(完整版)数学形态学原理
形态学
1. 数学形态学的发展历史及基本概念形态学:一般指生物学中研究动物和植物结构的一个分支数学形态学(mathematical morphology, MM)：是根据形态学概念发展而来具有严格数学理论基础的科学，并在图像处理和模式识别领域得到了成功应用。
除了通常作为一种抽取图像中区域形状特征，如边界、骨骼和凸壳等，的工具外，也经常用于图像的预处理和后处理，如：形态学滤波、细化和修剪等。
基本思想：是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的2. 数学基础形态学图像处理的数学基础和所用语言是集合论集合论基础知识集合的并、交、补、差－属于、不属于、空集令A是Z2中的一个集合，如果a是其中的一个元素，称a 属于A，并记作：a ∈ A, 否则，称a不属于A，记为：a ∉A ，如A中没有任何元素，称A为空集：∅－子集、并集、交集A ⊆ B, C = A ⋃ B, C = A ⋂ B－不相连（互斥）、补集、差集A ⋂B = ∅, Ac = {a | a ∉ A }, A – B = {c | c ∈ A, c ∉ B } = A ⋂ Bc集合B的反射B^，定义为B^ ={w|w= −b,b∈B}即关于原集合原点对称集合A平移到点z=(z1,z2),表示为(A)z，定义为(A)z ={c| c = a+ z, a∈A}二值形态学中的运算对象是集合。
设A为图像集合，S为结构元为结构元素，数学形态学运算是用S对A进行操作。
需要指出，实际上结构元素本身也是一个图像集合。
对每个结构元素可以指定一个原点，它是结构元素参与形态学运算的参考点。
应注意，原点可以包含在结构元素中，也可以不包含在结构元素中，但运算的结果常不相同。
3. 形态学基本运算形态学图像处理的基本运算有4个：膨胀、腐蚀、开操作和闭操作4. 二值形态学图像处理基本操作边界抽取(boundary extraction)区域填充(region filling)连接分量提取(extraction of connected components)凸壳算法(convex hull)细化(thinning)粗化(thickening)骨架(skeletons)修剪(pruning)5．形态学图像处理基本应用6．总结形态学图像处理的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相干的结构。
数学形态学
数学形态学
数学形态学是一种新兴的研究领域，它旨在分析几何图形的结构，形状和功能之间的关系。
它的研究，使用广义的概念，为许多不同的问题提供解决方案，其中包括拓扑、图像处理、科学可视化、结构生物学和信号处理等。
数学形态学是一个综合性的学科，它运用多种数学工具和科学原理来描述和分析图形学中出现的复杂形状，是形状和几何的综合科学。
它的本质是把复杂的形状分解成不同的形状元素，再利用数学中的手段将这些元素组合起来，以描述和揭示形状结构之间的联系。
数学形态学是一门基于计算机的学科，它使用计算机技术，通过对几何图形和形状的像素分析，捕捉形状中各种特征，分析不同形状间的关系，建立并匹配形状，以及重建和综合形状信息。
同时，它也旨在将计算机技术与形状分析结合起来，用于解决计算机的实际应用问题，如机器视觉和图像处理。
数学形态学广泛地应用于各种领域，如机器人系统，空间科学，图形学，地理和空间信息，甚至分子生物学等。
它还可以用于将几何图形可视化，以及应用于工程设计，以更直观的方式表示几何形状，并为设计者和设计家提供视觉上的参考。
数学形态学的研究不仅仅局限于几何图形，同时也研究自然现象中出现的结构，并尝试描述和表述自然界中出现的复杂形状。
从自然现象中抽象出来的形状，往往能够帮助科学家们更好地理解现象，并最终基于研究结果，为实际应用研发有效的算法或具备一定属性的形
状。
总的来说，数学形态学是一种立足于数学的研究领域，它涉及到多层次的形状分析，以及形状和空间之间的关系，研究和分析丰富多彩的形状属性。
它旨在更好地理解形状，并为许多实际问题提供解决方案，同时也为计算机视觉和机器人系统提供支撑及应用。
数学形态学及其应用
数学形态学及其应用数学形态学及其应用数学形态学是一种数学方法和理论，最早由法国数学家乌戈尔·乔尔丹（Ugo Cerletti）在20世纪60年代提出。
它基于拓扑学、代数学和概率论等学科的基本原理，研究对象是图像和信号等离散数据的形状和结构，并利用数学统计的方法对它们进行分析和处理。
随着计算机技术的发展和应用需求的增加，数学形态学已经成为图像处理、模式识别和计算机视觉等领域中的重要工具。
数学形态学的基本概念包括结构元素、腐蚀、膨胀、开运算和闭运算等。
结构元素是一个小的图像或信号，用来描述和刻画对象的特征。
腐蚀和膨胀是两种基本的形态学操作，它们可以对图像或信号进行形状的变化和结构的调整。
开运算和闭运算是由腐蚀和膨胀组合而成的操作，用来改善图像的质量和特征。
在数学形态学的基础上，还发展了很多衍生的操作和算法，如基本重建、灰度形态学和形态学滤波等。
数学形态学在图像处理中的应用非常广泛。
例如，在图像分割中，可以利用数学形态学的方法提取目标的边界和内部结构；在图像增强中，可以利用形态学处理方法去除图像中的噪声和不规则部分；在模式识别中，可以利用形态学算法提取和描述对象的特征；在计算机视觉中，可以利用形态学方法实现图像的匹配和配准等等。
数学形态学的应用不仅仅局限在图像领域，它还可以应用于信号处理、文本分析、医学影像等其他领域。
以图像分割为例，数学形态学可以通过结构元素的逐步腐蚀或膨胀操作来准确地提取目标的轮廓。
首先，选择合适的结构元素，使其大小和形状适应目标的尺寸和形态特征。
然后，通过不断的腐蚀操作，可以逐渐消除目标周围的无关细节，最终得到目标的边界。
类似地，通过不断的膨胀操作，可以填补和连接目标内部的空洞，并得到目标的内部结构。
通过这种方式，数学形态学可以实现对复杂图像的准确分割，为图像识别和分析提供了可靠的基础。
