提公因式法因式分解
提公因式法因式分解
1、 因式分解与整式乘法有什么关系？
因式分解是整式乘法的逆运算 2、 多式ma+mb+mc中的每一项都含有 一个相同的因式 m ？你知道这个相同的因 式怎样称呼吗？ 把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可 以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积了， 用提公因式法进行因式分解 像这种因式分解的方法叫______________
1．用提公因式分解因式 （1）3am+2－12am+1（m为自然数） （2）xm+1y2＋3xmy＋2xm—1 2．利用因式分解计算 （1）21.93×1.6＋18.4×21.93－20×21.93 （2）3.14×17.7－3.14×3.5－3.14×2.5 3．求证：3200－4×3199＋10×3199是7的倍数吗？ （提示：先因式分解、提公因式3199）
作业
• 课本42页A组第2题 • 【学后延伸——挑战自我】 • 分解因式计算2101 - 2100
1 、对下列多项式进行因式分解： （1）－5a2＋25a； （2）3a2－9ab； （3）25x2－16y2； （4）x2＋4xy ＋4y2.
2 、分解因式：2x4y2－4x3y2＋10xy4。
1．选择题 （1）以下由左到右的变形是因式分解的是 （C） A．(a＋3)( a－3)＝a2－9 B．y2－9＋2y＝(y＋3)( y－3)＋2y C．b2－16＝(b＋4)( b－4) D．4x＋5y＋25y2＝4x＋5y(1＋5y) （2）下列提公因式法因式分解错误的是 （B ） A．8x2y－24xy2＝8xy(x－3y) B．ax＋bx＋ay＋by＝x(a＋b)＋y(a＋b) C．gt12＋gt22＝gt12（1＋t10) D．15a2＋25ab2＝5a(3a＋5b2) 2．填空题 （1）15a3－5a2的公因式是 5a2。 （2）4a3b－6a2b2＋2a2b的公因式是 2a2b 。 （3）分解因式：3x2y3－9x3y2＝3x2y2( y-3x )。 a5 （4）分解因式：a9＋a7－2a6－3a5＝ (a4＋a2－2a－3)。 3．把下列各式分解因式 （1）ma－mb＋mc （2）8a3－12a2 （3）7x2y2－21y2z （4）15xyz－5yz2 （5）3m2x－3mx－6x （6）9a6x2－18a5x3－36a4x4
因式分解法的四种方法
因式分解法的四种方法
因式分解法的四种方法:提公因式法、分组分解法、待定系数法、十字分解法等等。
1、如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2、分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为"“1+3"式和"2+2"式。
3、待定系数法是初中数学的一个重要方法。
用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
4、十字分解法的方法简单来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
因式分解——提公因式法
1、分解因式计算 - 2101 - 2100
解：原式 2100
1998 - 1.9 × 199.8 2、利用简便方法计算：4.3 ×199.8 + 0.76 ×
解：原式 1998
3、已知m n 5，mn 4，求 m n mn 的值。
2 2
解：原代数式化简得： mn(m n)
三定指数
如果多项式的第一项的系 数是负的，一般要提出“-” 号，使括号内的第一项的系数 是正的，在提出“-”号时， 多项式的各项都要变号。
6a b (3a 2bc)
2 3 4
例3 把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式。
解：原式= (24x 12x 28 x)
3
2
= 4 x ( 6 x 3 x 7)
解：原式 ab 8b ab 12c ab 1
2
ab(8b 12c 1)
(4)49 4mn 98 5n m
3 2 2
(3) 4m 16m 24m
3 2
解：原式 (4m 16m 24m)
3 2
解：原式 49 2 2 mn3 98 5n2 m2
提高训练(二)
1、已知x x 1 0，求代数式 x
2
2006
x
2
2005
x
2004
...... x x 1 的值。
2
解： 1 x x 2 0 x
2006
x
2005
x
3
2004
...... x x 1
2 2004
(1 x x 2 ) ( x 3 x 4 x 5 ) ...... ( x 2004 x 2005 x 2006 ) (1 x x ) x (1 x x ) ...... x
多项式的因式分解的方法
多项式的因式分解的方法
多项式的因式分解是将一个多项式表示为若干个因式的乘积的过程。
下面介绍几种常用的因式分解方法。
1.提取公因式法：
当多项式中的每一项都有一个公因式时，可以利用提取公因式的方法进行因式分解。
具体步骤如下：
找出多项式中每一项的最大公因子；
将每一项除以公因子，得到新的多项式；
将公因子和新的多项式相乘，得到因式分解的结果。
2.公式法：
常见的公式有平方差公式、完全平方公式、立方差公式等。
通过应用这些公式，可以将多项式转化为容易分解的形式。
3.分组分解法：
当多项式中存在某些项之间具有相同的因式时，可以利用分组分解的方法。
具体步骤如下：
将多项式中的项进行分组，使得每组的项存在公因式；
对每组的项进行提取公因式；
将提取出的公因式和每组的项相乘，得到因式分解的结果。
4.二次三角形式分解法：
对形如$a^2b^2$的二次差进行因式分解时，可以利用二次三角形式分解法。
具体步骤如下：
将二次差形式转化为$(a+b)(ab)$的形式，其中$a$和
$b$是变量；
将$(a+b)$和$(ab)$作为因子，得到因式分解的结果。
以上是常用的几种多项式因式分解的方法，实际运用时可以根据多项式的具体形式选择合适的方法进行因式分解。
因式分解——提取公因式法(课件)
把多项式ma+mb+mc分解成m(a+b+c)的形 式，其中m是各项的公因式，另一个因式(a+b+c) 是ma+mb+mc 除以m的商，像这种分解因式的 方法，叫做提公因式法.
说出下列多项式各项的公因式：
(1)ma + mb ； m
(2)4kx－ 8ky ； 4k
(3)5y3+20y2 ； Байду номын сангаасy2
(4)a2b－2ab2+ab . ab
注意：各项系数都是整数时，因式的 系数应取各项系数的最大公约数；字母取 各项的相同的字母，而且各字母的指数取 次数最低的.
例1 把8a3b2 12ab3c分解因式
分析：应先找出
与
的
公因式，再提公因式进行分解.
例 2 分解因式 2a(b c) 3(b c)
请把下列多项式写成整式乘积的形式.
(1)x2 x x(x 1)
(2)x2 1 (x 1)(x 1)
把一个多项式化成几个整式积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解（或 分解因式）.
想一想：因式分解与整式乘法有何关系?
因式分解
x2－y2
(x+y)(x－y)
整式乘法
因式分解与整式乘法是互逆过程.
练习一 理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是 因式分解?
