2-3效用函数

2013-7-26
数，那么
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一、名词解释
效用（浙江大学2002）、 边际效用（北京航空航天大学2004、社
科院2002、武汉大学2002等）
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3.4
– U(x1,x2) = x1a x2b 这些效用函数的无差异曲线如何?
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完全替代效用函数
x2
13 9 5
x1 + x2 = 5
x1 + x2 = 9 x1 + x2 = 13 V(x1,x2) = x1 + x2. x1 All are linear and parallel.
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p
2、效用函数
效用函数与无差异曲线 无差异曲线包含偏好顺序相同的消费束。
2.3
偏好顺序相同
效用水平相同。
所以，同一无差异曲线的消费束具有相同
的效用水平。
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效用函数与无差异曲线
例如： 消费束
(4,1) 和 (2,2) 在效用水平为 U 的无差异曲线。
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p
2、效用函数
U(x1,x2)
= x1x2 定义 V = U2.
(2,3)
(4,1) ~ (2,2).
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p
2、效用函数
= x1x2 (2,3) (4,1) ~ (2,2). 定义 V = U2. 那么 V(x1,x2) = x12x22 ， V(2,3) = 36 > V(4,1) = V(2,2) = 16 显然： (2,3) (4,1) ~ (2,2). 函数V 与 函数U 表示同一个偏好。
1.4
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2、效用函数（Utility Function）
定义 效用函数 U(x) 表示 一个偏好关系（ f） ~ ，当且仅当:
2.1
x’ p x”
x’ ~ x”
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p
x’
x”
U(x’) > U(x”)
U(x’) < U(x”)
U(x’) = U(x”).
2、效用函数
1、效用
效用的早期观点 个人福利状况衡量标准，表现人的主观 心理感受，是可数的，也是可测量的。
1.1
1.2
基数效用理论 序数效用理论
1.3
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1、效用
效用与偏好 早期是从效用到偏好：消费者偏好甲消 费束甚于乙消费束，是因为前者的效用 大。与基数效用理论对应。 现在是从偏好到效用：因为消费者偏好 甲消费束甚于乙消费束，所以在定量描 述时，给前者指派一个较大的数值。与 序数效用理论对应。
定义 效用是表示消费束排列顺序[序数效用] 例如：if U(x) = 6 ， U(y) = 2。那么消费 束 x 严格偏好与消费束y。 但 x 不是三 倍偏好于 y。
2.1 如果按照基数效用理论，x的心理满足是
y的三倍。（或者用货币衡量心理满足）
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2、效用函数
2.2、效用函数的构造
MRS(1,8) = - 8/1 = -8 MRS(6,6) = - 6/6 = -1. U = 36
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1
6
U=8 x1
4、边际效用
再如：拟线性效用函数
x2。
U(x1,x2) = f(x1) +
U f ( x1 ) x1
U 1 x2
d x2 U / x1 MRS f ( x1 ). d x1 U / x2
U(x1,x2)
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p
p
2、效用函数
效用函数的单调变化
如果：U
是表示偏好关系（ f）的效用 ~ 函数， f 是严格单调增函数。

f 那么， V = f(U) 也是表示原偏好关系 ~ （ ）的效用函数。
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3、常见偏好效用函数
商品分类 商品数量增加效用增加，为好商品。偏好 特点是“多多益善”。 商品数量增加效用减少，为坏商品。偏好 特点是“越少越好”。
效用函数（Utility
function ） – 定义、单调变化 （Monotonic transformation ） – 常见偏好的效用函数 边际效用（Marginal utility ） 边际替代率（Marginal rate of substitution，MRS ）
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x1
效用函数与无差异曲线
给定偏好的所有无差异曲线组成无差异
地图（indifference map）。 无差异曲线地图等价于效用函数，二者 都是描述偏好的手段和工具，本质上相 同。
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2、效用函数
2.4效用函数的性质
对于一个偏好关系，效用函数不是唯一
3.1
商品数量增加效用不变，为中性商品。偏
好特点是“多少无所谓”。
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好商品、坏商品与中性商品
效用
效用函数 水是 好商品 水是 怀商品
在 x’ , 增加少量的水为中性商品。
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x’
水
3、常见偏好效用函数
完全替代与完全互补 完全替代 （ Perfect substitute ） – V(x1,x2) = x1 + x2
U(x1,x2)
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p
p
2、效用函数
U(x1,x2)
= x1x2 (2,3) 定义： W = 2U + 10.
(4,1) ~ (2,2).
