至少需用两种颜色，故共有涂色方法84222433123444=++ACACCA（种）。
涂色问题的解题技巧
ʏ江苏省张家港中等专业学校 张 娴 韩文美排列组合中有一类常见问题涂色问题,此类问题基于两个计数原理与排列组合知识,关注图形的结构特征,解决方法技巧性强且灵活多变,有利于培养同学们的创新思维能力㊁分析问题与观察问题以及解决问题的能力,已成为数学命题中比较常见的一类基本题型,备受各方关注㊂1.直线型涂色问题图1例1 (2022 2023学年江苏省常州一中高二下学期段考数学试卷)现有6种不同的颜色,给图1中的5个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用4种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有种㊂分析:根据题设条件,选出的颜色可以是2种,3种或者4种,依次通过直线型的图形结构特征求出方法数,通过分类法求和,即可得以分析与求解㊂解:由题意选出的颜色可以是2种,3种或者4种,规定左边起为第一个空,不同情况如下㊂当选出2种颜色时,第一个空有2种选择,第一个空颜色确定后,其余空颜色就确定了,共有C 26ˑ2=30(种)方法㊂当选出3种颜色时,第一个空有3种选择,第二个空有2种选择,第三个空可分为与第一个空颜色相同和不同的情况,第四个空和第五个空都各有2种选择,但要去掉整体只用了2种颜色的情况,共有C 36C 13C 12㊃(C 12C 12+C 12C 12)-2C 36C 23=840(种)方法㊂当选出4种颜色时,必有2种颜色相同,可采用插空法,将这2种相同颜色去插入另外3种颜色形成的空,共有C 46C 14A 33C 24=2160(种)方法㊂综上分析,不同的涂色方法共有30+840+2160=3030(种)㊂点评:直线型涂色问题往往从第一个位置入手,逐一分析,在前一个已涂色的条件下涂下一个位置,注意对不同位置的分析加以合理分类讨论与分步处理,进而确定直线型涂色问题的种数㊂2.区域型涂色问题图2例2 (2022 2023学年湖北省武汉市高二下学期期中数学试卷)七巧板是古代劳动人民智慧的结晶㊂图2是某同学用木板制作的七巧板,它包括5个等腰直角三角形㊁一个正方形和一个平行四边形㊂若用四种颜色给各板块涂色,要求正方形板块单独一色,其余板块两块一种颜色,而且有公共边的板块不同色,则不同的涂色方案有种㊂分析:根据题设条件,先对七巧板中的不同区域加以合理标记,并通过画图分析其中四板块A ,B ,C ,D 必涂上不同颜色,再根据分类㊁分步计数原理计算剩下的部分即可得以分析与求解㊂解:由题意知,对七巧板中的不同区域加以合理标记,如图3所示㊂93解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年3月图3由于一共4种颜色,板块A 需单独一色,剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色,且板块B ,C ,D 两两有公共边不能同色,故板块A ,B ,C ,D 必定涂不同的颜色㊂①当板块E 与板块C 同色时,则板块F ,G 与板块B ,D 或板块D ,B 分别同色,共有2种情况㊂②当板块E 与板块B 同色时,则板块F 只能与D 同色,板块G 只能与C 同色,共1种情况㊂又板块A ,B ,C ,D 颜色可排列,故共(2+1)ˑA 44=72(种)方案㊂点评:区域型涂色问题,应该给区域依次标上相应的序号,以便分析问题㊂在给各区域涂色时,要注意不同的涂色顺序,其解题就有繁简之分㊂在实际解答时,应按不同的涂色顺序多多尝试,看哪一种最简单㊂3.立体型涂色问题图4例3 (2024届上海市七宝中学高三上学期期中数学试卷)某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具,如图4所示,现给图中的正方体展开图的6个区域涂色,有红㊁橙㊁黄㊁绿4种颜色可选,要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同,共有种不同的涂色方法㊂分析:根据题设条件,由正方体展开图的平面图形回归正方体的立体图形,先从涂A 入手,再分C 与F 同色㊁C 与F 不同色两种情况讨论,利用分步㊁分类计数原理分析与运算可得答案㊂图5解:如图5所示,还原回正方体后,D ㊁B 为正方体的前后两个对面,A ㊁E 为正方体的左右两个对面,F ㊁C 为正方体的上下两个对面,先涂A有4种涂法㊂①当C 与F 同色时,涂C 有3种涂法,若D 与B 同色,则有2种涂法,最后涂E 有2种涂法;若D 与B 不同色,则有A 22种涂法,最后涂E 有1种涂法㊂则有4ˑ3ˑ(2ˑ2+A 22ˑ1)=72(种)涂法㊂②当C 与F 不同色时,涂C 有3种涂法,涂F 有2种涂法,此时D 与B 必同色且只有1种涂法,E 也只有1种涂法㊂则有4ˑ3ˑ2ˑ1ˑ1=24(种)涂法㊂综上分析可得,一共有72+24=96(种)不同的涂法㊂点评:立体型涂色问题,往往要同时考虑平面几何的结构特征,又要考虑立体几何的结构特征,综合 二维 与 三维 中的涂色要求与限制条件,全面考查同学们的空间想象能力与逻辑推理能力㊂4.