一阶逻辑完备性定理的新代数证明
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( x i) ≠ x i} 为 有 限 集 , 所 以 由 归 纳 假 设 知 v′
定义 1 设 L 是一阶语言 , F 是全体 Wff 之集 , 是 [ F] 中的 Q2 滤子 , 则 L 的 2 解释 I ( ) 的解 释域为 L 中全体项之集 T, 且 (ⅰ ) L 中个体常元 a 在 T 中的特定元为 a 自身 ; (ⅱ ) 设 f 为 k 元函数符号 , 则其解释 f : T k → T 定义为
( 0 [ F ]/ ) ′= 1 [ F ]/ ,
且逆向推理也成立 , 所以 ( 8) 式对 A 仍成立 . 最后设
A = B → C , 类似可证明 ( 8 ) 式对 A 也成立 . 由此可
为 Q2 滤子 .
2
2 解释
知 ( 8) 式对所有不含量词的公式都成立 . 现在考虑有量词出现的情形 , 不妨设 A 已化为 前束范式 . 按 A 中量词的个数进行归纳证明. 设 (8) 式 对量词个数少于 k 的公式成立 ,今 A 中含有 k 个量词. (ⅰ ) 设 A = ( Π x n +1 ) B ( x 1 , …, x n , x n +1 ) , 这 里 x 1 , …, x n +1 是 B 中全体自由变元 , 且 B 中量词个 数少于 k . 设 v 满足 A , 则每个与 v ( n + 1) 2 等价的 赋值 v′ 都满足 B . 这时 v′ 也满足条件 { x i ∈ X |
2 φ( a) = 1 B /
[3 ]
陕西师范大学学报 ( 自然科学版) 当且仅当 a ∈
. ( 3) A 知 v 不满足 B , 那么由 [ F ]/
第 32 卷
引理 3 设 B 是可数的 Boole 代数 , a ∈ B , a ≠0 , 则 B 中有素滤子 满足条件 (ⅰ ) a ∈ ; (ⅱ ) 设 b1 , b2 , … ∈ B 且 b = inf { b n | n = 1 , 2,… } ( b = sup { b n | n = 1 , 2 , … } ) , 则 φ( b) = inf { φ( b n ) | n = 1 , 2 , … } (φ( b) = sup { φ( b n ) | n =
这里 [ A ( t 1 , …, t k ) ] ∈ [ F] , 即 [ A ( t 1 , …, t k ) ] 是 A ( t 1 , …, t k ) 所在的可证等价同余类 . 为方 便 起 见 , 以 下 把 ( t 1 , …, t k ) ∈ A 记 为 A ( t 1 , …, t k ) = 1 . 设 φ 由 ( 3) 式定义 , 则由 为 Q2
inf { φ( [ B ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) , t ) ]) 1 [ F ]/ .
tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ∈T 0 =
定理 1 设 L 是一阶语言 , X = { x 1 , x 2 , … }是 L 中全体变元之集 , 是 [ F] 中的 Q2 滤子 , I ( ) 是 L 的 2 解释 , 赋值 v : X → T 满足条件 { x i ∈ X | v ( x i ) ≠ x i } 为有限集 . 设 A ( x 1 , …, x n ) ∈ F , x 1 , …, x n 是 A 中全体自由变元 , 那么 v 满足 A ( x 1 , …, x n ) 当且仅当 φ( [ A ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) ) ]) = 1 [ F] / . ( 8) 证明 先设 A 是不含量词的公式 , 则 ( 8) 式对 A 成立 . 事实上 , 若 A 是原子公式 , 则因为 v 满足 A 可写为 A ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) ) = 1 , 所以由 ( 6) 式即 得 ( 8) 式 . 设 A = ? B 且 ( 8) 式对 B 成立 . 由 v 满足
一阶逻辑完备性定理的新代数证明
王国俊 , 周红军
( 陕西师范大学 数学与信息科学学院 , 陕西 西安 710062)
摘 要 : 给出了一阶逻辑完备性定理的一个新的代数证明 ,这个证明不使用依赖于 Boole 代数表示 定理的γ 2解释 ,但使用关于 Q2滤子 的 2解释 , 也需要用到选择公理 . 另外指出了已有代数证明 的不足之处 ,并作了修正 . 关键词 : 一阶逻辑 ; 完备性 ; 代数证明 ; 选择公理 ; Q2滤子 中图分类号 : O141. 12 文献标识码 : A
φ( [ A ( t 1 , …, t k ) ]) = 1 [ F ]/
并且当 [ A ] = inf { [ B n ] | n = 1 , 2 , … } 时, φ( [ A ]) = inf { φ( [ B n ]) | n = 1 , 2 , … }.