总之，数学形态学是一种重要的数学方法和理论，它在图像处理、模式识别和计算机视觉等领域中具有广泛的应用和深远的意义。
数学形态学 膨胀原理
数学形态学膨胀原理Mathematical morphology is a powerful image processing technique that involves the manipulation and analysis of geometrical structures within images. One of the fundamental operations in mathematical morphology is dilation, which is used to expand or enlarge the boundaries of objects in an image. Dilation is based on the principle of set theory, where the set of image pixels is expanded according to a predefined structuring element. This process can be used for a variety of applications, such as noise removal, edge detection, and object recognition.数学形态学是一种强大的图像处理技术，涉及对图像中的几何结构进行操作和分析。
数学形态学中的一个基本操作是膨胀，用于扩展或放大图像中物体的边界。
膨胀是基于集合论原理的，图像像素集合根据预定义的结构元素进行扩展。
这个过程可以用于各种应用，如去噪、边缘检测和目标识别。
In mathematical morphology, the dilation operation is often used in conjunction with erosion, another fundamental operation. Erosion involves shrinking or contracting the boundaries of objects in an image, and when combined with dilation, these operations can beused to enhance or highlight certain features within an image. The process of dilation involves placing the structuring element at each pixel in the image and determining the maximum value within the overlapping region. This value is then assigned to the corresponding pixel in the output image.在数学形态学中，膨胀操作通常与腐蚀这另一个基本操作一起使用。
数学的三种形态
数学的三种形态数学作为一门学科，具有广泛的应用和多样的形式。
在学习和应用数学的过程中，我们可以从它的三种形态中获得深刻的认识和启发。
这三种形态分别是：符号形态、几何形态和应用形态。
本文将分别介绍并探讨这三种形态，并阐述它们在数学学习和实践中的重要性。
一、符号形态符号形态是数学中最常见的形态之一，它使用符号、公式和方程式来表达数学概念和关系。
符号形态为我们提供了一种抽象和精确的表达方式，使我们能够进行精确的计算和推理。
在符号形态中，我们可以使用各种数学符号，如加减乘除符号、等号、不等号等，来表示数学关系和运算。
例如，我们可以使用方程式来表示线性关系、二次方程等。
符号形态的使用使得数学变得更加精确和规范，能够帮助我们解决各种数学问题。
二、几何形态几何形态是数学的另一种重要形态，它通过图形来表示和研究数学对象和关系。
几何形态将数学概念和图形相结合，通过几何图形的绘制、测量和推理，帮助我们理解和探索各种数学关系。
在几何形态中，我们可以使用各种几何图形和工具，如点、线、面、角等，来表示和研究数学对象和关系。
通过几何形态，我们可以直观地理解和推导各种数学定理和性质。
几何形态在解决实际问题和进行空间思维方面具有重要作用。
三、应用形态应用形态是数学与实际问题结合的形态，它将数学应用于实际问题的解决和分析。
应用形态涵盖了从物理、工程、经济等领域的实际问题到数学建模和求解的过程。
在应用形态中，我们将数学的概念、原理和方法应用于实际问题，通过建立数学模型并进行计算和分析，来解决实际问题。
应用形态要求我们将抽象的数学概念和具体的实际问题相结合，需要我们具备一定的数学和实际领域的知识。
总结数学的三种形态，即符号形态、几何形态和应用形态，各具特点和重要性。
符号形态通过符号、公式和方程式来表达数学概念和关系，提供了精确和抽象的表达方式；几何形态通过几何图形来研究和理解数学对象和关系，具有直观和直观的特点；应用形态将数学应用于实际问题的求解和分析，需要将数学与实际问题相结合。
数学形态学
三：基本概念
集合关系：设 A 和 B 为R2的子集，A 为物体区域， B为某种结构元素，则 B 结构单元对 A 的关系有三类：
a) B 包含于A,
B⊂ A b) B 击中（hit）A, B I A! = Φ c) B 击不中(miss)A， BI A=Φ
A B A B A B
图2 包含、击中和击不中示意图
板,则 A B 由在平移模板的过程 中,所有可以添入 A 内部的模板 的原点组成.
A
A B B
腐蚀类似于收缩
一般,如果坐标 原点在结构元素内部, 则腐蚀后的图像为输 入图像的子集;如果 坐标原点不在结构元 素的内部,则腐蚀后 的图像可能不在输入 图像的内部，但输出 形状不变.