环状型涂色问题图6例4 (2024届浙江省名校联盟高三上学期9月份月考数学试卷)五行是华夏民族创造的哲学思想,多用于哲学㊁中医学和占卜方面㊂五行学说是华夏文明重要的组成部分㊂古代先民认为,天下万物皆由五类元素组成,分别是金㊁木㊁水㊁火㊁土,彼此之间存在相生相克的关系㊂图6是五行图,现有5种颜色可供选择给五 行 涂色,要求五行相生不能用同一种颜色(例如金生火,水生木,不能同色),五行相克可以用同一种颜色(例如水克火,木克土,可以用同一种颜色),则不同的涂色方法种数为( )㊂A.3125 B .1000C .1040D .1020分析:根据题设条件,从数学文化场景中加以合理转化,抽象问题的本质与内涵,通过环状型涂色问题来转化,并加以分析,先根据不相邻区域是否同色进行分类,确定涂色顺序,再分步计数即可㊂解:依题可知五行相克可以用同一种颜4 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年3月色,也可以不用同一种颜色,即无限制条件而五行相生不能用同一种颜色,即相邻位置不能用同一种颜色㊂故问题转化为图7中A ,B ,C ,D ,E 5个区域,有5种不同的颜色可用,要求相邻区域不能涂同一种颜色,即5种颜色5个区域的环状涂色问题㊂图7分为以下两类情况㊂第一类,A ,C ,D 3个区域涂3种不同的颜色㊂第一步涂A ,C ,D 区域,从5种不同的颜色中选3种按顺序涂在不同的3个区域上,则有A 35种方法;第二步涂B 区域,由于A ,C 颜色不同,则有3种方法;第三步涂E 区域,由于A ,D 颜色不同,则有3种方法㊂由分步计数原理知,共有3ˑ3ˑA 35=540(种)方法㊂第二类,A ,C ,D 3个区域涂2种不同的颜色㊂C ,D 不能涂同种颜色,则A ,C 涂色相同,或A ,D 涂色相同,两种情况方法数相同㊂若A ,C 涂色相同,第一步涂A ,C ,D 区域,A ,C 可看成同一区域,且A ,D 区域不同色,即涂2个区域不同色,从5种不同的颜色中选2种按顺序涂在不同的2个区域上,则有A 25种方法;第二步涂B 区域,由于A ,C 颜色相同,则有4种方法;第三步涂E 区域,由于A ,D 颜色不同,则有3种方法㊂由分步计数原理知,共有4ˑ3ˑA 25=240(种)方法㊂若A ,D 涂一色,与A ,C 涂一色的方法数相同,则共有2ˑ240=480(种)方法㊂由分类计数原理可知,不同的涂色方法数为540+480=1020㊂选D ㊂点评:求解环状型涂色问题,是基于直线型涂色问题加以分析与处理,同时要考虑最后一个位置与原来第一个位置之间的限制,这样才能形成一个闭环,这也是解决问题中比较容易出错的一个环节,要加以高度重视㊂5.探究型涂色问题例5 (2023年吉林省长春市高考数学质检试卷)将圆分成n (n ȡ2,且n ɪN *)个扇形,每个扇形用红㊁黄㊁蓝㊁橙四色之一涂色,要求相邻扇形不同色,设这n 个扇形的涂色方法为a n 种,则a n 与a n -1的递推关系是㊂分析:根据题设条件,对n 个扇形依次加以编号,按n =2与n >2两种情况加以分类讨论a n 的情况,由分步计数原理得到a n 与a n -1之间的关系㊂解:将圆分成n 个扇形时,将n 个扇形依次设为T 1,T 2, ,T n ㊂设这n 个扇形的涂色方法为a n 种㊂当n =2时,a 2=4ˑ3=12㊂当n >2时,T 1有4种涂法,T 2有3种涂法,接着T 3,T 4, ,T n -1,T n ,依次有3种涂法,故共有4ˑ3n -1种涂法㊂但当T n 与T 1的颜色相同时,有a n -1种涂法,a n =4ˑ3n -1-a n -1㊂点评:求解探究型涂色问题,往往从最简单的图形入手,依次分析两个图形涂色之间的联系与差别,进而加以合理推理,构建相应的关系式,得以解决对应的探究性问题,从而实现问题的解决㊂对于涂色问题,抓住探究问题的本质,结合涂色图形的结构特征,以及涂色的种数与限制条件,从关键点入手,结合选取颜色加以分析,合理分类讨论,借助两个计数原理以及排列组合知识,注意 重 或者 漏 的情形,进而加以合理操作与计算㊂(责任编辑 徐利杰)14解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年3月。
高中数学中涂色问题的解法
高中数学中涂色问题的解法涂色问题是高中数学中的一类比较复杂而且重要的问题，高考中多次涉及。
这种题目根据条件可分为颜色必须用完和不必用完两种。
根据需要涂色的图形可分为条状结构和环状结构两种。
解决问题的方法也有依次去涂和按所用颜色种数分类讨论两种。
作题时只要弄清条件和图形的结构，再把每种结构下解决问题的方法弄清楚，就可以了。
下面我们就用历年高考题中的涂色问题作为例子。
一、条状结构例1：将3种作物种植在5 块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，共有多少种种植方法？分析：从数学角度上来看，这是一个条状结构且颜色必须用完的问题。
我们先用依次来涂的方法，再用所用颜色种数来讨论的方法。
解1：只管从左到右依次来种。
若三种作物可种完可不种完共有3·2·2·2·2=48 种方法，其中只种两种作物共有C23·2=6种方法，所以共有48-6=42 种方法。
解2：三种作物必须种完，那就不必讨论颜色种数。
（1）把这五块地分为3，1，1三组。
①③⑤必为一组，所以地块分组只有一种方法，再种上三种作物共有A33=6 种方法。
（2）把这五块地分为2，2，1 三组。
①③同组时，②④也可和⑤同组，有两种方法，同理①④同组时也有两种方法，①⑤同组时有1 种方法，①自己一组时有1 种方法，所以地块分组共有6 种方法，再种有6A33种方法。
由（1），（2）知共有42种方法。
可见：条状结构若不按颜色分类，只管依次去涂即可，非常简单，只要考虑清楚颜色必须用完还是可不用完即可。