二式得 φ( [ A ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) ) ]) = φ( inf { [ B ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) , t ) ] t ∈T0 ) =
f ( t 1 , …, t k ) = f ( t 1 , …, t k ) , t 1 , …, t k ∈T; ( 4)
φ( [ B ( v′ ( x 1 ) , …, v′ ( x n ) , v′ ( x n +1 ) ) ]) = 1 [ F) ]/ .
( x n +1 ) 可取 T 注意 v′ 与 v ( n + 1) 2 等价 , 且 t = v′
第 32 卷 第4期 2004 年 12 月
陕西师范大学学报 ( 自然科学版) Journal of Shaanxi Normal University ( Nat ural Science Edition)
Vol. 32 No. 4 Dec. 2004
・ 专题研究・
文章编号 :167224291 ( 2004) 0420001203
(ⅲ ) 设 A 为 k 元谓词符号 , 则其解释 A < Tk
定义为
( t 1 , …, t k ) ∈ A 当且仅当
中的任一值 , 所以有 φ( [ B ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) , t ) ]) = 1 [ F ]/
t ∈T.
, ( 9)
[ A ( t 1 , …, t k ) ] ∈
完备性问题是逻辑演算理论中的重要课题. 为 了使非数理逻辑专业的读者容易理解和接受 , 我们 在文献 [ 1 , 2 ] 中给出了一阶逻辑完备性定理的代数 证明 , 那里用到 Boole 代数的表示定理 . 因为关于 Boole 代数表示定理的证明用到与选择公理等价的 Zorn 引理 , 所以那里的证明依赖于选择公理 . 本文 提出一种更简捷的不涉及 Boole 代数表示定理的一 阶逻辑完备性的代数证明 , 但仍依赖于选择公理 .
1 ,2 , … }) . ) 的素滤子 以下称满足条件 ( ⅱ
仅含两个元素知 φ( [ B ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) ) ]) = 0 [ F ]/ . 由 φ是 Boole 同态得 φ( [ A ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) ) ]) = φ( [ B ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) ) ]′ ) =
) ,男 ,陕西渭南人 ,陕西师范大学教授 ,博士研究生导师 . 作者简介 : 王国俊 ( 1935 —
© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
http://www.cnki.net
反过来 , 设 v 不满足 A , 则 v 满足 ( ϖ x n +1 ) ? B ( x 1 , …, x n , x n +1 ) . 在 L 中添加个体常元 c = c ( v ) 使 v 满足 ? ( B ( x 1 , …, x n , c) ( 见文献 [ 2 ] 命题 3 . 2 . 14) . 由归 纳 假 设 知 φ( [ ? B ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) , c ]) =
) 知 滤子和引理 3 ( ⅱ A ( t 1 , …, t k ) = 1 当且仅当
inf { [ B ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) , t ) ] t ∈T 0 } . ( 10 )
由
, ( 6) ( 7)
( 9) 是可数 Boole 代数 [ F] 中的 Q2 滤子和 ( 7) 、
1 若干引理
设 B 是 Boole 代数 , ≠ F < B , F ≠B . 若 F 是对有限交封闭的上集 , 则称 F 为 B 中的滤子 . 滤子 F 叫素的 , 若当 a ∨ b ∈ F 时有 a ∈ F 或 b ∈ F. 又 在 Boole 代数 B 中规定 a → b = a′∨ b. 下面的引理
.