A
A B
B
腐蚀不是输入图像的子图像
THE END
谢谢大家
( f Θg )( x) = max{ y : g x + y << f }
其中 g x 表示在点x处的结构元素，y 表示腐蚀值
g
f
fΘg
t
0.5
t
利用半圆形结构元素的腐蚀
从几何学角度看，求图像被结构元素在点x腐蚀的 结果，就是在空间滑动结构元素，是结构元素的原点与 点x重合，然后从负无穷大向上推结构元素，对结构元 素仍处于图像下方所能达到的最大值是结构元素的原点 做标记，该标记点为该点腐蚀结果。其效果相当于半圆 形结构元素在被腐蚀函数的下面“滑动”时，其圆心画 出的轨迹。但是，这里存在一个限制条件，即结构元素 必须在函数曲线的下面平移。从图中不难看出，半圆形 结构元素从函数的下面对函数产生滤波作用，这与圆盘 从内部对二值图像滤波的情况是相似的。
平移：将一个集合A平移距离x可以表示为A+x，其定义 为：
图像处理中的数学形态学算法在车牌识别中的应用
图像处理中的数学形态学算法在车牌识别中的应用随着车辆数量的不断增加，车牌识别技术在交通管理、安防监控、停车场管理等领域中扮演着重要的角色。
而在车牌识别技术中，数学形态学算法作为一种重要的图像处理工具，具有很高的应用价值。
本文将重点探讨数学形态学算法在车牌识别中的应用，以及其在该领域中的优势和挑战。
一、数学形态学算法简介数学形态学算法是一种基于形状和结构分析的图像处理方法，其基本原理是利用集合论中的膨胀和腐蚀运算来分析图像中的形状和结构特征。
其中，膨胀操作可以扩张图像中的目标物体，而腐蚀操作可以收缩图像中的目标物体。
这些基本的形态学操作可以通过组合和重复应用来提取图像中的目标物体，并进行形状分析和特征提取。
二、数学形态学算法在车牌识别中的应用1. 车牌定位车牌识别的第一步是车牌的定位，即从整个图像中准确定位车牌的位置。
数学形态学算法可以通过腐蚀和膨胀操作来消除图像中的噪声，提取出车牌的边界信息。
通过应用腐蚀和膨胀操作，可以得到一系列形状和尺寸各异的区域，而其中包含车牌的区域往往具有明显的矩形或正方形特征。
因此，通过对这些区域进行形态学分析和筛选，可以有效地定位车牌的位置。
2. 车牌字符分割车牌字符分割是车牌识别的关键步骤之一，其中车牌上的字符需要被正确分割出来以方便后续的字符识别。
数学形态学算法可以通过腐蚀和膨胀操作来分离车牌上的字符，消除字符之间的干扰。
通过应用腐蚀操作，可以收缩车牌上的字符区域，使得字符之间的间隔增大；而通过应用膨胀操作，则可以扩张字符区域，使得字符之间的间隔变小。
通过选择合适的腐蚀和膨胀操作的组合方式，可以有效地实现车牌字符的分割。
3. 车牌字符识别车牌字符识别是车牌识别的最后一步，其中车牌上的字符需要被分析和识别出来。
数学形态学算法可以通过应用开运算和闭运算操作来修复和增强字符区域的形态特征，从而提高字符识别的准确性。
开运算可以消除字符区域之外的噪声，平滑字符区域的边界；而闭运算则可以填充字符区域中的空洞，增强字符区域的连通性。
数学形态学的基本原理和发展
卜
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摘 要 ： 述 了二 值 图像 形 态 学 、 灰度 图像 形 态 学 以及 推 广 到 彩 色 图像 形 态 学 的 基 本 原 理 ， 出 了数 学 形 态 学 进 一 步 发展 趋 势 。 论 提 关键词 ： 学形态 学 向量序 膨胀 腐蚀 数
中图分类号 ： ４ ， １ Ｇ １ ２．
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４彩色图像形态学
向量排序不仅仅是彩色图像形态学的问题 ， 用 Ｂ对 ， 腐蚀 ： 它在多变量数据 ，析中应用广泛 ， 疗 已经得到深入 地研究 。到 目前为止 ， 还没 有一个统一的 向量 用 对 ， ： 开 ． ｌ’ ； ｌ ， 序， 按照具体应用 的需要 ， 已经定义 厂多种 向量 用 对 ，闭 ： ： ”Ｉ 。 序 ， 致可以分为四类 ： 大 边缘序 ， 约简序， 偏序， 条 利用达四 个基本算子可以把大量的灰度图 表示将 位移到 ６Ｂ的作用就 像一 个敏 件序， 别简记 为Ｍ Ｏ ｄ￣ｌ ， ｒ ｒ ｇ Ｐ ， 分 ｒｅ ｇ Ｒ Ｏ ｅ ｎ ， ｄｉ 像形态学算法直接推广 到彩色 图像。 感 的探针 在图像 Ａ上从 上到 下、 从左到朽移 Ｏｒｅｉｇ Ｃ ｄ ｒ ， Ｏｒｅｉｇ ｎ ｄｒ 。Ｍ Ｏ ｄ ｒ ｇ是 对 向量 ｎ ｒｅｉ ｎ 综上所述 ， 为了把灰度形态学推广到彩色图 动， 使得与 曰的形状和火小类似的特征被保留 ， 的每个分量分别按标量排序 ， 然后再把排序 的 像必须完成以下三个任务 ： 选择表示彩色图像的 其它的特征被提取或抑制。 各个分量组 合在一起， 形成一个向量 。按照 Ｍ 颜色宅 间； 定义颜 色向量序 ； 确定计算上确界和 Ｏｒｅｉｇ ｄ ｒ 定义彩色图像形态学 ， ｎ 就是把灰 度图像 下确界的方法 ， 中第二步是关键也是准 点。 其 ３灰度形态学 形态学 分别应用到彩 色图像的 Ｒ、Ｇ、Ｂ二 个颜 把灰度图像看作数字化的地形地貌图， 灰度 色分量 上 ， 处 理过 的 各个 分量 图 像组 合 在 一 ５结 语 再把 值看作海拔高度， 就可以把 ＿ 二 值形态学推广到灰 起怍为形态学 处理的运算结果。这种定义方法 由于选择的濒色空间不同 ， 义的颜 色向量 定 度 图像， 具体做法是用逐点取最小灰度值代替集 非常简单 ， 由于原 图像中的像素（ ， ， ） 序不同， 但是 出现 了大量的针对特定的颜 色空间和应 合算 的交运算 ， 逐点取最夫灰度值代替集合算 经过 形态 学 运算 得到 ， 、Ｆ ， ， 组 用的彩色图像形态学定义 ， 但是还没有形成统一 子的并运算。应用于灰 度图像的形态学称 为灰 合在 一起 成 为结 果 图像 中的像素 （ 、Ｆ Ｆ 定义， 这是基于向量序研究彩色图像形态学定义