(1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； 因式分解
(2) 2x(x－3y)=2x2－6xy 整式乘法
(3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ；整式乘法
(4) x2+4x+4=(x+2)2 ；
因式分解和提公因式法
因式分解和提公因式法因式分解是代数中的一种重要的运算方法，在解题过程中往往可以起到简化问题、求解方程、找出公因数等作用。
而提公因式法是因式分解的一种特殊形式，通过提取公因式来简化多项式的表达式。
本文将详细介绍因式分解和提公因式法的概念、原理以及应用。
一、因式分解的概念和原理1.1 因式分解的概念因式分解是将一个多项式拆解成若干个因式的乘积，其中每个因式都是多项式的一个因子。
通过因式分解，我们可以将复杂的多项式化简为简单的因子形式，便于进一步求解方程、计算和进行其他代数运算。
1.2 因式分解的原理因式分解的原理是根据多项式的特点和运算规律，将其拆解为不可再分解的因子相乘的形式。
常用的分解方法有提取公因式法、配方法、根据特殊公式和因式定理等。
二、提公因式法的概念和步骤2.1 提公因式法的概念提公因式法是一种较为常见且简便的因式分解方法，通过提取多项式中的公因式，将多项式拆解为公因式和剩余部分的乘积。
这样可以达到简化表达式的效果，从而便于求解方程或进行其他计算。
2.2 提公因式法的步骤步骤一：观察多项式中是否存在公因式；步骤二：提取出公因式，并在多项式外面加上括号，表示公因式；步骤三：将多项式中去掉公因式后的部分作为括号内的剩余部分；步骤四：将公因式和剩余部分用乘号连接起来，得到最终的因式分解式。
三、因式分解和提公因式法的应用3.1 解方程因式分解和提公因式法在解方程中经常被使用。
通过因式分解，可以将原方程化简为简单的因子形式，从而更容易求解。
例如，对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果可以进行因式分解成(a'x + b')(c'x + d') = 0，那么可以根据方程因式乘积为零的性质，得到x的取值。
3.2 简化计算在进行复杂的数学计算时，因式分解和提公因式法可以起到简化计算的作用。
通过将多项式化简为因子形式，可以减少计算的复杂性。
特别是在涉及多次相同运算的情况下，将公因式提取出来可以减少重复计算。
因式分解提公因式法非常好用
(5) (m n)22(m n)〔(m+n)〕
(6)3(xy)26(xy)4〔3(x+y)2〕
(7 )4 a (a b )3 2 a(a b b )〔2a (a+b)〕
变式：2x(xy)4 (yx)
运用新知之初学乍练
例1：把8a3b2+12ab3c 分解因式.
1、提公因式 2、原多项式除以公因式
把以下各式分解因式：
1．2a－4b; 2．ax2+ax－4a; 3．3ab2－3a2b; 4．2x3+2x2－
6x; 5．7x2+7x+14; 6．－
12a2b+24ab2;
7.xy-x2y2-x3y3; 8．27x3+9x2y．
课Байду номын сангаас小结：
1、提取公因式法因式分解的步骤 先提公因式，再用原多项式除以公因式
ma+mb+mc=m(a+b+c)
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种变形叫做因式分解，也叫做分解因 式．
判断以下各式是否因式分解
(1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)因；式分解
(2) 2x(x－3y)=2x2－6xy 整式乘法
(3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ；整式乘法
因式分解提公因式法非常好 用
问题导入
实验中学在校园改造中新建一块运动场地，它由 三个矩形组成，三个矩形的宽分别为a、b 、c，长都 是m.你能表示出这块场地的面积吗？
ma+mb+mc=m(a+b+c)
m
a
b
c
问题导入
实验中学在校园改造中新建一块运动场地，它由 三个矩形组成，三个矩形的宽分别为a、b 、c， 长都是m.你能表示出这块场地的面积吗？
因式分解-提取公因式法
因式分解是数学中的一种重要技巧，通过提取公因式，可以简化复杂的表达 式，更容易进行后续运算。
提取公因式法的定义
提取公因式法是一种因式分解的方法，通过找出表达式中的公因式，将其提取出来，从而简化表达式。
提取公因式法的基本原理
1 寻找公因式
观察表达式中的各项，找 出它们的共同因子。
将3x+6分解为3(x+2)。
练习二
将4y+8分解为4(y+2)。
练习三
将5z+10分解为5(z+2)。
其他因式分解方法的比较
提取公因式法
适用于有公因式的表达式，简 化运算。
配方法
适用于二次型的因式分解。
分组分解法
适用于四项的因式分解，通过 分组化简表达式。
提取公因式法的应用和意义
提取公因式法在代数表达式的化简、解方程、因式分解、展开式等方面有着 广泛的应用。它可以帮助简化运算、找出规律、化简复杂的代数式。
2 提取公因式
将公因式提取出来，得到 一个简化的表达式。
3 化简表达式
对去除公因式后的表达式 行进一步化简。
提取公因式法的步骤与例子
1
步骤一
观察各项中的公因子，将其提取。
2
步骤二
对剩余项进行化简，如需要可以应用其他因式分解方法。
3
例子
例如，将2x+4分解为2(x+2)。
提取公因式法的练习题
练习一
结论和总结
提取公因式法是一种简化代数表达式的重要工具，通过寻找和提取公因式，可以简化运算、化简表达式、发现 规律，并在各种数学问题中应用广泛。
因式分解的四种方法
因式分解的四种方法
1. 因式分解法一：提取公因式法
这种方法适用于多项式中存在公共因式的情况。
首先，找出多项式中的公共因式，然后将其提取出来，在剩下的部分进行进一步的因式分解。
例如，对于多项式2x² + 4x，可以提取公因式2x，得到2x(x + 2)。
2. 因式分解法二：二次因式法
这种方法适用于多项式中存在二次因式的情况。
具体步骤是将多项式进行因式分解，将其表示为一个二次因式乘以一个一次因式的形式。
例如，对于多项式x² - 4，可以通过差平方公式进行因式分解，得到(x - 2)(x + 2)。
3. 因式分解法三：分组法
这种方法适用于多项式中存在四项以上的情况。
具体步骤是将多项式中的项进行分组，然后在每个组内因式分解，最后再进行合并。
例如，对于多项式x³ + 8y³ + 2xy² + 16y²，可以将其分为(x³ + 2xy²) + (8y³ + 16y²)，然后在每个组内因式分解，得到x(x² + 2y²) + 8y²(y + 2)，最后合并得到(x + 2y)(x² + 8y²)。
4. 因式分解法四：完全平方式
这种方法适用于多项式是平方差的形式。
具体步骤是将多项式表示为两个完全平方数的差，然后应用差平方公式进行因式分解。
例如，对于多项式x⁴ - 16，可以将其表示为(x²)² - 4²，然后应用差平方公式得到(x² - 4)(x² + 4)。
因式分解-提公因式法
提公因式法的应用场景
• 可提取公因式简化 多项式
• 需要进一步分解剩 余部分
配方法
• 适用于二次方程式 • 通过转化为平方完
成因式分解 • 适用范围有限
根式法
• 适用于含有平方根 的多项式
• 通过提取平方根进 行因式分解
• 限制较多
提公因式法的优点
简单易用
提公因式法是一种较为简单的因式分解方法，易于掌握和应用。
通用性强
因式分解-提公因式法
因式分解是一种重要的数学概念，提公因式法是常用的因式分解方法之一。
提公因式法的定义
提公因式法是一种通过找出多项式中的公因式，将其进行提取，从而达到进 行因式分解的目的的方法。
提公因式法的步骤
1. 找出多项式中的公因式 2. 提取公因式 3. 将剩余部分进行因式分解
示例：使用提公因式法进行因式分解
提公因减少计算量
通过提取公因式，可以简化多项式，减少计算的复杂度。
结论
提公因式法是一种重要的因式分解方法，能够帮助我们简化复杂的代数表达 式，解决方程，以及进行数学建模。
1 简化表达式
提公因式法可以帮助我们简化复杂的代数表达式，使计算更加简便。
2 解方程
提公因式法可以用于解决一些复杂方程，帮助我们找到方程的根。
3 数学建模
提公因式法是数学建模中常用的一种方法，可以帮助我们更好地理解和描述实际问题。
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
因式分解的13种方法
因式分解的13种方法因式分解是将多项式分解成几个因式的乘积的过程。
它是代数中的一个重要技巧，可以帮助我们简化计算、解方程、求根等。
以下是13种常见的因式分解方法。
方法一：提公因式法提公因式法是将多项式的共同因子提出来，使得多项式可以分解为几个因子的乘积。
例如，对于多项式2x^2+4x，我们可以提取公因式2x，得到2x(x+2)。
方法二：分组提公因式法分组提公因式法是将多项式中的项按照一定的规则进行分组，然后分别提取每组的公因式。
例如，对于多项式2x^3+4x^2+3x+6，可以将其分组为(2x^3+4x^2)+(3x+6)，然后对每个组提取公因式，得到2x^2(x+2)+3(x+2)，再提取公因式(x+2)，最终得到(x+2)(2x^2+3)。
方法三：差平方公式差平方公式是指a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
如果我们遇到一个差平方的形式，可以直接利用差平方公式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2-4，可以利用差平方公式得到(x+2)(x-2)。
方法四：和差化积公式和差化积公式是指a^3±b^3=(a±b)(a^2∓ab+b^2)。