( 5)
设 T0 = { t ∈T | t 关于 B ( x 1 , …, x n +1 ) 中的 x n +1 自 由} [ 4 ] , 则易证 [ A ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) ) ] =
[ ( Π x n +1 ) B ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) , x n +1 ) ] =
A ne w algebra ic proof of completeness of f irst order logic
WAN G Guo2jun , ZHOU Hong2jun ( College of Mat hematics and Information Science , Shaanxi Normal University , Xi′ an 710062 , Shaanxi , China) Abstract : A new algebraic proof of t he completeness of first order logic is obtained , of which t he use of γ 2interpretation based on t he representation t heorem of Boolean algebra is avoided , but t he proof is based on t he concept of 2interpretation wit h respect to certain Q2filter and t he axiom of choice is employed. Moreover , certain shortcomings of t he already existing algebraic proof are pointed out and amended. Key words : first order logic ; completeness ; algebraic proof ; axiom of choice ; Q2filter MR Subject classif ication : 03B10
收稿日期 :2004205214 基金项目 : 国家自然科学基金重点资助项目 ( 10331010)
在证明一阶逻辑的完备性时要用到 . 引理 1 [ 2 ] 设 L 是一阶语言 , F 是全体合式公式 ( 简称 Wff 或公式) 之集 , 则 F 上的可证等价关系 ～ ) 型同余关系 , 且商代数 [ F ] = F/ ～ 按如 是( ? , → 下规定的序和补运算构成 Boole 代数 : [ A ] ≤ [ B ] 当 且 仅 当 ├A → B , [ A ]′ = ( 1) [ ? A ] , A , B ∈ F. [3 ] 引理 2 设 B 是 Boole 代数 , 是 B 中的素 滤子 , 在 B 中规定 a ～ b 当且仅当 a → b ∈ ( 2) 且 b → a ∈ , a , b ∈B , 则 ～ 是 B 上的同余关系 , 且商代数 B / 同构于 最简 Boole 代数{ 0 , 1} . 设映射 φ: B →B / 由 φ( a) = [ a ] ( a ∈ B ) 定义 , 则 φ 是 Boole 同态 , 且
定义 1 设 L 是一阶语言 , F 是全体 Wff 之集 , 是 [ F] 中的 Q2 滤子 , 则 L 的 2 解释 I ( ) 的解 释域为 L 中全体项之集 T, 且 (ⅰ ) L 中个体常元 a 在 T 中的特定元为 a 自身 ; (ⅱ ) 设 f 为 k 元函数符号 , 则其解释 f : T k → T 定义为
( 0 [ F ]/ ) ′= 1 [ F ]/ ,
且逆向推理也成立 , 所以 ( 8) 式对 A 仍成立 . 最后设
A = B → C , 类似可证明 ( 8 ) 式对 A 也成立 . 由此可
为 Q2 滤子 .
2
2 解释
知 ( 8) 式对所有不含量词的公式都成立 . 现在考虑有量词出现的情形 , 不妨设 A 已化为 前束范式 . 按 A 中量词的个数进行归纳证明. 设 (8) 式 对量词个数少于 k 的公式成立 ,今 A 中含有 k 个量词. (ⅰ ) 设 A = ( Π x n +1 ) B ( x 1 , …, x n , x n +1 ) , 这 里 x 1 , …, x n +1 是 B 中全体自由变元 , 且 B 中量词个 数少于 k . 设 v 满足 A , 则每个与 v ( n + 1) 2 等价的 赋值 v′ 都满足 B . 这时 v′ 也满足条件 { x i ∈ X |
2 φ( a) = 1 B /
[3 ]
陕西师范大学学报 ( 自然科学版) 当且仅当 a ∈
. ( 3) A 知 v 不满足 B , 那么由 [ F ]/
第 32 卷
引理 3 设 B 是可数的 Boole 代数 , a ∈ B , a ≠0 , 则 B 中有素滤子 满足条件 (ⅰ ) a ∈ ; (ⅱ ) 设 b1 , b2 , … ∈ B 且 b = inf { b n | n = 1 , 2,… } ( b = sup { b n | n = 1 , 2 , … } ) , 则 φ( b) = inf { φ( b n ) | n = 1 , 2 , … } (φ( b) = sup { φ( b n ) | n =
这里 [ A ( t 1 , …, t k ) ] ∈ [ F] , 即 [ A ( t 1 , …, t k ) ] 是 A ( t 1 , …, t k ) 所在的可证等价同余类 . 为方 便 起 见 , 以 下 把 ( t 1 , …, t k ) ∈ A 记 为 A ( t 1 , …, t k ) = 1 . 设 φ 由 ( 3) 式定义 , 则由 为 Q2
inf { φ( [ B ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) , t ) ]) 1 [ F ]/ .
tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ∈T 0 =
定理 1 设 L 是一阶语言 , X = { x 1 , x 2 , … }是 L 中全体变元之集 , 是 [ F] 中的 Q2 滤子 , I ( ) 是 L 的 2 解释 , 赋值 v : X → T 满足条件 { x i ∈ X | v ( x i ) ≠ x i } 为有限集 . 设 A ( x 1 , …, x n ) ∈ F , x 1 , …, x n 是 A 中全体自由变元 , 那么 v 满足 A ( x 1 , …, x n ) 当且仅当 φ( [ A ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) ) ]) = 1 [ F] / . ( 8) 证明 先设 A 是不含量词的公式 , 则 ( 8) 式对 A 成立 . 事实上 , 若 A 是原子公式 , 则因为 v 满足 A 可写为 A ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) ) = 1 , 所以由 ( 6) 式即 得 ( 8) 式 . 设 A = ? B 且 ( 8) 式对 B 成立 . 由 v 满足
一阶逻辑完备性定理的新代数证明
王国俊 , 周红军
( 陕西师范大学 数学与信息科学学院 , 陕西 西安 710062)
摘 要 : 给出了一阶逻辑完备性定理的一个新的代数证明 ,这个证明不使用依赖于 Boole 代数表示 定理的γ 2解释 ,但使用关于 Q2滤子 的 2解释 , 也需要用到选择公理 . 另外指出了已有代数证明 的不足之处 ,并作了修正 . 关键词 : 一阶逻辑 ; 完备性 ; 代数证明 ; 选择公理 ; Q2滤子 中图分类号 : O141. 12 文献标识码 : A
φ( [ A ( t 1 , …, t k ) ]) = 1 [ F ]/
并且当 [ A ] = inf { [ B n ] | n = 1 , 2 , … } 时, φ( [ A ]) = inf { φ( [ B n ]) | n = 1 , 2 , … }.
二式得 φ( [ A ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) ) ]) = φ( inf { [ B ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) , t ) ] t ∈T0 ) =
f ( t 1 , …, t k ) = f ( t 1 , …, t k ) , t 1 , …, t k ∈T; ( 4)
φ( [ B ( v′ ( x 1 ) , …, v′ ( x n ) , v′ ( x n +1 ) ) ]) = 1 [ F) ]/ .
( x n +1 ) 可取 T 注意 v′ 与 v ( n + 1) 2 等价 , 且 t = v′
第 32 卷 第4期 2004 年 12 月
陕西师范大学学报 ( 自然科学版) Journal of Shaanxi Normal University ( Nat ural Science Edition)
Vol. 32 No. 4 Dec. 2004
・ 专题研究・
文章编号 :167224291 ( 2004) 0420001203
(ⅲ ) 设 A 为 k 元谓词符号 , 则其解释 A < Tk
定义为
( t 1 , …, t k ) ∈ A 当且仅当
中的任一值 , 所以有 φ( [ B ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) , t ) ]) = 1 [ F ]/
t ∈T.
, ( 9)
[ A ( t 1 , …, t k ) ] ∈
完备性问题是逻辑演算理论中的重要课题. 为 了使非数理逻辑专业的读者容易理解和接受 , 我们 在文献 [ 1 , 2 ] 中给出了一阶逻辑完备性定理的代数 证明 , 那里用到 Boole 代数的表示定理 . 因为关于 Boole 代数表示定理的证明用到与选择公理等价的 Zorn 引理 , 所以那里的证明依赖于选择公理 . 本文 提出一种更简捷的不涉及 Boole 代数表示定理的一 阶逻辑完备性的代数证明 , 但仍依赖于选择公理 .