形态学的原理以及应用场景(含源码)
形态学的原理以及应用场景（含源码）转自：摘要：形态学一般指生物学中研究动物和植物结构的一个分支。
用数学形态学（也称图像代数）表示以形态为基础对图像进行分析的数学工具。
基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。
形态学图像处理的基本运算有：•膨胀和腐蚀（膨胀区域填充，腐蚀分割区域）•开运算和闭运算（开运算去除噪点，闭运算填充内部孔洞）•击中与击不中•顶帽变换，黑帽变换形态学的应用：消除噪声、边界提取、区域填充、连通分量提取、凸壳、细化、粗化等；分割出独立的图像元素，或者图像中相邻的元素；求取图像中明显的极大值区域和极小值区域；求取图像梯度在讲各种形态学操作之前，先来看看结构元素：膨胀和腐蚀操作的核心内容是结构元素。
（后面的开闭运算等重要的也是结构元素的设计，一个合适的结构元素的设计可以带来很好的处理效果OpenCV里面的API介绍：Mat kernel = getStructuringElement(int shape,Size ksize，Point anchor）;一，腐蚀和膨胀腐蚀和膨胀是最基本的形态学操作，腐蚀和膨胀都是针对白色部分（高亮部分）而言的。
•膨胀就是使图像中高亮部分扩张，效果图拥有比原图更大的高亮区域（是求局部最大值的操作）•腐蚀是原图中的高亮区域被蚕食，效果图拥有比原图更小的高亮区域（是求局部最小值的操作）膨胀与腐蚀能实现多种多样的功能，主要如下：1、消除噪声2、腐蚀分割(isolate)出独立的图像元素，膨胀在图像中连接(join)相邻的元素。
3、寻找图像中的明显的极大值区域或极小值区域4、求出图像的梯度opencv中膨胀/腐蚀API:(两者相同）void dilate/erode( const Mat& src, //输入图像（任意通道的）opencv实现：Mat src1 = imread("D:/opencv练习图片/腐蚀膨胀.png");图片膨胀：图片[图片上传中...(image-e5cbf7-1637738882548-13)]1️⃣ 腐蚀操作的原理就是求局部最小值的操作，并把这个最小值赋值给参考点指定的像素。
第十章数学形态学-精品
第十章：数学形态学
发展历）
开运算： 闭运算
AB(A B ) B AB(A B) B
第十章：数学形态学
发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
2. 开、闭运算及其性质（2）
开运算：
第十章：数学形态学
发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
第十章：数学形态学
发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
4. 其他（2）
腐蚀膨胀（条件膨胀） -> 开闭 -> 形态学梯度 -> 颗粒分 析 -> Top-Hat变换
击中击不中 -> 细化 -> 修剪 -> 骨架化 ( SKIZ骨架 （影响区骨架）（测地距离）)
极限腐蚀 -> 流域分割 -> 图像变换定理
发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
3. 击中击不中变换（1）
基本运算式
A B(A E ) (A C F )
B由一对E，F结构元素构成，E、F交集为空。
第十章：数学形态学
发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
3. 击中击不中变换（2）
物体识别
– 用识别物体和物体补集进行识别
第十章：数学形态学
一：数学形态学的历史
二：二值形态学基本操作 三：灰度形态学基本操作 三：图像处理应用
第十章：数学形态学
一：数学形态学的历史
二：二值形态学基本操作 三：灰度形态学基本操作 三：图像处理应用
1. 诞生于1964年，法国巴黎 Matheron的纹理分析器
1. 腐蚀、膨胀、开、闭运算及其性质（2）
第十章：数学形态学
发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
数学形态学
+ +
+ + +
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解：腐蚀结果如图(d)所示。阴影部分中，蓝色部 分表示腐蚀掉消失部分；红色部分表示为腐蚀后留 下的部分。 则图(d)红色部分就为集合A S,且A SA 。
例7：原点不包含在结构元素中时的腐蚀运算 当原点不属于结构元素S时，腐蚀结果A SA。 图(a)中阴影部分为集合A。图(b)中阴影部分为结构 元素S(标有“+”处为结构元素的参考点，参考点不 在结构元素S中)。求用结构元素S腐蚀A所得的集合。