若按颜色分类，颜色有几种就把图形中的区域分为几组，再往每组涂色即可，结果即是分组的办法数与Amn的积。
其中n 为全部可用颜色种数，m 为实际使用颜色种数。
变式：用5种不同的颜色给图中A，B，C，D 四个区域涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？分析：因为D 区域和其他三区域都相邻，A 和C 又不相邻，所以把D 涂完后，就是条状结构的问题。
高中数学涂色问题常用技巧
高中数学涂色问题常用技巧王忠全涂色问题是一个复杂而有趣的问题，高考中不时出现，处理涂色问题常用的方法是两个计数原理——分类计数和分步计数原理；常用的数学思想是等价转换，即化归思想；常见问题有：区域涂色、点涂色和线段涂色、面涂色；常考虑的问题是颜色是否要用完。
例1、 用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？解析：按题意，颜色要用完，1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；涂1，2，3只用了三种颜色，4必须涂第四种颜色，有1种涂法，共有44A =24种涂法。
例2、给如下区域涂色，有四种颜色供选择，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？解析：颜色可供选择，可理解为颜色可用完和不用完两种，分类处理，至少要用三色涂空，才能满足要求。
法1：1） 恰用三色：212334⨯⨯⨯⨯C =48种涂法；2） 恰用四色：同例1，有24种涂法。
共有24+48=72种涂法。
法2：1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；4有3种涂法；共72种涂法。
评析：由上述解法知，颜色用完和可供选择是两回事，做题时一定要区分。
一、 区域涂色问题（一）、圆形区域涂色：处理圆形区域涂色大致有三种方法：间空涂色法；公式法。
例3、用四种颜色给如下区域涂色，用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？ 一、 间空涂色法； 法1、用空分类 选择1，31）1，3同色，则1，3有14C 种方法，2有13C可能与1，3同色，但可与2同色，分两类：4与2同色，只用了两种颜色，5有2种方法；4与2不同色，则4有2种方法，5有2种涂法，此时，共有72)222(34=⨯+⨯种方法。
2）1，3不同色，则1，3有24A 种方法，2有12C 种方法，4与1同色，5有3种方法；4与2不同色，则4有2种涂法，5有2种涂法，共有)322(212+⨯⨯⨯=168种方法，综上所述，共有72+168=240种涂法。
法2：公式法共有35+3⨯（-1）5=240种方法。
高中数学概率中的涂色问题
二、高考数学中涂色问题的常见解法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,近年已经在高考题中出现，其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法1、 一.区域涂色问题根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ； （5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120 例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域， 现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色， 现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
涂色问题解决策略学生版
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
1、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1如图所示，画中的一朵花，有五片花瓣.现有四种不同颜色的画笔可供选择，规定每片花瓣都要涂色，且只涂一种颜色.若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片，则不同涂法种数为__________(用数字作答).例2 （2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：①②③④⑤⑥【即时练习】1.（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？2. 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？2、 根据相间区使用颜色的种类分类如图， 6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可用。