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p
2、效用函数
= x1x2 (2,3) (4,1) ~ (2,2). 定义： W = 2U + 10. 对于 W(x1,x2) = 2x1x2+10 ，有： W(2,3) = 22 > W(4,1) = W(2,2) = 18. 即：(2,3) (4,1) ~ (2,2). W 、U 和 V 表示同样的顺序，所以表示同一 个偏好关系。
考虑消费束
(4,1)、 (2,3) 和 (2,2)。 假设： (2,3) (4,1) ~ (2,2)。 对不同消费束指派不同数值，这些数值大 小关系能够表示原消费束偏好顺序，例如 ：U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4。 指派的数值通常称为效用水平（utility levels）。
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柯布-道格拉斯效用函数
x2
x1
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4、边际效用（Marginal Utilities）
数学定义 边际意味着“增加的量”（incremental） 。 商品 i 的边际效用可理解为商品i的变化所 引起的效用水平的变化。
4.1
U MU i 数学公式为： xi
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拟线性效用函数的边际替代率
x2 MRS = - f(x1’) MRS = - f (x1) 与 x2无关。 MRS 是常数， x1 固定不变。
MRS = -f(x1”)
x’ 2013-7-261
x1”
x1
4、边际效用
效用函数单调变换与边际替代率 同一个偏好关系可以有许多效用函数来 表示，
(2,3) 在效用水平为 U 6的无差 异曲线。 图示如下:
消费束
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效用函数与无差异曲线
(2,3)
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p
x2
(2,2) ~ (4,1)
U6 U4
x1
效用函数与无差异曲线
考察更多的消费束，得到如下结果：
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效用函数与无差异曲线
x2
U6 U4 U2
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4、边际效用
假设：
U(x1,x2) = x11/2 x22 ，那么
U 1 1/ 2 2 MU1 x1 x2 x1 2 U 1/ 2 MU 2 2 x1 x2 x2
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4、边际效用
经济含义：边际效用与边际替代率 无差异曲线的数学表达式为： U(x1,x2) k, 为常数。 其全微分结果为：
的，可以用不同效用函数表示同意个偏 好关系。 例如， U(x1,x2) = x1x2 表示一个偏好关 系。 对于消费束 (4,1)、(2,3) 和 (2,2)。
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2、效用函数
U(x1,x2)
= x1x2,
U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4; 即： (2,3) (4,1) ~ (2,2).
4.2
每个效用函数的边际效用不同，但对应
的边际替代律相同。
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4、边际效用
如：
U(x1,x2) = x1x2 ，MRS = - x2/x1。 令： V = U2，即： V(x1,x2) = x12x22 。 2 V / x1 2 x1 x2 x2 MRS 2 V / x2 x1 2 x1 x2 二者边际替代率相同。
例如：
U (1)( x2 ) x2 x1 U ( x1 )(1) x1 x2 d x2 U / x1 x2 MRS . d x1 U / x2 x1
U(x1,x2) = x1x2. ，那么
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4、边际效用
x2 8 6
x2 U(x1,x2) = x1x2; 源自文库RS x1
4.2
U U dx1 dx2 0 x1 x2
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4、边际效用
U U dx1 dx2 0 x1 x2
经过整理，得：
d x2 U / x1 . d x1 U / x2
这就是边际替代率（MRS）。
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4、边际效用
2013-7-26
4、边际效用
一般地，
如果 V = f(U) ， f 是单调增函
V / x1 f (U ) U / x1 MRS V / x2 f '(U ) U / x2 U / x1 . U / x2
边际替代率（ MRS ）没有改变
3.2
完全互补
（Perfect complement ） – W(x1,x2) = min{x1,x2}
2013-7-26
3、常见偏好效用函数
3.3
拟线性效用函数 – U(x1,x2) = f(x1) + x2
柯布-道格拉斯效用函数 （ Cobb-Douglas Utility Function ）
2013-7-26
拟线性效用函数
x2 每条曲线都是垂直移动可得
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x1
柯布-道格拉斯效用函数
具有如下形式的效用函数
U(x1,x2) = x1a x2b 其中 a > 0， b > 0 的函数叫柯布-道格拉 斯（ Cobb-Douglas ）效用函数。 例如：U(x1,x2) = x11/2x21/2 (a = b = 1/2) V(x1,x2) = x1 x23 (a = 1, b = 3)
效用与效用函数
Utility & Utility Function 张运峰
2013-7-26
问题：消费者意愿定量描述
要求：
1、了解效用的含义。 2、理解效用函数的含义与特点。 3、理解一些常见的效用函数。 4、理解边际效用含义。
重点：效用函数的特点。
2013-7-26
学习要点
5 9 13
2013-7-26
完全互补效用函数
x2 45o W(x1,x2) = min{x1,x2} 8
min{x1,x2} = 8
min{x1,x2} = 5 min{x1,x2} = 3 3 5 8 x1
5 3
2013-7-26
拟线性效用函数
效用函数具有以下类型：
U(x1,x2) = f(x1) + x2 对 x2 是线性的，叫做拟线性或准线性。 （ quasi-linear ）。 例如： U(x1,x2) = 2x11/2 + x2