用结构元素S腐蚀X的文字描述为：
用结构元素S来腐蚀X得到的集合为：结构元素S 平移x后完全包括在集合X中时结构元素S的参考 点位置的集合。
例3：腐蚀运算示例 图(a)中阴影部分为集合A。白色部分代表灰度值为 低(一般为0)区域。图(b)中阴影部分为结构元素 S(标有“+”处为结构元素的参考点)。 求用结构元素S来腐蚀A所得到的集合。
S ( X ) s
s S
文字描述为：集合X中的每一项按照sS中的每一 项进行负位移后与集合X交集的结果。
例10：用位移运算实现膨胀示例：
图(a)中阴影部分为集合A。图(b)中阴影部分为结构 元素S。求用结构元素S对集合A用位移运算实现膨胀 所得的集合。
解：先对集合A以结构元素S中参考点右边结构元素 点进行位移，如图(c)中红色部分所示。
主要内容：
数学形态学的基本概念 二值图像的数学形态学 灰度图像的数学形态学
9.1 引言
一、基本符号和术语：
1、集合和元素： 集合：对于一些可区别客体，有共同特征的客体的 全体称为集合(或集) 。 元素：组成集合的各个客体，称为该集合的元素。
第9章数学形态学原理
* 利用数学形态学方法提取的图像骨架也比较连 续，断点少。
14
数学形态学的核心运算是击中与否变换（HM T），在定义了HMT及其基本运算膨胀（Dilation） 和腐蚀(Erosion)后，再从积分几何和体视学移植一 些概念和理论，根据图像分析的各种要求，构造出 统一的、相同的或变化很小的结构元素进行各种形 态变换。在形态算法设计中，结构元的选择十分重 要，其形状、尺寸的选择是能否有效地提取信息的 关键。
21
形态运算的质量取决于所选取的结构元和形 态变换。结构元的选择要根据具体情况来确定， 而形态运算的选择必须满足一些基本约束条件。 这些约束条件称为图像定量分析的原则。
22
9.2.1 数学形态学定量分析原则 9.2.2 数学形态学的基本定义及
基本算法
23
集合论是数学形态学的基础，在这里首先对 集合论的一些基本概念作一总结性的概括介绍。 对于形态处理的讨论,将从两个最基本的模加处 理和模减处理开始。它们是以后大多数形态处理 的基础。
24
1. 基本的定义
1）集合 具有某种性质的确定的有区别的事物的全
体。如果某种事物不存在，称为空集。集合常 用大写字母 A, B, C, … 表示，空集用 表示。
25
设 E 为一自由空间，(E) 是由集合空
间 E 所构成的幂集，集合 X , B (E) ，则
集合 X 和 B 之间的关系只能有以下3 种形式：
4
随后，J. Serra和 G. Matheron在法国共同建立了枫 丹白露（Fontainebleau）数学形态学研究中心。在 以后的几年的研究中，他们逐步建立并进一步完善 了数学形态学的理论体系，此后，又研究了基于数 学形态学的图像处理系统。
数学形态学
数字图像处理中的形态学（摘自某文献，因为贴图的数目有限制，后面的公式图片没有能够上，电脑重装后文档已经找不到了，囧）一引言数学形态学是一门建立在集论基础上的学科，是几何形态学分析和描述的有力工具。
数学形态学的历史可回溯到19世纪。
1964年法国的Matheron和Serra在积分几何的研究成果上，将数学形态学引入图像处理领域，并研制了基于数学形态学的图像处理系统。
1982年出版的专著《Image Analysis and Mathematical Morphology》是数学形态学发展的重要里程碑，表明数学形态学在理论上趋于完备及应用上不断深入。
数学形态学蓬勃发展，由于其并行快速，易于硬件实现，已引起了人们的广泛关注。
目前，数学形态学已在计算机视觉、信号处理与图像分析、模式识别、计算方法与数据处理等方面得到了极为广泛的应用。
数学形态学可以用来解决抑制噪声、特征提取、边缘检测、图像分割、形状识别、纹理分析、图像恢复与重建、图像压缩等图像处理问题。
该文将主要对数学形态学的基本理论及其在图像处理中的应用进行综述。
二数学形态学的定义和分类数学形态学是以形态结构元素为基础对图像进行分析的数学工具。
它的基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。
数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特征，并除去不相干的结构。
数学形态学的基本运算有4个：膨胀、腐蚀、开启和闭合。
它们在二值图像中和灰度图像中各有特点。
基于这些基本运算还可以推导和组合成各种数学形态学实用算法。
（1）二值形态学数学形态学中二值图像的形态变换是一种针对集合的处理过程。
其形态算子的实质是表达物体或形状的集合与结构元素间的相互作用，结构元素的形状就决定了这种运算所提取的信号的形状信息。
形态学图像处理是在图像中移动一个结构元素，然后将结构元素与下面的二值图像进行交、并等集合运算。
基本的形态运算是腐蚀和膨胀。
形态学分析的原理与应用
形态学分析的原理与应用1. 引言形态学分析是一种基于结构和形状的图像处理技术，它通过分析物体的形态特征来识别和描述物体。
形态学分析在计算机视觉、图像处理、模式识别等领域具有广泛的应用。
本文将介绍形态学分析的原理和应用，并重点介绍形态学分析在目标检测、图像分割和形态学滤波等方面的应用。