【总结归纳】如：如图，把一个圆分成(2)n n ≥个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法？解：设分成n 个扇形时染色方法为n a 种（1） 当n=2时1A 、2A 有24A =12种，即2a =12 （2） 当分成n 个扇形，如图，1A 与2A 不同色，2A 与3A 不同色，，1n A - 与n A 不同色，共有143n -⨯种染色方法， 但由于n A 与1A 邻，所以应排除n A 与1A 同色的情形；n A 与1A 同色时，可把n A 、 1A 看成一个扇形，与前2n -个扇形加在一起为1n -个扇形，此时有1n a -种染色法，故有如下递推关系：1143n n n a a --=⨯-1211243(43)43n n n n n n a a a -----∴=-+⨯=--+⨯+⨯21321234343434343n n n n n n n a a -------=-⨯+⨯=-+⨯-⨯+⨯124[33(1)3](1)33n n n n n --==⨯-++-⨯=-⨯+2、 点的涂色问题方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。
高三数学一类涂色问题的分析方法
A CB D 一类涂色问题的分析方法-逻辑划分思想方法嘉定区封浜中学 杜正荣 邮编201812 电话27867241Emil zhengrong-du@涂色问题是数学竞赛中的常规问题，经常涉及到的是“染色问题“与“染色方法“两种，具体是“点、边、区域”染色的构造问题、计数问题、最优化问题。
但它又是排列组合问题种的难点，一些简单的问题对于许多学生来说，方法上还很困难，随着数学竞赛对数学知识的普及，现在染色问题已经渗透到高考，2003年全国高考数学和江苏卷即有此类题。
如何帮助学生们解答分析，下面举例说明用加、乘原理及排列、组合、模型化结构的方法。
一、分步染色方法 适用于“区域、点、线段”问题，以其为主分步计数法，用乘法原理例1如图1，用五种不同颜色，涂在A,B,C,D 的每一部分，每块用一种颜色，相邻的两块颜色不同，不同颜色的涂法有多少种？ 解法一：以区域为主分步计数，用乘法原理分析，可分四步涂色。
第一步 涂A 有5种，第二种涂B （与A 不同）有4种；第三步涂C （与A 、B 不同）有3种；第四步涂D （与B 、C 不同可与A 同）有3种，故所有不同颜色的涂色方法数为：5·4·3·3=180种。
图1二、以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用加法原理解法二：以颜色为主分类计数，按A 、D 同色与不同色分两类，用加法原理。
第一类 A 、D 同色涂有15P 种，再涂B 、C （与A 、D 不同）有24P 种，故此类方法数为15P 24P 种；第二类 A 、D 不同色先涂有25P 种，再涂B 、C （与A 、D 不同）有23P 种，故此类方法数为25P 23P 种，由加法原理得不同的涂色方法数共有15P 24P +25P 23P =180种。
三、以相邻是否同色为主分步计数法，适用于“区域、点、线段”问题解法三：以相邻区域为主分步计数，分两步涂色，按A 、B 、C 相邻不同色先涂，有35P 种，再涂D （与B 、C 不同色，可与A 同色）有3种，由乘法原理共有335P =180种。
涂色问题的解题策略
涂色问题解题指南文/夏振雄一、区域涂色问题解答区域涂色问题，常采用以下三种方法：一是根据分步计数原理，对各个区域分步涂色；二是根据共用了多少种颜色分类讨论；三是根据相间区域使用颜色的种数分类.以上三种方法有时也会结合起来使用.例1 如图1，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种.(用数字作答)解析 (解法一)根据相间区域使用颜色的种数分类.(1)当区域1与3同色时，区域1、3有种，区域2、4各有种，共有种；(2)当区域1与3不同色时，区域1、3有种，区域2有种，区域4与区域1相同或区域2相同，于是共有种.综上可知，不同的涂色方法共有150+240=390种.(解法二)根据共用了多少种颜色分类讨论.(1)当用2种颜色时，有种方法.(2)当用3种颜色时，先选颜色，有种；四个区域必有两个同色，区域1与区域3同色，或区域1与区域4同色，或区域2与区域4同色，每一类都有种方法，故用3种颜色时共有种方法.由加法原理可知，不同的涂色方法共有+种.例2 如图2，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为A.96B.84C.60D.48解析根据相间区域使用颜色的种数分类.当A、C同花时，有种；当A、C不同花时，有种.故不同的种法共有36+48=84种.选B.例3 如图3所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？解析据题意可知至少要用3种颜色，根据共用了多少种颜色分类讨论.(1)当先用3种颜色时，区域2与区域4必须同色，区域3与区域5必须同色，故有种方法.(2)当用4种颜色时，若区域2与区域4同色，则区域3与区域5不同色，有种方法；若区域3与区域5同色，则区域2与区域4不同色，有种方法，故用4种颜色时共有2种方法.由加法原理可知，满足题意的着色方法共有+2=24+224=72种.二、点的涂色问题解答点的涂色问题的常用方法有：(1)根据共用了多少种颜色分类讨论；(2)根据相对顶点是否同色分类讨论；(3)空间问题平面化，将点的涂色问题转化为区域涂色问题求解.例4 如图4，在正五边形ABCDE中，若把顶点染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不同，则不同的染色方法共有种.解析 (1)当A与C同色或A与D同色时，有种；(2)当A与C、D都不同色时，有种.故不同的染色方法共有24+6=30种.