如果我们遇到一个和差的形式，可以直接利用和差化积公式进行因式分解。
例如，对于多项式x^3+8，可以利用和差化积公式得到(x+2)(x^2-2x+4)。
方法五：平方差公式平方差公式是指a^2±2ab+b^2=(a±b)^2、如果我们遇到一个平方差的形式，可以直接利用平方差公式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+4x+4，可以利用平方差公式得到(x+2)^2方法六：二次差公式二次差公式是指a^2-b^2=(a-b)(a+b)。
如果我们遇到一个二次差的形式，可以直接利用二次差公式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2-9，可以利用二次差公式得到(x-3)(x+3)。
方法七：完全平方公式完全平方公式是指a^2±2ab+b^2=(a±b)^2、如果我们遇到一个完全平方的形式，可以直接利用完全平方公式进行因式分解。
因式分解之提公因式法
因式分解之提公因式法【知识要点】1．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式。
注意：①因式分解必须彻底，一般分解后：单项式在多项式前；只含小括号；首项系数为正。
②是否属于因式分解与因式分解是否正确不是同一概念。
2.因式分解主要方法：一提二套三乘四分五造概念巩固11.下列各式中①22623x y x y =；②243(2)(2)3x x x x x --=+--；③22(2)ab ab ab b -=-；④221(1)(1)1a a a a -+=-+=-，是因式分解的有 .2.下列各式因式分解正确的是：233x x -=3x （x-1） 216m -=（m-4）²---ma mb mc =（-a-b-c ）m 269y y -+=y （y-6）+92．提公因式法；（1）公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
（2）公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂。
（3）提公因式法：如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
（4）多项式的公因式的确定方法是：① 当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
② 系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
注意：公因式可能是单个字母也可能是一个多项式。
概念巩固21．下列各式中，没有公因式的是（ ）A ．33a b -与b a -B ．mx y +与x my +C ．2()x y +与x y --D ．2x xy -与()()x y x y +-2．观察下列各组式子，其中有公因式的是（ ）①2y x +与x y +；②3()a m n -与m n -+；③a b -与2()a b +；④22x y -与2()y x -A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④3．多项式2n n b b -提公因式n b 后，另一个因式是（ ）A ．1n b -B ．211n b --C ．21n b -D ．n b【典例精析】（一）基本分解因式1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213分析：若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
《提取公因式法》因式分解
规划上，应该根据自己的实际情况和学习进度，合理 安排时间进行学习和练习。同时，要注重系统性学习 ，把相关的知识点串联起来，形成完整的知识体系。
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04
习题与解析
习题一：提取公因式法
详细描述
2. 将公因式提取出来，可以使用 乘法分配律。
总结词：提取公因式法是因式分 解的一种基本方法，通过找到多 项式中的公因式，将其提取出来 ，使多项式得到简化。
1. 找到多项式中的公因式，通常 是最简公分母或同类项的系数。
3. 将提取公因式后的多项式进行 因式分解，得到若干个单项式。
因式分解的应用
01
02
03
解决数字计算问题
通过因式分解可以解决一 些数字计算问题，例如简 化计算、求值、整除性问 题等。
解决几何问题
因式分解在几何中也有广 泛的应用，例如解三角形 的问题。
解决方程问题
通过因式分解可以解决一 些方程问题，例如解一元 二次方程等。
03
提取公因式法与因式分解 的关系
提取公因式法是因式分解的一种方法
对于初学者来说，提取公因式法可能比较抽 象，难以理解，尤其是当多项式项数较多时 ，更容易出现错误。
解决这个问题的方法包括：多看例题、多做 练习题，通过大量的实践来加深对提取公因 式法的理解和掌握。同时，要学会总结和归 纳提取公因式法的各种情况，以便更好地掌
握这种方法。
对后续学习的展望和规划
掌握提取公因式法之后，可以进一步学习其他的因式 分解方法，如分组分解法、十字相乘法等。同时，通 过不断的学习和实践，可以逐渐提高自己的数学水平 。
习题二：因式分解
总结词：因式分解是将一个多项式分解 为若干个单项式的乘积，每个单项式是 多项式的因式。
提取公因式法因式分解(解析版)
提取公因式法因式分解【知识梳理】一．因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．二．公因式1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．三．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．【考点剖析】一．因式分解的意义（共4小题）1．（2022秋•黄浦区期中）下列等式中，从左到右的变形是多项式的因式分解的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．x2﹣2x+5＝x（x﹣2）+5C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2D．x2+1＝x（x+）【分析】根据因式分解的定义对各选项分析后利用排除法求解．【解答】解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2是多项式的乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；B、x2﹣2x+5＝x（x﹣2）+5，等式的右边不是几个整式积的形式，故本选项不合题意；C、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2是因式分解，故本选项符合题意；D、x2+1＝x（x+），右边分母上有字母，不是因式分解，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了因式分解定义，因式分解就是把一个多项式写成几个整式积的形式，是基础题，比较简单．2．（2022秋•静安区校级期中）在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．2a2﹣3a+1＝a（2a﹣3）+1B．C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1D．﹣4﹣x2y2+4xy＝﹣（2﹣xy）2【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；B、不是因式分解，故本选项不符合题意；C、不是因式分解，故本选项不符合题意；D、是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．3．（2022秋•闵行区校级期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可．【解答】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；D．符合定义，故选项正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．4．（2022秋•浦东新区校级期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（）A．a2+8a+16＝（a+4）2B．（a+4）2＝a2+8a+16C．a2+8a+16＝a（a+8）+16D．a2+8（a+2）＝a2+8a+16【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A．等式由左边到右边的变形属于因式分解，并且正确，故本选符合题意；B．等式由左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；CD．等式由左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．二．公因式（共7小题）5．（2022秋•青浦区校级期中）单项式3a3b与单项式9a2b3的公因式是（）A．3a2b B．3a3b3C．a2b D．a3b3【分析】根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可．【解答】解：单项式3a3b与单项式9a2b3的公因式是3a2b．故选：A．【点评】此题考查的是公因式，掌握其定义是解决此题的关键．6．（2020秋•浦东新区期末）多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（）A．