2. 形态学分析的原理形态学分析的原理基于数学形态学的概念，数学形态学是对图像进行形状和结构上的处理和分析的数学方法。
形态学操作主要包括腐蚀（Erosion）、膨胀（Dilation）、开运算（Opening）和闭运算（Closing）等。
这些操作通过结构元素（Structuring Element）在图像上滑动并修改像素值，从而改变图像的形态特征。
形态学分析的基本原理如下：2.1 腐蚀腐蚀操作是通过结构元素的比较运算将像素腐蚀掉，使得图像中的细小或独立的物体逐渐消失。
腐蚀操作可以用于去除噪声、分离连通物体等。
2.2 膨胀膨胀操作是通过结构元素的比较运算将像素膨胀，使得图像中的物体逐渐增大。
膨胀操作可以用于填充空洞、连接物体等。
2.3 开运算开运算是先进行腐蚀操作，再进行膨胀操作。
开运算能够去除图像中的小型干扰，并保留主要的结构特征。
2.4 闭运算闭运算是先进行膨胀操作，再进行腐蚀操作。
闭运算能够填充图像中的孔洞，并保持主要物体的形状。
3. 形态学分析的应用形态学分析在图像处理中有广泛的应用，下面将针对目标检测、图像分割和形态学滤波三个方面进行介绍。
3.1 目标检测形态学分析可以用于目标检测，通过对图像进行膨胀操作，使得目标物体连通并增大。
之后，再进行腐蚀操作，去除噪声以及与目标物体不相连的部分。
最后，通过对图像进行矩形包围盒（Bounding Box）的提取，可以获得目标物体的位置和大小信息。
3.2 图像分割形态学分析可以用于图像分割，通过对图像进行开运算和闭运算操作，可以分割出物体和背景。
开运算可以进行图像的去噪和细化，闭运算可以填充图像中的空洞。
数学形态学的应用几种原理
数学形态学的应用几种原理1. 数学形态学介绍数学形态学是一种数学理论和方法，它广泛应用于图像处理、模式识别、信号处理、计算机视觉等领域。
数学形态学主要关注图像和信号的几何结构及其形状变化，通过对几何形态学性质进行数学建模和分析，在图像处理和特征提取等方面具有广泛的应用价值。
2. 数学形态学的基本原理数学形态学的基本原理主要包括膨胀和腐蚀两个操作，以及它们的组合运算。
下面分别介绍这几种基本原理的应用。
2.1 膨胀操作•膨胀操作是一种图像形态学操作，它可以增大图像的区域和边界。
•膨胀操作可以应用于边缘检测、形态特征提取等方面，通过增大目标区域的形态特征，使得图像中的目标更加明显。
2.2 腐蚀操作•腐蚀操作是一种图像形态学操作，它可以减小图像的区域和边界。
•腐蚀操作可以应用于噪音去除、边缘检测等方面，通过减小目标区域的形态特征，使得图像中的目标更加清晰。
2.3 开运算•开运算是一种腐蚀操作后再进行膨胀操作的组合运算。
•开运算可以应用于去除图像中的小噪点、提取连通区域等方面，通过先腐蚀去除小的干扰区域，再膨胀找回目标区域。
2.4 闭运算•闭运算是一种膨胀操作后再进行腐蚀操作的组合运算。
•闭运算可以应用于填充孔洞、平滑边缘等方面，通过先膨胀填充孔洞，再腐蚀平滑边缘。
3. 数学形态学应用案例3.1 图像分割•数学形态学可以应用于图像分割任务。
•利用膨胀和腐蚀操作的组合，可以通过寻找目标区域的边界，将图像分割为多个连通区域。
3.2 边缘检测•数学形态学可以应用于图像边缘检测。
•利用膨胀和腐蚀操作的组合，可以凸显图像中的边缘结构，从而实现边缘检测的目的。
3.3 特征提取•数学形态学可以应用于图像特征提取。
•利用开运算和闭运算的组合，可以去除图像中的噪音，并提取目标区域的形态特征。
4. 总结数学形态学作为一种重要的图像处理方法，在图像分割、边缘检测和特征提取等方面具有广泛的应用。
通过膨胀和腐蚀操作的组合运算，数学形态学能够提取图像和信号的几何结构和形态特征，为图像处理和模式识别提供了有效的数学工具。
毕达哥拉斯形数理论
毕达哥拉斯形数理论一、形数理论的基本思想是万物皆数思想。
二、平面数理论假设某个三角形数有n行，则总的点数共有1+2+3+···+n(见图1)，再补上一个倒立的三角形数后，就变成了一个n行n+1列的平行四边形数，总点数就有n(n+1)个(见图2)，于是可得2(1+2+3+···+n)=n(n+1),所以1+2+3+···+n=n(n+1)/2。
这个过程相当于1+2+3+···+n=2(1+2+3+···+n)/2=(1+2+3+···+n+1+2+3+···+n)/2=(1+n+2+n-1+3+n-2+···+n+1)/2=(n+1+n+1+n+1+···+n+1)/2=n(n+1)/2。
从一点出发，依奇数的L形(曲尺形)排列向右增添3，5，7，···，2n-1(n≥2)点，可相继构造出第n 个正方形数(见图3)，在正方形数中划一条反斜杠，将正方形数划分为两个连续的三角形数(见图4)，由此可见正方形数等于两个连续的三角形数之和，即正方形数=n(n-1)/2+n(n+1)/2=n^2，于是可得1+3+5+···+(2n-1)=n^2，所以1+3+5+···+(2n-1)+(2n+1)=n^2+(2n+1)=(n+1)^2。
这个过程相当于1+3+5+···+(2n-1)=0+1+1+2+2+3+···+n-1+n=0+1+2+···+n-1+1+2+3+···+n=n(n-1)/2+n(n+1)/2=n^2→1+3+5+···+(2n-1)+(2n+1)=n^2+(2n+1)=(n+1)^2。
第8章_数学形态学_中文.