1 ,2 , … }) . ) 的素滤子 以下称满足条件 ( ⅱ
仅含两个元素知 φ( [ B ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) ) ]) = 0 [ F ]/ . 由 φ是 Boole 同态得 φ( [ A ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) ) ]) = φ( [ B ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) ) ]′ ) =
) ,男 ,陕西渭南人 ,陕西师范大学教授 ,博士研究生导师 . 作者简介 : 王国俊 ( 1935 —
© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
http://www.cnki.net
反过来 , 设 v 不满足 A , 则 v 满足 ( ϖ x n +1 ) ? B ( x 1 , …, x n , x n +1 ) . 在 L 中添加个体常元 c = c ( v ) 使 v 满足 ? ( B ( x 1 , …, x n , c) ( 见文献 [ 2 ] 命题 3 . 2 . 14) . 由归 纳 假 设 知 φ( [ ? B ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) , c ]) =
) 知 滤子和引理 3 ( ⅱ A ( t 1 , …, t k ) = 1 当且仅当
inf { [ B ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) , t ) ] t ∈T 0 } . ( 10 )
由
, ( 6) ( 7)
( 9) 是可数 Boole 代数 [ F] 中的 Q2 滤子和 ( 7) 、
1 若干引理
设 B 是 Boole 代数 , ≠ F < B , F ≠B . 若 F 是对有限交封闭的上集 , 则称 F 为 B 中的滤子 . 滤子 F 叫素的 , 若当 a ∨ b ∈ F 时有 a ∈ F 或 b ∈ F. 又 在 Boole 代数 B 中规定 a → b = a′∨ b. 下面的引理
.
( 5)
设 T0 = { t ∈T | t 关于 B ( x 1 , …, x n +1 ) 中的 x n +1 自 由} [ 4 ] , 则易证 [ A ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) ) ] =
[ ( Π x n +1 ) B ( v ( x 1 ) , …, v ( x n ) , x n +1 ) ] =
A ne w algebra ic proof of completeness of f irst order logic
WAN G Guo2jun , ZHOU Hong2jun ( College of Mat hematics and Information Science , Shaanxi Normal University , Xi′ an 710062 , Shaanxi , China) Abstract : A new algebraic proof of t he completeness of first order logic is obtained , of which t he use of γ 2interpretation based on t he representation t heorem of Boolean algebra is avoided , but t he proof is based on t he concept of 2interpretation wit h respect to certain Q2filter and t he axiom of choice is employed. Moreover , certain shortcomings of t he already existing algebraic proof are pointed out and amended. Key words : first order logic ; completeness ; algebraic proof ; axiom of choice ; Q2filter MR Subject classif ication : 03B10
收稿日期 :2004205214 基金项目 : 国家自然科学基金重点资助项目 ( 10331010)
在证明一阶逻辑的完备性时要用到 . 引理 1 [ 2 ] 设 L 是一阶语言 , F 是全体合式公式 ( 简称 Wff 或公式) 之集 , 则 F 上的可证等价关系 ～ ) 型同余关系 , 且商代数 [ F ] = F/ ～ 按如 是( ? , → 下规定的序和补运算构成 Boole 代数 : [ A ] ≤ [ B ] 当 且 仅 当 ├A → B , [ A ]′ = ( 1) [ ? A ] , A , B ∈ F. [3 ] 引理 2 设 B 是 Boole 代数 , 是 B 中的素 滤子 , 在 B 中规定 a ～ b 当且仅当 a → b ∈ ( 2) 且 b → a ∈ , a , b ∈B , 则 ～ 是 B 上的同余关系 , 且商代数 B / 同构于 最简 Boole 代数{ 0 , 1} . 设映射 φ: B →B / 由 φ( a) = [ a ] ( a ∈ B ) 定义 , 则 φ 是 Boole 同态 , 且