x+3B．（x+3）2 C．x﹣3D．x2+9【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．【解答】解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）．故选：C．【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．7．（2022秋•嘉定区期中）多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式是．【分析】直接利用公因式的确定方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，进而得出答案．【解答】解：多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式是3x2y2．故答案为：3x2y2．【点评】此题主要考查了公因式，正确把握确定公因式的方法是解题的关键．8．（2019秋•黄浦区校级期中）多项式4a（x﹣y）﹣6a2（x﹣y）中各项的公因式是．：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．【解答】解：多项式4a（x﹣y）﹣6a2（x﹣y）中各项的公因式是2a（x﹣y），故答案为：2a（x﹣y）．【点评】本题主要考查了公因式，多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．9．（2018秋•嘉定区期末）写出多项式x2﹣y2与多项式x2+xy的一个公因式．【分析】先把两个多项式因式分解，再找出它们的公因式．【解答】解：因为x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），x2+xy＝x（x+y），所以两个多项式的公因式为：x+y．故答案为：x+y【点评】本题考查了因式分解的平方差公式和提取公因式法．掌握多项式因式分解的方法是解决本题的关键．10．（2019秋•浦东新区期末）8x3y2和12x4y的公因式是．【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．【解答】解：系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是x3y，∴公因式为4x3y．故答案为：4x3y．【点评】本题考查公因式的定义，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键，11．（2019秋•松江区期中）多项式：4x（x﹣y）﹣3（x﹣y）的公因式是．【分析】根据公因式的定义：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数解答．【解答】解：4x（x﹣y）﹣3（x﹣y）的公因式是（x﹣y）．故答案为：（x﹣y）．三．因式分解-提公因式法（共14小题）12．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：（x﹣5）（3x﹣2）﹣3（x﹣5）＝．【分析】将原式的公因式（x﹣5）提出即可得出答案．【解答】解：（x﹣5）（3x﹣2）﹣3（x﹣5）＝（x﹣5）（3x﹣2﹣3）＝（x﹣5）（3x﹣5）．故答案为：（x﹣5）（3x﹣5）．【点评】本题考查因式分解﹣提公因式法，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．13．（2022秋•嘉定区期中）分解因式：3x3﹣9x2﹣3x＝．【分析】提取公因式后即可因式分解．【解答】解：3x3﹣9x2﹣3x＝3x（x2﹣3x﹣1），故答案为：3x（x2﹣3x﹣1）．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法因式分解的方法是解题的关键．14．（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：4x2y﹣12xy＝．【分析】直接提取公因式4xy进行分解因式即可．【解答】解：4x2y﹣12xy＝4xy（x﹣3），故答案为：4xy（x﹣3）．【点评】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．15．（2021秋•金山区期末）因式分解：6a2﹣8a3＝．【分析】直接找出公因式进而提取公因式得出答案．【解答】解：6a2﹣8a3＝2a2（3﹣4a）．故答案为：2a2（3﹣4a）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．16．（2021秋•奉贤区期末）分解因式：2m2n﹣mn2＝．【分析】直接提取公因式mn进行因式分解即可．【解答】解：2m2n﹣mn2＝mn（2m﹣n）．故答案为：mn（2m﹣n）．【点评】如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．17．（2022秋•嘉定区校级期中）因式分解：﹣15a﹣10ab+5abc＝．【分析】直接提取公因式﹣5a，进而分解因式即可．【解答】解：原式＝﹣5a（3+2b﹣bc）．故答案为：﹣5a（3+2b﹣bc）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．18．（2022秋•嘉定区期中）当a＝3，b＝时，代数式﹣a2+4ab的值为．【分析】将原式变形为﹣a（a﹣4b），把a与b的值分别代入计算即可得到结果．【解答】解：当a＝3，b＝时，﹣a2+4ab＝﹣a（a﹣4b）＝﹣3×（3﹣4×）＝﹣3×2＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题考查了代数式求值和因式分解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（2022秋•嘉定区期中）因式分解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）【分析】直接提取公因式进而分解因式得出答案．【解答】解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）＝2（x+y）[3（x+y）﹣（x﹣y）]＝2（x+y）（2x+4y）＝4（x+y）（x+2y）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确掌握公因式是解题关键．20．（2022秋•杨浦区期中）分解因式：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）．【分析】原式变形可得a2（a+2b）+2ab（a+2b），再提公因式a（a+2b）因式分解即可．【解答】解：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）＝a2（a+2b）+2ab（a+2b）＝a（a+2b）（a+2b）＝a（a+2b）2．【点评】本题考查了提公因式法因式分解，正确找出公因式是解答本题的关键．21．（2022秋•浦东新区校级期中）因式分解：（y﹣x）2+2（x﹣y）＝．【分析】利用提公因式法，进行分解即可解答．【解答】解：（y﹣x）2+2（x﹣y）＝（y﹣x）2﹣2（y﹣x）＝（y﹣x）（y﹣x﹣2），故答案为：（y﹣x）（y﹣x﹣2）．【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提公因式法是解题的关键．22．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：15a2b﹣3ab＝．【分析】先确定公因式为3ab，然后提取公因式后整理即可．【解答】解：15a2b ﹣3ab ＝3ab （5a ﹣1）．故答案为：3ab （5a ﹣1）．【点评】本题考查提公因式法分解因式，较为简单，准确找出公因式是解题的关键．23．（2022秋•虹口区校级期中）分解因式：3x 2y ﹣12xy 2＝ ．【分析】得出多项式的公因式进而提取得出即可．【解答】解：3x2y ﹣12xy2＝3xy （x ﹣4y ）．故答案为：3xy （x ﹣4y ）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．24．（2022秋•宝山区校级期中）分解因式：a （a ﹣b ）+b （b ﹣a ）＝ ．【分析】首先把式子变形为：a （a ﹣b ）﹣b （a ﹣b ），再找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可．【解答】解：a （a ﹣b ）+b （b ﹣a ）＝a （a ﹣b ）﹣b （a ﹣b ）＝（a ﹣b ）（a ﹣b ）＝（a ﹣b ）2．故答案为：（a ﹣b ）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法因式分解，根据题意找出公因式是解决问题的关键．25．（2022m （a ﹣c ）﹣5（a ﹣c ）．【分析】直接提取公因式a ﹣c 即可．【解答】解：原式＝（a ﹣c ）（2m ﹣5）．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找到公因式．【过关检测】一、单选题1．（2023·上海·七年级假期作业）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．()2222x y x y xy +=−+ B ．()422211(1x x x x x x ++=++−+） C ．