111
第8章 数学形态学 Morphological Image Processing
模板卷积和中值滤波思考
思考问题： (1) 模板形状能否变化，是否一定是正方形模板 (2) 模板所覆盖的像素除了做积分、微分和取灰度中值之外，能否进 行其他运算? 要解决这两个问题，就需要用到本章的数学形态学。 在数学形态学中，模板称为结构元素或探针，模板所取出的像素按 灰度排序，取最大值或最小值，分别称为膨胀和腐蚀。
第8章 数学形态学 Morphological Image Processing
模板卷积回顾2
第8章 数学形态学 Morphological Image Processing
中值滤波回顾
2. 二维中值滤波：
与均值滤波类似，做3*3的模板，对9个数排序，取第5 个数替代原来的像素值。
111
191
1
8.1 引言
2. 基本符号和术语 (5) 目标和结构元素 目标图像：待处理的图像 目标：通常指图像中像素值不为0的点 结构元素：考察目标图像各部分之间的关系时，需要设计一种收 集信息的“探针”，称为结构元素。
A
B
第8章 数学形态学 Morphological Image Processing
第8章 数学形态学 Morphological Image Processing
模板卷积回顾1
如用3×3的模板：
1 1 1
1 9
1 1
1 1
1 1
12143 12234 57689 57688 56789
12143 1 23 24 34 4 5 74 56 86 9 5 76 76 8 8 56789
8.2 二值形态学
2. 腐蚀演示
数学形态学
数学形态学
数学形态学是一门新兴的数学学科，它以数学的结构与几何来研究复杂的物体的外观、形状以及数学关系。
它是归纳性的、正则的、抽象的，但它也具有实际意义。
形态学可以用来分析表面形状、描述空间结构、并分析几何现象。
数学形态学主要由几何、拓扑、计算、图理论等组成。
几何可以用来刻画物体的几何结构，拓扑不区分空间结构、计算可以用来处理复杂的外形，而图理论则可以指导定义不同物体之间的相互关系，并且可以用来处理复杂的空间结构。
数学形态学可以研究许多不同的几何现象，比如点、线、面、体等，可以研究几何实体的结构与形状，以及不同几何实体之间的相互作用。
它可以用来研究可视化的几何结构，以及空间和位置空间的定义、分类及计算等方面。
此外，数学形态学还可以用来处理图形，例如地图、框架和图像等。
地图可以分析表面形状、连接和空间结构，框架可以处理复杂的路径系统，图像处理可以用来分析物体的形状、结构和空间关系等。
此外，数学形态学还可以用来处理几何分析，例如几何定义、变换、插值、参数化等等。
它可以用来描述不同几何实体之间的相互关系，以及物体与空间之间的变换关系。
数学形态学有着广泛的应用，比如在工业设计中，可以用来分析物体的形状、结构和外观等，也可以用来分析产品的结构和性能等；在建筑设计中，可以用来分析建筑的空间结构、形状、几何现象和材
料等。
此外，它还可以用来研究数学模型、机器人技术、三维渲染和CAD等方面。
综上所述，数学形态学是一门研究数学结构与几何的新兴学科。
它可以用来分析物体的几何结构、可视化几何结构、几何分析等，并且可以应用于工业设计、建筑设计、机器人技术和三维渲染等方面。
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6.2.2 膨胀
膨胀可以看做是腐蚀的对偶运算，其定义是：把结构元素B 平移a后得到Ba，若Ba击中X，我们记下这个a点。所有满足上 述条件的a点组成的集合称做X被B膨胀的结果。
腐蚀可以看作是将图像X中每一与结构元素S全等的 子集S+x收缩为点x。反之，也可以将X中的每一个点x扩
第6章 数学形态学及其应用
6.1 数学形态学概述 6.2 二值形态学 6.3 灰值形态学 6.4 形态学的应用 6.5 形态学滤波及骨架抽取的MATLAB实现
6.1 数学形态学概述
6.1.1
数学形态学是法国和德国的科学家在研究岩石结构时建 立的一门学科(1664)。
形态学的用途是获取物体拓扑和结构信息，它通过物体 和结构元素相互作用的某些运算，得到物体更本质的形态。
数学形态学是一门建立在严格数学理论基础上的学科， 其基本思想和方法对图像处理的理论和技术产生了重大影响。 已经构成一种新的图像处理方法和理论，成为计算机数字图 像处理的一个重要研究领域.