三、线段涂色问题解答线段涂色问题的主要方法有：(1)根据共用了多少种颜色分类讨论；(2)根据相对线段是否同色分类讨论.例5 用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解析 (1)使用四种颜色涂色，共有种方法；(2)使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，共有种方法；(3)使用两种颜色涂色时，则两组对边必须分别同色，共有种方法.故不同的涂色方法共有种.四、面的涂色问题例6 如图5所示，已知四棱锥，从给定的4种不同颜色中选用若干种颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？解析这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题来求解.如图6所示，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面，根据共用多少种颜色进行分类：(1)若只用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，则有种方法；(2)若用4种颜色，则1与3、2与4两组中只能有一组同色，此时有种方法.故满足题意的涂色方法数为.【高考预测题】1.如图7，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.(用数字作答)2.在如图8所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，有四种颜色可选，则共有种不同的涂色方法.3.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，如图9所示.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有种.(用数字作答)参考答案 1.72 2.84 3.120????????。
高考数学中涂色问题的解题策略
高考数学中涂色问题的解题策略作者：吴婕来源：《中学教学参考·理科版》2012年第02期涂色问题包含着丰富的数学思想.解决涂色问题的方法技巧性强且灵活，主要利用排列、组合中的两个基本原理解决涂色问题.（一）线形区域涂色问题——分步计数原理；（二）环形区域涂色问题——分类计数原理.主要分类方法：（1）根据涂色所用颜色种数进行分类；（2）根据可同色区域（不相邻区域）是否涂相同颜色进行分类.【例1】用四种不同颜色给图1中的4个区域涂色，如果每一个区域涂一种颜色，相邻两区域不能涂同一种颜色，共有种不同的涂色方法.分析：方法一：从A区域开始按A、B、 C、 D顺序涂色，A区域有4种方法；B区域因与A区域相邻，只要与A区域不同色，有3种方法；C区域只要与前面的B区域不同色，有3种方法；D区域只要与前面的C区域不同色，有3种方法.所以根据分步计数原理即乘法原理，得涂色方法总数为4×3×3×3=108.方法二：可同色区域为A与C，A与D，B与D.依题意只能选用4种颜色，至少用2种颜色，要分三类：（1）用4色：A与C、A与D、B与D均不同色，则有；（2）用3色：有且只有两个区域同色，即A与C同色，或A与D同色，或B与D同色，共3种情况，则有；（3）用2色：A与C同色、B与D同色，则有；根据涂色种数进行分类，由加法原理得涂色方法总数为通过比较得知方法一较简单，所以线性区域的涂色问题，利用分步计数原理依次对各区域进行涂色会比较容易.适当变形例1，将线形涂色问题自然过渡到环形涂色问题.【例2】用四种不同颜色给图2中的4个区域涂色，如果每一个区域涂一种颜色，相邻两区域不能涂同一种颜色，共有种不同的涂色方法.图2分析：四个区域首尾相连的简单环形区域的涂色问题，是涂色问题另一常见问题.可同色区域为A与C，B与D.依题意只能选用4种颜色，至少用2种颜色，要分三类：（1）用4色：A与C不同色、B与D不同色，则有；（2）用3色：有且只有两个区域同色，即A与C同色，或B与D同色，则有；（3）用2色：A与C同色、B与D同色，则有所以根据加法原理得涂色方法总数为【例3】如图3，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有多少种？分析：可同色区域1与3，2与4.依题意只能选用4种颜色，至少用3种颜色，要分两类：图3（1）用4色：有且只有两个区域同色，即1与3同色，或2与4同色，则有；（2）用3色：1与3同色、2与4同色，则有所以根据加法原理得涂色方法总数为变式：四棱锥P-ABCD，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？把立体图形的涂色问题转化为环形区域涂色，问题就迎刃而解.将例3的第5区域分成两部分，就得到2003年高考江苏卷的涂色问题.【例4】（2003，江苏）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分6个部分（如图4）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种.分析：依题意只能选用4种颜色，至少用4色，具体4色的用法要分五类：（1）2与5同色、3与6同色，则有；（2）2与5同色、4与6同色，则有；（3）3与5同色、2与4同色，则有；（4）3与5同色、4与6同色，则有；（5）3与6同色、2与4同色，则有所以根据加法原理得涂色方法总数为涂色问题是一个开放性的问题，它能充分拓宽学生的思路，让学生根据所学的知识应用于实际问题中，培养学生勇于探索、勇于创新的精神.(责任编辑金铃）。