()230130x x x x −−=−−D ．()22121a a a −=−+【答案】B【分析】根据因式分解的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；B 、从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意；C 、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；D 、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．2．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）分解因式()()222b x b x −+−正确的结果是（ ）A ．()()22x b b −+B ．()()21b x b −+C ．()()22x b b −−D ．()()21b x b −−【答案】D【分析】先将式子变形，再提取公因式分解即可．【详解】解：()()222b x b x −+− ()()222b x b x =−−− ()(2)1b x b =−−．故选：D 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式． 3．（2022秋·上海松江·七年级校考期中）已知多项式2ax bx c ++分解因式得()()32x x −+，则a ，b ，c 的值分别为（ ）A ．1，1−，6B ．1，1，6−C ．1，1−，6−D ．1，1，6 【答案】C【分析】根据多项式乘以多项式运算法则将()()32x x −+展开，分别对应2ax bx c ++即可得出答案．【详解】解：()()2632x x x x =−+−−，∵多项式2ax bx c ++分解因式得()()32x x −+，∴1,1,6a b c ==−=−，故选：C ．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，也可根据十字相乘法因式分解得326,321,111c b a =−⨯=−=−+=−=⨯=进行求解．4．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（ ） A ．22816(4)a a a ++=+B ．22(4)=816a a a +++C ．2816(8)16a a a a ++=++D ．228(2)816a a a a ++=++ 【答案】A【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断．【详解】A ．把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；B ．是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C ．结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；D ．是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：A【点睛】因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变．5．（2020秋·七年级校考课时练习）把多项式-4a 3+4a 2-16a 分解因式( )A ．-a （4a 2-4a+16）B ．a （-4a 2+4a-16）C ．-4（a 3-a 2+4a ）D ．-4a （a 2-a+4） 【答案】D【详解】把多项式-4a3+4a2-16a 运用提取公因式法因式分解，可得-4a3+4a2-16a=-4a （a2-a+4）． 故选D ．【答案】D【分析】根据完全平方公式求出225x y +=，再把原式因式分解后可代入求值．【详解】解：因为2x y −=，12xy =，所以()24x y −=，22425x y xy +=+=所以32233x y x y xy ++()223xy x xy y =++115322134⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭=故选：D【点睛】考核知识点：因式分解的应用．灵活应用完全平方公式进行变形是解题的关键．二、填空题7．（2023·上海·七年级假期作业）若5x y −=，6xy =则22x y xy −=________，2222x y +=________．【答案】 30 74【分析】第一个空先利用提公因式法因式分解，再代入计算即可；第二个空利用完全平方公式变形后，代入计算即可．【详解】解：22()6530x y xy xy x y −=−=⨯=；()222222()22251274x y x y xy ⎡⎤+=−+=⨯+=⎣⎦．故答案为：30，74．【点睛】本题考查代数式求值，掌握因式分解法和熟练利用完全平方公式是解题关键．8．（2022秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）分解因式：22615x z yz −+=__________．【答案】()2325z x yz −−【分析】提取公因式即可分解．【详解】解：()222615325x z yz z x yz −+=−−， 故答案为：()2325z x yz −−． 【点睛】本题是一道有关因式分解的题目，解题的关键是掌握提公因式法分解因式的步骤．9．（2022秋·上海浦东新·七年级校考期中）分解因式：223714ab a b −=______．【答案】()2712ab ab −【分析】直接提取公因式进行计算即可．【详解】解：原式()2712ab ab =−．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．10．（2022秋·上海·七年级上海市建平中学西校校考期中）因式分解：2()2()y x x y −+−=___________．【答案】()()2x y x y −−+【分析】直接利用提公因式法分解因式即可． 【详解】()()2()2()2y x x y x y x y −+−=−−+．故答案为：()()2x y x y −−+．【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．【答案】234y x y −【分析】利用提公因式法分解因式求解即可．【详解】()23268234y x y xy y −=−． 故答案为：()2234y x y −． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．12．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）分解因式：25x y xy +=__________．【答案】()5xy x +【分析】根据提公因式法分解因式即可．【详解】解：()255x y xy xy x +=+．故答案为：()5xy x +．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法．13．（2023秋·上海宝山·七年级校考期末）分解因式：2412x y xy −=______．【答案】()43xy x −【分析】直接提取公因式4xy 进行分解因式即可．【详解】解：2412x y xy −()43xy x =−，故答案为：()43xy x −．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．14．（2022秋·上海松江·七年级校考期中）因式分解：()()()2222a b b a a b −−−+=___________．【答案】()()23a b a b −−【分析】提公因式()2a b −，即可求解．【详解】解：()()()2222a b b a a b −−−+ ()()()2222a b a b a b −+−+=()()222a b a b a b =−−++ ()()23a b a b =−−． 故答案为：()()23a b a b −−．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．15．（2023·上海·七年级假期作业）因式分解：15105a ab abc −−+=___________．【答案】()532a b bc −+−【分析】提出公因式5a −即可．【详解】解：()15105532a ab abc a b bc −−+=−+− 故答案为：()532a b bc −+−． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．16．（2023·上海·七年级假期作业）已知：()()2111x x x x x +++++=[](1)1(1)x x x x +⋅+++=()()()()31111x x x x ⎡⎤+⋅+⋅+=+⎣⎦，因式分解()()()220221111x x x x x x x ++++++⋅⋅⋅++，结果为_______________． 【答案】()20231x + 【分析】将()()()220221111x x x x x x x ++++++⋅⋅⋅++提出一个()1x +，再将 ()()()()220211111...1x x x x x x x x ⎡⎤+++++++++⎣⎦提出一个()1x +，继续提出一个()1x +，以此类推，直到原式变为()()202211x x ++，再化简即可．