6.1.2 基本符号和定义 1. 集合论概念
在数字图像处理的数学形态学运算中，把一幅图像称为一 个集合。
对于一幅图像A，如果点a在A的区域以内， 那么就说a是 A的元素，记为a∈A，否则，记X区域以外的点构成的集合称为X 的补集，记作Xc，显然，如果B∩X=Ф，则B在X的补集内。
B
2. 击中与击不中
设有两幅图象B，A。若存在这样一个点，它即是B的元 素，又是A的元素， A∩B≠ φ 则称B击中A，记作B↑A，
击不中
设有两幅图象B，A。若不存在任何一个点，它即是 B的元素，又是A的元素，即B和A的交集是空，则称B不击 中A，记作B∩A=Ф
（２）开运算是一个基于几何运算的滤波器。 （３）结构元素大小的不同将导致滤波效果的不同。 （４）不同的结构元素的选择导致了不同的分割，即提取出
不同的特征。
6.2.5 闭
先膨胀后腐蚀称为闭 对图像X及结构元素S，用符号X S表示S对图像X作闭运算
大为S+x，这就是膨胀运算，记为X S。若用集合语言，
它的定义为
X S = {x| S+x∪x≠ }
图中X是被处理的对象，B是结构元素，对于任意一个在 阴影部分的点a，Ba击中X，所以X被B膨胀的结果就是那个阴 影部分。阴影部分包括X的所有范围，就象X膨胀了一圈似的， 这就是为什么叫膨胀的原因。
3平移和对称集 平移
设A是一幅数字图像，b是一个点，那么定义A被b平移后 的结果为A＋b＝{a＋b| a∈A}，即取出A中的每个点a的坐标 值，将其与点b的坐标值相加，得到一个新的点的坐标值 a+b，所有这些新点所构成的图像就是A被b平移的结果，记 为A+b，
对称集
设有一幅图象B，将B中所有元素的坐标取反，即令(x， y)变成(-x，-y)，所有这些点构成的新的集合称为B的对称集， 记作Bv。
XS {x | S x X}
X用S腐蚀的结果是所有使S平移x后仍在X中的x的集合。
换句话说，用S来腐蚀X得到的集合是S完全包括在X中时S的
原点位置的集合。
对于任意一个在阴影部分的点a，Ba 包含于X，所以X被B 腐蚀的结果就是那个阴影部分。阴影部分在X的范围之内，且 比X小，就象X被剥掉了一层似的，这就是为什么叫腐蚀的原因
二 值图 像
腐蚀
膨胀
图 腐蚀与膨胀示意图
6.2.4 １．开运算
先腐蚀后膨胀称为开 对图像X及结构元素S，用符号X○S表示S对图像X作开运算
XOS ( X S) S
(a) 结构元素S1和S2 (b) X○S1 (c) X○S2
结论： 我们可以得到关于开运算的几点结论：
（１）开运算能够除去孤立的小点，毛刺和小桥，而总的位 置和形状不便。
4. 结构元素
设有两幅图象B，A。若A是被处理的对象，而B是用 来处理A的，则称B为结构元素，又被形象地称做刷子。结 构元素通常都是一些比较小的图象
6.2 二值形态学
二值形态学中的运算对象是集合。设A为图像集合， S为结构元素，数学形态学运算是用S对A进行操作。
实际上结构元素本身也是一个图像集合。对每个结构 元素可以指定一个原点，它是结构元素参与形态学运算的参 考点。应注意， 原点可以包含在结构元素中，也可以不包 含在结构元素中，但运算的结果常不相同。
SO
6.2.1 腐蚀
对一个给定的目标图像X和一个结构元素S， 想象一下将S在 图像上移动。在每一个当前位置x， S+x只有三种可能的状态：
(1) S+x X；
(2) S+x XC ；
x
(3) S+x∩X与S+x∩XC均不为空。
S＋x3
S＋x2
S＋x1
腐蚀是最基本的一种数学形态学运算。
腐蚀也可以用集合的方式定义，即
2. B包含于A 设有两幅图象B，A。对于B中所有的元素ai，都有ai∈A，
则称B包含于A，记作 B A
D
c
B A
3. 交集和并集
两个图像集合A和B的公共点组成的集合称为两个集合 的交集， 记为A∩B，即A∩B={a｜a∈A且a∈B}。
两个集合A和B的所有元素组成的集合称为两个集合的并 集，记为A∪B，即A∪B={a｜a∈A或a∈B}。
数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本 的形状特性，并除去不相干的结构。
数学形态学方法利用一个称作结构元素的“探针”收集 图像的信息，当探针在图像中不断移动时， 便可考察图像各 个部分之间的相互关系，从而了解图像的结构特征。
迄今为止， 还没有一种方法能像数学形态学那样既有坚 实的理论基础，简洁、 朴素、 统一的基本思想，又有如此 广泛的实用价值。有人称数学形态学在理论上是严谨的，在 基本观念上却是简单和优美的。
在图象处理中的应用主要是：(1)利用形态学的基本运算， 对图象进行观察和处理，从而达到改善图象质量的目的；(2) 描述和定义图象的各种几何参数和特征，如面积、周长、连 通度、颗粒度、骨架和方向性等。
数学形态学的数学基础和所用语言是集合论，因此它 具有完备的数学基础，这为形态学用于图像分析和处理、形 态滤波器的特性分析和系统设计奠定了坚实的基础。