高考数学秒杀必备：-涂色问题的常见解法及策略
高考数学中涂色问题的常见解法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,近年已经在高考题中出现，其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法一、区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？种方法，接着给③号涂色方法有3有5434240⨯⨯⨯=2、 再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ； （4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有34A 种； 3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=72① ②③ ④ ⑤⑥3、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
高考数学中涂色问题的解题策略
方 法二 ： 可同色区域为 Ａ与 Ｃ， 与Ｄ， Ａ Ｂ与 Ｄ． 依题 意只能选 用 ４ 种颜 色 ， 至少用 ２ 种颜色 ， 要分三类 ： （） ４ ： １用 色 Ａ与 Ｃ、 Ａ与 Ｄ、 Ｂ与 Ｄ 均不 同色 ， 有 则 Ａ ；２用 ３ ： （） 色 有且只有两个 区域 同色 ， Ａ与 Ｃ 同色 ， 即 或 Ａ 与 Ｄ 同色 ， Ｂ与 Ｄ 同色 ， ３ 或 共 种情 况 ， 则有 ３ ； Ａｉ （） ２ ： ３用 色 Ａ与 Ｃ 同色 、 Ｂ与 Ｄ 同色 ， 则有 Ａ； ； 根据涂 色种数进行分类 ， 由加法原 理得涂 色方法 总 数 为 Ａ： Ａｉ １８ ＋３ ＋Ａ 一 ０ ． 通过 比较得 知方法 一较 简单 ， 以线性 区域 的涂色 所
两类 ：
方法 ； Ｃ区域 只要与前 面的 Ｂ 区域不 同色 ， ３ 有 种方 法 ； Ｄ区域 只要 与前 面的 Ｃ 区域不 同色 ， ３种方 法． 以 有 所 根 据分步计数原理 即乘法原理 ， 得涂 色方法 总数 为 ４ ×３
× ３× ３ ＝１ ８ ＝ ０ ． ＝
（） ４ ： １ 用 色 有且 只有两个 区域 同色 ， １与 ３同色 ， ２与 ４同 即 或
的花 ， 每部分栽种一种且相邻部分不 能栽种 同样颜 色的 花 ， 同的栽种方法有 不 种．
分 析 ： 题 意 只 能 选 用 ４种 依
【 ２ 用 四种 不 同颜 色 给 图 ２中的 ４个 区域 涂 例 】
色， 如果每 一个 区域涂 一种 颜色 ， 相邻两 区域 不能涂 同 种颜色 ， 共有 种不同的涂色方法．
所 以根据加法原理得涂 色方法总数 为 ＋
Ａ ８ ． ＝ ４
＋
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略
（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有 ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有 ；
所以根据加法原理得涂色方法总数为5 =120
例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？
分析：依题意至少要用3种颜色
1) Байду номын сангаас 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，
2) 区域3与5必须同色，故有 种；
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1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略
与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、 区域涂色问题
2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：
（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有 ；
（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有 ；
列组合中涂色问题的常见方法及策略[1]
![列组合中涂色问题的常见方法及策略[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/64c424c86137ee06eff918dc.png)
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略于涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ； （4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；① ②③ ④ ⑤⑥3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
涂色问题解题技巧
涂色问题解题技巧介绍如下：
1.确定涂色方案：在解决涂色问题之前，需要明确涂色的方案，