【详解】解：()()()220221111x x x x x x x ++++++⋅⋅⋅++ ()()()()220211111...1x x x x x x x x ⎡⎤=+++++++++⎣⎦()()()()2220201111...1x x x x x x x ⎡⎤=+++++++++⎣⎦()()()()3220191111...1x x x x x x x x ⎡⎤=+++++++++⎣⎦…()()2021111x x x x =++++⎡⎤⎣⎦ ()()202211x x =++()20231x =+故答案为：()20231x +【点睛】本题考查了提公因式法，一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成多项式与另一个因式的乘积的形式，在这种分解因式的方法叫做提公因式法．17．（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）如果210x x ++=，那么23991x x x x ++++⋅⋅⋅+的值是______．【答案】1【分析】首先需要先将23991x x x x ++++⋅⋅⋅+变形为()()234561x x x x x x +++++++()979899x x x ⋅⋅⋅+++，经过提公因式得到()()242111x x x x x x ++++++()9721x x x +⋅⋅⋅+++ ，将210x x ++=整体代入即可． 【详解】解：23991x x x x ++++⋅⋅⋅+()()234561x x x x x x =+++++++()979899x x x ⋅⋅⋅+++ ()()242111x x x x x x =++++++()9721x x x +⋅⋅⋅+++将210x x ++=代入，得到10001=+++⋅⋅⋅+=． 故答案为：1．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，寻找公因式21x x ++是解题的关键．18．（2023·上海·七年级假期作业）分解因式：(5)(32)3(5)x x x −−−−=___________【答案】()()535x x −−/()()355x x −−【分析】提取公因式()5x −，同类项合并即可解得． 【详解】(5)(32)3(5)x x x −−−−(5)(323)x x =---(5)(35)x x =--【点睛】此题考查了分解因式，解题的关键是熟悉提取公因式法．三、解答题【答案】()()25a c m −−【分析】根据提公因式法分解因式求解即可．【详解】解：2()5()m a c a c −−−()()25a c m =−−【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．20．（2022秋·上海·七年级专题练习）因式分解：()13(1)22n n n a a a a +−−−【答案】)(1n a a +【分析】先计算单项式乘多项式，合并后，再提取公式即可．【详解】解：()13(1)22n n n a a a a +−−−112433n n n n a a a a ++=−−+1n n a a +=+)(1n a a =+．【点睛】本题考查了单项式乘多项式，同底数相乘，提公因式分解因式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．21．（2022秋·上海·七年级专题练习）因式分解：()()42a x y b y x −−−．【答案】()()22x y a b −+【分析】将原式变为()()42a x y b x y −+−，再利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：()()42a x y b y x −−− ()()42a x y b x y =−+− ()()22x y a b =−+．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，注意将题目中的y x −变为x y −时符号的变化，正确找到公因式是解答本题的关键．22．（2022秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考期中）因式分解：()22a b a b −−+【答案】()()221a b a b −−−【分析】先把原式化为()()22a b a b −−−，再提取公因式分解因式即可．【详解】解：()22a b a b −−+ ()()22a b a b =−−−()()21a b a b =−−−⎡⎤⎣⎦()()221a b a b =−−−【点睛】本题考查的是提取公因式分解因式，掌握“公因式的确定以及提取公因式的方法”是解本题的关键．23．（2022秋·上海浦东新·七年级校考期中）因式分解：()()()22x y x y x y +−−−【答案】()()3x y x y +−【分析】直接提取公因式()x y −进行分解因式即可． 【详解】解：()()()22x y x y x y +−−−()()()2x y x y x y =+−−−⎡⎤⎣⎦()()22x y x y x y =+−+−()()3x y x y =+−．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 24．（2023·上海·七年级假期作业）把下列各式分解因式：(1)()()33113510m m a b a b a b b a +−−−−；(2)()()()223222122418ab x y a b y x ab y x −+−+−．【答案】(1)13225()(2)m a b a b a b −−+ (2)26()(2433)ab x y b ab x y −+−+【分析】（1）原式利用提公因式法解答；（2）原式利用提公因式法解答．【详解】（1）原式()()33113510m m a b a b a b a b +−=−+−13225()(2)m a b a b a b −=−+；（2）原式()()()223222122418ab x y a b x y ab x y =−+−−−26()[243()]ab x y b ab x y =−+−−26()(2433)ab x y b ab x y =−+−+．【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂．【答案】3()(32)16x y a b −− 【分析】根据提公因式法因式分解直接求解即可得到答案【详解】解：()()93168a x y b y x −+−()()93168a x y b x y =−−− 3()(32)16x y a b =−−．【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式后，剩余的项的项数与原来的项数相同，并且让系数变为整数．26．（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）因式分解：()()32232x a a a x −+−．【答案】()()222x a x a −+【分析】先提取公因式，然后化简即可．【详解】解：原式()()2223x a x a a =−−+ ()()2222x a x a =−+()()222x a x a =−+．【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提公因式法是解决因式分解的关键．27．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）分解因式：()()()()2232253x y x y y x x y −+−−+．【答案】()()3243x y x y −+【分析】根据提公因式法分解因式求解即可【详解】解：()()()()2232253x y x y y x x y −+−−+()()()()2232253x y x y x y x y =−++−+ ()()223253x y x y x y =−+++⎡⎤⎣⎦()()2129x y x y =−+()()3243x y x y =−+ 【点睛】此题考查了提公因式法分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法．28．（2023·上海·七年级假期作业）化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++++．【答案】()20071x +【分析】原式利用提公因式法逐步分解因式得出答案．【详解】原式22005(1)[1(1)(1)(1)]x x x x x x x x =+++++++++222004(1)[1(1)(1)(1)]x x x x x x x x =+++++++++ 322003(1)[1(1)(1)(1)]x x x x x x x x =+++++++++ =()()200611x x =++()20071x =+． 【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，掌握解答的方法是关键．。
因式分解提公因式法ppt
提公因式法在数学中不断发展完善，现在已经成为中学数学 中的一个重要内容，也是数学竞赛中的常考点之一
02
提公因式法的原理
提公因式法的数学原理
公式解释
提公因式法是因式分解的一种常用方法，其基本思想是将一个多项式中的公 共因子提取出来，形成新的因子，从而将原多项式分解为多个因式的乘积。
数学原理
通过将多项式中所有项的公因式提取出来，并将其放在一个新的因子中，再 用这个公因式将原多项式进行因式分解。
3
提公因式法可以应用于各种不同的多项式中， 例如：二次三项式、高次多项式、分式等。
提公因式法的反思
01
提公因式法的应用有一定的局限性，因为有时候多项式没有公 因式可以提取。
02
在提公因式的过程中，需要注意不要漏掉任何一个公因式，同