例如每个对象只能染一种颜色或染多种颜色。
2.列出约束条件：在涂色问题中，通常存在一些约束条件，如相
邻的对象不能染相同的颜色等。
列出这些约束条件有助于确定可行的方案。
3.利用图形表示问题：将对象和约束条件用图形表示出来，可以
帮助理解问题，找到规律和解题思路。
4.利用递归算法：对于较为复杂的涂色问题，可以采用递归算法，
逐步将问题分解为简单的子问题，最终得到解决方案。
5.利用数学模型：对于一些涂色问题，可以建立数学模型，如图
论模型、矩阵模型等，通过数学方法解决问题。
6.尝试不同的方案：对于复杂的涂色问题，可能存在多个可行的
方案，需要尝试不同的方案，找到最优解。
总之，解决涂色问题需要综合运用数学、图形、逻辑等多种方法，找到最优的解决方案。
涂色的对策
1、在一个5×5的方格中，甲乙轮流在方格里涂颜色。
每人每次只能涂构成长方形（含正方形）的若干格，同一格中不容许重复涂色，谁涂到最后一格就算谁胜利。
甲先涂肯定能获胜，如果不容许甲第一次全涂满而获胜的话，甲利用对称原理获胜，第一次有多少种不同涂法？
甲（先涂）要占据中心小格，还要保证对称。
这样乙要是在上涂某个长方形，甲就对称地在下涂同样的长方形；乙要是在左涂某个长方形，甲就对称地在右涂同样的长方形。
即不管乙怎样涂，甲都有对策获胜。
此主题相关图片如下：
1（2）甲乙两人轮流向圆桌桌面上放同样大小的硬币，规则是每人每次只能放一枚，硬币不能重叠，谁放完最后一枚而使对方无法放谁就获胜，问：先放者如何获胜？
答：先放者（甲）占据圆桌中心位置就可获胜。
这时无论乙如何放，甲就跟在与乙关于圆心对称的位置放一枚即可。
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高考数学中涂色问题的常见解法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,近年已经在高考题中出现，其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法一、区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ； （4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有34A 种； 3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=72① ②③ ④ ⑤⑥3、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？分析：可把问题分为三类：（1） 四格涂不同的颜色，方法种数为45A ；（2） 有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为12542C A ；5) 两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为25A ，因此，所求的涂法种数为212255452260A C A A ++= 4、 根据相间区使用颜色的种类分类例5如图， 6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有1解（1）当相间区域A 、C 、E 着同一种颜色时，有4种着色方法，此时，B 、D 、F 各有3种着色方法，此时，B 、D 、F 各有3种着色方法故有4333108⨯⨯⨯=种方法。
（2）当相间区域A 、C 、E 着色两不同的颜色时，有2234C A 种着色方法，此时B 、D 、F 有322⨯⨯种着色方法，故共有2234322432C A ⨯⨯⨯=种着色方法。
（3）当相间区域A 、C 、E 着三种不同的颜色时有34A 种着色方法，此时B 、D 、F各有2种着色方法。
此时共有34222192A ⨯⨯⨯=种方法。
故总计有108+432+192=732种方法。
说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。
如：如图，把一个圆分成(2)n n ≥个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法？解：设分成n 个扇形时染色方法为n a 种（1） 当n=2时1A 、2A 有24A =12种，即2a =12 （2） 当分成n 个扇形，如图，1A 与2A 不同色，2A 与3A 不同色，，1n A -与n A 不同色，共有143n -⨯种染色方法， 但由于n A 与1A 邻，所以应排除n A 与1A 同色的情形；n A 与1A 同色时，可把n A 、 1A 看成一个扇形，与前2n -个扇形加在一起为1n -个扇形，此时有1n a -种染色法，故有如下递推关系：1143n n n a a --=⨯-1211243(43)43n n n n n n a a a -----∴=-+⨯=--+⨯+⨯21321234343434343n n n n n n n a a -------=-⨯+⨯=-+⨯-⨯+⨯124[33(1)3](1)33n n n n n --==⨯-++-⨯=-⨯+二、点的涂色问题方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。
例6、将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种涂A 、B 、C 、D 四点，此时只能A 与C 、B 与D 分别同色，故有125460C A =种方法。