时要避免将不是公因式的项也提取出来。
提取出来的公因式有时候可能并不是最简单的形式，需要进一
在分数的加减法中，提公因式法可以用来简化分数，从而更 容易进行加减运算。
数据的分析
在进行数据的分析时，提公因式法可以用来对数据进行分类 和整理，从而更好地理解数据的分布和特征。
对未来数学学习的建议
深入理解提公因式法的本质
提公因式法是一种重要的数学方法，需要深入理解其本质和原理，以便更好 地掌握和使用。
对余下的多项式继续进行因式分 解
提公因式法步骤的应用示例
例子1
将$2x^3+3x^2y-5x-3y$分解因式
例子2
将$3x^3-6x^2y+4xy^2-2y^3$分解因式
提公因式法步骤的注意事项
注意项中公因式的系数，有时候不是所有项系数的最大公约数 注意各项符号，有时候会出现负号，需要特别注意
因式分解和提公因式法
因式分解和提公因式法因式分解方法灵活，技巧性强，初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．1.定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2.提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.am＋bm＋cm＝m（a+b+c）③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.3．区分因式分解与整式的乘法：它们的关系是意义上正好相反，结果的特征是因式分解是积的形式，整式的乘法是和的形式，抓住这一特征，就不容易混淆因式分解与整式的乘法。
经典例题：1.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33x5+3x4y-5x3y²+4xy4+12y5-15x²y3解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y²+15x²y3)+(4xy4+12y5)=x4(x+3y)-5x²y²(x+3y)+4y4(x+3y)=(x+3y)(x4-5x²y²+4y4)=(x+3y)(x²-4y²)(x²-y²)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当y=0时，原式=x5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立2、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)3、 十字相乘法对于mx ²+px+q 形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q 且ac+bd=p ，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 分解因式7x ²-19x-6解：7x ²-19x-6=（7x+2）(x-3)4、 分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)巩固练习一、选择题1、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）A 、29)3)(3(x x x -=+-B 、))((2233n mn m n m n m ++-=-C 、)1)(3()3)(1(++-=-+y y y yD 、z yz z y z z y yz +-=+-)2(22422、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）A 、22)(b a -+B 、mn m 2052-C 、22y x --D 、92+-x3、若E p q p q q p ⋅-=---232)()()(，则E 是（ ）A 、p q --1B 、p q -C 、q p -+1D 、p q -+14、若)5)(3(+-x x 是q px x ++2的因式，则p 为（ ）A 、－15B 、－2C 、8D 、25、如果2592++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（ ）A 、 15B 、 ±5C 、 30D ±306、△ABC 的三边满足a 2+b 2+c 2=ac +bc +ab ，则△ABC 是（ ）A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、等边三角形D 、锐角三角形7、已知2x 2-3xy+y 2=0（xy ≠0），则x y +y x的值是（ ） A 2或212 B 2 C 212 D －2或－2128、要在二次三项式x 2+□x-6的□中填上一个整数，使它能按x 2＋（a ＋b ）x ＋ab 型分解为（x ＋a ）（x ＋b ）的形式，那么这些数只能是 （ ）A ．1，-1；B ．5，-5；C ．1，-1，5，-5；D ．以上答案都不对9、已知二次三项式x 2+bx+c 可分解为两个一次因式的积（x ＋α）（x+β），下面说法中错误的是 （ ）A ．若b ＞0，c ＞0，则α、β同取正号；B ．若b ＜0，c ＞0，则α、β同取负号；C ．若b ＞0，c ＜0，则α、β异号，且正的一个数大于负的一个数；D ．若b ＜0，c ＜0，则α、β异号，且负的一个数的绝对值较大．10、已知a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3二、填空题11、已知：02,022=-+≠b ab a ab ，那么ba b a +-22的值为_____________.12、分解因式:ma 2-4ma+4a=_________________________.13、分解因式:x （a-b ）2n +y （b-a ）2n+1=_______________________.14、△ABC 的三边满足a 4+b 2c 2-a 2c 2-b 4=0，则△ABC 的形状是__________.15、若A y x y x y x ⋅-=+--)(22，则A =___________.16、多项式2,12,2223--+++x x x x x x 的公因式是___.17、若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m=___________.18、若a 2+2a+b 2-6b+10=0， 则a=___________，b=___________.19、若(x 2+y 2)(x 2+y 2-1)=12， 则x 2+y 2=___________.三、把下列各式因式分解（1）22)34()43)(62()3(y x x y y x y x -+-+++ （2）27624--a a（3）32)(10)(5x y n y x m -+- （4）8x m y n-1+56x m+1y n四、解答题1、求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正。
因式分解—提公因式法
因式分解—提公因式法一、因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，也叫做把这个多项式分解因式。
是整式乘法的逆运算。
如：a2-b2=（a+b）(a-b)同类演练一：（1）2m(m-n)=2m2-2mn；（2）x2-2x+1=x（x-2）+1；（3）a2-b2=（a+b）（a-b）；（4）4x2-4x+1=(2x-1)2；（5）3a2+6a=3a（a+2）；（6）m2-1+ n2=（m+1）（n-1）二、提公因式法公因式：多项式中的每一项都含有一个相同因式，这个相同的因式叫做各项的公因式。
如：ma+mb+mc 每项都含有m，则m是这个多项式的公因式。
把这个公因式提到括号外面，这样ma+mb+mc就分解成两个因式的积m(a+b+c),即ma+mb+mc= m(a+b+c)。
这种因式分解的方法叫做提公因式法。
（用公因式法分解因式后，应保证含有多项式的因式中再无公因式）。
归纳方法：如何确定多项式各项的公因式？1．定系数：找多项式各项系数的最大公约数．2．定字母：找多项式各项相同的字母．3．定指数：相同字母的最低的次数．同类演练二：1、找出下列多项式的公因式：（1）4ax-8ay；（2）5y3+20y2；（3）a2b-2ab2+ab；（4）-4a3b2-6a2b+2ab；（5）（2a+b）（2a-3b）-3a（2a+b）．2、因式分解：（1）24a3m-18a2m2；（2）5y2-15y +5；（3）28x3-14x2+7x．3、因式分解：对于首项是带有负号的多项式分解因式，多项式第一项的系数是负数，通常先提出“-”号，且括号内各项都要变号．（1）-7ab+49ab2c；（2）-6ax2+9axy -3a；（3）-2a3b2-ab3c +3abc巩固练习1、将分解因式时，应提取的公因式是( )A.a2B.aC.axD.ay2、因式分解（1）；（2）－12a2b+24ab2；（3）xy－x2y2－x3y3；（4）．2．已知a－b＝3，ab＝－1，求a2b－ab2．3．若x2＋3x－2＝0，求2x3＋6x2－4x的值．4．先分解因式，再求值：4a2（x+7）-3（x+7），其中a=-5，x=3．能力提升5、．因式分解（1）；（2）；（3）；（4）．。
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提公因式法导学案
学习目标：
1、了解因式分解的意义；
2、认识因式分解与整式乘法的互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法；
3、了解公因式的概念，会用提公因式法分解因式.
学习重点：确定多项式中各项的公因式及运用提公因式法分解因式.
学习难点：正确找出多项式各项的公因式及提公因式后另一个因式的确定；因式分解与整式乘法的区别和联系.
学习过程：
一、预学：
1、你会计算吗？
2、你能把下列各式化成乘积的形式吗？
(1)x（x+1）=______________; (1)x2+x=_____________________:
(2)（x+1）（x-1）=______________; (2)x2-1=______________________;
(3)m(a+b+c) =_________________; (3)am+bm+cm=_________________;
2、[思考1] 上面的两题有什么不同？
第1题：等号的左边是___________________,等号的右边是______________.它是将____________变形为________的形式，这种式子变形我们把它叫做
______________;
第2题：等号的左边是________,等号的右边是________________.它是将
___________变形为_______________的形式，这种式子变形叫做这个多项式的_________，也叫做把这个多项式_______________.
[思考2] 因式分解与整式乘法有什么联系？
从形式上看：因式分解与整式乘法是____________的关系．如图所示：
( )
( )
am+bm+cm m(a+b+c)
3、预学检测：下列等式中从左到右的变形是因式分解的有______________.(填序号)
1(a+b)(a-b)=(a-b)(a+b) 2(x+3)(x-3)= x2-9 3x2-x=x(x+1)
4x2-y2=(x+y)(x-y) 5a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1 615a2b3=15a2•b3
4、【反思1】(1)判断等式变形是不是因式分解，从形式上看，必须抓住等式的左边是一个____________,右边是_______________________的形式;
(2)因式分解是对____________而言的，________没有因式分解一说;
(3)因式分解的结果应该与原多项式_________;
5、观察多项式ma+mb+mc有什么特点？你能把它分解因式吗？
6、多项式中的各项都有一个公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的
______.
7、一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
8、[思考3]提公因式法的依据是什么？
9、[思考4]公因式确定后怎样确定另一个因式呢？
二、互学：
1、互学例1 把8a3b2+12ab3c分解因式.
[思考5]如何确定公因式呢？请同学们自学教材115页例1,在小组内交流你是如何确定公因式的？又是怎样分解因式的？准备进行小组展示.
2、【反思2】【反思3】
确定公因式的一般步骤:用提公因式法分解因式的一般步骤:
(1)取各项整数系数的________________; (1)确定多项式各项的
___________;
(2)取各项相同的__________； (2)把多项式的各项写成
__________
(3)取相同字母或因式的________________. 与另一个因式_________的形式；
（3)________________.
3、[思考6]在上题中如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公因式?
4、[思考7]如何检查因式分解是否正确？
5、变式训练：把下列多项式分解因式:
(1)8a3b2-12ab3c +4ab (2) -8a3b2-12ab3c +4ab
6、[思考8]当公因式与多项式的某一项相同时，分解因式应注意什么？
7、[思考9]分解因式时遇到首项系数为负该怎么办？
8、互学检测把下列多项式分解因式：
112xyz-9x2y2+3y=__________________；②-24x3+12x2-28x=_________________; 9、【反思4】
(1) 提公因式法就是把多项式分解成几个整式__________的形式，其中一个因式是各项的___________，另一个因式是由______________除以__________得到的；
(2)当公因式与多项式的某一项相同时，提出公因式后另一个因式不要漏掉
_______;
(3)遇到首项系数为负时先____________，注意原多项式的每一项都要_________后放到括号内.
(4)因式分解与整式的乘法是________的关系，因此可以用________________来检验因式分解是否正确.
10、互学例2 把2a(b-c)-3(b-c)分解因式
11、变式训练：把下列多项式分解因式：
（1）2a(b-c)-3(c-b) (2)2a(b-c)3 -3(c-b)2
12、[思考10]对比例1和例2，你发现了什么？
三、评学：
1、小结：本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑呢？
2、检测:
(1)下列各等式中,从左边到右边的变形属于因式分解的是( )
A.a（x-y）=ax-ay
B.x2+2x+1=x(x+2)+1
C.(a-b)(m-n)=(b-a)(n-m)
D.x2-5x+6=(x-2)(x-3)
(2)多项式6a3b2-3ab2-18a2b2的公因式是( )
A. ab2
B.3ab2
C. 6ab2
D. 6a3b2C
(3)将-4x3+8x2+16x分解因式的结果是( )
A. -x（4x2-8x+16）
B. x（-4x2+8x-16）
C. 4（-x3+2x2-4x）
D. -4x（x2-2x-4）
(4)若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式是( )
A. -1-3x+4y
B. 1+3x-4y
C. -1-3x-4y
D. 1-3x-4y
(5)若x2(x-1)+y(1-x) =(x-1)·A,则A=______________.
(6)已知a+b=2，ab=1，则a2 b+ab2的值为____________.
(7)分解因式:
1-12m3-8m2 +4m 24x(x-y)2-12(y-x)3 3（x-2）2-2x+4
(8)先分解因式，再求值：4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3
(9)简便计算;5×34+4×34+9×32
(10)已知x+y=-5,xy=7,求x2y+xy2-x-y的值；。