（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种染A 与B ，由于A 、B 颜色可以交换，故有24A 种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D 或C ，而D 与C ，而D 与C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有12115422240C A C C =种方法。
（3）若恰用五种颜色染色，有55120A =种染色法综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
解法二：设想染色按S —A —B —C —D 的顺序进行，对S 、A 、B 染色，有54360⨯⨯=种染色方法。
由于C 点的颜色可能与A 同色或不同色，这影响到D 点颜色的选取方法数，故分类讨论：C 与A 同色时（此时C 对颜色的选取方法唯一），D 应与A （C ）、S 不同色，有3种选择；C 与A 不同色时，C 有2种选择的颜色，D 也有2种颜色可供选择，从而对C 、D 染色有13227⨯+⨯=种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法是607420⨯=解法三：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？解答略。
三、线段涂色问题对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有：1) 根据共用了多少颜色分类讨论2) 根据相对线段是否同色分类讨论。
例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD 的四条边，每条边只涂一种颜色 ，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解法一：（1）使用四颜色共有44A 种（2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有112423C C A 种，（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有24A 种因此，所求的染色方法数为411224423484A C C A A ++=种解法二：涂色按AB －BC －CD －DA 的顺序进行，对AB 、BC 涂色有4312⨯=种涂色方法。
由于CD 的颜色可能与AB 同色或不同色，这影响到DA 颜色的选取方法数，故分类讨论：当CD 与AB 同色时，这时CD 对颜色的选取方法唯一，则DA 有3种颜色可供选择CD 与AB 不同色时，CD 有两种可供选择的颜色，DA 也有两种可供选择的颜色，从而对CD 、DA 涂色有13227⨯+⨯=种涂色方法。
由乘法原理，总的涂色方法数为12784⨯=种例8、用六种颜色给正四面体A BCD -的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？解：（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同，故有36A 种方法。
（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组与组之间不同色，故有3466C A 种方法。
（3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有1536C A 种方法。
（4）若恰用六种颜色涂色，则有66A 种不同的方法。
综上，满足题意的总的染色方法数为4080665613462336=+++A A C A C A 种。
四、面涂色问题例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论（1）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有5种选择，在上、下底已涂好后，再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则其余3个面有3！种涂色方案，根据乘法原理30!351=⨯=n（2）共用五种颜色，选定五种颜色有656=C 种方法，必有两面同色（必为相对面），确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）9035562=⨯⨯=C n ；(3)共用四种颜色,仿上分析可得9024463==C C n ；(4)共用三种颜色,20364==C n例10、四棱锥P ABCD -，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？⇒解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：（1） 最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有34A 种；（2） 当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有1424C A ；故满足题意总的涂色方法总方法交总数为31442472A C A +=BC。